2025屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)層級二專題六概率與統(tǒng)計第2講概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用課時作業(yè)文

PAGE1-層級二專題六第2講概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用(文)限時50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.(2024·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)，呈現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對統(tǒng)一的形式美．依據(jù)太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被y＝3sineq\f(π,6)x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)解析：B[由題意，所求事務(wù)的概率模型是一個與面積相關(guān)的幾何概型．由圖可知，大圓的直徑等于函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的周期T.設(shè)大圓的半徑為R，則R＝eq\f(T,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,\f(π,6))＝6，則大圓面積為S1＝πR2＝36π.兩個小圓的半徑都為1，故其面積和為S2＝π×12×2＝2π，由幾何概型可得，所求事務(wù)的概率P＝eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18).故選B.]2．(課標(biāo)全國Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：C[從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法：(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫)，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種，所以所求事務(wù)的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選C.]3．(2024·?？谀M)某學(xué)校星期一至星期五每天上午共支配五節(jié)課，每節(jié)課的時間為40分鐘，第一節(jié)課上課時間為7：50～8：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：B[他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為40，他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘，則他在8：50～9：00之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為10，所以他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).]4．(2024·全國Ⅲ卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：D[本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行等同法，利用等價轉(zhuǎn)化的思想解題．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是eq\f(1,2).故選D.]5．(2024·保定模擬)甲、乙、丙三名同學(xué)6次數(shù)學(xué)成果及班級平均分(單位：分)如表所示：第一次其次次第三次第四次第五次第六次甲958792938794乙888085788672丙696372717474全班887281807577則下列說法錯誤的是()A．甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成果高于班級平均水平，且較穩(wěn)定B．乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成果平均值是81.5分C．從丙同學(xué)前4次的數(shù)學(xué)成果中隨機(jī)抽取2次，這2次中至少有1次成果超過70分的概率為eq\f(5,6)D．在6次數(shù)學(xué)成果中，乙同學(xué)成果超過班級平均分的概率為eq\f(1,2)解析：D[由統(tǒng)計表知，甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成果高于班級平均水平，且較穩(wěn)定，故A正確；乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成果平均值是eq\f(1,6)×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正確；從丙同學(xué)前4次的數(shù)學(xué)成果中隨機(jī)抽取2次的全部可能狀況為(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6種，至少有1次成果超過70分的狀況為(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5種，故所求概率為eq\f(5,6)，故C正確；在6次數(shù)學(xué)成果中，乙同學(xué)成果超過班級平均分的次數(shù)為2，所以超過班級平均分的概率為eq\f(1,3)，故D不正確．故選D.]6．(2024·濰坊三模)某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進(jìn)價為3元，銷售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示．設(shè)x為這種商品每天的銷售量，y為該商場每天銷售這種商品的利潤．從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,8)解析：B[當(dāng)日銷售量不少于20個時，日利潤不少于96元，其中日銷售量為20個時，日利潤為96元；日銷售量為21個時，日利潤為97元．從條形統(tǒng)計圖可以看出，日銷售量為20個的3天，日銷售量為21個的有2天．日銷售量為20個的3天，分別記為a，b，c，日銷售量為21個的2天，分別記為A，B，從這5天中任選2天，可能的狀況有10種：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中選出的2天日銷售量都為21個的狀況只有1種，故所求概率P＝eq\f(1,10).]二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7．已知1,4,2,8，y這5個數(shù)的平均值為4，在2,0,1，y這4個數(shù)中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，則2是取出的3個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為________．解析：由題意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，從數(shù)2,0,1,5中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4種不同狀況，其中2是取出的3個不同數(shù)的中位數(shù)的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2種，∴對應(yīng)的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．(2024·江蘇卷)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參與志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________．解析：計數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本領(lǐng)件總數(shù)是解題的重要一環(huán)．