考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷5（共221題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷5（共9

套）

(共221題)

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

1、當(dāng)X—>0時(shí)，f（x尸x—sinax與g（x）=x2]n（l—bx）是等價(jià)無窮小，則（）

(A)a=l,6=~o(B)o=l,6=—0

(C)a=-1,6=—~(D)a=-1,6=4-

oo

A、

B、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：本題可采用排除法。當(dāng)x-0時(shí)，ln(l-bx)與-bx為等價(jià)無窮小，則

../(x)x-sinaxx-sinax

lim—■■--=lim-.................=lim-z--------

*7g(%)<-，ox2ln(l-6x)x-^x2(-bx)

2?

搭1-acosax*asinax

=hm--------：—=hm———

z

工-*o—36x-6bx

—?ax

所以f=-6b,故排除

-acosax

lim

B、另外i-3bz2是存在的，即滿足1-acosxax—>0(x—>0),故a=l,排除

Do故本題選A

/(?)=XX

1-cosG,

2、“妾°，則f（x）在x=0處（）

A、極限不存在

B、極限存在，但不連續(xù)

C、連續(xù)但不可導(dǎo)

D、可導(dǎo)

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析:

/，力1-/⑴力。）r

"⑼二部二那一7-2

…、/(*)V(0).In(1-?).1_「.1_n

/.(0)=rhm----------=lrim-----:-----sin—=-limxsin-=0,

I-x-0I-XXD?Xf+，(0),f

_(0)都存在，則f(x)在x=0處右連續(xù)和左連續(xù)，所以f(x)在x=0處連續(xù)；但f+，(0/f

-70),所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。故本題選C。

u/=IIn(sinx)dx,J=|In(cotx)dx,/C=|In(cosz)dx,

3、設(shè)000則I,J,K

的大小關(guān)系為（）

A、I<J<K

B、I<K<J

C、J<I<K

D、K<J<h

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

7T

0<x<--

知識(shí)點(diǎn)解析:當(dāng)4時(shí),因?yàn)镺VsinxVcosx,所以ln(sinx)Vln(cosx),因此

/=JIn(sinx)dx<fIn(cosx)dx=K0

Jo"同時(shí)，又因?yàn)?/p>

■.

In(cotx)dx=In(cosx)dx-JIn(sinx)dx,

ooJo

In(sinx)dx<0t

o所以

J=fIn(cotx)dz>Iin(cosx)dx=Ko

J。J。綜上可知，故本題選

Bo

4、具有特解yi二e「，y2=2xe-，y3=3e'的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()

A、y"'一y"一y'+y=O。

B、y，”+y”一y，—y=0。

C、y"'-6y"+lly'—6y=0。

D、y'"-2y"-y'+2y=0。

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：由y尸e-x,y2=2xe-x,y3=3e、是所求三階常系數(shù)齊次線性微分方程

的三個(gè)特解可知，Xl=—1,入2=—1，九3=1是所求方程的三個(gè)根，其特征方程為(人一

l)(X+l)2=0,即)?+九2一入一]=0,其對(duì)應(yīng)的微分方程為y，“+y"-y」y=O0故本題選

Bo

5、設(shè)f(x)和(p(x)在(-8,加0)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù),且Rx)和,(p(x)有間斷

點(diǎn)，則()

A、(p[f(x)]必有間斷點(diǎn)

B、(p2(x)必有間斷點(diǎn)。

C、f[(p(x)]必有間斷點(diǎn)。

D、/(“)必有間斷點(diǎn)。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

rl,

夕(父)=(

知識(shí)點(diǎn)解析：取f(x)=l,xe(-oo,+oo),則f(x),(p(x)滿足題設(shè)

條件。由于(p[f(x)]=l,(p%)=l,f[(p(x)]=l都是連續(xù)函數(shù)，故可排除A、B、Co故

本題選Do

"1)力1”.

lim-----------------=-1,

6、周期函數(shù)y=f(x)在(-8,+8)內(nèi)可導(dǎo)，周期為4,且一0則

y=f(x)在點(diǎn)(5,f(5))處的切線斜率為()

1

A、石

B、0

C、—1

D、-2

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫a(chǎn)f(x)在(一oo,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=f(x+4k),其中k為整數(shù)，故

有r(x)=「(x+4k)。取x=l,k=l可得，f(l)=f(5)o又因?yàn)?/p>

”1)于(lr)_../11+(-x)]-/(1).?

