第十八章 平行四邊形教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

第十八章平行四邊形教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).1.下列說法中，正確的是（D）A.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形2.若四邊形的兩條對(duì)角線相等，則順次連接該四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（C）A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（D）第3題圖A.0.5km B.0.6kmC.0.9km D.1.2km4.如圖，在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，若AB＝4，EF＝1，則BC長(zhǎng)為（A）第4題圖A.7 B.8C.9 D.105.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（C）第5題圖A.8 B.9C.10 D.116.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)，連接EF，若OA＝3，EF＝2，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為（D）第6題圖A.2 B.2.5C.3 D.57.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)O，連接BM，DN.若AB＝4，MD＝5，則AD的長(zhǎng)為（B）第7題圖A.6 B.8C.10 D.128.如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值為（C）第8題圖A.1 B.1.3C.1.2 D.2.49.如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作AE的垂直平分線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)F，若BG＝2BE，則DF∶CF的值為（A）第9題圖A.5－13 B.5+18 C.10.如圖，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)由A，C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)（到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)E的速度為1cm/s，點(diǎn)F的速度為2cm/s.若經(jīng)過t秒，△DEF為等邊三角形，則t的值為（D）第10題圖A.34 B.C.32 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.11.如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CB，CD為邊作?BCDE，則∠E的度數(shù)是70°.第11題圖12.如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，則平行四邊形ABCD的面積為123.第12題圖13.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于點(diǎn)E.若AB＝4，BC＝8，則圖中陰影部分的面積為10.第13題圖14.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD邊上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E.若∠CBF＝20°，則∠AED等于65°.第14題圖15.如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為83，E為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP＋AP的最小值為23.第15題圖16.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，連接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接EF，已知AD＝5，CF＝3，則EF＝4.第16題圖三、解答題：本大題共6小題，共46分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∠A＝30°，BC＝2，求CD的長(zhǎng).解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD是AB邊上的中線.∴CD＝12AB∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝2×2＝4.∴CD＝12AB＝12×4＝18.（6分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，BD⊥∴BD＝2OB＝2×2＝4.∵S菱形ABCD＝12AC·BD＝4，∴12×4×AC＝4.∴AC＝∴OC＝12AC＝12×2＝在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理，得BC＝OB2＋OC∵S菱形ABCD＝BC·AE＝5AE＝4，∴AE＝45＝419.（6分）數(shù)學(xué)課上老師要同學(xué)證明命題“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是正確的.小澈同學(xué)先任意畫出△ABC，再取邊AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使OD＝OB，連接AD，CD（如圖所示），并寫出了如下尚不完整的已知和求證.已知：如圖，在四邊形ABCD中，OD＝OB.OA＝OC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.（1）補(bǔ)全已知和求證；（2）小澈同學(xué)的思路是利用三角形全等，依據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明，請(qǐng)用小澈的思路完成證明過程.（注意：其他方法不得分）（1）解：補(bǔ)全已知和求證如上所示.（2）證明：在△ABO與△CDO中，OD∴△ABO≌△CDO（SAS）.∴AB＝CD，∠BAO＝∠DCO.∴AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.20.（8分）如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn).對(duì)“三角形中位線定理”逆向思考，可得以下3則命題：Ⅰ.若D是AB的中點(diǎn)，DE＝12BC，則E是AC的中點(diǎn)Ⅱ.若DE∥BC，DE＝12BC，則D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)Ⅲ.若D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，則E是AC的中點(diǎn).（1）小明通過對(duì)命題Ⅰ的思考，發(fā)現(xiàn)命題Ⅰ是假命題.他的思考方法如下：在圖2中使用尺規(guī)作圖作出滿足命題Ⅰ條件的點(diǎn)E，從而直觀判斷E不一定是AC的中點(diǎn).小明尺規(guī)作圖的方法步驟如下：①在圖2中，作邊BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)M；②在圖2中，以點(diǎn)D為圓心，以BM的長(zhǎng)為半徑畫弧與邊AC交于點(diǎn)E和E'.請(qǐng)你在圖2中完成以上作圖；（2）小明通過對(duì)命題Ⅱ和命題Ⅲ的思考，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)命題都是真命題，請(qǐng)你從這兩個(gè)命題中選擇一個(gè)，并借助于圖1進(jìn)行證明.解：（1）所求圖形如圖2所示.（2）命題Ⅱ?yàn)檎婷}：解圖1證明：如解圖1，過點(diǎn)E作EM∥AB交BC邊于點(diǎn)M，連接DM.∵DE∥BC，∴四邊形EDBM是平行四邊形.∴BD＝EM，DE＝BM.又∵DE＝12BC∴DE＝BM＝CM.∴四邊形DECM是平行四邊形.∴DM＝CE，DM∥CE.∴DM∥AE.又∵EM∥AD，∴四邊形ADME是平行四邊形.∴AD＝EM，DM＝AE.∴AD＝BD，AE＝CE.∴D，E分別是AB，AC的中點(diǎn).命題Ⅲ為真命題：解圖2證明：如解圖2，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使DF＝DE，連接BF.∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD.