考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷21（共205題）

考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷21（共9

套）

（共205題）

考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

當％->1時，函數(shù)/（工）=蕓卜山的極限（）.

（A）等于2（B）等于0（C）為8（D）不存在但不為8

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【解析】因為

limx-?ex~1=lim（n+l）e±=2?0=0,

T1一15

lim------^eT-,=lim（x+1）e*-1=oo,

士才11r**]+

所以當kH時，函數(shù)沒有極限，也不是8.應選（D）.

2、

級數(shù)1（一D，（l-cos5）（常數(shù)a>0）（）.

（A）發(fā)散（B）條件收斂（C）絕對收斂（D）收斂性與a有關(guān)

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析:

【解析】(-1)"[1—COS—II=1—cos?彳(”-*+8),又

ITnIInZn

?I收斂-￡I(一】)"(1is|收斂一原級數(shù)絕對收斂.

應選(C).

3、

在曲線1=八、=一￡2e=￡3的所有切線中，與平面*+2）+z=4平行的切線（）.

（A）只有1條（B）只有2條（C）至少有3條（D）不存在

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

【解析】求曲線上的點，使該點處的切向量7與平面彳+2?+Z=4的法向髭〃=（］，2,1）

垂直.曲線在任意點處的切向片為

T=sa）RQ）,z,a）｝=u,-〃，贅｝,

于是nJ_r<=>n-T=001—4/+3產(chǎn)=0.

解得r=l,z=｝（對應于曲線上的點均不在給定的平面上），因此，只有兩條這種切線.應

選（B）.

4、

設函數(shù)/（幻=3"+工”川，則使/■〉（（））存在的最高階數(shù)〃為（）.

（A）0（B）1（C）2（D）3

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【解析】因3x3處處任意階可導，只需考查奴工)=公|工|.它是分段函數(shù),z=0是連接

點.由于

x3,x<0,r<0,

=、八一3⑺

?N)0z>0.

3k0)=(〃)；I3

乂=0,9>L(o)=(—x)LI=o_8(o)=o,

r-0

—3x2?lVO,

則，(/)=

3r\X>0.

-6B,NVO,

同理可得，(工)=夕"(0)=0,

6h，工>0,

—6x.nVO,

即中"(7)~=6a出0=6H

因y=li,在工一。不可導，所以"(0)不存在.應選(C).

5、

設函數(shù)/(z)在點x=a處可導，則函數(shù)IfS)I在點工=。處不可導的充分條件是

().

(A)f(a)=O且/00=0(B)“0=0且

(C)/儲)>0且/(a)>0(D)/(a)V0且TQ)V0

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

r解析】因為函數(shù)，(外在點］=a處可導，故/Cr)必在點z=a處連續(xù).由此可知，若

f(a)KO,則存在點才=。的一個鄰域，使/Cr)在該鄰域內(nèi)與/Q)同號，從而在該領(lǐng)域內(nèi)

l/Cr)|或恒等于"力或恒等于一/(1)，即在點r=a處必可導.可見(C).(D)不

正確.

為了判定選項(A)還是選項(B)正確，可采用舉例法：

設f(7)=/,a=0,/(才)滿足f(Q)=f(0)=0,但是|/(x)|=/(T)=X?在點.r=0處可

導，可見(A)不正確.從而應選(B).

【點評】可以證明在題設的條件下，若八a)=/\a)=0,則必有|/《力|在點才=〃處可

尋，且導數(shù)值仍為0;若/(a)=0,但/儲)#0,則|/Gr)|在點才=〃處左、右導致存在但

不相等，因而不可導.步實上，由/Q)-0,令奴力=|/Q)|,有

?KI-yGr)一奴a)..|〃7)|

/<Za)=lim￡------c--=hmJ-----L

一?工一a1彳一a

=啊I?三:I=I匚(a)I=f(a)，

<(a)=lim&)——=hm

一+2-at1一a

=lim||=|/_(a)|=—,(a).