I力5所以Ir因此r(l)=-

2o故本題選D0

p00、02、

(A)A=002,B=000

、o00J(000,

'21OA52)

(B)A=-132,B=-340

-25J234,

f\00(100、

(C)A=040，B=040O

、00-2100-3,

(\0、1-n

(D)A=01,B=0i□

00

7、下列矩陣中,A和B相似的是()、010

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析:A項(xiàng)，！?(A)Wr(B)；B項(xiàng)，tr(A)￥tr(B)；C項(xiàng)，|A罔B|；由矩陣相似的必

要條件可知，A、B、C三項(xiàng)錯(cuò)誤。由排除法可知，本題選D。實(shí)際上，對(duì)于D

項(xiàng)，r(A)=3,特征值為1(三重)，r(A—E)=2；r(B)=3,特征值為1(三重)，r(B—

E)=2,所以矩陣A和B相似。

8、設(shè)二次型f(xi，X2,X3)=(x]+X2-2x3)2+L3xi+(a—1)X2+7X3產(chǎn)+(x]+ax3)2正定,

則參數(shù)a的取值范圍是()

A、a=-2o

B、a=-3o

C、a>0<.

D、a為任意值。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D0

知識(shí)點(diǎn)解析：方法一：f(Xl，X2，X3)是平方和的形式,所以f(Xl，X2，X3)>0o

XI+X2-2XJ=0,

f(xt,x2,x3)=0<=^-3x1+(a-l)X2+7%J=O,

X|+ax3=0T上述方程組的系數(shù)行列式為

11-211-2

-3a-170Q+21=(a+2)2+l>0,

I0a0-Ia+2所以a取任意值，上述方

程組都有唯一零解，即對(duì)任意的X#),都有f(X|,X2,X3)>0,f正定。故本題選

Do方法二：

'XI+X2-2X3

/[/+3-2X3,-3。+(。-1)42+7/，/+93]-3x1+(a-l)x2+7xJ

加+用

I-2孫

Tr

Q-17x2=xBfix=x'Ax,

0a

=(a+2)2+l>0,

其中a為任意

值，所以對(duì)任意的a,矩陣B均可逆,則A=BTB正定,即f(X|,X2，X3)是正定二

次型。故本題選D.

二、填空題(本題共6題,每題1.。分，共6分。)

9、曲線'=的漸近線為。

1

片"7

標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0和2

知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=/(e；-l)的可能間斷點(diǎn)為x=0,貝！

limx2(e~-l)=lim--=lim——=?,

一所以x=0為曲線的垂直漸近線。因

lim[x2(e~-l)-x]=limfx2[~~1

?-?—ILxy=x+-

為所以2

limx2(e~-l)=?,/一1、

為曲線的斜漸近線。又因?yàn)長(zhǎng)-所以曲線y-4(e1)無水平

漸近線。

10、與曲線。一2y二x相切，且與曲線在點(diǎn)(1,3)的切線垂直的直線方程為

X-常

標(biāo)準(zhǔn)答案：8

y*=―--0

知識(shí)點(diǎn)解析：曲線方程(y-2)2:x對(duì)x求導(dǎo)得2(y-2))y=l,即，2G-2)當(dāng)

1

y=3時(shí)，/=2'即曲線在(|,3)處的法線斜率為一2。因?yàn)樗笾本€與曲線在點(diǎn)

，-1-17

y_一_29.——y—"

(1,3)的法線平行，所以直線斜率為2(廠2)解得16'4'則所求

(1,1],廠工=_2(「)

