2024-2025學(xué)年河北省衡水市高二上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省衡水市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一?單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知兩直線和，若，則（）A. B.8 C. D.22.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.，， B.C. D.3.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.4.已知直線斜率的范圍為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.或B.C.D.或5.已知圓，若圓剛好被直線平分，則的最小值為（）A.8 B.10 C.16 D.6.過(guò)橢圓C：右焦點(diǎn)F直線l：交C于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，則橢圓C的方程為（）A. B. C. D.7.已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A. B. C. D.8.已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)的值可為（）A.1 B.4 C.6 D.710.已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（）A.不論為何值時(shí)，與都互相垂直；B當(dāng)變化時(shí)，與分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和C.不論為何值時(shí)，與都關(guān)于直線對(duì)稱D.如果與交于點(diǎn)M，則的最大值是11.已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，直線與交于、兩點(diǎn)，軸，垂足為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則的面積為B.四邊形可能為矩形C.直線的斜率為D.若與、兩點(diǎn)不重合，則直線和斜率之積為三?填空題：本題3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知圓內(nèi)有點(diǎn)，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的圓的弦所在的直線方程為______.13.已知，，則代數(shù)式的最小值為__________；14.已知為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______.四?解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓，直線．（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（3）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．16.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若原點(diǎn)到直線l的距離為2，求直線l的方程；（2）若直線被兩條相交直線和所截得的線段恰被點(diǎn)P平分，求直線的方程.17.已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，、是橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P在第一象限，且，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．18.已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，圓：與軸正半軸的交點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn).（1）若直線與軸交于，且，求直線方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別是，，求的值；（3）設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)，若，求的面積.2024-2025學(xué)年河北省衡水市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一?單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知兩直線和，若，則（）A. B.8 C. D.2【正確答案】A【分析】依據(jù)當(dāng)兩直線平行時(shí)有計(jì)算出的值即可得解.【詳解】由題可知，.故選：A.2.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.，， B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由二元二次方程表示圓的條件可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，若方程表示一個(gè)圓，則，解可得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，，，故選：A3.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A4.已知直線的斜率的范圍為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.或B.C.D.或【正確答案】D【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：或.故選：D5.已知圓，若圓剛好被直線平分，則的最小值為（）A.8 B.10 C.16 D.【正確答案】C【分析】利用給定條件得到，再進(jìn)行基本不等式中‘1’的代換求解即可.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，因?yàn)閳A剛好被直線平分，所以直線必過(guò)點(diǎn)，代入直線中得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，故C正確.故選：C6.過(guò)橢圓C：右焦點(diǎn)F的直線l：交C于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，則橢圓C的方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意，可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的斜率可得，的關(guān)系，再由橢圓中，，的關(guān)系求出，的值，進(jìn)而可得橢圓的方程．【詳解】解：直線中，令，可得，所以右焦點(diǎn)，，設(shè)，，，，則，的中點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以橢圓的方程為，故選：A．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理求出，，進(jìn)而根據(jù)由兩點(diǎn)間的斜率公式得，的關(guān)系.7.已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件先確定出點(diǎn)的軌跡方程，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓要包括圓”，由此利用圓心到直線的距離結(jié)合點(diǎn)的軌跡所表示圓的半徑可求解出的最小值.【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長(zhǎng)度的最小值為，故選：B．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)軌跡方程的求解以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，根據(jù)弦中點(diǎn)以及線段長(zhǎng)度可求點(diǎn)軌跡方程，其次“恒成立”轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓包括的軌跡”，結(jié)合圓心到直線的距離加上半徑可分析的最小值.8.已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用橢圓的對(duì)稱性以及定義可得，即可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由對(duì)稱性和橢圓定義可知，其中，故，又因，設(shè)點(diǎn)，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為4，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為64，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為51，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：C.二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)的值可為（）A.1 B.4 C.6 D.7【正確答案】BC【分析】分別考慮焦點(diǎn)在軸、軸上的兩種情況，然后根據(jù)求解出的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則，故；若焦點(diǎn)在軸上，則，故．故選：BC．10.已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（）A.不論為何值時(shí)，與都互相垂直；B.當(dāng)變化時(shí)，與分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和C.不論為何值時(shí)，與都關(guān)于直線對(duì)稱D.如果與交于點(diǎn)M，則的最大值是【正確答案】ABD【分析】對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)要逐個(gè)分析才能判斷.