青島版（2024）數(shù)學(xué)七上第5章一元一次方程5.4一元一次方程與實際問題課件

5.4一元一次方程與實際問題第5章一元一次方程知識點列一元一次方程解實際問題的一般步驟1列一元一次方程解實際問題的一般步驟：(1)理解題意，明確問題中的已知量、未知量；(2)用字母表示問題中的一個未知量，并根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系用含該字母的代數(shù)式表示其他未知量；(3)根據(jù)等量關(guān)系，列出方程；(4)解方程，求出未知數(shù)的值；(5)寫出答案.列一元一次方程解決實際問題的步驟，可以用如圖5.4－1的框圖表示：特別提醒1.一道應(yīng)用題中往往含有幾個未知量，應(yīng)恰當(dāng)選擇其中一個，其他的未知量可用這一個未知量來表示，從而列出方程，一般問什么設(shè)什么，但有時也間接設(shè)未知量.2.設(shè)和答必須寫清單位.3.一般情況下，題目所給的條件在列方程時不能重復(fù)使用，也不能漏掉不用.例1[期末·臺州黃巖區(qū)]某班級去某動物園開展研學(xué)活動，已知成人門票每張280元，學(xué)生門票每張220元．解題秘方：緊扣列一元一次方程解決實際問題的一般步驟解題.找出等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．(1)若參加的教師和學(xué)生總?cè)藬?shù)為50，

需收取門票費11300元，

問教師和學(xué)生各幾人？解：設(shè)學(xué)生有x人，則教師有(50－x)人，根據(jù)題意，得220x＋280(50－x)＝11300，解得x＝45.50－45＝5(人).所以，學(xué)生有45人，教師有5人．(2)該動物園推出活動，

若學(xué)生人數(shù)為50及以上，

優(yōu)惠方案為：成人門票每張240元，學(xué)生門票每張150元，在(1)的基礎(chǔ)上，

又有幾名同學(xué)報名參加，

最終門票費用比原價購買的情況下優(yōu)惠了30％，那么新增了幾名同學(xué)？解：設(shè)新增了y

名同學(xué)，根據(jù)題意，得150(45＋y)＋240×5＝[(45＋y)×220＋280×5]×(1－30％)，解得y＝10.

所以，新增了10名同學(xué)．1－1.小明和小杰擁有的圖書數(shù)量之比為3∶2，如果小明送給小杰15本，兩人的圖書數(shù)量就一樣多，問兩人共有多少本圖書？解：設(shè)小明原來有3x本圖書，則小杰原來有2x本圖書.根據(jù)題意，得3x－15＝2x＋15，解得x＝30.則3x＋2x＝5x＝150.所以，兩人共有150本圖書．1－2.某動物園的門票價格如下：某天該動物園共售出1680張門票,收入是54400元.則成人票和學(xué)生票各售出多少張？門票類型價格/(元/人)成人票40學(xué)生票20解：設(shè)成人票售出x張，則學(xué)生票售出(1680－x)張．由題意，得40x＋20(1680－x)＝54400，解得x＝1040.則1680－x＝1680－1040＝640.所以，成人票售出1040張，學(xué)生票售出640張．知識點積分問題2在比賽積分問題中，基本相等關(guān)系有：參賽場數(shù)＝

勝場數(shù)＋

負場數(shù)＋

平場數(shù)；比賽總積分＝

勝場積分＋

負場積分＋

平場積分.特別解讀：(1)比賽中的積分與勝負場數(shù)有關(guān)，同時也與比賽積分規(guī)則有關(guān)，需先弄清“勝一場積幾分，平一場積幾分，負一場積幾分”.(2)在積分規(guī)則中，一般規(guī)律為：勝場積分>平場積分>負場積分，據(jù)此可粗略判斷解題的結(jié)果是否正確.特別提醒并不是每種比賽都按勝、平、負的情況積分，有的只按勝、平兩種情況積分，所以解題時一定要認真理解比賽的積分規(guī)則．下表是某足球聯(lián)賽第一階段小組賽(該小組共4個隊，每個隊分別與其他3個隊進行主客場比賽各一場，即每個隊要進行6場比賽)積分表的一部分.例2排名球隊場次勝場平場負場進球主場進球客場進球積分1A6？？11385132B6321835113C63129x5104D60061100備注積分＝勝場積分＋平場積分＋負場積分解題秘方：根據(jù)表格中提供的勝、平、負的場數(shù)及對應(yīng)的總積分，分析出勝場、平場及負場積分.根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.(1)表格中C