直線方程與曲線的切點(diǎn)為口64因此所求直線方程為4116/'即

、15

y=-2x+—o

O

K=-9

11、已知凹曲線產(chǎn)f(x)在曲線上的任意一點(diǎn)(x,f(x))處的曲率為(1+%)'且

?0)=0,f(0)=0,則f(x)=。

-1X2

標(biāo)準(zhǔn)答案：2

K二——二_L—

人工2.，

知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)曲率公式“+[/'(%)]”‘(1+—A因?yàn)楹瘮?shù)y二f(x)

—r(x)_1

為凹曲線，所以r(x)>o,則有微分方程“+[/'(#)]r(1+%戶令

")2二1_12

r(x)=p，則(">(1+,產(chǎn)解微分方程可得“")一2"°

d2z_

12、設(shè)函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=f(xy,y),則所町°

標(biāo)準(zhǔn)答案：fr+xyfH"+yf|2"

匹=力；=/；+#M+娓。

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉?所以aay

13、設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則交換積分次序

L"L，(4，)"=o

fdy[f(x,y)dx

標(biāo)準(zhǔn)答案：J。]r

知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D,如右圖陰影部分所

/dx(/(x,y)dy+fdxjf(x,y)dy=^f(xty)dxdyo

示，則有"?zXw換積

1/(x,y)(bcdy=1盯jf(xty)dxo

分次序D

14、設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，且A2—2A—8E=O,則r(4E—

A)+r(2E+A)=o

標(biāo)準(zhǔn)答案：n

知識(shí)點(diǎn)解析：已知A2-2A—8E=O,所以(4E—A)(2E+A)=O。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可

知r(4E-A)+r(2E+A)<n,同時(shí)r(4E-A)+r(2E+A)>r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n,因

止匕r(4E—A)+r(2E+A)=nc

三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)

11

；lim

22

15、求極限sinxIn(1+x)

標(biāo)準(zhǔn)答案：刈極限式先通分，然后再利用麥克勞林公式展開得

..111_..In(l+42)-sir?一

1ns京Tin(1+>)1=-In(1+/)

--%(￡).

"一/0(r)]

x

x:--+o(x4)-x2-^-+o(x4)

=lim--------------------------

ix

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

“xe(°?y)o

16、證明不等式3xVtanx+2sinx,'2，

/(%)=tanx+2sinx-3x,xG(0,三),

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)\27貝J有「(X尸sec1+2cosx—

3,f'(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec\-1),由于當(dāng)\2/時(shí)，sinx>0,

sec3x—I>0,所以F(x)>0,所以函數(shù)f(x)=scc2x+2cosx—3為增函數(shù)，旦

xe(0,y)

f(0)=0,因此當(dāng)\2/時(shí)，f(x)>0,所以f(x尸tanx+2sinx—3x為增函數(shù)，

xe10,|,3x<tan%+2sine|o

f(x)=tanx+2sinx—3x>f(0)=0,'2，即有\(zhòng)2/

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

17、設(shè)函數(shù)z=x(x,y)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，變量代換u=ax+y,v=x+by把方程

六1六心n

獷4獷化為切切-'求ab。

標(biāo)準(zhǔn)答案：刈函數(shù)z=z(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)得

Hzdzdudzdvdzdz

=+=Q+

dxdudxdvdxdudv

dzdzdudzdvdz,dz

—=-----+=—+D-

dydudydvdydudv

d2z_Id2zdu^d2zdv\/d2zdud2zdv

dx2\du2dxdudvdx)\dudvdx^v1dx

-22

dz12aaz

---S—,

dudvdv所以

由題意得

所以ab=-1。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

18、設(shè)函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，x=l是f(x)的極值點(diǎn)，且

3/7(x)dx=/(1)o

證明：存在美(0,1),使得「?)=0。

標(biāo)準(zhǔn)答案:由于x=l是f(x)的極值點(diǎn),所以『(1)=0。因?yàn)閒(x)在［0,1］上連續(xù),在

B3使得

(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以由積分中值定理可知，存在

31/(#)&="(加[業(yè)=/(可)，/(T?)=/(y)o

J。J。即有又因?yàn)閒(x)在

卜日上連續(xù)，在("'5)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理可知，存在“(7萬卜使得

