教學(xué)課件-信號、系統(tǒng)分析與控制(MATLAB版)(劉國良)

信號、系統(tǒng)分析與控制MATLAB版（劉國良編著）注意：e(t)、e(n)、u(t)、u(n)在不同的書籍中意義一樣，都表示階躍函數(shù)。在本書中兩種表示法同時(shí)存在。第1章信號與系統(tǒng)的基本知識1.1信號分析概述1.1.1信號、消息和信息所謂“消息（message）”，就是通過某種方式傳遞的聲音、圖像、文字、符號等?！靶畔ⅲ╥nformation）”，它是信息論中的一個(gè)術(shù)語。通過各種消息的傳遞，使人們獲取各種不同的信息。因此，通俗的說，“信息”是指具有新內(nèi)容、新知識的“消息”。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號。在本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。“信號（signal）”也稱為“訊號”，是運(yùn)載消息的工具，是消息的載體，“消息”通過“信號”表現(xiàn)出來。也就是說：“信號”是“消息”的表現(xiàn)形式與傳送載體。“信號”是反映“信息”的各種物理量，是系統(tǒng)直接進(jìn)行加工、變換和處理的對象。1.1.2信號的描述與分類1.連續(xù)信號和離散信號（1）連續(xù)信號與模擬信號連續(xù)信號：在觀測過程的連續(xù)時(shí)間t的有效范圍內(nèi)，信號f(t)有確定的值。但允許在其時(shí)間定義域上存在有限個(gè)間斷點(diǎn)。如果連續(xù)信號在任意時(shí)刻的取值都是連續(xù)的，即信號的幅值和時(shí)間t均連續(xù)，則稱為“模擬信號”。（2）離散信號與數(shù)字信號離散信號：信號僅在規(guī)定的離散時(shí)刻有定義。時(shí)間上和幅度上都取離散值的信號則稱為數(shù)字信號。2.周期性信號和非周期性信號連續(xù)信號和離散信號都可分為周期性信號和非周期性信號。（1）周期性信號滿足上述關(guān)系的最小T（或整數(shù)N）稱為該信號的“周期”。周期信號的判斷：兩個(gè)周期信號的周期分別為T1和T2，若其周期之比為有理數(shù)，則其和信號仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。對于周期信號，可用下面簡單的交叉乘法確定其周期：若，則周期T（或N）=k1T1或k2T2（2）非周期性信號：若一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號若在（-∞~+∞）區(qū)間內(nèi)，不會周而復(fù)始地重復(fù)再現(xiàn)，即不滿足（1.1.1）式，則稱為連續(xù)非周期信號。例1-1-1判斷下列信號是否為周期信號。

解：是周期信號，其角頻率和周期分別為也是周期信號，其角頻率和周期分別為

為有理數(shù)，故為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)（2T1或3T2）。和的周期分別為，由于為無理數(shù)，故為非周期信號。3.確定性信號和非確定性信號信號還可以分為確定性信號和非確定性信號（又稱隨機(jī)信號）。所謂“確定性信號”，就是其每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可以用某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表唯一地確定的信號。如圖1-1-1、圖1-1-2所示的各種信號。所謂“隨機(jī)信號”就是不能用一個(gè)明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式精確地描述，因而也不能準(zhǔn)確預(yù)測任意時(shí)刻的信號精確值，即信號在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這樣的信號是不確定性信號，或稱為“隨機(jī)”信號。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種典型的隨機(jī)信號。

另外，信號還可以分為能量信號和功率信號、時(shí)域信號和頻域信號、時(shí)限信號和頻限信號、實(shí)信號和復(fù)信號，一維信號與多維信號，因果信號與反因果信號，左邊信號與右邊信號等等。1.1.3信號分析通過研究信號的描述、運(yùn)算、特性以及信號發(fā)生某些變化時(shí)其特性相應(yīng)的變化，來揭示信號自身的時(shí)域特性、頻域特性等等，稱為信號分析。連續(xù)時(shí)間信號的分析通?？煞譃闀r(shí)域分析法、頻域分析法和復(fù)頻域分析法。用不同的時(shí)間函數(shù)描述具有不同形態(tài)信號波的形成是信號的時(shí)頻分析，也稱為波形分析。連續(xù)時(shí)間信號的時(shí)域分析，主要使用微分方程；離散時(shí)間信號的分析，主要依靠差分方程等。信號的頻域分析是將連續(xù)時(shí)間（或離散時(shí)間）信號表示為復(fù)指數(shù)信號的加權(quán)積分（或加權(quán)和），這就導(dǎo)致了傅里葉分析的理論和方法，同時(shí)產(chǎn)生了信號頻譜的概念。用頻率函數(shù)來描述或表征任意信號的方法，稱為信號的頻率分析、頻譜分析或傅里葉分析，這種分析信號的方法稱為頻域分析法。用復(fù)頻率函數(shù)來描述或表征任意信號的方法，稱為信號的復(fù)頻率分析或拉普拉斯分析，這種分析信號的方法稱為復(fù)頻域分析法。離散時(shí)間信號的復(fù)頻域分析使用z變換方法。1.2系統(tǒng)的概念信號和系統(tǒng)（System）是密不可分的。從一般意義上說，系統(tǒng)是一個(gè)由若干互相有關(guān)聯(lián)的單元組成，并且有某種功能來用以完成、達(dá)到特定目的的一個(gè)整體。1.2.1系統(tǒng)的分類與描述1.系統(tǒng)的分類（1）根據(jù)系統(tǒng)處理信號的形式不同，系統(tǒng)可分為3種：連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的輸入、輸出信號均為連續(xù)信號（模擬信號），該系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)。離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的輸入、輸出信號均為離散信號（數(shù)字信號），信號為脈沖序列或數(shù)碼形式，該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程式。