所以，如果/*(a)=0,則由(。)=心(々)=0"/(工)|在x=a可導；如果尸(a)X0,則

若.(a)#夕，(a),故|/(工"在x=?不可導.應選(B).

在此我們用了一個結(jié)論：若lim/Cz)=A,則lim|/G)|二|八|.這可由夾逼定理及不等

一“i。

式||/(工)|一|川|《|/(1)一川推出.

-0'

1都是線性方程組Ax=0的解，只要系數(shù)矩陣人為(

--1-

「20一”

?L!J

oi-r

(D)4-2-2

.011.

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

【解析】因為耳，短是Ax=O的兩個線性無關(guān)的解，故〃一「(4)22,從而r(4)Cl.故選

(A).

7、

設向忸：6，。2.6線性無關(guān)，向量所可由6，。2，。3線性表示，向拉尾不能由6卬2，。3

線性表示，則對任意常數(shù)4必有(>?

(A)6,6，d，6臺+優(yōu)線性無關(guān)(B)6，%,6，人自+向線性相關(guān)

(C)6.小,。3，自+幽線性無關(guān)⑴)6，。2，&涓+￡角線性相關(guān)

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

【解析】髀法I用排除法.

由題設條件知:與，6.6%線性相關(guān)自線性無關(guān)，且A任意.

取4=0,可排除取A=1,若5，。2，。3用+向線性相關(guān)，則由于5，。2，。3線性相

關(guān)照十區(qū)必可由6.%,，線性表示.又A可由，,a2，.線性表示，所以盡可由4,.

6線性表示,與題設矛盾.可排除(D).

寫法2設即6+%/+%%+人凌外卜用)-0.若4?0?則由線性無關(guān)必行

2]=加=不=0,從而6，%,."4+用線性無關(guān),若。W0,則蛆+%可由6，%必線性

表示，從而良可由6?2，/線性表示，與題設矛盾.因此小卬2?34用十向亦線性無關(guān)?

故選(A).

8、

設P(X=A}=筆」(4=0,2,4,…)是X的概率分布，則A.c一定滿足()?

(A)A>0(B)c>0且2K°(C)cA>0(D》c>0且入>°

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

【解析】對一切LP{X=A}20,故c>0.

二、填空題(本題共6題，每題7.0分，共6分。)

9、

X'''又函數(shù)/(N)在N=0處可導，則

0*x=0?

￡(/[^(x)]!|x-o=--------------?

標準答案：o

知識點解析：

/\zn\JT2COS-—0

【解析】因為g'(0)=lim盤匕處8=lim--------------=0,所以

XJ*^0X

余{/1-]}Lo=r「4(o)i?/(o)=o.

10、

￡

設fG)連續(xù)且滿足.

標準答案：2加B°

知識點解析：

【解析】設1—=”,則

[/(1—z)dz=j/(u)d?—F(x),

于是f?/(x)dx=F(y)=

Jo\/A/L〃

11、

以"=e1"=e〃cos/為特解的最低階數(shù)的常系數(shù)線性齊次微分方程為?

標準答案：

y"~5y"+9j/—51y=0.

知識點解析：

【解析】由"=e1%=e"cos工為此線性齊次微分方程的解知片=1,片.3=2土i是其特征

方程的解,且最低的齊次方程的階數(shù)為3,故其特征方程為

(r一】)(，-2一i)(r—2+i)=0,

即(r—DCr2—4r+5)=0,

亦即，一5,+9r—5=0.

所以滿足條件的最低階數(shù)的常系數(shù)線性齊次方程為/一5/+9?'—5y=0.

12、

(4)設n維向量Ct=(a,0,…，0,a)T,aV0,E為n階單位矩陣，矩陣A-￡-a?T.i?=￡+

5crl,且R為A的逆矩陣，則a=?