「(，尸0。再由「(X)在1]上連續(xù)，在61)內(nèi)可導(dǎo)，且F《尸「(1)=0可知，存在

氏《，l)U(o,1),使得『@=0。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

19、求函數(shù)f(x,y)=x?+xy+y2在閉區(qū)域D=｛(x,yMx^+y%]｝上的最大值和最小值。

標(biāo)準(zhǔn)答窠：由于所給的區(qū)域D是閉區(qū)域，故先考慮函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)部｛(x,

r/；=2x+y=0,

y)|x2+y2Vl)的極值，這屬于無條件極值，解線性方程組尸0,所以

x=0,y=0o在(0,0)點(diǎn)，有fxx“=2>0,fxy"=bfyy"=2,所以fxx“fyy"-(fxy")2>

0,所以(0,0)點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(0,0)=0。然后考慮函數(shù)f(x,y)

在區(qū)域D邊界｛(x,y)*+y2=l)的極值，這屬于條件極值，構(gòu)造如下的拉格朗H函

數(shù)L(x,y,X)=x2+xy+y2—X(x2+y2—1),對(duì)上式求偏導(dǎo)得如下方程組

產(chǎn)=(2-24)奸尸0,

￡；=x+(2-2A)r=0,

I4=x2+/-l=0,將上述方程組化簡(jiǎn)得4九2—8入+3=0.解得

131131

人一，”=萬。當(dāng)人產(chǎn)亍時(shí)，x-C；當(dāng)2萬時(shí)，x=y,2°

因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可取得最大值和最小值，所以f(x,y)在邊界上的最大

二,L

值為彳'最小值為2°綜上所述，f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值為2'最小值為0。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

Ilx[e-(1'*2)2+e'y2]dxdy,

20、計(jì)算二重積分2其中D是由直線y=l、曲線y=x2(x20)

以及y軸所圍成的區(qū)域。

標(biāo)準(zhǔn)答案：二重積分的積分區(qū)域D如下圖陰影部分所示。

(HB2)2y2(|p)2

Jx[e'4-e-](hdr=Jxe--(kdy+Jxe^ckdy,

%%%其中，被積函

數(shù)xe"Lx2)2適合先y后X的積分次序，被積函數(shù)xC丫2適合先X后y的枳分次

jjj(ixd片J'xe-(,->2)2dxJ^dy

=[，(l-x2)xeH,-J,i>2dx=-4-/(l-/)e""d(l-%2),

序，則k2Jo令口]一*2,則

同理可得

因此

3r2)2.e'2]d#dy=;一；。

/)22e

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

2x

21、設(shè)f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足fu'(u,v)+fv*(u,v)=uv,求y(x)=ef(x,

x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：y(x)=e2xf(x,x)對(duì)x求導(dǎo)得y，=-2e2xf(x,x)+e2xfr(x>

2x2x,,2x，

x)+ePxf2，(x,x)=-2e-f(x,x)+e_[fI(x,x)+f2(x,x)]=-2y+e_[fi(x,

x)+f2'(x,X)],因?yàn)椤竨(U,v)+fv'(u,V)=UV,即f|'(u,v)+f2'(u,v)=uv,所以

f「(x,x)+f2'(x,x)=x2,因比y，=—2y+x2°—2x,即y(x)滿足一階微分方程y，+2y=x%

"2Xo由一階線性微分方程的通解公式得

y=e-J24l(pe-2Me/24,(k+C)=+C)

=e%(pdx+C\+C).