在處理問題的過程中，應(yīng)留意審清題意，明確“分類”“分步”，設(shè)3名男同學(xué)為A1、A2、A3,2名女同學(xué)為B1、B2，則從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參與志愿服務(wù)，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10種狀況．若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6種狀況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有B1B2共1種狀況，所以所求的概率為eq\f(6＋1,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9．(2024·武漢模擬)某公司為了提高利潤，從2013年至2024年每年都對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額x(單位：萬元)與年利潤增長量y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表：年份2013201420152024202420242024投資金額x/萬元4.55.05.56.06.57.07.5年利潤增長量y/萬元6.07.07.48.18.99.611.1(1)請用最小二乘法求出y關(guān)于x的回來直線方程．假如2024年該公司支配對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬元，估計該公司在該年的年利潤增長量為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)現(xiàn)從2013年至2024年這7年中抽出兩年進(jìn)行調(diào)查，記λ＝年利潤增長量－投資金額，求這兩年都是λ＞2萬元的概率．解析：(1)eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝8.3,7eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝348.6，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)＝eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，所以回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57x－1.13.將x＝8代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57×8－1.13＝11.43，即該公司在該年的年利潤增長量大約為11.43萬元．(2)由題意可知，年份2013201420152024202420242024λ/萬元1.521.92.12.42.63.62013年至2024年這7年分別記為1,2,3,4,5,6,7，則總的基本領(lǐng)件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21種，抽出的兩年都是λ＞2萬元的狀況為(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6種，所以抽出的兩年都是λ＞2萬元的概率P＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7).10．(2024·北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變，近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的運(yùn)用狀況，從全校全部的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，樣本中僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅運(yùn)用A27人3人僅運(yùn)用B24人1人(1)估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的人數(shù)；(2)從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有改變，現(xiàn)從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變？說明理由．解析：本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計算求解實(shí)力．(1)由圖表可知僅運(yùn)用A的人數(shù)有30人，僅運(yùn)用B的人數(shù)有25人，由題意知A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，所以樣本中兩種支付方式都運(yùn)用的有100－30－25－5＝40，所以全校學(xué)生中兩種支付方式都運(yùn)用的有eq\f(40,100)×1000＝400(人)．(2)因?yàn)闃颖局袃H運(yùn)用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，所以該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率為eq\f(1,25).(3)由(2)知支付金額大于2000元的概率為eq\f(1,25)，因?yàn)閺膬H運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元，依據(jù)小概率事務(wù)它在一次試驗(yàn)中是幾乎不行能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅運(yùn)用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變，且比上個月多．答案：(1)400人(2)eq\f(1,25)(3)見解析11．(2024·遼寧六校協(xié)作體聯(lián)考)十九大報告指出，堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)．某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進(jìn)行銷售．為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個蜜柚測量它們的質(zhì)量(單位：克)，其質(zhì)量分布在區(qū)間[1500,3000]內(nèi)，依據(jù)統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如圖所示．(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[1750,2000)，[2000，2250)內(nèi)的蜜柚中隨機(jī)抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機(jī)抽取2個，求這2個蜜柚的質(zhì)量均小于2000克的概率；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：A．全部蜜柚均以40元/千克的價格收購；B．質(zhì)量低于2250克的蜜柚以60元/個的價格收購，質(zhì)量高于或等于2250克的蜜柚以80元/個的價格收購．請你通過計算為該村選擇收益最好的方案．解析：(1)由題意得蜜柚質(zhì)量在[1750,2000)內(nèi)和在[2000，2250)內(nèi)的比例為2∶3，所以應(yīng)分別從質(zhì)量在[1750,2000)內(nèi)和在[2000，2250)內(nèi)的蜜柚中各抽取2個和3個．記抽取質(zhì)量在[1750,2000)內(nèi)的蜜柚為A1，A2，質(zhì)量在[2000,2250)內(nèi)的蜜柚為B1，B2，B3，則從這5個蜜柚中隨機(jī)抽取2個的狀況共有以下10種：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．其中2個蜜柚的質(zhì)量均小于2000克的僅有{A1，A2}這1種狀況，故所求概率為eq\f(1,10).(2)方案A好，理由如下．由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在[1500,1750)內(nèi)的頻率為250×0.0004＝0.1，同