混合系統(tǒng)：系統(tǒng)中有的子系統(tǒng)輸入、輸出信號為連續(xù)信號（模擬信號），也有的子系統(tǒng)輸入、輸出信號為離散信號（數(shù)字信號），該系統(tǒng)為混合系統(tǒng)。（2）根據(jù)系統(tǒng)的性質(zhì)，系統(tǒng)可分為：線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)，本書只討論線性時(shí)不變系統(tǒng)。（3）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)：若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為“動(dòng)態(tài)系統(tǒng)”或“記憶系統(tǒng)”。含有記憶元件（電容、電感等）的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱為“即時(shí)”系統(tǒng)或“無記憶系統(tǒng)”。（4）根據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)量，系統(tǒng)分為：單輸入單輸出系統(tǒng)（SISO：Single-Input-Single-Output）與多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO：Multiple-Input-Multiple-Output）。系統(tǒng)還可以分為：因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)，確定系統(tǒng)與不確定系統(tǒng)，穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)等等。2.系統(tǒng)的描述系統(tǒng)可用數(shù)學(xué)模型和方框圖來表示。一個(gè)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡單地表示，方框圖左邊為輸入x(t)，右邊為系統(tǒng)的輸出y(t)，方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他部分，是系統(tǒng)的主體。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及混合連接。連續(xù)系統(tǒng)可以用一些輸入輸出關(guān)系簡單的基本單元（子系統(tǒng)）連接起來表示。這些基本單元有加法器、數(shù)乘器（放大器）、積分器。離散系統(tǒng)對應(yīng)的基本單元有加法器、數(shù)乘器（放大器）、移位器。1.2.2系統(tǒng)分析系統(tǒng)可以看作是一個(gè)黑匣子，系統(tǒng)分析可從系統(tǒng)的端部出發(fā)，研究在不同信號的激勵(lì)下，經(jīng)過系統(tǒng)的處理、運(yùn)算，分析其輸出特性，而不考慮黑匣子內(nèi)部的變量關(guān)系。T[.]表示這種處理或運(yùn)算關(guān)系，即或（1.2.1）符號“T[.]”表示系統(tǒng)的映射或處理，可以把T[.]簡稱為系統(tǒng)。對T[.]加以各種約束，可定義出各類連續(xù)、離散時(shí)間系統(tǒng)，例如線性系統(tǒng)、非時(shí)變（時(shí)不變）系統(tǒng)、因果和穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時(shí)不變系統(tǒng)LTI（或在離散域中稱為移不變：LSI）”，描述該系統(tǒng)的輸入、輸出特性使用常系數(shù)線性微分方程（或差分方程）。在本書中介紹的系統(tǒng)分析內(nèi)容如下：（1）建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即在時(shí)域建立微分方程或差分方程；在頻域建立傅立葉、拉普拉斯或z變換方程。從系統(tǒng)模型所關(guān)心的變量上可將LTI（LSI）系統(tǒng)的分析方法分為“輸入-輸出法”與“狀態(tài)變量法”兩大類。本書主要介紹“輸入-輸出法”。而從信號分解的角度又可將LTI系統(tǒng)的分析方法分為時(shí)域分析（卷積積分、卷積和、算子法）、頻域分析（傅里葉分析）與變換域分析（拉普拉斯變換法、z變換法）等。（2）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，以系統(tǒng)的沖激響應(yīng)代表系統(tǒng)的特性。系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是分析系統(tǒng)對指定激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。其分析過程主要包括建立系統(tǒng)模型，根據(jù)模型建立系統(tǒng)的方程，求解出系統(tǒng)的響應(yīng)，必要時(shí)對解得的結(jié)果給出物理解釋。系統(tǒng)分析是系統(tǒng)綜合與系統(tǒng)診斷的基礎(chǔ)。本書僅限于對LTI（LSI）系統(tǒng)分析的研究。（3）研究系統(tǒng)函數(shù)，包括系統(tǒng)函數(shù)的建立、零極點(diǎn)分布等。描述系統(tǒng)特點(diǎn)的是系統(tǒng)函數(shù)，也稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。由于系統(tǒng)函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的輸入無關(guān)，所以連續(xù)信號的系統(tǒng)函數(shù)和離散信號的系統(tǒng)函數(shù)，在系統(tǒng)分析中具有重要意義。（4）研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不論是一般的LTI系統(tǒng)，或者是LTI自動(dòng)控制系統(tǒng)，任何有意義的系統(tǒng)都必須是穩(wěn)定的。利用系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布、bode圖、nyquist()函數(shù)、系統(tǒng)的根軌跡分析等方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也是系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容之一。（5）研究系統(tǒng)的校正。通過對系統(tǒng)的分析，提出系統(tǒng)的校正方案。1.2.3系統(tǒng)控制

系統(tǒng)控制，就是可以通過控制系統(tǒng)改變系統(tǒng)內(nèi)任何感興趣、可變化的量，使被控制對象按照所希望的方式趨于和保持某種需要的理想穩(wěn)定狀態(tài)。LTI自動(dòng)控制系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)的一種，大多數(shù)是閉環(huán)的反饋系統(tǒng)。1.控制系統(tǒng)的分類控制系統(tǒng)有如下幾種分類方法。（1）按控制原理分類按控制原理的不同，自動(dòng)控制系統(tǒng)分為開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。開環(huán)控制系統(tǒng)：在開環(huán)控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出只受輸入的控制，控制精度和抑制干擾的特性都比較差。開環(huán)控制系統(tǒng)中，基于按時(shí)序進(jìn)行邏輯控制的稱為順序控制系統(tǒng)；由順序控制裝置、檢測元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)和被控工業(yè)對象所組成。主要應(yīng)用于機(jī)械、化工、物料裝卸運(yùn)輸?shù)冗^程的控制以及機(jī)械手和生產(chǎn)自動(dòng)線。閉環(huán)控制系統(tǒng)：閉環(huán)控制系統(tǒng)是建立在反饋原理基礎(chǔ)之上的，利用輸出量同期望值的偏差對系統(tǒng)進(jìn)行控制，可獲得比較好的控制性能。閉環(huán)控制系統(tǒng)又稱反饋控制系統(tǒng)。（2）按給定信號分類按給定信號分類，自動(dòng)控制系統(tǒng)可分為恒值控制系統(tǒng)、隨動(dòng)控制系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)。恒值控制系統(tǒng)：給定值不變，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度接近給定希望值的系統(tǒng)。如生產(chǎn)過程中的溫度、壓力、流量、液位高度、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速等自動(dòng)控制系統(tǒng)屬于恒值系統(tǒng)。隨動(dòng)控制系統(tǒng)：給定值按未知時(shí)間函數(shù)變化，要求輸出跟隨給定值的變化。如跟隨衛(wèi)星的雷達(dá)天線系統(tǒng)。程序控制系統(tǒng)：給定值按一定時(shí)間函數(shù)變化。如程控機(jī)床。2.控制系統(tǒng)的分析控制系統(tǒng)的分析包括動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的分析，可以運(yùn)用時(shí)域分析法、根軌跡法和頻域分析法以及狀態(tài)空間分析法。

1.3線性、時(shí)不變系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)滿足奇次性（比例性）和可疊加性，因此線性系統(tǒng)對信號的處理可應(yīng)用迭加定理，線性系統(tǒng)具有“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性。在連續(xù)線性系統(tǒng)中，若對兩個(gè)激勵(lì)和有：（1.3.1）式中a、b為任意常數(shù)，該式具有滿足疊加性和（或齊次性）的特點(diǎn)。不滿足該式的為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)具有“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性，可以由此判斷是否為線性系統(tǒng)。也可以從描述系統(tǒng)的方程來判斷是否為線性系統(tǒng)，以線性代數(shù)方程或線性微積分方程描述的系統(tǒng)方程，是線性系統(tǒng)。同樣在離散線性系統(tǒng)中，若滿足疊加性和比例性（或齊次性）特點(diǎn)的為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。例1-3-1驗(yàn)證線性系統(tǒng)。已知，驗(yàn)證該系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。解：驗(yàn)證系統(tǒng)是否滿足疊加原理。若：=3，則：

