高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題41 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系8題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（解析版）

專題41直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系8題型分類1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．（一）判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．題型1：直線與圓位置關(guān)系的判斷1-1．（2024·河北張家口·二模）已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解.【詳解】利用圓心距和半徑的關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.由題意可得，于是，所以直線和圓相切.故選:C.1-2．（2024·安徽蚌埠·三模）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】判斷出直線的定點坐標，然后判斷定點與圓的位置關(guān)系，進而可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】已知直線過定點，將點代入圓的方程可得，可知點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.1-3．（2024高三·黑龍江綏化·階段練習(xí)）若直線與圓相交，則點（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】B【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：，即，據(jù)此可得：點與圓的位置關(guān)系是點在圓外.故選：B.題型2：圓上的點到直線距離個數(shù)問題2-1．（2024高二上·四川·期末）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓的方程可知圓心和半徑，根據(jù)條件列不等式求解即可.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為2，因為圓上的點到直線的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得.故選:A.2-3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求得符合題意條件的R的取值范圍，即可做出判斷.【詳解】圓C：的圓心，半徑R點C到直線的距離為圓C上恰好存在2個點到直線的距離為1，則故選：B2-4．（2024高三上·貴州貴陽·期末）若圓上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出與直線平行且到直線的距離為的直線的方程分別為、，由題意可知，這兩條直線與圓都相交，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】將圓的方程化為標準方程為，圓心為，半徑為，設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.（二）弦長問題①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．題型3：弦長問題3-1．（2024·寧夏銀川·三模）已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.【答案】9【分析】根據(jù)題意可知直線l恒過定點，分別求得直線被圓截得弦長的最大值和最小值，利用對稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點；圓心，半徑；所以當直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑；易知，當圓心與的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；

此時弦長為，所以截得的弦長為整數(shù)可取；由對稱性可知，當弦長為時，各對應(yīng)兩條，共8條，當弦長為8時，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：93-2．（2024·廣東深圳·二模）過點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.【答案】【分析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，由弦長求出圓心到直線的距離，分析可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式求出，即可得解.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若弦長，則圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.故答案為：3-3．（2024·全國）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長，以及點到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．3-4．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知直線：與圓：交于，兩點，則．【答案】【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點線距離公式求圓心到直線的距離，再由幾何法求弦長即可.【詳解】由，故圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，∴．故答案為：（三）1.當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.注意驗證斜率不存在的情況．2.常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．題型4：切線問題4-1．（2024·河南開封·三模）已知點，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點P，則．【答案】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系作出切線，求得，再用兩角和與差的正切公式即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為C點，則，，則點在圓上，且，由與圓相切可得：，則，，則，故，則，從而可得,故答案為：.4-2．（2024·北京·模擬預(yù)測）經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相切，由圓心到直線的距離相等，分直線的斜率不存在和存在討論求解.【詳解】解：圓的標準方程為：，當直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離相等，即，化簡得，解得，，綜上：直線方程為：，故答案為：4-3．（2024高三上·貴州·開學(xué)考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)圓的切線長公式，結(jié)合，利用圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，如圖所示，根據(jù)圓的切線長公式，可得，則，,當取最小值時，取最小值，又，所以此時最小，也最小，取最小值，圓心到直線的距離，則，此時，則.故答案為：.4-4．（2024高三上·湖北·開學(xué)考試）已知過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用圓的切線長公式，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)切點為，因為，可得，所以切線長為.故答案為：.4-5．（2024高二下·上海楊浦·期中）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為．【答案】【分析】設(shè)過點的切線與圓相切于點，分析可知當與直線垂直時，取最小值，再利用勾股定理可求得切線長的最小值.【詳解】設(shè)過點的切線與圓相切于點，連接，則，圓的圓心為，半徑為，則，當與直線垂直時，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為.故答案為：.4-6．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為.【答案】【分析】，則，可看成點到兩定點，的距離和，而兩點在軸的兩側(cè)，所以連線與軸的交點就是所求點.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設(shè)，則，所以，取，則，當三點共線時取等號，此時直線：令，則，，故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為點到兩定點，的距離和的最小值，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.（四）涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長度表示為關(guān)于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．題型5：直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問題5-1．（2024高三上·北京昌平·期中）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，將直線的方程變形為，恒過定點，分析可得在圓內(nèi)部，分析可得：當直線與垂直時，弦最小，求出此時的值，由勾股定理分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，圓即，圓心的坐標為，半徑，直線，即，恒過定點，又由圓的方程為，則點在圓內(nèi)，分析可得：當直線與垂直時，弦最小，此時，則的最小值為；故答案為：.5-2．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，連接，求出、，求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點和距離和的最小值，連接可得答案.【詳解】設(shè)，，連接，所以，且，所以，，所以求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，故答案為：.5-3．（2024高三下·安徽池州·階段練習(xí)）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為.【答案】【分析】由題意分析可得，當直線時，最小，此時求出以為直徑的圓的方程，兩圓方程聯(lián)立即可求得直線的方程.【詳解】圓的方程可化為，則圓心，半徑，可得點到直線的距離為，所以直線與圓相離，依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，原題意等價于取到最小值，當直線時，，此時最小.的直線方程為：，與聯(lián)立，解得：，即，則的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為.故答案為：.5-4．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)題意，將求周長的最小值轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離，進而得解.【詳解】由圓知圓心，半徑，因為與圓相切于點，所以，所以，所以越小，越小，

