2024-2025學(xué)年山西省大同市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省大同市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、選擇題（本小題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若直線的傾斜角為，則（

）A．0 B． C． D．不存在2.已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3.已知直線：與直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.在空間四邊形中，若分別是的中點，是上的點，且，記，則等于（

）A． B． C． D．5.如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,

D，E分別為SO，SB的中點，點C是底面圓周上一點（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6.已知直線過點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．7.已知兩點，若直線與線段有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8.已知點P和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線：，：是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.已知，是一組“共軛線對”，則，的夾角的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題（本小題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法中不正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點C.過兩點的直線的方程為D.直線在在y軸上的截距為10.在空間直角坐標系中，點，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．向量與的夾角的余弦值為C．點關(guān)于軸的對稱點坐標為D．向量在上的投影向量為11.如圖，在三棱錐中，，，，為的中點，點是棱上一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的表面積為B.若為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為C.若與平面所成角的正弦值為，則二面角的正弦值為D.的取值范圍為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知點在平面上，點是空間內(nèi)任意一點，且（），則的值為.13.直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的一般式方程為.

14.在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），若且與平面所成的角最大時，線段的長度為.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.（本小題滿分13分）已知的頂點坐標分別是，，，為邊的中點.(1)求邊上的中線的一般式方程；(2)求經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程.16.（本小題滿分15分）已知，，且.(1)求；(2)求與夾角的余弦值.17.（本小題滿分15分）已知直線(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設(shè)的面積為，求的最小值及此時直線的方程．18.（本小題滿分17分）已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，點分別是的中點，平面．(1)求證：；(2)求點B到平面QUOTE的距離；(3)在線段上是否存在點N，使得直線與平面QUOTE所成角的正弦值為？若存在，求線段的長度；若不存在，說明理由．19．（本小題滿分17分）已知是棱長為的正四面體，設(shè)的四個頂點到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點與點分別位于的兩側(cè).是否存在，使的4階等距集為，其中點到的距離為？若存在，求平面與夾角的余弦值；若不存在，說明理由.2024-2025學(xué)年山西省大同市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、選擇題（本小題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在【正確答案】C【知識點】直線的傾斜角【分析】根據(jù)直線的方程即可求解.【詳解】因為，為一常數(shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2.已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示，求出的值.【詳解】向量，且，所以，解得，故選：B.3.已知直線：與直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C4.在空間四邊形中，若分別是的中點，是上的點，且，記，則等于（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】連接，因為，分別是的中點，所以，故．故選：A5.如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,