=4，則：得：而：，

由于該系統(tǒng)不滿足可加性，所以不是線性系統(tǒng)。也可以利用線性系統(tǒng)的“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性驗(yàn)證：因?yàn)楫?dāng)=0時(shí)，=6≠0，這不滿足線性系統(tǒng)的“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性，因此它不是線性系統(tǒng)。1.32.時(shí)不變（或移不變）性若系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)，則該系統(tǒng)為時(shí)不變（或離散的移不變）系統(tǒng)。1.連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)不變系統(tǒng)在連續(xù)系統(tǒng)中，組成系統(tǒng)的元器件參數(shù)不隨時(shí)間而變化，稱為時(shí)不變系統(tǒng)。該系統(tǒng)的特點(diǎn)是響應(yīng)的變化規(guī)律與激勵(lì)的時(shí)刻無關(guān)，即不管作用于系統(tǒng)的輸入信號時(shí)間先后，對應(yīng)輸出響應(yīng)信號的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。輸入信號先延時(shí)后進(jìn)行變換，與它先進(jìn)行變換后再延時(shí)，結(jié)果是等效的。2.離散系統(tǒng)的移不變系統(tǒng)由于在離散系統(tǒng)中時(shí)間的變化主要靠移位來實(shí)現(xiàn)，故一般也稱為移不變系統(tǒng)。序列先移位后進(jìn)行變換與它先進(jìn)行變換后再移位是等效的。1.3.3線性時(shí)不變（或移不變）系統(tǒng)在連續(xù)系統(tǒng)中，既滿足線性疊加原理又具有時(shí)不變特性，稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡稱為：LTI（LinearTimeInvariant）。在離散系統(tǒng)中，既滿足疊加原理又具有時(shí)不變（移不變）特性，即同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng)，簡稱為：LSI（LinearShiftInvariant）系統(tǒng)，它可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。離散卷積：1.3.4線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.齊次性2.疊加性3.線性4.時(shí)不變性5.微分性6.積分性1.4因果、穩(wěn)定系統(tǒng)

1.4.1因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)的定義：系統(tǒng)的輸出只取決于此時(shí)與此時(shí)以前的輸入，而與該時(shí)刻以后的輸入沒關(guān)系。通俗地說，就是系統(tǒng)無輸入信號的激勵(lì)就無響應(yīng)輸出，輸出不能超前于輸入，這樣的系統(tǒng)稱為“因果系統(tǒng)”。因果系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，就是說實(shí)際應(yīng)用的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。相反，不滿足上述關(guān)系的是非因果系統(tǒng)，也就是不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)。1.4.2穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)受到某種干擾時(shí)，在干擾消失后其所引起的系統(tǒng)響應(yīng)最終也隨之消失，即系統(tǒng)能夠回到干擾作用前的狀態(tài)，則該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。1.4.3因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)同時(shí)滿足因果性、穩(wěn)定性。

對于離散系統(tǒng)，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域?yàn)椋簉<|Z|≤∞（r<1）

對于因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。

穩(wěn)定的因果系統(tǒng)通常稱為“物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)”，非因果系統(tǒng)通常稱為“物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)”。與模擬系統(tǒng)不同的是，離散系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)非實(shí)時(shí)的非因果系統(tǒng)。1.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法1.5.1線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的意義在系統(tǒng)分析中，線性時(shí)不變系統(tǒng)分析具有重要意義，這是因?yàn)椋阂环矫?，?shí)際工作中的大多數(shù)系統(tǒng)在指定條件下可被近似為線性時(shí)不變系統(tǒng)；另一方面，線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)比較成熟，形成了較為完善的體系。因此，線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析也是研究時(shí)變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)。系統(tǒng)分析研究的主要問題：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵(lì)的響應(yīng)。具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。因此，分析線性系統(tǒng)一般必須首先建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后再進(jìn)一步求得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的解。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法可分兩類：一類稱為輸入、輸出描述法（外部法）；另一類稱為狀態(tài)變量描述法（內(nèi)部法）。1.5.2系統(tǒng)分析的外部法輸入、輸出描述法著眼于系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系，并不涉及系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況。因而，這種方法對于單輸入、單輸出系統(tǒng)較為方便。一般而言，描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系，對連續(xù)系統(tǒng)是用常系數(shù)線性微分方程來描述，對離散系統(tǒng)是用常系數(shù)線性差分方程來描述。從系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解方法來講，基本上可分為時(shí)域方法和變換域方法兩類。1.時(shí)域分析法時(shí)域法是直接分析時(shí)間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時(shí)域特性。對于輸入-輸出描述的數(shù)學(xué)模型，可求解常系數(shù)線性微分方程或差分方程；對于狀態(tài)變量描述的數(shù)學(xué)模型，則需求解矩陣微分方程。在線性系統(tǒng)時(shí)域分析方法中，卷積方法非常重要，不管是在連續(xù)系統(tǒng)中的卷積還是在離散系統(tǒng)中的卷積和，都為分析線性系統(tǒng)提供了簡單而有效的方法。時(shí)域求解的基本思路：（1）把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求解。（2）把復(fù)雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個(gè)基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號所引起的響應(yīng)之和。2.變換域分析法變換域方法是將信號與系統(tǒng)的時(shí)間變量函數(shù)變換成相應(yīng)變換域的某個(gè)變量函數(shù)。變換域分析采用的數(shù)學(xué)工具：（1）卷積積分（連續(xù)系統(tǒng)）與卷積和（離散系統(tǒng)）。（2）傅里葉變換（連續(xù)系統(tǒng)）。（3）拉普拉斯變換（連續(xù)系統(tǒng)）。（4）Z變換（離散系統(tǒng)）。1.5.3系統(tǒng)分析的內(nèi)部法狀態(tài)變量描述法不僅可以給出系統(tǒng)的響應(yīng)，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變量的情況，特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)（MIMO）。用這種方法建立的數(shù)學(xué)式為一階標(biāo)準(zhǔn)形式，便于計(jì)算機(jī)求解。狀態(tài)變量分析法還適用于時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，己成為系統(tǒng)理論與近代控制工程的基礎(chǔ)。狀態(tài)變量分析法既適用于時(shí)域分析法又適用于變換域方法。狀態(tài)變量分析法不是本書學(xué)習(xí)內(nèi)容。1.6LTI系統(tǒng)模型在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型有5種形式：傳遞函數(shù)模型（tf），是系統(tǒng)的外部模型。包括傳遞函數(shù)模型的其他表現(xiàn)形式：零極點(diǎn)增益模型（zpk）、部分分式模型。狀態(tài)方程模型（ss），是系統(tǒng)的內(nèi)部模型?？驁D模型。用圖框形式表現(xiàn)系統(tǒng)模型，我們分別以傳遞函數(shù)的形式建立了各部件的模型后，可用框圖模型將它們有機(jī)地組合成完整的控制系統(tǒng)。MATLAB可用來完成框圖模型的化簡變換。1.6.1傳遞函數(shù)模型由于傳遞函數(shù)具有多項(xiàng)式之比的形式，因此實(shí)際上傳遞函數(shù)模型與部分分式模型是同一模型的不同表述方法。可使用residue()函數(shù)進(jìn)行形式轉(zhuǎn)換。多項(xiàng)式按s的降冪排列，缺項(xiàng)補(bǔ)零。傳遞函數(shù)的定義為經(jīng)過零極點(diǎn)對消之后的輸入、輸出關(guān)系，當(dāng)分子分母有公因式時(shí)，必須消除。1.6.2零極點(diǎn)增益與部分分式模型1.零極點(diǎn)增益模型零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行因式分解處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式：K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn)。通過求取系統(tǒng)的零、極點(diǎn)、增益模型直接獲得系統(tǒng)的零極點(diǎn)，從而可以直接對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)作出判斷。在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用[z,p,k]矢量組表示。2.部分分式模型在線性系統(tǒng)中，特別是控制系統(tǒng)常用到并聯(lián)系統(tǒng)，這時(shí)就要對系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，使其表現(xiàn)為一些基本控制單元的和的形式。1.6.3狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間法（state-spacetechniques）是現(xiàn)代控制理論中建立在狀態(tài)變量描述基礎(chǔ)上的對控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。不是本書學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解即可。