當時，最小，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時，，，故的周長的最小值為.故答案為：.5-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由恒成立可知，始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，求出點到直線的距離即得線段長度的最小值.【詳解】如圖，由題可知，圓心為點，半徑為1，若直線上存在兩點，使得恒成立，則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點到直線的距離為，所以長度的最小值為.故選：D（五）圓與圓的位置關(guān)系(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．題型6：圓與圓的位置關(guān)系6-1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【答案】C【分析】算出兩圓圓心的距離，然后與兩圓半徑之和、差比較即可.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關(guān)系是相交.故選:C.6-2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與圓有交點，結(jié)合圖形可得.【詳解】因為圓C上存在點P，使得，所以，以為直徑的圓與圓有交點，又以為直徑的圓，圓心為O0,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，所以，即，即.故選：A

6-3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知，，若圓上存在點P滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點，由，得P的軌跡方程為，再由兩圓相交求解．【詳解】設(shè)點，則，，所以，所以P的軌跡方程為，圓心為，半徑為3．由此可知圓與有公共點，又圓的圓心為，半徑為2，所以，解得，即的取值范圍是．故選：A．6-4．（2024高二上·北京·階段練習(xí)）圓．與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】C【分析】根據(jù)條件，先求出兩圓的圓心和半徑，再利用兩圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，又，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，故選：C.題型7：兩圓的公共弦問題7-1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意可得：兩圓方程之差即為直線PQ的方程，運算求解即可.【詳解】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，將與作差得，整理得，即直線PQ的方程為.故答案為：.7-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則【答案】【分析】根據(jù)兩圓相交時公共弦所在直線方程的求法和弦長公式求解.【詳解】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.7-3．（2024·天津和平·二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【分析】兩式相減，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.【詳解】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：題型8：兩圓的公切線問題8-1．（2024·湖南長沙·一模）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為.【答案】【分析】根據(jù)題意作出如下圖形：

由圓方程求出圓心連線斜率為：，計算出圓心距，再利用外公切線的斜率為7求出圓心連線與公切線的夾角，從而在直角三角形中列方程求得，聯(lián)立方程即可求出，，問題得解．【詳解】根據(jù)題意作出如下圖形：