隊的主場進球數(shù)x

的值為____，

本次足球小組賽勝一場積___分，

平一場積___分，

負一場積___分.4310詳解設(shè)勝一場積y分.根據(jù)D隊積分為0可知，負一場積0分；根據(jù)B，C兩隊的積分可知，平一場積1分；再根據(jù)B隊積分為11，列方程，得3y＋2＝11，解得y＝3.所以勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分.(2)該足球聯(lián)賽獎金分配方案為：

參加第一階段小組賽6場比賽的每個球隊都可以獲得參賽獎金1200萬元.另外，小組賽中每獲勝一場可以獲得150萬元，

平一場可以獲得50萬元.請根據(jù)表格提供的信息，

求在第一階段小組賽結(jié)束后，A

隊一共能獲得多少萬元的獎金？解：設(shè)A隊勝a

場，則平(6－a－1)場，根據(jù)題意，得3a＋(6－a－1)＝13，解得a＝4.則6－a－1＝1.所以A隊一共能獲得獎金1200＋150×4＋50×1＝1850(萬元).2－1.每年的12月4日為全國法制宣傳日，當(dāng)天某學(xué)校組織4名學(xué)生參加法制知識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表記錄了其中2名參賽學(xué)生的得分情況.參賽學(xué)生答對題數(shù)答錯題數(shù)得分/分A200100B17379(1)若參賽學(xué)生C

得72分，則他答對了幾道題？答錯了幾道題？解：根據(jù)題表得出答對一題得5分，答錯一題扣2分．(1)設(shè)參賽學(xué)生C答對了x道題，則答錯了(20－x)道題，由題意，得5x－2(20－x)＝72，解得x＝16.則20－x＝20－16＝4.所以，他答對了16道題，答錯了4道題．(2)參賽學(xué)生D說他可以得88分，你認為可能嗎？為什么？知識點配套、調(diào)配問題31.生產(chǎn)配套問題中的基本相等關(guān)系加工(或生產(chǎn))的各種零件、配件的總數(shù)量比等于一套組合件中各種零件、配件的數(shù)量比.2.調(diào)配問題中的基本相等關(guān)系調(diào)配問題一般把調(diào)配的結(jié)果作為等量關(guān)系列方程.調(diào)配問題有兩種類型：(1)內(nèi)部調(diào)配，即從甲(乙)處調(diào)人(或物)到乙(甲)處,此時甲(乙)處減少的人(或物)數(shù)＝

乙(甲)處增加的人(或物)數(shù)；(2)外部調(diào)配,即從第三方調(diào)人(或物)到甲、乙兩處，此時甲、乙兩處原有人(或物)數(shù)不會減少.特別提醒要認真區(qū)別配套問題中的關(guān)鍵詞語“剛好”與“最多”.某車間有28名工人，現(xiàn)在要生產(chǎn)一種螺栓和螺帽，每名工人每小時能生產(chǎn)螺栓12個或螺帽18個，2個螺栓要配3個螺帽，應(yīng)安排多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺帽，才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套？例3解題秘方：解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，利用配套規(guī)則列方程求解.解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺栓，則安排(28－x)名工人生產(chǎn)螺帽.根據(jù)題意，得3×12x＝2×18×(28－x).解得x＝14，所以28－x＝14.所以應(yīng)安排14名工人生產(chǎn)螺栓，14名工人生產(chǎn)螺帽，才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套.3－1.某服裝廠生產(chǎn)一種運動服，已知每3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用800m長的布料生產(chǎn)服裝，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子，才能恰好配套？共能生產(chǎn)多少套？學(xué)校組織植樹活動，已知有23人在甲處植樹，有17人在乙處植樹，現(xiàn)另調(diào)20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)是在乙處植樹人數(shù)的2倍，應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處各多少人？例4解題秘方：此類問題多用列表法找相等關(guān)系.設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，列表如下：根據(jù)表格中的等量關(guān)系列出一元一次方程求解即可.原有人數(shù)增加人數(shù)現(xiàn)有人數(shù)甲處23x23＋x乙處1720－x17＋(20－x)

