2025版高考數學一輪復習第四章三角函數解三角形第7講解三角形應用舉例高效演練分層突破文新人教A版

PAGEPAGE1第7講解三角形應用舉例[基礎題組練]1．在相距2km的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為()A.eq\r(6)km B.eq\r(2)kmC.eq\r(3)km D．2km解析：選A.如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，所以AC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)(km)．2．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)解析：選D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).3．如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補，則AC的長為()A．7km B．8kmC．9km D．6km解析：選A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－eq\f(1,2)，所以AC＝eq\r(49)＝7.4．一艘海輪從A處動身，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：選A.如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．5．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：選C.因為tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，所以BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)．6．海上有A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是nmile.解析：如圖，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6)(nmile)．答案：5eq\r(6)7.如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂的仰角為45°，在塔底D的南偏東60°的B處測得塔頂的仰角為30°，A，B間的距離是84m，則塔高CD＝m.解析：設塔高CD＝xm，則AD＝xm，DB＝eq\r(3)xm.又由題意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(eq\r(3)x)2－2eq\r(3)·x2cos150°，解得x＝12eq\r(7)(負值舍去)，故塔高為12eq\r(7)m.答案：12eq\r(7)8．一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為海里/小時．解析：如圖，由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，所以MN＝68×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6)(海里)．又由M到N所用的時間為14－10＝4(小時)，所以此船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/小時)．答案：eq\f(17\r(6),2)9．漁政船在東海某海疆巡航，已知該船正以15eq\r(3)海里/時的速度向正北方向航行，該船在A點處時發(fā)覺在北偏東30°方向的海面上有一個小島，接著航行20分鐘到達B點，此時發(fā)覺該小島在北偏東60°方向上，若該船向正北方向接著航行，船與小島的最小距離為多少海里？解：依據題意畫出相應的圖形，如圖所示，過C作CD⊥AD于點D，由題意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)，因為∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，所以△ABC為等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因為∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5eq\r(3)，所以CD＝eq\f(15,2)，則該船向北接著航行，船與小島的最小距離為7.5海里．10．如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.解：依據題意，AC＝100eq\r(2)m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．[綜合題組練]1．如圖所示，一座建筑物AB的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為()A．30m B．60mC．30eq\r(3)m D．40eq\r(3)m解析：選B.在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6)(m)．過點A作AN⊥CD于點N，如圖所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，解得MC＝40eq\r(3)(m)．在Rt△CMD中，CD＝40eq\r(3)×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高為60m.2.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為米．解析：連接OC，由題意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°，即OC＝50eq\r(7).答案：50eq\r(7)3.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的長．解：(1)因為AD∶AB＝2∶3，所以可設AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理，得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)因為AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7)，所以sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7)，所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以CD＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).4．(應用型)某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；(2)隨著經濟的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開拓水上航線．勘測時發(fā)覺：以O為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū)，不相宜船只航行．請確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短．解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，依據余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°＝62＋102－2×6×10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝196，所以AB＝14.故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14km.(2)依題意得，直線MN必與圓O相切．設切點為C，連接OC(圖略)，則OC⊥MN.設OM＝x，ON＝y(tǒng)，MN＝c，在△OMN中，由eq\f(1,2)M