1.6.4模型的轉(zhuǎn)換除框圖模型外，傳遞函數(shù)模型、零極增益模型、狀態(tài)空間模型這些模型之間可以互相轉(zhuǎn)換，模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括：residue：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換tf2zp：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型zp2tf：零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2tf：狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp：狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型tf2ss：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型zp2ss：零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型1.6.5minreal()函數(shù)與最小實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義為經(jīng)過零極點(diǎn)對消之后的“輸入-輸出”關(guān)系，當(dāng)分子分母有公因式時(shí)，必須消除。minreal()函數(shù)，可完成最小實(shí)現(xiàn)模型或零極點(diǎn)對消。最小實(shí)現(xiàn)是一種模型的實(shí)現(xiàn)，它消除了模型中過多的或不必要的狀態(tài)。對傳遞函數(shù)或零極點(diǎn)增益模型，這等價(jià)于將可彼此對消的零極點(diǎn)對進(jìn)行對消。使用方法如下：（1）sysr=minreal(sys)：消除在狀態(tài)空間模型中的不可控制狀態(tài)或不可察覺狀態(tài)、在傳遞函數(shù)或零極點(diǎn)增益模型中對消零極點(diǎn)對。輸出sysr具有最小階次，并與原模型系統(tǒng)sys具有相同的響應(yīng)特性。（2）sysr=minreal(sys,tol)：指定精度，用于狀態(tài)消除或零極點(diǎn)對消。默認(rèn)值tol=sqrt(eps)。（3）[sysr,u]=minreal(sys,tol)：對于狀態(tài)空間模型sys，返回一個(gè)正交矩陣U。1.7LTI系統(tǒng)的連接

一個(gè)完整的系統(tǒng)是由許多子系統(tǒng)組成的，子系統(tǒng)的連接方式一般有串聯(lián)（級聯(lián)）、并聯(lián)、混聯(lián)和反饋連接4種。1.7.1系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)接與series()函數(shù)

series()函數(shù)串聯(lián)連接兩個(gè)LTI模型。此函數(shù)接受任何類型的LTI模型。這兩個(gè)系統(tǒng)必須是兩個(gè)連續(xù)或兩個(gè)采樣時(shí)間完全相同的離散系統(tǒng)。（1）sys=series(sys1,sys2)：串聯(lián)連接兩個(gè)LTI模型sys1和sys2。該連接的系統(tǒng)函數(shù)相當(dāng)于兩個(gè)系統(tǒng)函數(shù)直接相乘：

sys=sys2*sys1（2）sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)：多串聯(lián)連接形式。outputs1指定sys1要連接的輸出端，inputs2指定sys2要連接的輸入端。1.7.2系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)接與parallel()函數(shù)parallel()函數(shù)并聯(lián)連接兩個(gè)LTI模型。此函數(shù)接受任何類型的LTI模型。這兩個(gè)系統(tǒng)必須是兩個(gè)連續(xù)或兩個(gè)采樣時(shí)間完全相同的離散系統(tǒng)。（1）sys=parallel(sys1,sys2)：并聯(lián)連接兩個(gè)LTI模型sys1和sys2。如圖1-7-3所示。該連接相當(dāng)于兩個(gè)系統(tǒng)直接相加：

sys=sys2+sys1（2）sys=parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2)：多并聯(lián)連接形式。out1、out2指定sys1、sys2要連接的輸出端，inp1、inp2指定sys1、sys2要連接的輸入端。1.7.3.系統(tǒng)增廣聯(lián)接與append()函數(shù)append()函數(shù)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)增廣聯(lián)接。追加并成組LTI模型的輸入、輸出。系統(tǒng)增廣聯(lián)接的結(jié)構(gòu)圖如圖1-7-5所示。語法如下：sys=append(sys1,sys2,...,sysN)（1）如果系統(tǒng)以傳遞函數(shù)H1(s),

.

.

.

,

HN(s)形式，由此產(chǎn)生的系統(tǒng)sys是塊對角傳遞函數(shù)形式。1.7.4閉環(huán)系統(tǒng)與輸出反饋系統(tǒng)的連接輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1-7-7所示。使用函數(shù)connect（可以取代cloop函數(shù)）得到閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。connect()函數(shù)把給定的塊圖互連，構(gòu)造一個(gè)LTI的聚合模型?？梢酝ㄟ^兩種方式指定塊圖的連接：基于名稱的連接與基于索引的連接。1.基于名稱的連接

（1）連接函數(shù)cloop()和connect()函數(shù)（注意兩者使用方法）使用connect()函數(shù)，各系統(tǒng)的輸入、輸出信號端口都用指定名稱進(jìn)行連接（也可完成閉環(huán)）。使用cloop()函數(shù)可得到閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。語法如下：sys=connect(sys1,sys2,...,inputs,outputs)：inputs和outputs是塊的外部I/O接點(diǎn)的名稱，可使用串或串的單元數(shù)組指定。