4－1.為了進一步落實“雙減”政策，某校積極開展社團活動，國際象棋社團原有學(xué)生64人，羽毛球社團原有學(xué)生56人.我國羽毛球運動員在2024中國(瑞昌)國際羽毛球大師賽中取得佳績后，學(xué)校掀起一股羽毛球熱潮，有部分國際象棋社團學(xué)生轉(zhuǎn)入羽毛球社團，現(xiàn)在國際象棋社團人數(shù)是羽毛球社團人數(shù)的一半，問有多少名學(xué)生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團？解：設(shè)有x名學(xué)生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團．根據(jù)題意，得2(64－x)＝56＋x，解得x＝24.所以，有24名學(xué)生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團．知識點中點四邊形4

2.常見的行程問題有追及問題、相遇問題、相向而行、背向而行等.涉及兩者間的行程，若同時出發(fā)，則時間相等，利用路程之間的關(guān)系列方程.特別提醒解決行程問題，關(guān)鍵是明確題目中的數(shù)量關(guān)系，這是列方程的依據(jù).一般來說，題目中有兩個等量關(guān)系，根據(jù)其中一個等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再用另一個等量關(guān)系來列方程.甲站和乙站相距1700km，一列慢車從甲站開出，速度為120km/h，一列快車從乙站開出，速度為150km/h.例5(1)若兩車相向而行，

慢車先開40min，

快車開出幾小時后兩車相遇？解題秘方：等量關(guān)系：慢車行駛的路程＋

快車行駛的路程＝1500km.

(2)若兩車同時開出，

快車在慢車后面同向而行，

多少小時后兩車相距1400km(此時快車在慢車的后面)？解題秘方：等量關(guān)系：慢車行駛的路程＋1500km－

快車行駛的路程＝1200km.根據(jù)等量關(guān)系列方程求解.解：設(shè)y

h后兩車相距1400km(此時快車在慢車的后面).由題意，得120y＋1700－150y＝1400.解得y＝10.所以，10h后兩車相距1400km(此時快車在慢車的后面).5－1.[期末·濱州濱城區(qū)]某校七年級學(xué)生遠足活動期間，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進，每小時走4.5km.一列火車以每小時120km的速度迎面開來，測得從火車頭與隊首學(xué)生相遇，到車尾與隊末學(xué)生相遇，共經(jīng)過12s，如果隊伍長135m，那么火車長

__________m.280小明和他的哥哥早晨起來沿長為400m的環(huán)形跑道跑步，小明跑2圈用的時間和他的哥哥跑3圈用的時間相等，兩人同時同地同向出發(fā)，結(jié)果經(jīng)過2min40s他們第一次相遇，若兩人同時同地反向出發(fā)，則經(jīng)過幾秒他們第一次相遇？例6解題秘方：可將環(huán)形中的相遇或追及問題轉(zhuǎn)化為直線形中的相遇或追及問題.

本例也可設(shè)他們兩人的速度分別為2xm/s和3xm/s.知識儲備環(huán)形運動問題中的相等關(guān)系(同時同地出發(fā))：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的長度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的路程＋第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的長度.6－1.小明、小亮分別在400m的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，他們的速度比是7∶3，兩人同時由同一點背向出發(fā)，80s后第一次相遇，小明的速度是每秒______m.3.5一列火車勻速行駛經(jīng)過一座橋，火車完全通過橋共用了50s，整列火車完全在橋上的時間為30s，已知橋長為1200m，求火車的長度和速度.例7解題秘方：理解“完全通過橋”和“完全在橋上”時火車的運動過程，根據(jù)火車行駛的路程及速度列方程.