標準答案：-1

知識點解析：

析】因為,有A8=E，即

(E-aa1)(￡4-—aaT)=E—aorT+—aaT——cr(ffIa)a1=E,

\a9aa

T2

亦即aa[十一】一5,2a]-0.

由于crar1工0,故《一】一2a=0.再根據(jù)aVO可解得a=-1.

13、

(5)已知隨機變址X和Y相互獨立,X?N(】，D,丫?NUM),又F{aX+6X40}=萬,

則“與。應滿足關(guān)系式.

標準容案：a+b=O

知識點解析：

【解析】x與y相互獨立,x??因此

Z=aX+6Y?NQ+6R2+462).

干是

Z-(a+—

/+小N(O,1),

乂P{aX+6y&0}=PZ&0)=+，故

0—(。+6)=0,即a+6=0.

14、

錄*>1°°'則P(X>90)?

(6)已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為*(z)=

0,N4100,

標準答案：1

知識點解析：

【解析】由概率密度的性質(zhì)「8/(z)dz=1得

J-8

r+8

l=s>21=100,

故…詈A。。，

S,N4100.

+8r】oo

.是P{X>90}=歡i)dz=Odt+

JJ90

三、解答題(本題共9題，每題1?0分，共9分。)

15.

求微分方程3"+2y一3y?屋”的通解.

標準答案：

【解析】這是常系數(shù)的二階線性非齊次方程.特征方程，+2「-3=。-1)。+3)=0的

兩個根為ri=i,r2=-3.由原方程右邊e-"可知,a=—3=力為單特征根，故非齊次方程

有特解V=l?ae-，代入方程可得〃=一〃，因而所求通解為

j=C6+ge-"-寧e-”.

知識點解析：暫無解析

16、

設綠天生產(chǎn)某種商品9單位時的固定成本為20元，邊際成本(單位；元/件)是C'Q)=

0.M+2.求成本函數(shù)CQ).如果該商品的銷售價為18元/件，并且所有產(chǎn)品都能夠售出，求利

潤函數(shù)EQ3并向：每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時才能獲得最大利潤？

標準答案：

【解析】成本=固定成本+變動成本，成本函數(shù)是邊際成本的原函數(shù)，變動成本是邊際

成本函數(shù)在區(qū)間上的定積分：

C(q)=C(0)+￡c(q)dq.

ttt

成本函數(shù)固定成本變動成本

成本函數(shù)為

C(q)=C(0)+「C(q)dq=2O￡(O.4工+2)dx=0.+為+20,

收益函數(shù)為

R(q)=18</,

所以，利潤函數(shù)為

L(q)=R(q)-C(q)=1%—(0.%+2q+20)=-0?+16q-20.

這又回到了求極值問題.由于

L'⑷=—0.4q+16=0,L*(g)=—0.4<0,

經(jīng)判斷，當q=40時，

1,(40)=-0.2(40),+16X40-20=300(元)

是最大利潤.也就是說，每天生產(chǎn)40件產(chǎn)品時獲得最大利洞.

知識點解析：暫無解析

17、

rr3*?.力

計算二重積分lledxdj，,其中D=<(x,>)|04N41

標準答案：

【解析】D是正方形區(qū)域.因在。上被積函數(shù)分塊表示為

X2?工>_y,

/二（3）WD,

（y,工段y，

于是要用分塊積分法.用，?工將。分成兩塊：

O=AUA,）=?！?4幻，。2=。（13》工｝.

所以

Z=jjem，，<，"'didy+'y*dx-dj*=JJe/dady+jJe^dxdjF

D（D2D,%

=2jjldxdy（。關(guān)于y=r對稱）

=2JdxjJdy=2jxe^dx=e，==e—1.

知識點解析：暫》值斤0

18、

如果OVfVaV孩,證明：

a-?8八一aB

----rzVtana-tanfV/.

cos'Bcos'a

標準答案：

【證明】此不等式為一“肩”挑“兩頭”，且兩頭式干的形式完全相同，若將不等號改為等

號，則其酷似拉格朗日中值定理的結(jié)論，故可考慮用拉格朗日中值定理來證明.