AB為兩圓的公切線，切點分別為A,B.當公切線AB與直線平行時，公切線AB斜率不為7，即不妨設(shè)過作AB的平行線交于點E，則：，且,直線的斜率為：，所以直線AB與直線的夾角正切為：.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.【點睛】本題主要考查了圓的公切線特點及兩直線夾角公式，還考查了解三角形知識及計算能力、方程思想，屬于中檔題．8-2．（2024·河南·模擬預(yù)測）圓與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，點N滿足，直線與圓M和點N的軌跡同時相切，則直線l的斜率為．【答案】【分析】求出A、B坐標，設(shè)N(x,y)，求出N的軌跡圓E的方程，作出圖象，利用圓的公切線的幾何性質(zhì)即可求其斜率．【詳解】對于圓，令，得，解得或，則，．設(shè)，∵，∴，則，整理得，則點N的軌跡是圓心為，半徑為的圓．又圓M的方程為，則圓M的圓心為，半徑為．∵，∴兩圓相交，設(shè)直線l與圓M和點N軌跡圓E切點分別為C，D，連接CM，DE，過M作DE的垂線，垂足為點F，則四邊形CDFM為矩形，∵，，∴，則，則兩圓公切線CD的斜率即為直線FM的斜率為．故答案為：.8-3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知圓與圓有三條公切線，則．【答案】或【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線可知兩圓外切，然后由兩圓心距等于兩半徑之和列式，分類討論可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以即當時，，即解得或（舍去）當時，，即解得或（舍去）當時，，即解得（舍去）綜上，或故答案為：或8-4．（2024·湖南岳陽·三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個答案均可【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，可知公切線斜率存在，方程可設(shè)為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）一、單選題1．（2024·陜西寶雞·二模）直線l：與曲線C：的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系求法結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系得出曲線C與直線l位置關(guān)系，即可得出答案.【詳解】曲線C：是圓心在上，半徑的圓，則圓心與直線l的距離，，曲線C與直線l相切，即只有一個交點，故選：B2．（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由兩點距離公式計算可得根據(jù)題意可得，進而利用點到直線的距離公式即可求解．【詳解】設(shè)，，，即．點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點Q使得，則PQ為圓的切線時最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．3．（2024·北京）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．4．（2024高二上·黑龍江鶴崗·期中）圓上到直線的距離為的點共有A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)椋瑘A心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【答案】D【分析】根據(jù)兩圓公切線的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行求解即可.【詳解】因為圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設(shè)可知，當且僅當a2＝2b2時等號成立．故選：D.6．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)P(x,y)，由求得點軌跡是圓，又在已知圓上，判斷出兩圓相交后可得點個數(shù)．【詳解】設(shè)P(x,y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圓心為，半徑為2，又圓圓心為，半徑為2，因為，所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點P的個數(shù)為2.故選：B.7．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】先根據(jù)題意求得，從而得到兩圓的圓心和半徑，進而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內(nèi)切，即可知道公切線只有1條.【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因為，所以.所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標準方程為，圓心坐標為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到兩圓相外切，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．9．（2024·江西上饒·一模）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】C【分析】先求出直線過的定點，再通過定點和圓的位置關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由直線得，令，得，故直線恒過點，又，即點在圓內(nèi)，故直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.10．（2024·四川成都·一模）圓：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】求出圓心坐標與半徑，再將直線方程化為一般式，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A11．（2024高二上·廣東珠?！て谀┑聡鴶?shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由條件確定點的坐標，再求外接圓的方程.【詳解】設(shè)，則，，，當且僅當時成立,解得，，設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，，，的外接圓的方程為．故選：．