[numc,denc]=cloop(num,den,sign)：輸入開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，左變量返回系統(tǒng)的閉環(huán)參數(shù)，numc為分子多項(xiàng)式系數(shù)向量，denc為分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；右變量中的sign=1為正反饋，sign=-1為負(fù)反饋。sign的缺省值為-1。（2）匯總函數(shù)sumblk()函數(shù)sumblk()用于匯總基于名稱連接的接點(diǎn)。語法如下：S=sumblk(OUTPUT,INPUT1,...,INPUTn)：返回轉(zhuǎn)移函數(shù)S，用于匯總接點(diǎn)，OUTPUT=INPUT1+...+INPUTn。S=sumblk(OUTPUTNAME,INPUT1,...,INPUTn,SIGNS)：指定每一個(gè)輸入信號的符號。例如圖1-7-7：s=sumblk('e','x','y','+-')指定e=x–y。例：基于名稱的連接C.InputName='e';C.OutputName='u';G.InputName='u';G.OutputName='y';Sum=sumblk('e',‘x','y','+-');T=connect(G,C,Sum,‘x','y')如果C是2個(gè)輸入端，G是2個(gè)輸出端的MIMO系統(tǒng)，獲得系統(tǒng)函數(shù)T：C.InputName={'e1','e2'};C.OutputName={'u1','u2'};G.InputName=C.OutputName;G.OutputName={'y1','y2'};x={'x1','x2'};Sum=sumblk(C.InputName,x,G.OutputName,'+-');T=connect(G,C,Sum,x,G.OutputName)2.基于索引的連接在此方法中，首先使用append()函數(shù)將所有的LTI塊追加、組合成一個(gè)聚合、無連接的模型blksys。然后，構(gòu)建一個(gè)矩陣Q，其中每一行指定一個(gè)連接，或匯總（sum）blksys的輸入向量u和輸出向量y的接點(diǎn)。最后，使用connect()函數(shù)連接成系統(tǒng)。例如：[3200]表示y(2)反饋到u(3)。[72-156]表示y(2)-y(15)+y(6)反饋到u(7)。例：>>blksys=append(C,G);%u=inputstoC,G.u輸入到C、G。y=outputsofC,G.而y是CG的輸出>>Q=[21;1-2];%y(1)反饋到u(2)，y(2)負(fù)反饋到u(1)>>T=connect(blksys,Q,1,2)%ExternalI/Os:x輸入u(1)，y輸出是y(2)例1-7-5求單位輸出反饋系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。一個(gè)單位輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖1-7-8所示，求其閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解：（1）基于名稱的連接num=[0012];den=[120];sys=tf(num,den);sys.InputName='e';sys.OutputName='y';Sum=sumblk('e','x','y','+-');G=connect(sys,Sum,'x','y')（2）基于索引的連接num=[0012];den=[120];sys=tf(num,den);blksys=append(sys);Q=[1-1];G=connect(blksys,Q,1,1)（3）也可以使用cloop函數(shù)實(shí)現(xiàn)：>>num=[0012];den=[1,2,0];>>[nc,dc]=cloop(num,den,-1);>>printsys(nc,dc)求出閉環(huán)系統(tǒng)函數(shù)：12------------------s^2+2s+121.7.5輸出反饋聯(lián)接與feedback()函數(shù)feedback()函數(shù)生成LTI模型的反饋連接，函數(shù)使用方法如下。1.一般的閉環(huán)反饋系統(tǒng)模型（1）sys=feedback(sys1,sys2,-1)：返回一個(gè)負(fù)反饋連接sys1、sys2的LTI模型sys。默認(rèn)，-1可以省略。如圖1-7-9所示。（2）sys=feedback(sys1,sys2,+1)：返回一個(gè)正反饋連接sys1、sys2的LTI模型sys。閉環(huán)模型sys有一個(gè)輸入向量x和輸出向量y。sys1、sys2必須都是連續(xù)或具有同樣抽樣時(shí)間的離散系統(tǒng)。例1-7-6求負(fù)反饋系統(tǒng)。已知系統(tǒng)函數(shù)為：、，求其負(fù)反饋系統(tǒng)。H1=tf([251],[123],'inputname','x',...'outputname','y');H2=tf([510],[110]);Cloop=feedback(H1,H2)程序運(yùn)行結(jié)果，該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

2.通用的閉環(huán)反饋系統(tǒng)模型（1）sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,-1)：計(jì)算更通用的負(fù)反饋循環(huán)的閉環(huán)模型系統(tǒng)sys。默認(rèn)，-1可以省略。如圖1-7-10所示。（2）sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,+1)：計(jì)算更通用的正反饋循環(huán)的閉環(huán)模型系統(tǒng)sys。向量feedin包含sys1的輸入向量的索引，并指定輸入向量x的所涉及的反饋。同樣，feedout指定sys1的輸出y用于反饋的元素。由此產(chǎn)生的LTI模型系統(tǒng)sys有與sys1相同的輸入和輸出，并保留它們的順序。3.單位輸出反饋feedback()函數(shù)也可用于單位輸出反饋，如圖1-7-12所示。圖1-7-12(a)：Cloop=feedback(G,1)%leftdiagram圖1-7-12(b)：Cloop=feedback(1,G)%rightdiagram例如，例1-7-5的單位輸出負(fù)反饋模型，可用下列程序?qū)崿F(xiàn)：>>num=[0012];den=[120];>>sys=tf(num,den);>>G=feedback(sys,1)第2章信號的時(shí)域分析

信號的時(shí)域分析是在時(shí)域中對信號的時(shí)間函數(shù)的波形、組成等分析，即用不同的時(shí)間函數(shù)描述具有不同形態(tài)信號波的形成是信號的時(shí)頻分析，也稱為波形分析。2.1連續(xù)周期信號及分析2.1.1連續(xù)周期信號連續(xù)信號（模擬信號），包括周期性和非周期性信號，其信號存在于整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，常用的包括正弦信號，方波信號，三角波信號，實(shí)指數(shù)信號，單位沖激信號，單位階躍信號，斜坡信號，指數(shù)調(diào)制正弦信號，等等。1.正弦波使用正弦或余弦函數(shù)sin()、cos()函數(shù)生成連續(xù)正弦波，自變量用角頻率與時(shí)間t的乘積代替。（2.1.1）其中，A為正弦波幅度，角頻率=2πf，f為正弦波頻率，單位為Hz，φ為相位角，單位為弧度。2.周期方波與正弦波類似，使用square()函數(shù)生成連續(xù)周期性方波，其用法如下：

y

=

square(t,duty)。以時(shí)間向量t為自變量，產(chǎn)生周期為2π的周期方波。duty是0～100之間的數(shù)字，指定方波的占空比，省略時(shí)，默認(rèn)占空比為50%。>>t=-10:0.001:10;>>y=square(t);>>plot(t,y,'r');title('周期方波');axis([-10,10,-1.5,1.5]);>>line([-11,11],[0,0],'Color','b','LineWidth',1);程序運(yùn)行后生成連續(xù)時(shí)間信號周期性方波，如圖2-1-2所示。3.鋸齒波和三角波鋸齒波和三角波使用sawtooth()函數(shù)，其用法如下：（1）sawtooth(t)：產(chǎn)生幅度為±1，周期為2π的周期鋸齒波。t是時(shí)間向量。（2）sawtooth(t,width)：產(chǎn)生幅度為±1，周期為2π的周期鋸齒波或三角波。width是一個(gè)0～1之間的標(biāo)量，用于確定最大值的位置，當(dāng)t從0增大到width*2π時(shí)，函數(shù)值從-1上升到1；當(dāng)t從width*2π增大到2π時(shí)，函數(shù)值從1下降到-1。當(dāng)width=0.5時(shí)，產(chǎn)生三角波；當(dāng)width=1時(shí)，與sawtooth(t)相同產(chǎn)生鋸齒波；當(dāng)width=0時(shí)，也產(chǎn)生鋸齒波，但鋸齒反向。例>>t=-10:0.001:10;>>y=sawtooth(t,0.5);>>plot(t,y,'r');title('三角波');>>line([-10,10],[0,0],'Color','b','LineWidth',1);程序運(yùn)行后生成連續(xù)時(shí)間信號周期性三角波，如圖2-1-3所示。2.1.2連續(xù)周期信號的時(shí)域分析1.連續(xù)周期信號的時(shí)域描述一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號若在（-∞~+∞）區(qū)間，以T0為周期，周而復(fù)始地重復(fù)再現(xiàn)，則稱為周期信號，其表示式是