設fGr）=tan］，則”外在區(qū)間［凡切上連續(xù)，在（B，。）內(nèi)可導，且/（工）=因

cosX

人力在區(qū)間［，,a］上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，三WW

使

又因cosx在區(qū)間（0,李）內(nèi)單調(diào)減少，故

一匕V―ZV-?（oVfVEVaV：）?

cosRcoszccos*a\2I

則~"Vtana-tan/JV~~3.

八1cos2ftcos%

注①利用拉格朗日中值定理證明不等式時，不等式變形后其中有一部分要能變?yōu)?/p>

緡3的形式；

②利用拉格朗日中值定理證明不等式時要用適當擴大、縮小法,這往往通過將￡變?yōu)閰^(qū)

間的左、右纜點的值來實現(xiàn).

知識點解析：暫無解析

計算二重積分/=jJmax(N,y)e*''d”，其中。={Cr,y〉D0,y》0).

標準答案：

【解析】I=Jye^da+J*

?8

y2

=2^ye-dy=2

=「9=力

今Ji工=i

e-rdz

知識點解析：暫無解析

20、

設有三維列向址

「1+211'「0-

1+2

L14-AJLA:-

問：久取何值時，

①?？捎?,小，6線性表示，且表達式唯一？

②夕可由，,與，■線性表示，且表達式不唯一?

③6不可由6，。歷，.線性袤示？

標準答案：

【解析】向抗?是否可以由小,a2,線性表示，相當于方程組=?是否有解，其中

4=(6,az.aD,因此本題實際上是線性方程組解的判定問題.

設。=勺6+z2a2+工3a3,則

(1+A)Xj+*2+4=0，

--r,4-(1+2)12+x,=A,

幣+”+(1+4)八=/，

其增廣矩陣

可見

①若4#0且久力-3,則方程組有唯一解,田可由6,6，%唯一線性表示，

②若a=0.則方程組有無窮多解,0可由6.CT2，/線性表示，但表達式不唯一;

③若a=一3,則

11~2\9-

A-0—33i-6,

■000i6-

系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相同,方程組無解，故B不能由線性表示.

知識點解析：暫無解析

21、

設〃階電陣4的行列式|A|二0,且有一個代數(shù)余子式A,,K0.證明：線性方程組/U=0的

所有解為…,A.)、4為任意常數(shù).

標準答案：

【證明】因為|A|=O,A〃WO,因而r(A)=〃-1,因此ACN。的基礎(chǔ)解系含有一個解向

址，由行列式的性質(zhì).

W*I0,尸八

亦即a=[A“，4，…，4?了是4r=o的一個非零解.因而可以作為基礎(chǔ)解系.所以Ax=

0的所有解為A(4i，…其中k為任意常數(shù).

知識點解析：暫無解析

22、

設隨機變址X與Y相互獨立，且X?N(o,d),y?N(0,/),求

EcVx7+r),D(>/xrTr).

標準答案：

【解析】由題設可知X與Y的概率密度分別為

又由于X與Y相互獨立.所以二維隨機變址（X.Y）的概率密度為

$p（x,v）=3x（H）%（，）擊e-%

于是

E（VX24-y2）=[fVx2+y2＜p（＜x,＞）dxd.y

J-3J-VO

廣?8r-8.i

=J」—一+「而e“dzdy

里叱啊二力小如T7我，

=_/"芻（一我=一L一句二_「丸）

=即令r「6d”=6?亨=李,

D（VX*+F）=Egx，十丫＞=-[Ee/X,十F）了

-EW+G）-（亨J-「呵「■?""〃＞一'

=EX倒價聲=2,一#.

知識點解析：暫無解析

23、

設總體X的分布律為尸（X=A）=Q=1,2,…，其中戶為未知參數(shù)，Xi,

X。，…，X.為取自總體X的簡單血機樣本.試求p的矩估計顯和極大似然盾計髭.

