概率論與數理統(tǒng)計

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第五講2/26/20252

條件概率

乘法法則2/26/20253

條件概率是概率論中一個重要而實用的概念，通俗的講，條件概率是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。先來看兩個例子。2/26/20254例1100個產品中有60個一等品,30個二等品,10個廢品.規(guī)定一,二等品都是合格品.試驗:從100個產品中任意抽取一個假設:A,B為抽到的是一,二等品,C為抽到的是合格品,則C=A+B則一等品率為P(A)=60/100,二等品率為P(B)=30/100.合格率為P(C)=90/100如果改變試驗為:從合格品中任抽一件,則合格品中的一等品率為P(A|C)=60/90.2/26/20255例2丟一顆均勻的骰子，B：“奇數點”，A：“點數大于1”，則P(B)=3/6,P(A)=5/6若將這顆骰子丟下后，告訴你一個“點數大于1”的信息，再考慮“是奇數點”的概率，即“已知A(點數大于1)發(fā)生的條件下，求B(奇數點)的概率”，這就是條件概率，記為：P(B|A)。2/26/20256一、條件概率1定義在事件A已經發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,稱為事件B在給定A下的條件概率,簡稱為B對A的條件概率,記作P(B|A)相應地,把P(A)稱為無條件概率.這里,只研究作為條件的事件A具有正概率即P(A)>0的情況.2/26/20257

條件概率，一理解；二計算

例2：丟一顆均勻的骰子，B:“奇數點”，A:“點數大于1”。方法1：由定義來計算AB={奇數點且大于1}={3,5},P(AB)=2/6,則方法2：“改變樣本空間”法將這顆骰子丟下后，樣本空間是S={1,2,3,4,5,6}，準備在S的基礎上計算“奇數點”的概率，當得到一個信息A:“點數大于1”,則轉而在新樣本空間A={2,3,4,5,6}的基礎上計算，在A的5個元素中，有2個奇數，于是P(B|A)=2/5.2/26/20258條件概率:樣本空間的壓縮或者可以認為是基本事件的減少而導致的試驗.以事件B為條件的條件概率,意味著在試驗中將B提升為必然事件.SBBS

2/26/20259例3市場上供應的燈泡中,甲廠的產品占70%,乙廠占30%,甲廠產品的合格率是95%,乙廠的合格率是80%,若用事件A,A分別表示甲乙兩廠的產品,B表示產品為合格品,試寫出有關事件的概率和條件概率。解依題意注:在解題過程中常見的錯誤是將條件概率寫成無條件概率!2/26/202510例4全年級100名學生中,有男生(以事件A表示)80人,女生20人,來自北京的(以事件B表示)有20人,其中男生12人,女生8人,免修英語的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生,求P(A)，P(B)，P(B|A)，P(A|B)，P(AB)，P(C)，P(C|A)

解：P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.42/26/202511因此,在概率論中把某一事件B在給定另一事件A(P(A)>0)下的條件概率P(B|A)定義為乘法法則

P(AB)=P(A)P(B|A)(若P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)>0)2/26/202512n個事件A1,A2,…,An的乘法公式為:

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An-1)證明略。2/26/202513

無論是兩個事件的乘法公式還是多個事件的乘法公式都是非常重要的。

通常,P(A|B)好算,P(AB)往往不好算.

2/26/202514再回到例3市場上供應的燈泡中,甲廠產品(A)占70%,乙廠(A)占30%,甲廠產品合格率是95%,乙廠合格率是80%,B表示產品為合格品。解依題意2/26/202515例510個考簽中有4個難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到難簽,甲,乙都抽到難簽,甲沒抽到難簽而乙抽到難簽以及甲,乙,丙都抽到難簽的概率.

解設事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽2/26/202516古典概型的方法：

用這種思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/102/26/202517事實上,即使這十張難簽由10個人去抽,因為其中有4張難簽,因此每個人抽到難簽的概率都是4/10,與他抽的次序無關.正如十萬張彩票如果只有10個特等獎,則被十萬個人去抽,無論次序如何,每個人的中獎概率都是十萬分之十,即萬分之一.這在概率論中叫抽簽原理.

2/26/202518例如(考研題,3分)一批產品有10個正品和2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不放回,則第二次抽出的是次品的概率為____.因產品總數是12,次品數是2,因此答案是2/12.(考研題,3分)袋中有50個乒乓球,其中20個是黃球,30個是白球.今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回,則第2個人取得黃球的概率是____.因共有50個乒乓球,20個黃球,因此答案是2/5.2/26/202519例6甲乙兩選手進行乒乓球單打比賽,甲發(fā)球成功后,乙回球失誤的概率為0.3,若乙回球成功,甲回球失誤的概率為0.4,若甲回球成功,乙再回球時失誤的概率為0.5,試計算這幾個回合中,乙輸掉一分的概率.解設Ai為甲在第i回合發(fā)(回)球成功的事件,Bi為乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2),A為兩個回合中乙輸掉一分的事件,則2/26/202520則因2/26/202521例75人以摸彩方式決定誰得1張電影票.今設Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5),則下列結果中有1個不正確,它是()2/26/202522解.則P(A3|A1A2)是指在前兩個人沒有抽到條件下第3個人抽到的事件,則第3個人抽時只有三張彩票,則抽中的條件概率當然是1/3.

因此選項(A)正確.此外,每個人抽中的無條件概率顯然是1/5,因此選項(D)正確.選項(B)和(E)可由乘法法則求得為因此選項(C)不正確,答案為(C)2/26/202523小結

1條件概率有兩種計算方法：“定義計算”和“改變樣本空間”法，簡單的條件概率可由第二種方法直接得到，較復雜的用定義計算。

2乘法公式是利用條件概率計算交事件的概率：

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

乘法公式推廣到3個事件：

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

乘法公式推廣到n個事件：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1)…P(An|An-1….A1)

乘法公式是普遍成立的，只要作為“條件的事件”的概率不等于零即可。

2/26/202524在實際問題中哪些是條件概率，條件是什么，要根據具體問題去理解，看清具體隨機試驗的過程，一步一步的先后次序、步與步之間是否有影響。在初學階段，盡可能用字母A,B…去表示事件，進而表示概率，這有助于對事件關系的理解及對概率及條件概率的理解。

3對P(C|A)和P(AC)的區(qū)別，要根據具體問題去理解。如“甲廠產品的次品率”，這要理解為：產品是甲廠生產的條件下的次品率，是條件概率P(C|A)；而“甲廠的次品”的概率，應理解為產品既是甲廠生產的，又是次品的概率，是交事件的概率P(AC)。2/26/2025254條件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)中的A和B是事件，可以是簡單事件，也可以是有幾個事件組成的復雜事件。復雜事件的概率要利用其它的方法計算，如概率的性質、等可能概率以及第2章將