又∵∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF（SAS）.∴AE＝BF，∠AED＝∠BFD.∴AC∥BF.∵EF∥BC，∴四邊形BCEF是平行四邊形.∴BF＝CE.∴CE＝AE.∴E是AC的中點(diǎn).21.（10分）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了一道題，讓同學(xué)們解答.在?ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，連接DF.求證：四邊形BFDE是矩形.小星和小紅分別給出了自己的思路：小星：利用矩形的定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形”來證明；小紅：利用定理“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來證明.（1）小星的思路正確，小紅的思路正確；（選填“正確”或“錯(cuò)誤”）（2）請(qǐng)選擇小紅或小星的思路完善證明過程.證明：（2）選擇小紅的思路：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C.∵BE⊥CD，∴BE⊥AB.∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°.在△ADF和△CBE中，AD∴△ADF≌△CBE（SAS）.∴∠DFA＝∠BEC＝90°.∴∠DFB＝180°－∠DFA＝180°－90°＝90°.∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°.∴四邊形BFDE是矩形.選擇小星的思路：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝AB.∵AF＝CE，∴AB－AF＝CD－CE，即BF＝DE.∴四邊形BFDE是平行四邊形.∵BE⊥AB，∴∠BED＝90°.∴平行四邊形BFDE是矩形.22.（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）.過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由；（2）四邊形BEDF能夠成為正方形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.根據(jù)題意，得CD＝4tcm，AE＝2tcm.在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4tcm，∴DF＝12CD＝12×4t＝2t（∴DF＝AE.∵∠B＝90°，DF⊥BC，∴DF∥AB.∴四邊形AEFD是平行四邊形.當(dāng)AD＝AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形.根據(jù)題意，得60－4t＝2t，解得t＝10.即當(dāng)t＝10時(shí)，四邊形AEFD是菱形.（2）四邊形BEDF不能成為正方形.理由如下：根據(jù)題意，得CD＝4tcm，AE＝2tcm.當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，DE∥BC.∴∠ADE＝∠C＝30°.∴AD＝2AE＝2×2t＝4t.∵CD＋AD＝AC，∴4t＋4t＝60，解得t＝152∴當(dāng)t＝152時(shí)，∠EDF＝90此時(shí)，DF＝2t＝2×152＝15，BF＝DE＝AD2－AE∴DF≠BF.∴四邊形BEDF不能成為正方形.四、解答題：本大題共5小題，共50分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.23.（8分）如圖，在菱形ABCD中，已知E是邊BC上一點(diǎn)，且AE＝AB，∠EAD＝2∠BAE.（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：BE＝AF.（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠EAD＝2∠BAE.∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝2∠BAE.∵∠ABE＋∠AEB＋∠BAE＝180°，∴2∠BAE＋2∠BAE＋∠BAE＝180°.∴∠BAE＝36°.∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝36°＋2×36°＝108°.（2）證明：根據(jù)（1），得∠BAD＝108°，∠AEB＝2×36°＝72°.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴∠ABD＝12×（180°－108°）＝36根據(jù)（1），得∠BAE＝36°.∴∠ABD＝∠BAE.∴AF＝BF.∵∠BFE是△ABF的一個(gè)外角，∴∠BFE＝∠BAE＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.∴∠AEB＝∠BFE.∴BE＝BF.∴BE＝AF.24.（10分）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置上.（1）若∠1＝55°，求∠2，∠3的度數(shù)；（2）若AB＝12，AD＝18，求△BC'F的面積.解：（1）根據(jù)題意，得∠2＝∠BEF.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠2＝∠BEF＝∠1＝55°.∴∠3＝180°－∠2－∠BEF＝180°－55°－55°＝70°.（2）根據(jù)題意，得EB＝DE，BC'＝DC，∠C'＝∠D.設(shè)DE＝EB＝x，則AE＝18－x.在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2，∴x2＝122＋（18－x）2，解得x＝13.∴AE＝18－x＝18－13＝5.∴S△ABE＝12AB·AE＝12×12×∵∠ABC＝∠EBC'＝90°，∴∠ABC－∠EBF＝∠EBC'－∠EBF，即∠ABE＝∠C'BF.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC.∴AB＝C'B.在△ABE和△C'BF中，∠∴△ABE≌△C'BF（ASA）.∴S△BC'F＝S△ABE＝25.（10分）如圖，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF.（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，若CB＝AF，請(qǐng)直接寫出四邊形BGED的形狀.（1）證明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB＝∠BAE.∵AB∥DF，∴∠BAE＝∠DFE.∴∠CAB＝∠EFD.在△CAB和△EFD中，∠∴△CAB≌△EFD（ASA）.∴AB＝FD.又∵AB∥FD，∴四邊形ABDF是平行四邊形.（2）解：四邊形BGED是正方形.理由如下：根據(jù)（1），得BC＝DE，四邊形ABDF是平行四邊形.∴BD＝AF.∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，∴BC＝BG.∵BC＝AF，∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°.∵BG∥DE，BG＝DE，∴四邊形BGED是平行四邊形.∵BD＝DE，∴四邊形BGED是菱形.∵∠BGE＝∠GED＝90°，∴四邊形BGED是正方形.26.（10分）如圖，在菱形ABCD中，O為AC，BD的交點(diǎn)，P，M，N分別為CD，OD，OC的中點(diǎn).（1）求證：四邊形OMPN是矩形；（2）連接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的長(zhǎng).（1）證明：∵P，M，N分別為CD，OD，OC的中點(diǎn)，∴PM，PN是△OCD的中位線.∴PM∥OC，PN∥OD.∴四邊形OMPN是平行四邊形.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠MON＝90°.∴四邊形OMPN是矩形.（2）解：如圖，連接AP.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AD＝BD＝AB＝4.∴OD＝12BD＝12×4＝在Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理，得OA＝AD2－OD2∴OC＝OA＝23.∵M(jìn)，N分別為OD，OC的中點(diǎn)，∴OM＝12OD＝12×2＝1，ON＝12OC＝12×2∴AN＝OA＋ON＝23＋3＝33.根據(jù)（1），得四邊形OMPN是矩形.∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°.∴在Rt△