標準答案：

【解析】①求矩估計址：因為

E(X)=￡>(1-I=7*

i.l'i-11J-l-。r

于是令，這里x=5WJx,,故P的矩陣估計髭為｝=方.

②求極大似然估計量：似套函數(shù)為

N

/，3，與，-")=P｛X—…尸｛X=x.)=(1—/>)""。"，

■

F,,/白1，八X,1dl“，〃―今‘

得In心=|?Z一9ln(】一p)+浦必~^=[_「+$?

令坐*=0,得*=工，故P的極大似然估計址為

dpx

知識點解析：暫無解析

考研數(shù)學(數(shù)學三)模擬試卷第2套

一、選擇題(本題共8題，每題7.0分，共8分。)

1、設f(X)=Jo、8SXsini2di,""-亍'或則當X—0時，f(x)是g(x)的().

A、低階無窮小

B、高階無窮小

C、等價無窮小

D、同階但不等價的無窮小

標準答案：B

知識點解析：因為

..f(x)-..LS'n/..win(1-co8x)’8inx..(]-co&z)2#4"

L

lim=5hm-----:----=lim-----j—-----=hm-----=jm-L=0

所以f(x)是g(x)的高價無窮小，因而選(B).

2、設周期函數(shù)f(x)在(-8,+00)內(nèi)可導，周期為4.又督2x■則

曲線y=f(x)在點(5,f(5))處的切線的斜率為().

A、1/2

B、0

C、-1

D、-2

標準答案：D

知識點解析：由題設,f(x)的周期為4,則所求點(5,f(5)j處切線的斜率應該與(1,

f(D)處的斜率相同，則由導數(shù)定義知…(-<)即為所求斜率，又由

…F“*祥1=2叫所以點

2x

(5,f(5))處切線的斜率為2選(D).

3、設函數(shù)忖連續(xù)，F(xiàn)(u,J等等“'，其中區(qū)域即為圖中陰影部分,

A、Vf(u2)

B、

C、Vf(u)

D、

標準答案：A

知識點解析：在極坐標系下,

吃等也打=［肛")曲=，［而)板則『"f(P)町叭」

F(%v)=

，故應選(A).

3立皿嘰.3

??<x41-xsiny

4、設f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足…，則

函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處().

A、取極大值

B、取極小值

C、不取極值

D、無法確定是否有極值

標準答案：A

一外,力-〃0,0)=-3

知識點解析：因為；：3cZ-zny，根據(jù)極限保號性，存在6>0,

當0<夕二7<6時.二如必(0,

x+1-xsiny

(]\]3

x--J+->0,

所以當0<〃2<8時.有/(*,y)-〃0,0)<0,即〃x,y)</(0.0).所以

f(x,y)在點(0,0)處取極大值，選(A).

5、設a],a2，…，as均為n維列向量，A是mxn矩陣，則下列選項正確的是().

7

A、若a?,32，…，a,線性用關(guān),則Aai，Aa2，...?Aas線性相關(guān)

B、若ai,ai?…，as線性相關(guān),則Aai，Aa2?...?Aas線性無關(guān)

…，線性無關(guān),

C、若a1,a2?as則Aai，Aa2?...?Aas線性相關(guān)

D、若ai，ai，…，as線性無關(guān),則Aai，Aa2，…，Aas線性無關(guān)

標準答案：A

知識點解析:用秩的方法判斷線性相關(guān)性.因為(Aai,Aaz,…，Aas)=A(ai，

a2，...>as)?所以r(Aai，Aa2?...?Aas)<r(ai?a2?...?as).又若a],a2?...?as

線性相關(guān),則r?,a2?...?as)<s,從而r(Aai，Aai，...?Aas)<s.所以Aai，

Aa2，…，Aas線性相關(guān)，故選(A).

6、設A,B為同階可逆矩陣，則().