[J1曰13/其中C為任意常數(shù)。

2x,

方法二：由y(x)=ef(x,x)得f(x,x尸e?Xy(x),因?yàn)閒u'[u,v)+fv(u,v)=uv,即

、T-/(X,X)=X,

ff(u,v)+f2*(u,v)=uv,所以f「(x,x)+f2'(x,x)=x2,即ox將其代

入f(x,x)=e2Xy(x)有［e2Xy(x)］，=x2,即2e"y(x)+e2Xy，(x)=x2,化簡(jiǎn)得

yXx)+2y(x)=x2e-2xo由一階線性微分方程的通解公式得

y=e小卜'""eJ2dldx+C)=e_21(Jx2e_2*elldx+C)

=e-2,Qx2clx+C)=e-2,(y+cj,

其中C為任意常

數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)解析?：暫無解析

(22)

A=20,

22、設(shè)Ui

x是三階矩陣。求當(dāng)a為

何值時(shí)，方程AX—B二BX無解；當(dāng)a為何值時(shí),方程AX—B二BX有解，有解時(shí),

求出全部解。

-21A

4-3二0

；

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得，矩陣方程為(A—B)X=B,且1a+1

將矩陣B和X寫成分塊矩陣(按列分)的形式,則B=(pi，p2?。3)，X=(xi，X2?

X3)，所以矩陣方程為(A—B)X=(A—B)(X],X2，X3)=(P1，p2?p3)>則有(A—

B)Xj=Pi，i=l,2,3。對(duì)增廣矩陣(A—B,B)作初等行變換

<1-21：112\p-21：112)

(4-兄8)=011；2110—?011；210

1a+1；aa+1a+2.、03a*a-1aa/

p-21：112、

011\210

—?o

、00a-3；a-7a-3a,

當(dāng)a=3時(shí),r(A-B尸2,r(A-B,B)=3,則r(A-B)Vr(A-B,B),此時(shí)方程AX-

B=BX無解。當(dāng)a#3時(shí)，1'(.4一8尸1'(人一8,B)=3,此時(shí)方程AX-B二BX有唯一

12,4,4\T

與=2+工,1+--,1------;

解。(A-B)xE的解為、°-3(A-B)X2邛2的解為

(A—B)X3=p3的解為綜上，方程AX—B=BX的解為

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

設(shè)二次型f(X|,X2，X3)=x/+X2’+X32—2X|X2—2xiX3+2aX2X3通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)

形f=2yi2+2y22+by32o

23、求常數(shù)a,b及所用的正交變換矩陣Q；

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得，二次型矩陣及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣分別為

1-1-n(2

A=-11a,B=2,

IT。"”由矩陣B可知，矩陣A的特征值為2,

2,bo矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b,所以b=-l。由于2是矩陣A的二重特征值，

而實(shí)對(duì)稱矩陣A必可相似對(duì)角化，所以矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值2的線性無關(guān)的特

征向量有2個(gè)。于是矩陣A—2E的秩為1,而

11)

A-2E=00Q+1

0a+\0，所以a=—I。由(A—九E)x=0

得，特征值為九|=九2=2,入3=-1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為a1=(l,0,-1)T,

a2=(0,1,—1)丁，。3=(1,1,1)、由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正

交，所以先將ai，(X2正交化得

TT

=(1,0,-1),/52=a2-^^j4^|=y(-l,2,-1),

IIPlIIL再將Bi，p2?a?

”產(chǎn)尸(1,0,-1)1W2:尸(7,2,7),,小二尚(1,1」)‘，

單位化得CJ6V3則正交

(111、

21

O

一

0=，

v673

11

萬

痣

變換矩陣

知識(shí)點(diǎn)解析:暫尢解析

24、求f在xTx=3下的最大值。

T222

標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f=xAx在正交變換x二Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為f=2yi+2y2-y3o條件

XTX=3等價(jià)于yTQTQy=y12+y22+y32=3?此時(shí)f=2y[2+2y22-y32=6—3y32的最大值為

6,所以f在x】x—3下的最大值為6。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)二)模擬試卷第2套

一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)

1、下列命題中正確的個(gè)數(shù)是①若f(x)在X=XO存在左、右導(dǎo)數(shù)且f+，(xo)*「(xo),

則f(x)ffix=xo處連續(xù)②若函數(shù)極限」2f(x尸A,則數(shù)列極限"：,f(n尸A③若數(shù)