（2.1.2）

式中T0為周期，頻率f0=1/T0或基本角頻率=2π/T0，n為正整數(shù)。顯然，2T0，3T0…也是該信號的周期，通常把最小周期T0稱為基本周期，f0或分別稱為基本頻率或基本角頻率。但在實(shí)際中為了方便經(jīng)常不加區(qū)別地統(tǒng)稱為基頻，而把具有W的時(shí)間函數(shù)稱為基波，相應(yīng)的2W，3W…的時(shí)間函數(shù)稱為2次諧波，3次諧波等等。用一類時(shí)間函數(shù)的集合來描述一個(gè)周期信號稱為周期信號的時(shí)域分析。將周期信號用無窮多的傅立葉級數(shù)來表示，其主要形式有2種：周期信號的三角形式。指數(shù)形式。2.周期信號的三角表示法任何一種周期信號，只要滿足狄里赫利條件就可以用三角函數(shù)（正弦型函數(shù)）的線性組合來表示，稱為三角形式的傅立葉展開，即

（2.1.3）

式中a0是常數(shù)，所以第一項(xiàng)表示直流分量。n為正整數(shù)，n=1表示基波、2、二次諧波、n次諧波等等。該式說明a0是信號在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，它表示信號的直流分量。至此，若已知周期信號就可以利用上述各式求得傅立葉系數(shù)a0、an、bn，并將展開為傅立葉級數(shù)的三角形式。由此可得出以下重要結(jié)論：周期信號可分解為直流，基波和各次諧波（基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合。奇函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)后，直流分量和余弦項(xiàng)為零，正弦項(xiàng)不為零。偶函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)后，正弦項(xiàng)為零，直流分量和余弦項(xiàng)不為零。3.周期信號的復(fù)指數(shù)表示法根據(jù)尤拉公式可知，三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系，將尤拉公式代入式（2.1.3）得

（2.1.7）

該式稱為復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)表示式。它表明一個(gè)周期信號可以由無限多個(gè)復(fù)指數(shù)信號所組成，W是基波頻率，nW是n次諧波頻率，它們的振幅和相位由cn決定，可求得如下結(jié)果：

（2.1.8）

可見，系數(shù)cn是個(gè)復(fù)數(shù)而且是離散變量nW的函數(shù)（n是整數(shù)，從-∞～+∞）。三角傅立葉級數(shù)和復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)實(shí)質(zhì)上不是兩種不同類型的級數(shù)，而是同一級數(shù)的兩種不同表現(xiàn)形式。

2.2連續(xù)非周期信號

常用的非周期信號有：非周期方波信號、單位沖激信號、單位階躍信號、斜坡信號、實(shí)指數(shù)信號、指數(shù)調(diào)制正弦信號，等等。單位沖激信號、單位階躍信號不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)，在信號與系統(tǒng)分析中有非常重要的特殊作用。這里將重點(diǎn)討論階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。2.2.1非周期方波信號非周期方波信號，也叫矩形脈沖信號、門信號。使用rectpuls()函數(shù)生成，其語法如下：（1）rectpuls(t)：產(chǎn)生高度為1、寬度為1，關(guān)于t=0對稱的門信號。（2）rectpuls(t，w)：產(chǎn)生高度為1、寬度為w，關(guān)于t=0對稱的門信號。（3）rectpuls(t-t0，w)：產(chǎn)生高度為1、寬度為w，關(guān)于t=t0對稱的門信號。例2-2-1產(chǎn)生高度為1、寬度為w=3，關(guān)于t0=2的門信號。程序如下：t=-2:0.0002:6;x=rectpuls(t-2，3);plot(t，x);axis([-1，6，0，1.2]);title('門信號');xlabel('(t)');ylabel('x=rectpuls(t-2，3)');gridon程序運(yùn)行后生成的門信號，如圖2-2-1所示。2.2.2非周期三角波tripuls()函數(shù)生成采樣非周期三角波。其語法如下：（1）y

=

tripuls(T)：按數(shù)組T中給出的時(shí)間向量，返回一個(gè)連續(xù)的、非周期、對稱，單位高度的三角脈沖，中心關(guān)于T=0對稱，默認(rèn)寬度為1。（2）y

=

tripuls(T,w)：生成中心關(guān)于T=0對稱，寬度為w的三角脈沖。（3）y

=

tripuls(T,w,s)：生成中心關(guān)于T=0，寬度為w的三角脈沖。s決定頂點(diǎn)的位置，取值：-1

<

s

<

1，s為負(fù)值如-0.5時(shí)，頂點(diǎn)的位置在中點(diǎn)的左邊，w的50%處，反之亦然。如果s=0，與y

=

tripuls(T,w)相同。例2-2-2生成非周期三角波fs=10000;t=-10:1/fs:10;w=4;x=tripuls(t,w,-0.5);figure,plot(t,x)xlabel('Time(sec)');ylabel('Amplitude');title('TriangularAperiodicPulse')程序運(yùn)行后生成的非周期三角波信號，如圖2-2-2所示。2.2.3抽樣信號1.抽樣信號（Sample）的定義是：（2.2.1）它是一個(gè)以2π的為周期的、幅度隨x單調(diào)衰減震蕩的信號，在信號分析、通信理論和自動(dòng)控制等理論中有廣泛的應(yīng)用，例如：t=-10:0.002:10;%向量t時(shí)間范圍t=t1:p:t2,p為時(shí)間間隔f=sin(t)./t;plot(t,f);xlabel('(t)');ylabel('f(t)')axis([-10,10,-0.4,1.1])grid2.與抽樣信號變化規(guī)律相同的有“辛格函數(shù)（Singer）”，定義為：（2.2.2）該函數(shù)的意義是寬度為2π高度為1的矩形脈沖的傅里葉反變換，（2.2.3）3.周期性的sinc()函數(shù)也稱為“狄利克雷（Dirichlet）”函數(shù)“diric()”。在MATLAB中，可以使用sinc()函數(shù)得到抽樣信號Sa(x)，程序如下：t=-10:1/500:10;x=sinc(t/pi);plot(t,x);axis([-12,12,-0.5,1.2]);%line([-12,12],[0,0]);title('抽樣信號');grid程序運(yùn)行后生成的單位抽樣信號，如圖2-2-3所示。2.2.4單邊實(shí)指數(shù)信號單邊實(shí)指數(shù)信號表示為：（2.2.4）

e(t)表示階躍信號，例如實(shí)指數(shù)信號：x(t)=3e^(-0.5t)，其實(shí)現(xiàn)程序如下：clearallE=3;a=0.5;t=0:0.001:3;x=E*exp(-a*t);plot(t,x)title('實(shí)指數(shù)信號');程序運(yùn)行后生成的單邊實(shí)指數(shù)信號，如圖2-2-5所示。在實(shí)指數(shù)信號中，有以下規(guī)律：當(dāng)a<0時(shí)，信號將隨時(shí)間而增長。當(dāng)a>0時(shí)，信號將隨時(shí)間而衰減。當(dāng)a=0時(shí)，信號不隨時(shí)間而變化，為直流信號，電壓為E。t=1/a為指數(shù)信號的時(shí)間常數(shù)，t越大，指數(shù)信號增長或衰減的速率越慢。2.2.5復(fù)指數(shù)信號