方法點撥：火車過橋問題的圖形表示:(1)“火車完全通過橋”是指從火車車頭上橋到火車車尾離橋，如圖5.4－2.(2)“火車完全在橋上”是指從火車車尾上橋到火車車頭離橋，如圖5.4－3.7－1.一列勻速前進的火車，從它開始進入600m的隧道到完全通過，共需40s，在這個過程中又知在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光線垂直照射火車的時間是8s，則這列火車的長度是()A.100m B.125mC.140m D.150mD一艘輪船在兩個碼頭間航行，順流需航行4h，逆流需航行5h，如果水流速度為3km/h，求兩個碼頭間的距離.例8

直接設(shè)未知數(shù).(方法二)設(shè)輪船在靜水中的速度為x

km/h，則v順＝(x＋3)km/h，v逆＝(x－3)km/h.由題意,得4(x＋3)＝5(x－3).解得x＝27.所以4(x＋3)＝

4×(27＋3)＝120.所以，兩個碼頭間的距離為120km.間接設(shè)未知數(shù).8-1.船在靜水中的速度是20km/h，水流速度是4km/h，從一碼頭逆流而上，再順流而下，該船最多開出_______km就應(yīng)返回才能在5h內(nèi)回到碼頭．48知識點工程問題5

2.找相等關(guān)系列方程的方法與行程問題相類似，一般有如下規(guī)律：在工作量、工作效率、工作時間這三個量中，如果一個量已知，那么就設(shè)另一個量為未知數(shù)，從第三個量找等量關(guān)系列方程.特別提醒1.當(dāng)問題中總工作量未知而又不求總工作量時，通常把總工作量看成整體“1”.2.常見的等量關(guān)系為：總工作量=各部分工作量之和.[期末·北京海淀區(qū)]文物修復(fù)師們計劃用30個月完成某件文物的修復(fù)工作.如果讓一名文物修復(fù)師單獨修復(fù)該文物，需要720個月完成.假設(shè)每名文物修復(fù)師的工作效率相同，先由16名文物修復(fù)師一起修復(fù)10個月，還需要增加多少名文物修復(fù)師才能按時完成修復(fù)工作？例9解題秘方：本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)工作總量＝

工作時間×

工作效率,列出方程求解即可.

9－1.某地決定修建一條高速公路，其中一段長為146m的山體隧道貫穿工程由甲、乙兩個工程隊負責(zé)施工，甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩個工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26m，已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2m，按此速度完成這項隧道貫穿工程甲、乙兩個工程隊還需要聯(lián)合工作多少天？知識點銷售問題61.在現(xiàn)實生活中，購買商品和銷售商品時，經(jīng)常遇到的量有進價、標(biāo)價、售價、折扣、利潤、利潤率等.

知識儲備1.利潤率是相對于進價而言的，是利潤占進價的百分比.2.在標(biāo)價的基礎(chǔ)上打折時，打幾折，就乘十分之幾.商場將一件進價為100元的玩具提高60%后標(biāo)價，銷售時按標(biāo)價打折銷售，結(jié)果仍獲利20%，則這件玩具銷售時打幾折？例10解題秘方：根據(jù)“利潤＝售價－進價”列出方程即可求解.

10－1.一家服裝店因換季將某種服裝打折銷售，如果每件服裝按標(biāo)價的五折出售將虧損20元，而按標(biāo)價的八折出售將盈利40元.(1)每件服裝的標(biāo)價，成本各是多少元？解：設(shè)每件服裝的成本是x元，則標(biāo)價是2(x－20)元．根據(jù)題意得0.8×2(x－20)－x＝40，解得x＝120，所以2(x－20)＝200.所以，每件服裝的標(biāo)價是200元，成本是120元．(2)為保證不虧本，最多能打幾折？解：120÷200＝0.6.所以，為保證不虧本，最多能打六折．[中考·泰州]某校七年級社會實踐小組去某商場調(diào)查商品銷售情況，了解到該商場以每件80元的價格購進了某品牌襯衫500件，并以每件120元的價格銷售了400件，商場準(zhǔn)備采取促銷措施，將剩下的襯衫降價銷售.請你幫商場計算一下，每件襯衫降價多少元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)？例11解題秘方：根據(jù)計算銷售總額的兩種方式列出方程即可求解.解：設(shè)每件襯衫降價x