12．（2024高二上·四川內(nèi)江·期中）已知點P在圓上，點，，則錯誤的是（

）A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2C．當最小時， D．當最大時，【答案】B【分析】求出過的直線方程，再求出圓心到直線的距離，得到圓上的點到直線的距離范圍，判斷選項A與B；畫出圖形，由圖可知，當過的直線與圓相切時，滿足最小或最大，求出圓心與點間的距離，再由勾股定理求得判斷選項C與D．【詳解】圓的圓心為，半徑為4，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，則點到直線的距離的最小值為，最大值為，所以點到直線的距離小于10，但不一定大于2，故選項A正確，B錯誤；如圖所示，當最大或最小時，與圓相切，點位于時最小，位于時最大），連接，，可知，，，由勾股定理可得，故選項CD正確．故選：B．13．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.【詳解】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D14．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側(cè)），點在圓上，當最大時，的面積為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】當BP為圓的一條位于AB下方的切線時滿足最大，通過計算得的方程再通過面積公式計算即可.【詳解】如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)當BP為圓的一條位于AB下方的切線時滿足最大，由題意可得，不妨設(shè)，則A到BP的距離為，或（舍去）.則，此時到BP的距離為，所以的面積為故選：A15．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)米勒定理，當最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點；再根據(jù)圓的性質(zhì)得到為等邊三角形，從而求出的值.【詳解】根據(jù)米勒定理，當最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點.設(shè)的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.

因為為，所以，即為等邊三角形，所以，即或，解得或.故選：C.16．（2024·全國）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

17．（2024·全國）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】到已知直線的距離為1的點的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與有4個公共點，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得的取值范圍．【詳解】解：作出到直線的距離為1的點的軌跡，得到與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點，原點到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠的一條到原點的距離為，又圓上有4個點到直線的距離為1，兩條平行線與圓有4個公共點，即它們都與圓相交．由此可得圓的半徑，即，實數(shù)的取值范圍是．故選：．

【點睛】本題給出已知圓上有四點到直線的距離等于半徑，求參數(shù)的取值范圍．著重考查了圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．19．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，連接、，分析可知當點與點重合時，四邊形的面積最小，求出點的橫坐標，即可得出直線的方程.【詳解】連接、，圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點，設(shè)點，則，則，當且僅當時，等號成立，此時點與坐標原點重合，由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，則，所以，，所以，，此時點與坐標原點重合，且圓關(guān)于軸對稱，此時點、也關(guān)于軸對稱，則軸，在中，，，，則，所以，，因此，直線的方程為.故選：C.20．（湖南省常德市第一中學(xué)2022屆高三考前二模數(shù)學(xué)試題）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成圓與圓C有公共交點，再利用圓與圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由，得點P在圓上，故點P在圓上，又點P在圓C上，所以，兩圓有交點，因為圓的圓心為原點O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為2，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為3.故選：D.21．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐標系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)圓的概念和切線的性質(zhì)，分別以為圓心，以為半徑作圓，滿足題意的直線為兩圓的公切線，進而求解.【詳解】分別以為圓心，以為半徑作圓，因為，所以兩圓外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，故選：C22．（2024·安徽黃山·二模）若圓關(guān)于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，求得b，設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，可得直線MN為圓C與以為直徑的圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩圓的方程，即可得直線MN的方程，再由直線系方程得答案．【詳解】由題意可知：圓的圓心在直線上，即有，設(shè)點，則，故以為直徑的圓的方程為：，將和相減，即可得直線的方程，即，則直線恒過定點，故選：C23．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，由圓的切線的性質(zhì)得點在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓C的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點，由點到直線的距離分析可得答案．【詳解】由題意可得的圓心到直線的距離為，即與圓相離；設(shè)為直線上的一點，則，過點P作圓的切線，切點分別為，則有，則點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得：，又由，則有，變形可得，則有，可得，故直線恒過定點，設(shè)，由于，故點在內(nèi)，則時，C到直線的距離最大，其最大值為,故選∶B24．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設(shè)切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實數(shù)m的值.【詳解】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．25．（2024高三·北京·強基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】B【分析】利用基本不等式可求面積的最小值.【詳解】設(shè)點，由于點M在橢圓上，所以，由切點弦方程，所以，由于，當時，上述不等式取等號，取得最大值3，此時面積取得最小值．故選：B.26．（2024·黑龍江大慶·三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】由已知可推得，直線是圓與圓的公切線.根據(jù)兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關(guān)系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心，半徑.由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因為，所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.27．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)點到直線的距離公式和兩圓位置關(guān)系即可求解.【詳解】由已知直線，則原點到直線l的距離為，由直線l與圓相切，則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，因為圓和圓外切，所以這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，所以滿足條件的直線l有3條．故選:B．二、多選題28．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知圓：，點M在拋物線：上運動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【分析】由圓的方程可得圓心坐標和半徑，設(shè)M的坐標，可得四邊形PCQM的對角線互相垂直，是兩個直角三角形，由面積相等可得的表達式，由的范圍求出的范圍.【詳解】解析：如圖，

