2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷友情提示：請將所填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則直線恒過定點(diǎn)（）A. B.C. D.2.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.3.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則4.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或6.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A B. C. D.8.平面幾何中有定理：已知四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.10.給出下列命題正確的是（）A.直線的方向向量為，平面的法向量為，則與平行B.直線恒過定點(diǎn)C.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值是D.已知三點(diǎn)不共線，對于空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面11.如圖，平行六面體所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，則（）A.，，，四點(diǎn)共面B.在方向上的投影向量為C.D.直線與所成角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，與直線平行，則直線與的距離為___________.13.已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為_________．14.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，，則，兩點(diǎn)間的曼哈頓距離已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，若點(diǎn)滿足，則的最大值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.16.已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積．17.設(shè)直線和直線的交點(diǎn)為.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，求直線的方程.18.在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形，，．（1）如圖1，若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）如圖2，設(shè)（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）若二面角的余弦值為，求的值．19.已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）設(shè)是圓兩條切線，其中為切點(diǎn)．①若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)；②若點(diǎn)在曲線（其中）上運(yùn)動，記直線與軸的交點(diǎn)分別為，求面積的最小值．2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷友情提示：請將所填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則直線恒過定點(diǎn)（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，所以，由，可得，所以，?dāng)時，所以對為任意實(shí)數(shù)均成立,故直線過定點(diǎn).故選：A.2.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.3.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則【正確答案】C【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對于A，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項錯誤；對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項正確；對于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項錯誤.故選：C.4.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.【詳解】對于A，設(shè)，即，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，無解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.故選：B.5.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】D【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故D項正確.故選：D6.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征及向量對應(yīng)線段位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義,將、，用基底表示出來，在應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可.【詳解】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側(cè)面是正方形,又是的交點(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.7.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面的距離公式計算即可．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選：D．8.平面幾何中有定理：已知四邊形對角線與相交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由已知可得，，，的坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系聯(lián)立方程組可分別求出，的坐標(biāo)，根據(jù)，，三點(diǎn)在圓上，分別求線段，的垂直平分線所在直線方程，通過聯(lián)立解方程組求解圓心的坐標(biāo)，即可求解圓的方程.【詳解】由得，由得，由得，因?yàn)?，對角線與相交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以所在直線方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)?，所以所在直線方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)?，所以線段垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立，解得，所以，又，所以圓的方程為.故選.方法點(diǎn)睛：求圓的方程的常用方法：（1）直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，寫出方程；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)已知條件設(shè)出方程，代入求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】利用空間向量的運(yùn)算公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故，故A錯誤；對于B，，，故B正確；對于C，，故，故C錯誤；對于D，，故，故D正確.故選：BD10.給出下列命題正確的是（）A.直線的方向向量為，平面的法向量為，則與平行B.直線恒過定點(diǎn)C.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值是D.已知三點(diǎn)不共線，對于空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面【正確答案】BD【分析】根據(jù)空間向量、直線過定點(diǎn)、直線垂直、四點(diǎn)共面等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，所以與不平行，A選項錯誤.B選項，由，得，由，解得，所以定點(diǎn)為，B選項正確.C選項，由，解得或，C選項錯誤.D選項，由于，其中，所以四點(diǎn)共面，D選項正確.故選：BD11.如圖，平行六面體的所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，則（）A.，，，四點(diǎn)共面B.在方向上的投影向量為C.D.直線與所成角的余弦值為【正確答案】ABD【分析】在上取點(diǎn)，使得，可得四邊形、四邊形為平行四邊形，求出，可判斷A；對兩邊平方求出，再由投影向量的定義可判斷B；由的線性運(yùn)算后再平方可判斷C；由向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，在上取點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，可得，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，可得，，，四點(diǎn)共面，故A正確；對于B，因?yàn)槠叫辛骟w棱長均為2，、、兩兩所成夾角均為，所以，則，則，，故B正確；對于C，，，則，故C不正確；對于D，故，故直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求向量模長解題的關(guān)鍵點(diǎn)是先對所求向量進(jìn)行線性運(yùn)算，再平方計算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，與直線平行，則直線與的距離為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列出方程即可求出m的值，求出直線的方程，再由兩平行線間的距離公式求出直線與的距離．【詳解】因?yàn)?/，所以，解得，，，由兩平行直線的距離公式可得：，故13.已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為_________．【正確答案】【分析】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，由此能求出向量在基底下的坐標(biāo).【詳解】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，整理得：，，解得.向量在基底下的坐標(biāo)是.故答案為.14.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，，則，兩點(diǎn)間的曼哈頓距離已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，若點(diǎn)滿足，則的最大值為_________．【正確答案】##【分析】根據(jù)題意，作出點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離問題，從而得解.【詳解】由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)Px0,故點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題解決的關(guān)鍵是將點(diǎn)的曼哈頓距離轉(zhuǎn)化為圖形，從而利用數(shù)形結(jié)合即可得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個法向量，又因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積．【正確答案】（1），，（2）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，由的中點(diǎn)在直線上，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可求得直線的方程，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)坐標(biāo).（2）利用兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)到直線距離公式求出三角形面積.【小問1詳解】由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，則有，解得，即，顯然點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點(diǎn)，所以直線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由（1）得，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.17.設(shè)直線和直線的交點(diǎn)為.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）聯(lián)立方程求得，根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出直線的方程，將點(diǎn)代入計算即可求解；（2）法一：根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線的方程，然后利用到兩條直線的距離相等列式求解即可；法二，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，利用對稱性求得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，將坐標(biāo)代入已知直線方程，化簡即可求解.【小問1詳解】由得交點(diǎn)，由直線與直線垂直，則可設(shè)直線的方程為，又直線過點(diǎn)，代入得，則，所以直線的方程為；【小問2詳解】法一：由題意可得直線與直線平行，則可設(shè)直線方程為：，由直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，得到兩條直線的距離相等，即，得（舍）或，所以直線的方程為.法二：設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，且點(diǎn)在直線上，得，化簡得直線的方程為.18.在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形，，．（1）如圖1，若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）如圖2，設(shè)（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）若二面角的余弦值為，求的值．【正確答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；（2）（?。┰O(shè)，則，由，所以，求出平面、的法向量，利用空間向量法證明即可；（ⅱ）求出平面的法向量，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，即可得到方程，求出，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，再由夾角公式計算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，，即，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問2詳解】（ⅰ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，因?yàn)?，所以，所以平面平面；（ⅱ）設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以，即，解得或（舍去），則，所以，