D，E分別為SO，SB的中點，點C是底面圓周上一點（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A由題設(shè)，構(gòu)造如下圖示的空間直角坐標系，則，所以，則.所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為.故選：A6.已知直線過點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【正確答案】B，則點到直線的距離為：.7.已知兩點，若直線與線段有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【正確答案】D由直線，變形可得，直線恒過定點，則，又直線的斜率為，若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為.故選：D.8.已知點P和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線：，：是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.已知，是一組“共軛線對”，則，的夾角的最小值為（）A． B． C． D．【正確答案】B（1）設(shè)的斜率為，則的斜率為，兩直線的夾角為，則，等號成立的條件是，所以的最小值為，則兩直線的夾角的最小值為；二、選擇題（本小題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法中不正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點C.過兩點的直線的方程為D.直線在在y軸上的截距為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系，點斜式及斜截式判斷各項正誤即可.【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負，錯；B：由題設(shè)，直線方程為，顯然在直線上，對；C：過且兩點的所有直線的方程為，故B錯誤；D：直線在y軸上的截距為，錯.10.在空間直角坐標系中，點，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．向量與的夾角的余弦值為C．點關(guān)于軸的對稱點坐標為D．向量在上的投影向量為【正確答案】BD【分析】根據(jù)空間兩點距離公式可判斷A；根據(jù)空間向量的夾角坐標公式可判斷B；根據(jù)點的對稱性可判斷C；根據(jù)投影向量的概念可判斷D.【詳解】記，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對于C，點關(guān)于軸的對稱點坐標為，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD．11.如圖，在三棱錐中，，，，為的中點，點是棱上一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的表面積為B.若為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為C.若與平面所成角的正弦值為，則二面角的正弦值為D.的取值范圍為【正確答案】ABD【分析】連結(jié)OB.證明出面ABC.O為原點，以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.對于A：直接求出三棱錐的表面積，即可判斷；對于B：用向量法求出異面直線與所成角的余弦值，即可判斷；對于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值為，即可判斷；對于D:把平面PBC展開，判斷出當(dāng)M與C重合時，最大；的最小值為AP，利用余弦定理可以求得.【詳解】連結(jié)OB.在三棱錐中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因為，所以面ABC.可以以O(shè)為原點，以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則，，，，，所以,,,.對于A：在三棱錐中，，，，所以底面三角形為直角三角形，其面積為；為邊長為2的等邊三角形，所以面積為；和為腰長為2，底邊為的等腰三角形，所以面積均為；所以三棱錐的表面積為.故A正確；對于B：為棱的中點，所以,所以,.所以異面直線與所成角的余弦值為.故B正確；對于C：點是棱上一動點，不妨設(shè)，（）.所以.設(shè)為面PAM的一個法向量，則，不妨設(shè)y=1，則.因為與平面所成角的正弦值為，所以，解得：取，則顯然，面PAC一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為，所以，所以.故C錯誤；對于D:如圖示，把平面PBC展開，使A、B、C、P四點共面.當(dāng)M與B重合時，；當(dāng)M與C重合時，最大；連結(jié)AP交BC于M1，由兩點之間直線最短可知，當(dāng)M位于M1時，最小.此時，，所以.由余弦定理得：.所以取值范圍為.故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知點在平面上，點是空間內(nèi)任意一點，且（），則的值為.【正確答案】 13.直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的一般式方程為.

【正確答案】【詳解】

∵直線的一個方向向量為，∴，∴直線的方程為，即．14.在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），若且與平面所成的角最大時，線段的長度為.【正確答案】正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，所以，即，又由，設(shè)與平面所成的角，所以，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即時，與平面所成的角最大值，即，可得，四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.（本小題滿分13分）已知的頂點坐標分別是，，，為邊的中點.(1)求邊上的中線的一般式方程；(2)求經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先確定，然后通過兩點的坐標確定方程；（2）先確定直線的斜率，然后通過點的坐標和斜率確定方程.【詳解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即.（2）由于直線的斜率是，.所以經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為，即.16.（本小題滿分13分）已知，，且.(1)求；(2)求與夾角的余弦值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量垂直的坐標表示可求得，即可計算出即可求得模長為；（2）根據(jù)向量夾角的計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意由可得，即，解得；所以，因此，即.（2）易知，且；所以，即與夾角的余弦值為.17.（本小題滿分15分）已知直線(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設(shè)的面積為，求的最小值及此時直線的方程．【正確答案】(1)；(2)4，（1）由直線不經(jīng)過第四象限，又，則，解得；（2）直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設(shè)的面為，由直線的方程可得與坐標軸的交點，，則，解得：．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．的最小值為4，及此時直線的方程為：．18．（本小題滿分17分）已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分別是、、、的中點，平面．(1)求證：；(2)求點B到平面的距離；(3)在線段上是否存在點N，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3)存在點滿足題意，【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又底面是正方形，則，且與是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，所以，又分別是的中點，所以，所以.（2）因為分別是的中點，所以，所以平面即是平面，由（1）知平面，則平面，平面，，則，設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，所以點到平面的距離為.（3）如圖以為原點，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為，且，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，整理得，解得或（舍），，即存在點使得直線與平面所成角的正弦值為，此時.19．（本小題滿分17分）已知是棱長為的正四面體，設(shè)的四個頂點到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點與點分別位于的兩側(cè).是否存在，使的4階等距集為，其中點到的距離為？若存在，求平面與夾角的余弦值；若不存在，說明理由.【正確答案】(1)答案見解析(2)存在，.【分析】（1）分兩種情況得出的所有可能值以及相應(yīng)的的個數(shù)；（2）先根據(jù)已知得出，再計算求得余弦值.【詳解】（1）①情形一：分別取的中點，

由中位線性質(zhì)可知，此時平面為的一