2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上冊(cè)9月考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期9月考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題本試卷分第I部分（選擇題）和第II部分（非選擇題），滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第I部分（共58分）一．單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小時(shí)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是行合題目要求的．）1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A B. C. D.2.“”是“兩直線和互相平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.5.在中，，且有，則線段的長(zhǎng)為（）A. B.2 C. D.16.已知直線恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.7.如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，且，則線段的長(zhǎng)為（）A9 B. C. D.68.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.二．多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知直線和圓，則（）A.直線恒過定點(diǎn) B.存在使得直線與直線垂直C.直線與圓相交 D.若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.EF平面ABC1D1B.EF⊥B1CC.EF與AD1所成角為60°D.EF與平面BB1C1C所成角的正弦值為第II部分（共92分）三．填空題（每小題5分，共15分，將答案填在答題卡上）12.過點(diǎn)且方向向量為的直線的一般式方程為_________．13.已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都等于2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_________．14.阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題；平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．現(xiàn)有，，則的最大面積為_________．四．解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或深處步驟）15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，從下列3個(gè)條件選取一個(gè)________①過點(diǎn)；②圓恒被直線平分；③與軸相切.（1）求圓為程；（2）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．16.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答問題.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且_________.（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，求面積取值范圍.17.已知點(diǎn)，圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求方程及的面積．18.為了建設(shè)書香校園，營(yíng)造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動(dòng).該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)（紅球編號(hào)為“1，2，3”，白球編號(hào)為“4，5”）取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號(hào)之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時(shí)，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．19.如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)（1）求證：平面.（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.（3）若，線段上是否存在一點(diǎn)，使平面?若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由。2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期9月考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題本試卷分第I部分（選擇題）和第II部分（非選擇題），滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第I部分（共58分）一．單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小時(shí)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是行合題目要求的．）1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先將直線方程化為斜截式，再利用傾斜角和斜率關(guān)系即可求解.【詳解】將化為，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，，則，得.故選：C.2.“”是“兩直線和互相平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求解出的值，即可做出推斷.【詳解】由兩直線和互相平行得，解得，所以“”是“兩直線和互相平行”的充要條件；故選：A.3.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】由復(fù)數(shù)除法求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得結(jié)論．【詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限．故選：A．4.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用指對(duì)函數(shù)單調(diào)性比較與中間量的大小，根據(jù)角所在象限判斷正弦函數(shù)值的符號(hào)得，進(jìn)而可判斷的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，且.由，則，綜上可知.故選：D.5.在中，，且有，則線段的長(zhǎng)為（）A. B.2 C. D.1【正確答案】D【分析】先由余弦定理求出，可得為直角三角形，由可得為的中點(diǎn)，進(jìn)而由斜邊上的中線等于斜邊一半可得的長(zhǎng).【詳解】在中，由余弦定理可得，則，即，解得.則由即，可得，又，可知是的中點(diǎn)，故即為斜邊上的中線，則.故選：D.6.已知直線恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【正確答案】B【分析】先得到直線l恒過點(diǎn)，圓C的圓心坐標(biāo)為，然后由時(shí)，AB最小求解.【詳解】解：由題意得：直線恒過點(diǎn)，圓的圓心坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，AB最小，，故選：B7.如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，且，則線段的長(zhǎng)為（）A.9 B. C. D.6【正確答案】C【分析】由，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】由，得到，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，，，所以，，因?yàn)椋?，所以，，故．故選：C．8.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值，所以此“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：B.二．多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知直線和圓，則（）A.直線恒過定點(diǎn) B.存在使得直線與直線垂直C.直線與圓相交 D.若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為【正確答案】ACD【分析】A.由得到判斷；B.由兩直線斜率相等判斷；C.由直線l到圓的距離和圓的半徑的大小判斷；D.由圓的弦長(zhǎng)求解判斷.