復(fù)指數(shù)信號實(shí)際上并不存在，但可以用它描述許多信號。表示形式為：（2.2.5）

復(fù)指數(shù)信號實(shí)部、虛部都為正（余）弦信號，指數(shù)因子實(shí)部

表征實(shí)部與虛部的正、余弦信號的振幅隨時(shí)間變化的情況，

表示信號隨角頻率變化的情況。

>0時(shí)，為增幅震蕩正、余弦信號。

<0時(shí)，為減幅震蕩正、余弦信號。

=0時(shí)，為等幅震蕩正、余弦信號。

=0時(shí)，為實(shí)指數(shù)號。

=0,=0時(shí)，為直流信號。2.3奇異信號與連續(xù)非周期信號的時(shí)域分析單位階躍信號、單位斜坡信號與單位沖激函數(shù)都是奇異信號，它們在信號分析和處理中有特殊的作用。2.3.1單位階躍信號與單位斜坡信號1.單位斜坡信號斜坡信號的定義是：（2.3.1）其中h是函數(shù)的斜率，即高度與時(shí)間距離之間的比率。其意義是，當(dāng)時(shí)間到達(dá)某一時(shí)刻t0時(shí)，函數(shù)達(dá)到其幅度值當(dāng)h=1、t0=0時(shí)，為斜率為1:1，起點(diǎn)在原點(diǎn)的斜坡函數(shù)，該函數(shù)成為單位斜坡函數(shù)，其定義如下：

（2.3.2）單位斜坡函數(shù)的MATLAB實(shí)現(xiàn)程序如下：>>

t=-2:0.02:2;>>f=t;>>plot(t,f)>>axis([-2,3,0,2.2]);>>title('單位斜坡信號');程序運(yùn)行后生成的斜坡信號，如圖2-3-1所示。2.單位階躍信號（1）一般階躍信號的定義是：（2.3.3）其中h是函數(shù)的幅度值。其意義是，當(dāng)時(shí)間到達(dá)和超過某一時(shí)刻t0時(shí)，函數(shù)達(dá)到其幅度值h，在其它時(shí)刻函數(shù)值為0。顯然，階躍函數(shù)具有電路中“開關(guān)”的作用，在開關(guān)沒有閉合時(shí)，電路中電壓為0，若在t0時(shí)開關(guān)閉合，使電路電壓為電源的電壓值h。當(dāng)h=1、t0=0時(shí)，該函數(shù)成為單位階躍函數(shù)，又稱為“赫維賽德”階躍函數(shù)，t0≠0時(shí)，為延遲“赫維賽德”階躍函數(shù)。該類型的信號就是單位階躍信號。其定義如下：（2.3.4）單位階躍函數(shù)的MATLAB實(shí)現(xiàn)程序如下：

>>t=-2:0.02:2;>>u=(t>=0);>>stairs(t,u);>>axis([-2,2,0,1.2]);>>title('單位階躍信號');在此使用了stairs()函數(shù)取代plot()函數(shù)繪制，程序運(yùn)行后生成的單位階躍信號，如圖2-3-2所示。（2）在符號運(yùn)算中，直接使用MATLAB的heaviside()函數(shù)生成單位階躍信號：t=-0.5:0.001:2;t0=0;u=heaviside(t-t0);plot(t,u)axis([-1201.2])title('單位階躍信號');3.階躍函數(shù)的性質(zhì)和用途（1）可以方便地表示某些信號例如，如圖2-3-5所示的一個(gè)矩形波信號，可表示為：。（2）利用階躍信號的單邊性表示信號的時(shí)間范圍，例如可以用階躍函數(shù)對信號進(jìn)行切割，來表示信號的作用區(qū)間，如圖2-3-6所示。

（3）積分運(yùn)算也可以用階躍函數(shù)表示：（2.3.6）2.3.2單位沖激信號

沖激信號的意義是，當(dāng)時(shí)間到達(dá)某一時(shí)刻t=0時(shí)，信號值為無窮大，在其它時(shí)刻信號的值為0。沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，是對強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義。（2.3.7）

單位沖激函數(shù)，又稱為“狄拉克（Dirac）”函數(shù)（由狄拉克最早提出）或δ函數(shù)。其定義如下：（2.3.8）沖激信號的物理意義，是寬度為t、高度為1/t，面積為1的矩形p(t)，當(dāng)寬度t趨向于0時(shí)的信號，即沖激信號是高度無窮大，寬度無窮小，面積（積分結(jié)果）為1的對稱窄脈沖。如圖2-3-7所示。單位沖激函數(shù)的完整定義為：（2.3.9）

當(dāng)單位沖激函數(shù)在t0時(shí)刻出現(xiàn)時(shí)，則可以得到一個(gè)延時(shí)的單位沖激函數(shù)，其定義如下：

（2.3.10）

具有δ函數(shù)性質(zhì)的信號就是單位沖激信號或δ信號，它是一個(gè)非常特殊的信號，又稱為奇異信號，它具有以下重要特性。1.加權(quán)特性（2.3.11）加權(quán)特性可以對信號進(jìn)行篩選，因此也叫篩選特性。2.抽樣特性（2.3.12）例如，則有：（2.3.13）3.尺度變換特性（2.3.14）由此得，（2.3.15）當(dāng)a=–1時(shí)，，所以單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)。一般使用離散信號的ones()和zeros()函數(shù)，生成沖激信號或沖激信號序列。在符號運(yùn)算中，使用狄拉克函數(shù)“dirac()”產(chǎn)生沖激函數(shù)。2.3.3沖激偶

沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，稱為單位二次沖激函數(shù)或沖激偶。如圖2-3-9所示。沖激偶有與沖激函數(shù)類似的特性：1.加權(quán)特性（2.3.16）（2.3.17）2.抽樣特性（2.3.18）（2.3.19）（2.3.20）例如，

圖2-3-9沖激偶3.尺度變換特性

（2.3.21）由此得，，（2.3.22）當(dāng)a=–1時(shí)，所以，為偶函數(shù)，而沖激偶為奇函數(shù)。沖激函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；其導(dǎo)數(shù)是一個(gè)沖擊偶，是一個(gè)奇函數(shù)。沖激偶有沖激函數(shù)類似的加權(quán)特性、抽樣特性和展縮（尺度變換）特性。2.3.3奇異信號之間的關(guān)系4種奇異信號之間具有一定的關(guān)系，可以互相轉(zhuǎn)換。除了沖激信號與沖激偶信號之間的微積分關(guān)系外，還存在下述的微積分關(guān)系。1.沖激信號與階躍信號關(guān)系沖激信號的積分是階躍信號：（2.3.23）階躍信號的微分是沖激信號：（2.3.24）例如一個(gè)方波信號，經(jīng)過微分后，在上升沿和下降沿分別產(chǎn)生一個(gè)正負(fù)沖激信號。2.斜坡信號與階躍信號關(guān)系斜坡信號的微分是階躍信號：（2.3.25）階躍信號的積分是斜坡信號：（2.3.26）2.3.4非周期信號的時(shí)域分析