連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，于是得四邊形面積為面積的2倍，從而得，即，設(shè)點，而，則，即，所以，即，得，所以的取值范圍為．故選BC．三、填空題29．（2024·天津南開·二模）若直線與圓相切，則.【答案】/0.75【分析】由圓心到切線的距離等于半徑求解．【詳解】由題意圓心為，半徑為2，所以，解得．故答案為：．30．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為．【答案】3【分析】首先求出圓關(guān)于直線的對稱圓：，再根據(jù)，即可得到.【詳解】，，，，，設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，解得，即.所以圓關(guān)于直線的對稱圓：因為，，所以.故答案為：331．（2024高三上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【分析】先將圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，再由弦，弦心距和半徑的關(guān)系列方程可求出，然后求出圓心與間的距離，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】由，得，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為d=a2，因為圓與直線相交所得圓的弦長是，所以，解得或（舍去），所以圓心為，半徑為，所以與間的距離為，所以所求的切線長為，故答案為：.32．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）寫出經(jīng)過拋物線的焦點且和圓相切的一條直線的方程.【答案】（或，寫出一個方程即可）【分析】斜率不存在時，直接觀察可知；斜率存在時，設(shè)點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑可解.【詳解】拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑為2.記過點的直線為l，當l斜率不存在時，由圖可知l與圓相切，此時l的方程為；當l斜率存在時，設(shè)其方程為，即，因為直線l與圓相切，所以，解得所以l的方程為，即.故答案為：（或，寫出一個方程即可）33．（2024高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.【答案】【分析】先求出A，B兩點的坐標，則可求出，然后求出圓心到直線的距離，從而可求出點P到直線的距離的最大值和最小值，進而可求出面積的最大值和最小值，即可求得結(jié)果.【詳解】對于，當時，，當時，，所以，所以，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點P到直線的距離的最大值，點P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：

34．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點，則.【答案】【分析】兩圓方程相減，即可求出直線AB的方程為，求出圓心到直線AB的距離d，進而根據(jù)幾何法得弦.【詳解】解：因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.35．（河北省石家莊部分重點高中2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當線段的長度最小時，點到直線的距離為.

【答案】【分析】利用平面幾何知識可得出點的軌跡是圓.適當建系，寫出點的軌跡方程.再利用圓的性質(zhì)得出當最小時，，，三點共線，進而求解即可.【詳解】根據(jù)題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設(shè)的中心為點，由可知，點的軌跡是以為直徑的圓，以為坐標原點，為軸，為軸建立直角坐標系，則，，，，以為直徑的圓的方程為，設(shè)為圓心，可知坐標為，當最小時，，，三點共線，可知此時直線的方程為，則點到直線的距離為.故答案為：.

