《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》課件-第5章

第五章定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)定積分的基本公式第三節(jié)定積分的計算第四節(jié)反常積分第五節(jié)定積分的應(yīng)用

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

一、定積分的概念引例(窗戶的采光面積)房屋建筑的窗戶如圖5.1所示,其曲線段是拋物線形.試計算窗戶的采光面積.圖5.1窗戶示意圖(單位:cm)

分析將長方形的面積減出陰影部分的面積就是所求部分的面積.因而,只需求解圖中陰影部分的面積.接下來我們研究如何求該陰影部分的面積.

為了便捷,將陰影部分旋轉(zhuǎn)180°,即由兩條互相平行,另外一條與它們垂直的直線,和一條連續(xù)的曲線所圍成,此圖形稱為曲邊梯形.然后,建立直角坐標(biāo)系,如圖5.2所示,求得拋物線的曲線方程是圖5.2窗戶函數(shù)圖

用如下的方法來求曲邊梯形面積的近似值:

(1)分割.將區(qū)間[-25,25]分10等份,得到10個小區(qū)間,各個小區(qū)間長度Δxi=xi-xi-1=5(i=1,2,…,10),其端點(diǎn)及對應(yīng)的函數(shù)值見表5.1.

(2)近似替代.過每個區(qū)間的端點(diǎn)作垂直于x軸的直線,將曲邊梯形分割成10個小曲邊梯形.以小曲邊梯形的底邊長Δxi

=5為寬,右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值f(xi

)為高作矩形,則各小矩形的面積為Ai=f(xi

)Δxi

(i=1,2,…,10),對應(yīng)值見表5.2.

將小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積ΔAi,即

(3)求和.將每個矩形的面積相加,所得的和就是整個曲邊梯形面積的近似值,即

上面用分割求和的方法來求解曲邊梯形面積的近似值.接下來,將在此方法的基礎(chǔ)上改進(jìn),可求曲邊梯形面積的精確值.

(4)取極限.將區(qū)間[-25,25]分n等份,用類似方法,得到整個曲邊梯形面積的近似值為

所以,窗戶的采光面積為S=50×70-666.6667≈2833.3(cm2).

定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在[a,b]中任意插入n-1個分點(diǎn)

把區(qū)間[a,b]任意分割成n個小區(qū)間

各小區(qū)間的長度為圖5.3被積函數(shù)圖像

二、定積分的性質(zhì)

由定積分的定義,直接求定積分的值,往往比較復(fù)雜,但易推證定積分具有下述性質(zhì),其中所涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積的

性質(zhì)4(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,使得

性質(zhì)4的幾何意義是:由曲線y=f(x),直線x=a,x=b和x軸所圍成曲邊梯形的面積等于區(qū)間[a,b]上某個矩形的面積,這個矩形的底是區(qū)間[a,b],矩形的高為區(qū)間[a,b]內(nèi)某一點(diǎn)ξ處的函數(shù)值f(ξ),如圖5.4所示.圖5.4性質(zhì)4示意圖

第二節(jié)定積分的基本公式

定積分就是一種特定形式的極限,直接利用定義計算定積分是十分繁雜的,有時甚至無法計算.本節(jié)將介紹定積分計算的有力工具———牛頓萊布尼茲公式

二、牛頓萊布尼茲公式

定理3若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且F(x)是f(x)在[a,b]上個的一個原函數(shù),則

上式稱為牛頓萊布尼茲公式,也稱為定積分基本公式,它還常寫成

定理3揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,它把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題,為計算定積分提供了一個有效的方法

第三節(jié)定積分的計算

一、定積分換元積分法

定理1(換元積分法)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),令x=φ(t),并且滿足:

(1)φ(α)=a,φ(β)=b;

(2)φ(t)在區(qū)間[α,β]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)φ'(t);

(3)當(dāng)t從α變到β時,φ(t)單調(diào)地從a變到b.則有定積分的換元公式:

二、定積分的分部積分法

定理2設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則有

或簡寫成

第四節(jié)反常積分

第五節(jié)定積分的應(yīng)用

一、定積分的微元法

為了說明定積分的微元法,先回顧求曲邊梯形面積A的方法和步驟:

下面對上述四個步驟進(jìn)行具體分析:

第(1)步指明了所求量(面積A)具有的特性:即A在區(qū)間[a,b]上具有可分割性和可加性.

第(2)步是關(guān)鍵,這一步確定ΔAi≈f(ξi)Δxi.這可以從以下過程來理解:由于分割的任意性,用[x,x+dx]表示[a,b]內(nèi)的任一小區(qū)間,并取小區(qū)間的左端點(diǎn)x為ξ,則ΔA的近似值就是以dx為底,f(x)為高的小矩形的面積(見圖5.7陰影部分),即ΔA≈f(x)dx圖5.7函數(shù)y=f(x)的分割小矩形示意圖

通常稱f(x)dx為面積微元,記為

將(3)、(4)兩步合并,即將這些面積元素在[a,b]上“無限累加”,就得到面積A.即A=∫baf(x)dx.

一般說來,用定積分解決實(shí)際問題時,通常按以下步驟來進(jìn)行:

(1)確定積分變量x,并求出相應(yīng)的積分區(qū)間[a,b];

(2)在區(qū)間[a,b]上任取一個小區(qū)間[x,x+dx],并在小區(qū)間上找出所求量F的微元dF=f(x)dx;

(3)寫出所求量F的積分表達(dá)式F=∫baf(x)dx,然后計算它的值.