凡信號波形在區(qū)間，不重復(fù)再現(xiàn)，信號函數(shù)不存在，T0是一個(gè)常數(shù)，表示為周期（以后用T表示），則該信號稱為連續(xù)時(shí)間非周期信號。從數(shù)學(xué)上可以認(rèn)為，它是周期信號在重復(fù)周期趨于無限的極限情況。因此非周期信號也可視如周期信號，以常見的基本信號為基礎(chǔ)，在時(shí)間域?qū)λM(jìn)行描述。1.利用沖激函數(shù)表示非周期信號

一個(gè)非周期信號，可以近似地用一系列窄脈沖的線性組合來表示。

最后求得的準(zhǔn)確表示式為：（2.3.27）

該式表明任何一個(gè)非周期信號可以由一系列不同強(qiáng)度的信號，作用于不同時(shí)刻的沖激信號的線性組合來表明。該式稱為卷積積分，簡稱卷積。通常用下列符號表示卷積運(yùn)算：即（2.3.28）式（2.3.27）、（2.3.28）表明，任意連續(xù)時(shí)間函數(shù)與沖激函數(shù)相卷積仍等于原來時(shí)間函數(shù)。

同理，兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號相卷積可寫成：（2.3.29）即

（2.3.30）

將非周期信號分解為沖激信號的線性組合，對線性系統(tǒng)的時(shí)域分析具有重要理論意義和實(shí)際意義。因?yàn)橐坏┣蟮孟到y(tǒng)對單位沖激信號的響應(yīng)，則對任意信號的響應(yīng)就等于一系列沖激響應(yīng)的疊加。卷積運(yùn)算符合交換律，可以采用解析法、圖解法以及利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。2.利用階躍函數(shù)表示非周期信號信號還可以近似地通過一系列不同時(shí)刻的階躍信號的線性疊加來表示，即（2.3.31）

該式是用階躍信號表示任何非周期信號的表達(dá)式。它說明非周期信號在時(shí)域可分解為一系列不同幅度，作用于不同時(shí)刻的階躍信號的線性組合。在等式右邊的積分稱為杜阿密爾積分（DuHamel’sintegrals）。例如，如圖2-2-10所示，寬度為t，高度為A的矩形脈沖，可以用兩個(gè)單位階躍信號和的差表示：（2.3.32)

定義在有限區(qū)間，而且是矩形，當(dāng)A=1、t=1時(shí)，該函數(shù)常被稱為單位矩形窗函數(shù)。圖2-3-10用單位階躍信號表示的矩形脈沖2.4離散時(shí)間信號

2.4.1序列1.離散信號的定義離散時(shí)間信號可以從兩個(gè)方面來定義：（1）離散信號是只在一系列離散的時(shí)間點(diǎn)n、k(n、k=0,±1,±2,…)上才有確定值的信號，而在其它的時(shí)間上無意義，因此它在時(shí)間上是不連續(xù)的序列，并且是離散時(shí)間變量n、k的函數(shù)。在數(shù)學(xué)上，離散時(shí)間信號表示為數(shù)的序列，記為[x(n)]、[f(k)]，或用集合符號表示為{x(n)}、{f(k)}。第n、k個(gè)數(shù)記為x(n)、f(k)，為方便起見就簡單地用x(n)、f(k)表示，這就是“序列”。時(shí)間上和幅度上都取離散值的信號則稱為數(shù)字信號。如圖2-4-1(a)所示。（2）連續(xù)時(shí)間信號（模擬信號）若在數(shù)字傳輸系統(tǒng)中傳輸，首先需要對其采樣（即離散化），采樣后的結(jié)果就是離散信號，用f(kT)或x(nT)表示，T為抽樣周期，一般簡寫為f(k)、x(n)。將得到的離散時(shí)間信號再進(jìn)行量化，得到的就是數(shù)字信號。換句話說數(shù)字信號是離散時(shí)間信號量化的結(jié)果，如圖2-4-1(b)所示。盡管獨(dú)立變量n、k不一定表示物理意義上的“時(shí)間”，例如可以是溫度、距離等。但一般把x(n)看作是時(shí)間的函數(shù)，n代表“時(shí)間”。在坐標(biāo)系中橫軸為“時(shí)間”自變量n軸，只有整數(shù)值有意義；縱軸是函數(shù)軸，其線段的長度代表各序列值的大小。2.獲得離散信號的方法

離散信號的獲取方法有兩種：直接獲?。簭膽?yīng)用實(shí)踐中直接取得離散信號，例如人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，氣象站每隔一定時(shí)間測量的溫度、風(fēng)速等數(shù)據(jù)。從連續(xù)信號取樣：把連續(xù)時(shí)間信號x(t)進(jìn)行取樣獲得離散信號。取樣間隔一般為均勻間隔，簡化記為x(n)。3.離散信號的描述方法

離散信號的描述方法有3種：（1）數(shù)學(xué)解析式例如：（2.4.1）（2）序列形式：用序列的瞬時(shí)值表示序列。例如上例數(shù)學(xué)解析式可用序列形式表示為：（2.4.2）（3）圖形形式。在圖形（波形）中用線段的長度表示序列的瞬時(shí)值。數(shù)學(xué)解析式和序列形式可用圖形形式表示，如圖2-4-2所示。。根據(jù)離散變量的取值，序列又常分為以下3種形式：雙邊序列：單邊序列：有限序列：4.數(shù)字角頻率與模擬角頻率的關(guān)系由于離散信號定義的時(shí)間為nT，顯然有：其關(guān)系如下：為抽樣頻率，k為抽樣頻率倍數(shù)；（f0或W0）為正弦波信號模擬頻率，單位為Hz（或rad/s）。稱為歸一化頻率，即數(shù)字頻率是歸一化頻率的倍。w0表示相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。注意：模擬角頻率W0的單位是rad/s，而數(shù)字角頻率w0的單位為弧度：rad。數(shù)字角頻率的帶寬是有限的，w0

取值范圍是或，這也是與模擬頻率的較大區(qū)別點(diǎn)之一。2.4.2常見的離散信號1.離散周期正弦信號離散周期正弦信號可由連續(xù)周期正弦信號采樣而來：（2.4.4）其中，A為正弦波幅度，為離散信號序列的角頻率，也叫數(shù)字角頻率，φ為相位角，單位是弧度（rad），fs為采樣頻率，單位為Hz。2.單位沖激脈沖序列（1）沖激脈沖序列也叫單位樣值信號等，其定義如下：

（2.4.5）當(dāng)n0=0時(shí)，上述定義為單位沖激脈沖序列，只有n=0處有一單位值1，其余點(diǎn)上為0。在數(shù)字系統(tǒng)中，序列d(n)也稱為離散沖激，或簡稱沖激，這是一種最常用也最重要的序列，它在離散時(shí)間系統(tǒng)中d(t)的作用，類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中單位沖激函數(shù)所起的作用。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，d(t)的脈寬為零，幅度為∞，是一種數(shù)學(xué)極限，并非現(xiàn)