列極限⑵一)=」”■⑵)=4貝屈數(shù)極限」T，f(x)=A④若

Iim/(z)=A,limg(x)lim,

>—>a*不存在，則i*of(x)g(x)不存在

A1個(gè)

、

B2個(gè)

、

c3個(gè)

、

D4個(gè)

、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：要逐一分析.若f(x)在X=XO存在f+<XO)與fj(xo)=f(x)在X=XO右連續(xù)

及左連續(xù)=，汽)在x=xo連續(xù)，即①正確.由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系知，若函

lim/(x)=4=Vlim

數(shù)極限—+B—串Xn—>+8(n—+oo)均有L+Bf(Xn)=A.若但只有某事

lim/(x_)=.4s$limf(x)

xn—>+oo(n—?+<?),■一?￡?-<*=A.如?x)=sin7tx,f(n)=O,"-***

?jm

f(n)=O,但一T「f(x)不存在，于是②正確，③不正確.命題④是錯(cuò)誤的.當(dāng)A=0

lim.lim.lim

時(shí)Iof(x)g(x)可能存在.例如，若取f(x)=O,則x-of(x)=0,*f；f(x)g(x)=o,所以

④是錯(cuò)誤.因此，只有2個(gè)正確.選B.

/COB——，x>0,

2、以圖雙HXF{/，*宅°，則下列結(jié)論正確的是

A、f(x)有間斷點(diǎn)

B、f(x)?(—co,+oo)上連續(xù)，但在(一co,+oo)內(nèi)有不可導(dǎo)的點(diǎn)

C、”)在(一co,+oo)內(nèi)處處可導(dǎo)，但？小)在(一oc,Mo)上不連續(xù)

D、F(x)在(-8,+8)上連續(xù)

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)

性問題.f(x)的定義域是(一8,+oo),它被分成兩個(gè)子區(qū)間(一8,0］和(0,+00).在

(—8,0］內(nèi)f(X)=X2,因而它在(一8,0］上連續(xù)，在(一8,0)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，且

f7(0)=0；在(0,+8)內(nèi)f(x)=x?cos4,因而它在(0,+<?)內(nèi)連續(xù)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).注意

lim/(x)=lim/cos-

xT).?-o**=0=f(0),因而1'(乂)在(-00,+oo)連續(xù).可見A不正確.又

../(x)-/(0).^2COSy

lim----------:7-----=lim-----------二0

因L0*X-0、T)+X即f(x)在x=0右導(dǎo)數(shù)f+<0)存在且等于

零，這表明*0)存在且等于零.于是，F(xiàn)(x)在(-8,+8)上處處存在.可見B不正

(42co8-)=24cos—+sin-lim

確.注意，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)='』X于是L0W(x)不存

在，這表明F(x)在x=0處間斷可見C正確，D不正確.故選C.

3、設(shè)函數(shù)f(x)在(一8,+網(wǎng)上連續(xù)，且分別在(y,0)與(0,+?))上二次口」導(dǎo)，其

導(dǎo)函數(shù)P(x)的圖像如圖⑴所示,則f(x)在(-8,+oo)有

A、一個(gè)極大值點(diǎn)與兩個(gè)拐點(diǎn)

B、一個(gè)極小值點(diǎn)與兩個(gè)拐點(diǎn)

C、一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)與兩個(gè)拐點(diǎn)

D、一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)與三個(gè)拐點(diǎn)

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)a,b,c,d各點(diǎn)如圖(2)所示，由題設(shè)可得下表:

X(-8,a)a(a,0)0(0,6)b(6,+8)

f'M?0-X-0

/(x)極大詢極小值

%(-8,0)0(0,c)c(c,d)d(d,+8)

/'(x)/\z

/(?)凸拐點(diǎn)同拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹

(注意，表中對(duì)應(yīng)于x=xo處注有“拐點(diǎn)”是指對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(xo,f(xo))為曲線y=f(x)的一個(gè)

拐點(diǎn).)這表明函數(shù)f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)以及三個(gè)拐點(diǎn)，結(jié)論D正

確.