利用定積分按上述步驟解決實(shí)際問題的方法叫作定積分的微元法.

二、定積分求平面圖形的面積

1.直角坐標(biāo)系下面積的計算

(1)求由曲線y=f(x)和直線x=a,x=b,y=0所圍成曲邊梯形的面積,下面分三種情形討論:

①若f(x)≥0,如圖5.8所示,則面積為A=∫baf(x)dx圖5.8f(x)≥0的曲邊梯形圖

②若f(x)≤0,如圖5.9所示,而-f(x)≥0,則面積A=-∫baf(x)dx.圖5.9f(x)≤0的曲邊梯形圖

③若f(x)在[a,b]上正負(fù)值都有,如圖5.10所示,則面積為

(2)求由兩條曲線y=f(x),y=g(x),(f(x)≥g(x))及直線x=a,x=b所圍成平面的面積A(見圖5.11).圖5.11兩曲線相交圖圖5.12兩曲線所圍圖形的面積

例2求曲線y2=2x與y=x-4所圍圖形的面積.

解法1畫出兩曲線所圍的圖形(見圖5.13).

由方程組得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,-2),B(8,4),x∈[0,8].若以x為積分變量,由于圖形在[0,2]和[2,8]兩個區(qū)間上的構(gòu)成情況不同,因此需要分成兩部分來計算,其結(jié)果應(yīng)為圖5.13兩曲線所圍圖形的面積

由兩條曲線x=ψ(y),x=φ(y)(ψ(y)≤φ(y)),及直線y=c,y=d所圍成平面圖形的面積如圖5.14所示.取y為積分變量,y∈[c,d],用類似以x作為積分變量的方法可以推出圖5.14兩曲線所圍圖形的面積

2.極坐標(biāo)系下面積的計算

設(shè)曲邊扇形由極坐標(biāo)方程ρ=ρ(θ)與射線θ=α,θ=β(α<β)所圍成,如圖5.15所示.下面用微元法求它的面積A.

以極角θ為積分變量,它的變化區(qū)間是[α,β],相應(yīng)的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為ρ(θ),中心角為dθ的圓扇形的面積,從而得面積微元為

于是,所求曲邊扇形的面積為圖5.15極坐標(biāo)圖

例4計算心形線ρ=a(1+cosθ)(a>0)所圍圖形的面積,如圖5.16所示.圖5.16心形線

解此圖形對稱于極軸,因此所求圖形的面積A是極軸上方部分圖形面積A1的兩倍.對于極軸上方部分圖形,取θ為積分變量,θ∈[0,π],由上述公式得

三、定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體是一個平面圖形繞該平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的立體,這條直線叫作旋轉(zhuǎn)軸.

設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成,如圖5.17所示.圖5.17繞x軸旋轉(zhuǎn)一周圖

形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成,如圖5.17所示.取x為積分變量,它的變化區(qū)間為[a,b],在[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx],相應(yīng)薄片的體積近似于以f(x)為底面圓半徑,dx為高的小圓柱體的體積,從而得到體積元素為dV=π[f(x)]2dx,于是,所求旋轉(zhuǎn)體體積為

類似地,由曲線x=φ(y)和直線y=c,y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成,如圖5.18所示,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為圖5.18繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圖圖5.19繞y軸旋轉(zhuǎn)圖

四、定積分在物理上的應(yīng)用

1.變力做功由物理學(xué)知道,物體在常力F的作用下,沿力的方向做直線運(yùn)動,當(dāng)物體發(fā)生了位移S時,力F對物體所做的功W=FS.

但在實(shí)際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力做功的問題.由于所求的功是一個整體量,且對于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個量.

設(shè)物體在變力F=F(x)的作用下,沿x軸由點(diǎn)a移動到點(diǎn)b,如圖5.20所示,且變力方向與x軸方向一致.取x為積分變量,x∈[a,b].在區(qū)間[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx],該區(qū)間上各點(diǎn)處的力可以用點(diǎn)x處的力F(x)近似代替.因此功的微元為

因此,從a到b這一段位移上變力F(x)所做的功為圖5.20位移圖

例6彈簧在拉伸過程中,所需要的力與彈簧的伸長量成正比,即F=kx(k為比例系數(shù)).已知彈簧拉長0.01m時,需力10N,要使彈簧伸長0.05m,計算外力所做的功.

解由題設(shè)知,x=0.01m時,F=10N.代入F=kx,得k=1000N/m.從而變力F=1000x,由上述公式所求的功為

2.液體的壓力

由物理學(xué)知道,液面下深度h處的壓強(qiáng)ρ=ρgh,其中ρ是液體的密度,g是重力加速度.如果有一面積為A的薄板水平地置于深度h處,那么薄板一側(cè)所受的液體壓力F=pA.

但在實(shí)際問題中,往往要計算薄板豎直放置在液體中時,其一側(cè)所受到的壓力.由于壓強(qiáng)p隨液體的深度變化,所以薄板一側(cè)所受的液體壓力就不能用上述方法計算,但可以用定積分的微元法來加以解決.

設(shè)薄板形狀是曲邊梯形,為了計算方便,建立如圖5.21所示的坐標(biāo)系,曲邊方程為y=f(x).取液體深度x為積分變量,x∈[a,b],