A、AB=BA

B、存在可逆矩陣P,使MAP二B

c、存在可逆矩陣c,使CTAC=B

D、存在可逆矩陣P和Q,使PAQ二B

標準答案：D

知識點解析：由題設，選項(A)表示可逆矩陣乘法滿足交換律，顯然不能成立；(B)

表示A與B相似，(C)表示A與B合同，這都是不成立的，所以(A)、(B)、(C)皆可

排除;關(guān)于(D),設A,B的逆矩陣分別為A”,B-1,則有BAA、=B,取P=B,

Q=A-1,則PAQ=B,從而(D)成立.綜上，選(D).

7、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,I),對給定的a€(0,1),數(shù)必滿足P(X>

Ua)=a,若P{IXI<x}=a,則x等于().

A、ua/2

B、Uj.(a/2)

C、U(|.a)/2

D、Ui-a

標準答案：C

知識點解析：由題設，X?、(0,1)則P[X>Ua}=l-(p(Ua)=a,即(p(Ua)=l-a,其中

(p(x)為N(0,1)的分布函數(shù),從而P{IXI<x}=2(p(x)-l=a,即(paKl+ayZZYl-

a/Z),綜上知x=u(i.a)/2?選(C).

8、設隨機變量X?N(0,1),Y?N(l,4)且相關(guān)系數(shù)px、=l，則().

A、P{Y=-2X-1}=1

B、P{Y=2X-1)=1

C、P{Y=-2X+1)=1

D、P{Y=2X+I)=1

標準答案：D

知識點解析：設丫=@*+6,因為相關(guān)系數(shù)pxY=l，所以X,Y正相關(guān)，即有a>

0.又X?N(0,1),Y?N(l,4),則E(X)=0,D(X)=1,E(Y)=1,D(Y)=4,從而

E(Y)=E(aX+6)=aE(X)+b=b=l,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2=4.解得a=2,b=l.故應

選(D).

二、填空題(本題共6題，每題7.0分，共6分。)

f(x)/

9、設If貝M)(x)=.

(-1尸2?M

標準答案：(1.4尸”

八',

于是，'⑴=2?(-l)(lr)\

/?(*)=2?(-1)(-2)(1+x)-\

仆)=2?(-1)%!(lr).

知識點解析:

標準答案：?(1/2)

知識點解析：由題設，

「/(x-1)dxx-1=tfJ(t)dt=.Jj-1)市=-今

標準答案：n/4e

知識點解析：由題設原積分

>1e2*（e*）3he24（e*）2e1?4e

⑵改變積分次序依L卜，加""J。/（”,力叫

f*A?

J也J.一i

標準答案：幾

/?/?f2f二Xflfl?/??一

上心口―遼H-L&L〃*,，）dy=jdxj〃z,y）打

知識點解析：J°J°JlJoJ°

13、設A為m階方陣，B為n階方陣，且IAI=a,|BI=b,C=\^0人則I

CI=.

標準答案：（?1嚴,6

0A

知識點解析：利用拉普拉斯展開定理，行列式B0的n階子式IBI的代數(shù)余子

mn

式為（」）（m+】）+（m+2）+…+（m+n）+l+2+...+n|A|=（-l）|AI,由拉普拉斯展開定理有

I04|

|80|=IBIx（-l）mnIA|=（-l）mnab.

14、將C、C、E、E、I、N、S這七個字母隨機地排成一行，那么恰好排成

SCIENCE的概率為.

標準答案：1/1260

知識點解析：這是一個古典概型問題，將七個字母任一種可能排列作為基本事件，

則基本事件總數(shù)為n=7!,而有利事件的基本事件數(shù)為Ix2xlx2xlxlxl=4,故所求

概率為：4/7!=1/1260.