36．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為.【答案】12【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長公式確定弦長及圓心到直線得距離，即可求的面積.【詳解】圓：，得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因此，所以.故答案為：.37．（2024·河北邯鄲·二模）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是.【答案】/【分析】求出圓C圓心到弦AB的長度d，求出弦AB的長度，M到弦AB的最大距離為d＋r(r為圓C半徑)，根據(jù)三角形面積公式即可求出答案．【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，則面積的最大值是.故答案為：38．（2024·廣東廣州·三模）寫出經(jīng)過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．【答案】或【分析】根據(jù)圓的一般方程求出圓心和半徑，利用直線的點斜式方程設(shè)出直線及點到直線的距離公式，結(jié)合圓中弦長，半徑及弦心距的關(guān)系即可求解.【詳解】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心在直線上，弦長，不滿足題意，所以過點的直線的斜率存在，設(shè)過點的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，故所求直線的方程為或．故答案為：或．39．（2024高三下·江西南昌·階段練習(xí)）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為.【答案】或【分析】設(shè)圓心為，可知半徑，根據(jù)垂徑定理，利用直線截圓所得弦長可構(gòu)造方程求得圓心和半徑，由此可得圓的方程.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，圓與軸相切，，又圓心到直線的距離，，解得：或，所求圓的圓心為或，半徑，圓的方程為或.故答案為：或.40．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點，則．【答案】/【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后求出圓心到直線的距離，再利用弦、弦心距和半徑的關(guān)系可求出弦長.【詳解】由，得，則圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為所以，解得．故答案為：41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．【答案】【分析】確定圓心為，半徑，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，計算點到直線的距離得到答案.【詳解】，即，圓心為，半徑，，即最小時，面積最小.，故四邊形面積的最小值為.故答案為：42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圓上兩點，若，則的最大值為.【答案】4【分析】根據(jù)表示兩點到直線的距離之和，結(jié)合兩點到直線的距離之和等于線段的中點到直線的距離的2倍，求出線段的中點到直線的距離的最大值即可.【詳解】解：由，得為等腰直角三角形，設(shè)為的中點，則，且，則點在以為圓心，為半徑的圓上，表示兩點到直線的距離之和，兩點到直線的距離之和等于中點到直線的距離的2倍，點到直線的距離為，所以點直線的距離的最大值為，所以的最大值為，所以的最大值為.故答案為：4.43．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．【答案】【分析】方法一：采用三角換元法，然后利用兩角差的正弦公式集合求解；方法二：利用的幾何意義：可以看作圓心到直線距離的倍，然后利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解法一：因為，所以令，，則，，故，其中，，因為，所以，所以，故的取值范圍為．解法二：因為圓心到直線的距離，所以圓心上的點到直線的距離的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍是．故答案為：．44．（2024高二上·河北石家莊·期中）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程是.【答案】【分析】根據(jù)直線的方程得到直線過定點，根據(jù)幾何知識得到當垂直直線時，最小，然后根據(jù)垂直列方程，解方程得到即可得到直線的方程.【詳解】由圓的方程可得圓心為，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線過定點，當垂直直線時，最小，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.45．（2024高三下·安徽亳州·開學(xué)考試）若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)點，根據(jù)題意可得：，然后再利用即可求解.【詳解】設(shè)點，過點作圓M：的切線，切點為，由題意可知：，因為點，所以，化簡整理可得：，所以，因為，，所以，解得：，所以的取值范圍為，故答案為：.46．（2024·江蘇無錫·三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.【答案】3【分析】設(shè)出點的坐標，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內(nèi)，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.47．（2024·四川成都·二模）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)兩直線所過的定點和位置關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】直線過定點，直線過定點，顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，顯然點的坐標為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，當點在如下圖位置時，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定點的軌跡，利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.48．（2024·江蘇·二模）過點且與圓：相切的直線方程為【答案】或【分析】分斜率存在與否兩種情況進行討論，結(jié)合點到直線距離公式即可得解．【詳解】解：將圓方程化為圓的標準方程，得圓心，半徑為，當過點的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當過點的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．49．（2024高二上·上海浦東新·期中）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．【答案】【分析】采用向量的坐標運算，得到所求模長之和的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為單位圓上的點到和兩點的距離之和的最小值的求解問題，由此計算得到結(jié)果.【詳解】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，，，，的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，點在單位圓內(nèi)，點在單位圓外，則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，所求最小值為.故答案為：.50．（2024·河北邯鄲·一模）已知點，，符合點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為（寫出一條即可）．【答案】或或或（寫出一條即可）【分析】根據(jù)題意可知直線l是圓與圓的公切線，先判斷兩圓外離，可得直線l有四條，再根據(jù)幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）和點到直線的距離公式即可求解直線l的方程．【詳解】由題意可知直線l是圓與圓的公切線，因為兩圓為外離關(guān)系，所以滿足條件的直線l有四條．當直線l是兩圓的外公切線時，由幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）易知直線l過點．設(shè)直線l的方程為，則，解得，此時直線l的方程為或．當直線l是兩圓的內(nèi)公切線時，由幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）易知直線l過點，設(shè)直線l的方程為，則，解得，此時直線l的方程為或．故答案為：或或或（寫出一條即可）．51．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.【答案】5【分析】先根據(jù)相切求半徑，再求出定點，最后求得四邊形面積的表達式，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值.【詳解】由題意圓與直線相切，圓心為，半徑為，函數(shù)過定點如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，，四邊形OEMF為矩形，已知，，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為、，則四邊形ABCD的面積為：，從而：，當且僅當時即取等號，故四邊形ABCD的面積最大值是5，