4、設(shè)f(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)旦f(x,y)(ydx+xdy)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分，則

下列等式成立的是

(A)或=亞.(B)*?=廣必.(C)_*出=,%.(D)%亞=y亞.

dxdy3xJdy加力dydx

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：由已知du=f(x,y)ydx+f(x,y)xdy

=黑=/(7)),=/(x,y)x

Oxd)

d2uaf...、d2uaf"、

=>==x十?/(*，,)

dxd)dydydxdx

由于它們均連續(xù)二

曲=包，印以M

dxdydydx7dydx

故應(yīng)選(B).

acoMtf

「de

5、已知累次積分上'A*0f(rcos0,rsinG)rdr,其中a>0為常數(shù)，則I可寫成

cacv02-/

(A)^^/(xy)dy.(B)J。吼/(2)七.

/>/一―一t

2

Jax-*(D)fOc/ay-/

W一匕牙/(”'八打.￡/(『/(”)乩

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：這是把極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換成Oxy直角坐標(biāo)系下的累次積分

一JLW。W工

的I可題.先將I表不成I="f(x,y)do.由D的極坐標(biāo)表示22,

0<r<acos0,Wr2=x2+y2<arcos0=ax,可知D：(常2)，石(2),如

圖.若是先y后x的積分順序,則D：gx2,

于是故應(yīng)選c.

6、設(shè)中，n2，n3為3個(gè)n維向量，AX=0是n元齊次方程組，則()正確.

A、如果“1，1]2，"3都是AX=0的解，并且線性無關(guān)，則中，31]3為AX=。的一

個(gè)基礎(chǔ)解系.

B、如果1]2，小都是AX=0的解，并且r(A)=n—3,則1[2，用為AX=0的

一個(gè)基礎(chǔ)解系.

C、如果1，[12,T]3等價(jià)于AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.則它也是AX=O的基礎(chǔ)解系.

D、如果r（A）=n—3,并且AX=O每個(gè)解都可以用中叨，由線性表示，則中，H2?

i]3為AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：A缺少n—r（A）=3的條件.（B）缺少⑴，“2,陰線性無關(guān)的條件.（。

例如中,112是基礎(chǔ)解系中切2=邛，則中，112，Q3和中，n2等價(jià)，但是巾，,2,由

不是基礎(chǔ)解系.要說明D的正確，就要證明小，“2,巾都是AX=O的解，并且線

性無關(guān).方法如下：設(shè)a1，a2,013是AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則由條件，a1，

。2,（X3可以用中，r|2，陰線性表示，于是3"（中,rj2，H3）=r（r|i>t]2,Q3,ai?

az,a3）>r（ai，a2，013）=3,則r（“i，3H3）=r（n1?i]2?"3，ai,（12,（13尸r（a”（12,

（X3）=3,于是ni，3巾線性無關(guān)，并且和ai,a2，（13等價(jià),從而都是AX=0的

解.

7、下列矩陣中不相似于對(duì)角矩陣的是

10O-11r-111-?I-12-

(A)025.(B)22一.(C)222(D)-|03

-003-■333-——3-3-3--233-

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：A矩陣的3個(gè)特征值兩兩不同，D是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此它們都相似于

對(duì)角矩陣.C矩陣的秩為1.它的特征值都為0,其重?cái)?shù)3A3-C矩陣的秩.因此

C不相似于對(duì)角矩陣.（B）矩陣的秩也為1,它的特征值為0,0,6,0的重?cái)?shù)

2=3—B矩陣的秩.因此相似于對(duì)角矩陣.

二、填空題（本題共6題，每題7.0分，共6分。）

8、設(shè)曲線廠的極坐標(biāo)方程為r=e°,則/'在點(diǎn)（￡'1）處的法線的直角坐標(biāo)方程是

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e?+x

=rcosO=e"cosg,點(diǎn)（亭一）

知識(shí)點(diǎn)解析：「的參數(shù)方程是b=rsinB=e"sing.的直角坐標(biāo)是

2TTni.TT

x0=ecos-=U,yQ=e-sni3r在此點(diǎn)的切線的斜率為

y'(6)e"(sin。+cos0)

與'(0)。=于e"(cos。-sin?)

i=法線的斜率為i,因此

在點(diǎn)住

處的法線方程為產(chǎn)益+x.

