2025版高考數(shù)學大二輪復習專題四概率與統(tǒng)計第三講概率與統(tǒng)計限時規(guī)范訓練理

PAGE1-第三講概率與統(tǒng)計1．(2024·福州四校聯(lián)考)某知名品牌汽車深受消費者寵愛，但價格昂貴．某汽車經(jīng)銷商推出A，B，C三種分期付款方式銷售該品牌汽車，并對近期100位采納上述分期付款方式付款的客戶進行統(tǒng)計分析，得到柱狀圖如圖所示．已知從A，B，C三種分期付款銷售中，該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車1輛所獲得的利潤分別是1萬元、2萬元、3萬元．現(xiàn)甲、乙兩人從該汽車經(jīng)銷商處，采納上述分期付款方式各購買此品牌汽車一輛．以這100位客戶所采納的分期付款方式的頻率估計1位客戶采納相應分期付款方式的概率．(1)求甲、乙兩人采納不同分期付款方式的概率；(2)記X(單位：萬元)為該汽車經(jīng)銷商從甲、乙兩人購車中所獲得的利潤，求X的分布列與期望．解析：(1)設“采納A種分期付款方式購車”為事務A，“采納B種分期付款方式購車”為事務B，“采納C種分期付款方式購車”為事務C，由柱狀圖得，P(A)＝eq\f(35,100)＝0.35，P(B)＝eq\f(45,100)＝0.45，P(C)＝eq\f(20,100)＝0.2，∴甲、乙兩人采納不同分期付款方式的概率P＝1－[P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C)]＝0.635.(2)由題意知，X的全部可能取值為2,3,4,5,6，P(X＝2)＝P(A)P(A)＝0.35×0.35＝0.1225，P(X＝3)＝P(A)P(B)＋P(B)P(A)＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P(X＝4)＝P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.3425，P(X＝5)＝P(B)P(C)＋P(C)P(B)＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18，P(X＝6)＝P(C)P(C)＝0.2×0.2＝0.04.∴X的分布列為X23456P0.12250.3150.34250.180.04E(X)＝0.1225×2＋0.315×3＋0.3425×4＋0.18×5＋0.04×6＝3.7.2．(2024·山西八校聯(lián)考)某電視廠家打算在元旦實行促銷活動，現(xiàn)依據(jù)近七年的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費支出．廣告費支出x(萬元)和銷售量y(萬元)的數(shù)據(jù)如下：年份2012201320142015202420242024廣告費支出x1246111319銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用線性回來模型擬合y與x的關系，求出y關于x的線性回來方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型擬合y與x的關系，可得回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，經(jīng)計算線性回來模型和該模型的R2分別約為0.75和0.88，請用R2說明選擇哪個回來模型更好；(3)已知利潤z與x，y的關系為z＝200y－x.依據(jù)(2)的結果回答下列問題：①廣告費x＝20時，銷售量及利潤的預報值是多少？②廣告費x為何值時，利潤的預報值最大？(精確到0.01)參考公式：回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).參考數(shù)據(jù)：eq\r(5)≈2.24.解析：(1)∵eq\x\to(x)＝8，eq\x\to(y)＝4.2，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝708，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，∴y關于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，∴選用eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)更好．(3)由(2)知，①當x＝20時，銷售量的預報值eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(20)≈6.07(萬臺)，利潤的預報值z＝200×6.07－20≈1193.04(萬元)．②z＝200(1.63＋0.99eq\r(x))－x＝－x＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x))2＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x)－99)2＋10127，∴當eq\r(x)＝99，即x＝9801時，利潤的預報值最大，故廣告費為9801萬元時，利潤的預報值最大．3．(2024·湖南郴州模擬)某公司想了解對某產(chǎn)品投入的宣揚費用對該產(chǎn)品的營業(yè)額的影響．下面是以往公司對該產(chǎn)品的宣揚費用x(單位：萬元)和產(chǎn)品營業(yè)額y(單位：萬元)的統(tǒng)計折線圖．(1)依據(jù)折線圖可以推斷，可用線性回來模型擬合宣揚費用x與產(chǎn)品營業(yè)額y的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立產(chǎn)品營業(yè)額y關于宣揚費用x的回來方程；(3)若某段時間內產(chǎn)品利潤z與宣揚費用x和營業(yè)額y的關系為z＝x(y－1.01x－0.09)＋50，應投入宣揚費用多少萬元才能使利潤最大？并求最大利潤．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝37.28，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝160.68，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝2.2，eq\r(7)≈2.65.參考公式：相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to()\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解析：(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2＝28，r＝eq\f(160.68－4×37.28,\r(28)×2.2)≈0.99，因為y與x的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與x的線性相關程度相當高，從而可以用線性回來模型擬合y與x的關系．(2)因為eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,7,y)i,7)≈5.33，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(160.68－4×37.28,28)≈0.41，eq\o(a,\s\up6(^))≈5.33－0.41×4＝3.69，所以y關于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.41x＋3.69.(3)由z＝x(y－1.01x－0.09)＋50＝－0.6x2＋3.6x＋50，可得x＝3時，zmax＝55.4.所以投入宣揚費用3萬元時，可獲得最大利潤55.4萬元．4．(2024·遼寧五校聯(lián)考)某校高三年級有500名學生，一次考試的英語成果聽從正態(tài)分布N(100,17.52)，數(shù)學成果的頻率分布直方圖如下：(1)假如成果高于135分的為特殊優(yōu)秀，則本次考試英語、數(shù)學成果特殊優(yōu)秀的學生大約各多少人？(2)試問本次考試英語和數(shù)學的平均成果哪個較高，并說明理由．(3)假如英語和數(shù)學兩科成果都特殊優(yōu)秀的共有6人，從(1)中的這些學生中隨機抽取3人，設3人中兩科成果都特殊優(yōu)秀的有ξ人，求ξ的分布列和數(shù)學期望．參考公式及數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.96，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99.解析：(1)因為英語成果聽從正態(tài)分布N(100，17.52)，所以英語成果特殊優(yōu)秀的概率P1＝P(X≥135)＝(1－0.96)×eq\f(1,2)＝0.02，由頻率估計概率，得數(shù)學成果特殊優(yōu)秀的概率P2＝0.0016×20×eq\f(3,4)＝0.024，所以英語成果特殊優(yōu)秀的學生大約有500×0.02＝10(人)，數(shù)學成果特殊優(yōu)秀的學生大約有500×0.024＝12(人)．(2)本次考試英語的平均成果為100分，數(shù)學的平均成果為60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72(分)，因為94.72<100，所以本次考試英語的平均成果較高．(3)英語和數(shù)學成果都特殊優(yōu)秀的有6人，則單科成果特殊優(yōu)秀的有10人，ξ可取的值有0,1,2,3，所以P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,16))＝eq\f(3,14)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,6),C\o\al(3,16))＝eq\f(27,56)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1