故答案為：5.52．（2024高二下·廣東廣州·期末）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（答案不唯一，或均可以）【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因為，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點，設(shè)其關(guān)于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）53．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．【答案】，或，或【分析】對切線的是否過原點進行分類討論，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，因為直線l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，當直線過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，綜上所述，直線l的方程為，或，或.故答案為：，或，或.54．（2024高三下·上海徐匯·階段練習(xí)）若，則的最小值為.【答案】【分析】由方程表示的圖形的幾何意義以及所求代數(shù)式的幾何意義畫出圖形可求出最小值.【詳解】解：曲線表示的是以點為圓心，以為半徑的圓，表示點到點的距離，表示點到直線的距離，設(shè)點在直線上的射影點為，則，當且僅當、、三點共線且點為線段與圓的交點時，等號成立，

故的最小值為.故答案為：.55．（2024高三·全國·專題練習(xí)）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程：.【答案】或或（填其中一個即可）【分析】設(shè)，，以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，轉(zhuǎn)化為找公切線問題.【詳解】設(shè)，，連接MN，則.以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.

當公切線的斜率不存在時，顯然公切線的方程為.當公切線的斜率存在時，設(shè)公切線的方程為，則有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切線方程為或.綜上，直線l的方程為或或.故答案為：或或56．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）寫出一條與圓和曲線都相切的直線的方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)切線與圓相切于點，得到切線的方程，與聯(lián)立，由判別式為零求解.【詳解】解：設(shè)切線與圓相切于點，則，切線的方程為，即，將與聯(lián)立，可得，令，聯(lián)立解得或或或所以切線的方程為或或或.故答案為：（答案不唯一）57．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合確定弦和的位置，即可求出四邊形的面積.【詳解】圓的方程化為標準方程為：，則圓心半徑，由題意知最長弦為過點的直徑，最短弦為過點和這條直徑垂直的弦，即，且，圓心和點之間的距離為1，故，所以四邊形ABCD的面積為．故答案為：58．（2024高三上·浙江麗水·期末）已知圓與圓相交于兩點，則.【答案】【分析】將兩圓方程相減求得公共弦的方程，求出圓心到直線的距離，利用幾何法即可求得.【詳解】將圓與圓的方程相減，即得的方程為，則的圓心為，半徑為，則到直線的距離為，故，故答案為：59．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為.【答案】【分析】設(shè)，，直線MN的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，根據(jù)根的判定式，求出的取值范圍，根據(jù)，即可得到，即可求出；【詳解】解：由題意得，直線的斜率存在，設(shè)，，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，，得，，.因為，所以，則，于是，（由點A及C在y軸上可判斷出，同號）所以，兩式消去，得，滿足，所以.故答案為：60．（2024高二上·江蘇淮安·期中）圓與圓的公共弦的長為．【答案】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用