【詳解】由，得，所以直線恒過定點(diǎn)0,1，故A正確；直線的斜率為k，直線的斜率為k，兩直線斜率相等，所以兩直線平行，故B錯(cuò)誤；圓心到直線l的距離為，而圓的半徑為，所以直線與圓相交，故C正確；若，圓心到直線l的距離為，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故D正確；故選：ACD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【正確答案】ABC【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)求解判斷即得.【詳解】觀察圖象得，，函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，而，則，，對(duì)于A，的最小正周期為，A正確；對(duì)于B，由，解得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，B正確；對(duì)于C，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.EF平面ABC1D1B.EF⊥B1CC.EF與AD1所成角為60°D.EF與平面BB1C1C所成角的正弦值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)線線平行證明線面平行，由線線垂直證明線面垂直，再得線線垂直，由線線關(guān)系、線面關(guān)系可得線線角、線面角.【詳解】對(duì)于A，連結(jié)BD1，在DD1B中，E、F分別為D1D、DB的中點(diǎn)，則EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正確；對(duì)于B，∵平面，且平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B∴B1C⊥平面ABC1D1又∵BD1平面ABC1D1∴B1C⊥BD1，而EFBD1∴EF⊥B1C，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A，可知，在中，可知，所以，所以EF與AD1所成角不為60°，故C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A，可知，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角，在中，可知，所以，故D正確.故選：ABD第II部分（共92分）三．填空題（每小題5分，共15分，將答案填在答題卡上）12.過點(diǎn)且方向向量為的直線的一般式方程為_________．【正確答案】【分析】借助直線的方向向量定義及所過點(diǎn)計(jì)算即可得.【詳解】由該直線方向向量為，故可設(shè)為，則有，解得，即該直線的一般式方程為.故答案為.13.已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都等于2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_________．【正確答案】##【分析】構(gòu)造平行直線，轉(zhuǎn)化異面直線所成的角為相交直線所成的角，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】連結(jié)，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，且，所以，所以，，，，中，?4.阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題；平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．現(xiàn)有，，則的最大面積為_________．【正確答案】12【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，整理得，因此點(diǎn)的軌跡方程為，，顯然上的點(diǎn)到軸，即直線距離的最大值為4，所以面積的最大值為.故12四．解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或深處步驟）15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，從下列3個(gè)條件選取一個(gè)________①過點(diǎn)；②圓恒被直線平分；③與軸相切.（1）求圓的為程；（2）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）選①③時(shí)，設(shè)圓的一般式方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)以及相關(guān)條件，根據(jù)待定系數(shù)法，即可確定圓的方程，選擇②時(shí)，根據(jù)幾何法確定圓心和半徑即可求解，（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可求解軌跡方程．【小問1詳解】選條件①．設(shè)圓的方程為，將，代入可得，解得，則圓的方程為．選條件②．直線恒過點(diǎn)．因?yàn)閳A恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即．選條件③．設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為，即．【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以的軌跡方程為．16.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答問題.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且_________.（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【正確答案】（1）條件選擇見解析，（2）【分析】（1）選①，由正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選③，利用正弦定理以及余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）求出角的取值范圍，根據(jù)正弦定理可求得的取值范圍，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：選①，由及正弦定理可得，、，則，所以，，故；選②，由及正弦定理可得，因?yàn)?，則，所以，，故；選③，由及正弦定理可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，?【小問2詳解】解：因?yàn)闉殇J角三角形，且，則，可得，，由正弦定理，則，所以，.17.已知點(diǎn)，圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．【正確答案】（1）；（2）的方程為，的面積為.【分析】（1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于0列式得的軌跡方程；（2）設(shè)的軌跡的圓心為，由得到．求出所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出到的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)間的關(guān)系求出的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式得答案．【詳解】解：（1）由圓，即x2+圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．設(shè)，則，．由題意可得，即．整理得．的軌跡方程是．（2）由（1）知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而．，直線的斜率為．直線的方程為，即．則到直線的距離為．又到的距離為，．．18.為了建設(shè)書香校園，營(yíng)造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動(dòng).該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)（紅球編號(hào)為“1，2，3”，白球編號(hào)為“4，5”）取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號(hào)之和獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時(shí)，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．【正確答案】（1）游戲一獲勝概率為，游戲二獲勝的概率為（2）的所有可能取值為．【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，進(jìn)而利用表格得到編號(hào)之和為的概率，由此得解.【小問1詳解】設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個(gè)球的樣本空間為，則，因?yàn)?，所以，．所以游戲一獲勝的概率為．游戲二中有放回地依次取出兩個(gè)球的樣本空間，則，因?yàn)?，所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為．【小