9、iSf(x)=arctan(1一x),且f(0)=0,則J()if(x)dx=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：4(Ti—2).

知識(shí)點(diǎn)解析：已知F(x)=arctan(l—x),求I=Hf(x)dx,我們不必先求出f(x),而是

表示為

把求I轉(zhuǎn)化為求與F(x)有關(guān)的定積分，就要用分部積分法.或把f(x)—=.

f(O)+Joxf(y)dy再積分.方法：利用分部積分法可得

I=[/(x)d(x-1)=(X-

J00

=J(1-x)arctan(1-x)dx

=f/arctantdf=---[Uarctanf-Jrd(arctanZ)j

Jo2I

=fO"-arctan"：))

1/1T.7T

=-........I+—了(…).

2\44

/?1

10、曲線-I的斜漸近線方程為

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=±x

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?/p>

尸

11、設(shè)f(x,y)=Jfel2dt,則df(x,y尸__________.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(2xe(X2+y2)2工M2e4)dx+(2ye(X2+〉'2)2—鼠—e^)dy

知識(shí)、點(diǎn)解析_：dy(x,y)=e(X2+>，2,2d(x2+y2)-x=e(X2+/2)2(2xdx+2ydy)—

7-dy-yd/y1%

X2=2xe(X2+y2>2+/)dx+(2yC(X2+Y2)2_Te)dy

12、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，且貽，丫)=6-、2—丫2+(丫2*11,”)(111&),其中D:

u2+v2<：a2(a>0),則f(x,y)=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：e-^+yz.av-a5xy2

知識(shí)點(diǎn)解析：注意“f(u,u)dudu為常數(shù)，記為A,由于xy2對(duì)u、u來說為常數(shù)，

因此對(duì)u,u積分時(shí)可提到積分號(hào)外=",y)=e—X2—y2+Axy2.求f(x,y)歸結(jié)為求

常數(shù)A.等式兩邊在D內(nèi)積分得“d(x,y)d0』eTx2+y2)do+A』xy2do①作極坐標(biāo)

-<X2+y2)2；la-r2-r2a-a2

變換=Ldo=fodOfoerdr=—ne|o=n(l—e又“xy2do=0(D關(guān)于y

軸對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)x為奇函數(shù))，將它代入①式=AF(1—e—a2).因此f(x,

y)=e^(X2+y2)+7t(1―e—a2)xy2.

00K0O-001

Io0500I1

13、已知0103-Lo0，則A—二.

00

1/50-4/3

標(biāo)準(zhǔn)答案：001/3

知識(shí)點(diǎn)解析:

01O-2roO'roI0-

因?yàn)?00E,所以Io000

-00L00L001-

■100--10o-

乂01104-

-00b-00

0O'T0O'I0o-

于是A100050014

-00LO000

0O-,rI00“「010'

A"01400100

-00-003--001-

I00I;00-ro10-010■

01-41/50001/50-4/3

0001/3-LO01-001/3-

三、解答題(本題共”題，每題1.0分,共〃分。)

已知曲線在直角坐標(biāo)系中由參數(shù)方程給出x=t+e-l,y=2t-e_2l(t>0).

14、證明該參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x),xG［l,+co).

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閤j=l—e—t>0(t>0),xN0)=0-x=t+e—i在［0,+口)單調(diào)上升，值域

為［x(0),』魯=［1,+8)—>x=t+eT在［0,+℃)存在反函數(shù)，記為l=1(x),它在

H，+8)連續(xù)(單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)).再由連續(xù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

->y=2t(x)+e—2Kx)=^=y(x)在“，+8)連續(xù).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析

15、證明y=y(x)在［1,+oo)單調(diào)上升且是凸的.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由參數(shù)內(nèi)求導(dǎo)法

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