【詳解】對(duì)于A，如果，則，分別平行于x軸和y軸，顯然；如果，則，恒成立，A正確；對(duì)于B，對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，恒成立，則過(guò)定點(diǎn)；對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒過(guò)定點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，在上任取點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程知：不在上，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，聯(lián)立，解得：，即，，即最大值是，D正確；故選：ABD.11.已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，直線與交于、兩點(diǎn)，軸，垂足為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則的面積為B.四邊形可能為矩形C.直線斜率為D.若與、兩點(diǎn)不重合，則直線和斜率之積為【正確答案】BC【分析】利用余弦定理、橢圓的定義以及三角形的面積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)四邊形可能為矩形求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用斜率公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】在橢圓中，，，，設(shè)點(diǎn)、，則，如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得，可得，因此，的面積為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于直線與橢圓都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)、也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，四邊形為平行四邊形，若四邊形為矩形，則，而，，，解得，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，可知點(diǎn)，則，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由于點(diǎn)、在橢圓上，則，上述兩個(gè)等式相減得，可得，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.結(jié)論點(diǎn)睛：有關(guān)點(diǎn)差法的結(jié)論如下：①設(shè)是橢圓的任意一條不與坐標(biāo)軸垂直的弦，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則直線和直線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積；②設(shè)是橢圓的任意一條過(guò)原點(diǎn)的弦，點(diǎn)是該橢圓上與點(diǎn)、不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的一點(diǎn)，則直線和的斜率之積為.三?填空題：本題3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知圓內(nèi)有點(diǎn)，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的圓的弦所在的直線方程為______.【正確答案】【分析】由圓的一般方程求得圓的圓心，求得直線的斜率，再由兩直線垂直的條件求得所求直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可求得答案．【詳解】由，得圓心為（1,0），故直線的斜率為，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的圓的弦所在的直線的斜率為，所以所求的直線方程為，即，故．13.已知，，則代數(shù)式的最小值為__________；【正確答案】【分析】由題意可得式子表示正方形內(nèi)部的點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，由距離公式可得答案【詳解】解：由題意可得四個(gè)式子分別表示點(diǎn)到的距離和，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在4條直線所圍成的正方形內(nèi)部，，當(dāng)為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，即為正方形的中心時(shí)，三點(diǎn)共線且三點(diǎn)共線，即和同時(shí)取得最小值，此時(shí)取得最小值即當(dāng)點(diǎn)為該正方形的中心時(shí)，原式取得最小值，把代入計(jì)算可得最小值為，故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到的距離和，從而可求得答案，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題14.已知為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______.【正確答案】【分析】如圖，過(guò)作，垂足為，可知是中點(diǎn)，則可得，再由勾股定理可得出，由橢圓的有界性即可求出最值.【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，可知是中點(diǎn)，可得，中，，在中，，聯(lián)立可得，設(shè)，則（），，，則，即，故的取值范圍為.故答案為.四?解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓，直線．（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（3）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無(wú)論m為何實(shí)數(shù)）；（3）.【分析】（1）將直線方程整理為關(guān)于參數(shù)m的方程，可令求解，即可證結(jié)論.（2）由（1）所得定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（3）由圓的弦長(zhǎng)與半徑、弦心距的關(guān)系，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：直線l的方程可化為，又，∴，解得，∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)．（2）圓心，，∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無(wú)論m為何實(shí)數(shù)）．（3）當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，圓心到直線l的距離．∴此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為．16.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若原點(diǎn)到直線l的距離為2，求直線l的方程；（2）若直線被兩條相交直線和所截得的線段恰被點(diǎn)P平分，求直線的方程.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）通過(guò)討論直線的斜率存在和不存在的情況，求出直線方程即可；（2）、的坐標(biāo)分別設(shè)為、，根據(jù)題意得到，，從而得到方程組，解出的坐標(biāo)是，再利用點(diǎn)斜式求解方程即可.【小問(wèn)1詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然成立，直線方程為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由原點(diǎn)到直線的距離為得，解得，故直線的方程為，即，綜上，所求直線方程為或.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線夾在直線，之間的線段為（在上，在上），、的坐標(biāo)分別設(shè)為、，因?yàn)楸稽c(diǎn)平分，所以，，于是，，由于在上，在上，即，解得，，即的坐標(biāo)是，故直線的斜率是，故直線的方程為：，即.17.已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，、是橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P在第一象限，且，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）依題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求得，進(jìn)而求得即可；（2）設(shè)，從而可求得，再把代入求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得，，，，，同理，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，且，則，，．由橢圓方程可得，整理得，所以，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．18.已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．（1）當(dāng)切線PA長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．【正確答案】（1）或；（2）圓過(guò)定點(diǎn)，；（3）當(dāng)時(shí)，AB有最小值．【分析】（1）設(shè)，由，計(jì)算即可求得，得出結(jié)果；（2）因?yàn)锳、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，所以圓的方程為，化簡(jiǎn)為，由方程恒成立可知，即可求得動(dòng)圓所過(guò)的定點(diǎn)；（3）由圓和圓方程作差可得直線方程，設(shè)點(diǎn)到直線AB的距離，則，計(jì)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，圓M的半徑，設(shè)，因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以，所以，解得或，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．（2）設(shè)，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