三、解答題（本題共9題，每題1.0分，共9分。）

15—續(xù)導數(shù),且…，（訃哈噂

標準答案:

由于好/傳⑶同歹"=（力?。?/p>

?-（3），田+（-孫傳+9號）

—+力（力”斗

瓢/葉）⑶陪）"住同

―廣田—十/伊

—升》（孫/代）,陪）

Vr（i）+7r（7）-

?

故暑T班汐（力上田苧行）-。?田苧仔）

—

知識點解析：暫無解析

l[(x+y)dxdy

16、計算二重積分％,其中D={(x,y)Ix2+y2gx+y+l}.

標準答案：由x2+y2<x+y+1,得

X畀+卜T)'W?

rdr?/(cos^+?in0)

于是J(X.y)dxdy=J。do(1+rccW+rsin。)rdr

r2dr=21T?*^-r2c3

x-y=rcoe^,y-y=n?in^t則在極坐標系下0=[”,6）|0W6W2IT,OWV

令I(lǐng)

知識點解析：暫無解析

17、某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為p],P2,需求函

數(shù)分別為qi=24-0.2pi，q2=10-0.05P2，總成本函數(shù)為C=35+40（q〕+q2）,問廠家

如何確定兩個市場的銷售價格能使其獲得總利潤最大?最大利潤為多少？

標準答案：pi=120-5qi，P2=200-20q2,收入函數(shù)為R=piqi+p2q2,總利潤函數(shù)為

-7^=80-12g)=0

~~~160-40%=0

L=R-C=(120-5ql)qi4-(200-20q2)q2-[35+40(qi-q2)]，由(弧得qi=8,

q2=4，從而pi=80,p2=120.L(8,4)=605,由實際問題的意義知，當pi=80,

P2=120時，廠家獲得的利潤最大,最大利潤為605.

知識點解析：暫無解析

18、將函數(shù)-3%-4展開成x-1的4級數(shù),并指出其收斂區(qū)間.

Ax)—=——!_____=4JL-工)

x2-3x-4(x-4)(x?1)5\x-4x+1/

:——1?■?—1?■?I1—-*1???....

15.x-110.x-1

11+-y-

=--Ly/￡zlV-ly(-1)-9二！匚

標準答案：3)10治T其中，第?個哥級數(shù)

的收斂區(qū)間為Ix-1I<3,第二個塞級數(shù)的收斂區(qū)間為Ix-1I<2,故幕級數(shù)的收

斂區(qū)間為Ix-1I<2,即」VxV3.

知識點解析：暫無解析

19、設f(x),g(x)在［-a,a］上連續(xù),g(x)為偶函數(shù)，且f(x)滿足條件f(x)+f(-x)=A(A

為常數(shù)).(I)證明Laaf(x)g(x)dx=AJoag(x)dx；(D)利用(I)的結(jié)論計算定積分1兀幺

#2|sinxIarctanexdx.

標準答案:

(I)f/(x)g(l)dx=ff(x)g(x)dx+鼠4)dx.

x￡/(x)g(x)dxx1a/(-t)g(-t)d(-t)=fy(-r)g(l)d/=J/(-x)g(x)dx,

因此//(*)g(*)&=j/(-x)g(x)dx+jy(x)g(x)dx

=()(?*)+/(%)]&(%)也=4[g(#)dx.

(II)?/(x)=arctane\<(x)=|sinx.a=m■.則，(x),?(#)在[-彳?4]上連續(xù),g(x)

為偶函數(shù)，由(arctane,+arcUne*)

知arctane*+arctane'為常數(shù)，取X=0得arctane'+arctane'=arclanl+arctanl=

所以/(X)+/(7)=f.

于是由（）sinxIarctane*dx=手jIsinxl心=y-1：sinxdx=-ycosxIT

IT

知識點解析：暫無解析

X,+2X2+3X,=0.

（）2xj+3盯+5巧=0,和(n)

I2

2X1+bx2+(c1)xj=0

<14-X+ax,=0

20、已知齊次線性方程組2

同解，求a,b,c的值.

標準答案：根據(jù)題意可知方程組（口）中方程組個數(shù)V未知數(shù)個數(shù)，從而（口）必有無