元，根據(jù)題意，得120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%).解得x＝20.所以，每件襯衫降價20元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預(yù)期目標(biāo).11－1.[模擬·西安]2024年2月，第十四屆全國冬季運動會在內(nèi)蒙古自治區(qū)舉辦，吉祥物蒙古彩娃“安達”和“賽努”深受人民喜愛．某服裝店以每件25元的價格購進一批印有蒙古彩娃的文化衫，若每件標(biāo)價降低10元，則銷售16件的利潤為80元，求文化衫每件的標(biāo)價.解：設(shè)文化衫每件的標(biāo)價為x元，由題意，得16(x－25－10)＝80，解得x＝40.所以，文化衫每件的標(biāo)價為40元．某商店將兩個進價不同的豆?jié){機都賣了378元，其中一個盈利20%，另一個虧損20%，那么這家商店賣出這兩個豆?jié){機是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？例12解題秘方：根據(jù)利潤＝售價－進價，求出兩個商品的進價，再由進價高于售價則虧損，進價低于售價則盈利，進價等于售價則不盈不虧進行判斷.解:設(shè)盈利20%的豆?jié){機的進價為x

元.由題意，得(1＋20%)x＝378，解得x＝315.設(shè)虧損

20%的豆?jié){機的進價為y元，由題意，得(1－20%)y＝378，解得

y＝472.5.所以這兩個豆?jié){機的進價和是315＋472.5＝787.5(元).因為這兩個豆?jié){機共賣了378×2＝756(元)，756－787.5＝－

31.5(元).

所以，這家商店賣出這兩個豆?jié){機是虧損的，虧損了31.5元.12-1.“雙11”電商節(jié)，某商店把某種商品按進價加20%作為定價，按定價的1.5倍標(biāo)價再打八折出售，最終售出10件，總營業(yè)額為720元，則這次生意的盈虧情況為__________.盈利220元知識點儲蓄問題71.儲蓄問題的有關(guān)概念儲戶存入銀行的錢叫本金；銀行付給儲戶的酬金叫利息；本金和利息合稱本息和；存入銀行的時間叫期數(shù)；每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.2.相關(guān)的關(guān)系式利息＝本金×利率×期數(shù)；本息和＝本金×(1＋利率×期數(shù))＝本金＋利息.易錯警示利率分年利率和月利率兩種情況，解決利息問題時要看清是年利率還是月利率，以免出錯.小張在某銀行里存了三年期的教育儲蓄(這種儲蓄的年利率為2.7%，免征利息稅)，三年到期后小張一共取出2162元，則小張存了多少元？例13解題秘方：由等量關(guān)系：本息和＝本金×(1＋利率×期數(shù))列出方程求解.解：設(shè)小張存了x元，由題意，得(1＋2.7%×3)x＝2162，解得x＝2000.所以，小張存了2000元.13-1.[模擬·聊城]李老師在銀行存入了三年期的定期存款30000元.若到期后取出本息共31755元，則該銀行三年定期儲蓄的年利率是_______.(結(jié)果用百分數(shù)表示)1.95%知識點計費問題81.常見的計費問題(1)通信計費(手機、電話、上網(wǎng))；(2)水、電費計費；(3)稅費計費.2.要解決的問題(1)利用量(時間、用電量、用水量、收入等)和費用之間的關(guān)系求費用或量的大??；(2)根據(jù)計費方式設(shè)計最優(yōu)、最省錢的方案.知識鏈接解決計費問題關(guān)鍵要分析兩點：1.費用的變化主要與什么量有關(guān).2.認清計費方式，特別注意分段收費的方式.近幾年我國部分地區(qū)不時出現(xiàn)的嚴(yán)重干早，使我們認識到節(jié)水的重要性，為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市對自來水收費采用階梯價格的調(diào)控手段以達到節(jié)水的目的.該市自來水收費價格