窮多解，所以（I）必有無窮多解.所以（I）的系數(shù)行列式必為0,即

123

235-2—a=0=a=2.

1I對⑴系數(shù)矩陣作初等變換，有

1223]rl01-

2311-011,

oJLo」可得方程組（）的通解為（

.11000Ik-l,-11)T，其中

-1-64-c=0,

{-2-必…】=0解

產(chǎn)+x,=0,

得b=l,c=2,或b=0,c=L當b=0,c=l時，方程組（口）為L與+2xj=°其系數(shù)

矩陣的秩為I,從而（I）與（口）不同解，故b=0,c=l舍去.當a=2,b=2,c=2時

（1）與（口）同解.

知識點解析：暫無解析

T222

21、設二次型f(xi，X2，x3)=XAX=ax1+2x2+-2x3+2bx?x3(b>0),其中二次矩陣

A的特征值之和為1,特征值之積為-12.(f)求a,b的值；(D)利用正交變換將

二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換對應的正交矩陣.

a0b■

020.

標準答案：(I)由題設，二次型f相應的矩陣為0-2」設A的3個特征

值為九1，九2,入3,則由已知條件知入1+12+入1=1，斯九2入1=-12;利用"矩陣特征值之

和：矩陣主對角線元素之和”及“特征值之積;矩陣行列式”兩個關(guān)系，得a=l及

a0b

020

b0-2|=2(-2-b2)=-12,可求出b=2,即a=l,b=2.(D)SIA-XEI=0,即

-A02

02-40

i20-2-4=o,可求出A的特征值為加=近=2,入3=3.不難求得對應

「01I-

0，臺0

于無=屹=2的特征向量為L」L0」對應于入3=3的特征向量為名」-2」，對

「2

后

0,

1

X|,入2，九3正交規(guī)范化，得

「2I

后0后

00

12

p=/l，&3,&3)=%6」則P為正交矩陣，在正交變換x=Py下，其中

?力］「200-

力，PTAP=020

?！?/p>

.yjJL-3-222

因此二次型的標準形為2yi+2y2-3y3.

知識點解析：暫無解析

22、兩臺同樣自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先

開動其中一臺，當其發(fā)生故障時，停用而另一臺自動開動.試求兩臺記錄儀無故障

工作的總時間T的概率密度f(t)、數(shù)學期望和方差.

標準答案：由題設，設先開動的一臺記錄儀的無故障工作時間為「，后開動的一

臺記錄儀的無故障工作時間為T2,則由已知，笛的概率辮度為￡(x);

QO

{二*<O,(i=l,2),且顯然Ti與T2獨立.由于T=T1+T2,則由卷積公式可

/(?)=[/；(x)/i(，-4)(h=Se"”

=25/e~dx=25te'51,

得出當1>0時T的概率密度，即

產(chǎn)力t>0.

所以T的概率密度為°?'W°?乂Ti服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，則

E(Ti)=l/5,D(Tj)=l/25(i=L2),則T的數(shù)學期望為E(T尸E(T|+T2)=2E(T0=2/5,T

的方差為D(T尸D(TI+T2)=2D(TI)=2/25.

知識點解析：暫無解析

23、某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似正態(tài)分布，平均成績?yōu)?/p>

72分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分到84分之

間的概率.［附表］

10as1.01.510153.0

0(?)0.S000.6920.8410.9330.9770.9940.999

其中(p(x)表示

標準正態(tài)分布函數(shù).

標準答案：設X為考生的外語成績，山題設知X-N(72,。2),且P{X/6}=2.3%

=0.023,即

平落吟叩平*孫"嚕)=9

于是得中管)=0.977,由叭z)的數(shù)值表知”2,。=12.

這樣X~N(72,12?),所求概率為

P|6OWXW84|叫督產(chǎn)小空