考研數(shù)學三隨機變量及其分布

考研數(shù)學三隨機變量及其分布

1.【單項選擇題】假設(shè)分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的函數(shù)且F(0)=0,則可以作出新

分布函數(shù)

x>1

Gt(x)

A.i41

x>1

G2(X)

B.N41

X>1

G3(JT)

C.1

?r>1

GJx)

D.xC1

正確答案：c

參考解析：【分析】

應(yīng)用分布函數(shù)充要條件判斷，由G(.r)的形式是分段函數(shù),1=1是分界點,于是立

即想到要判斷l(xiāng)imG,(i)=&⑴=0是否成立，即GCr)是否右連續(xù).容易計算

limG)(J)=1-F(l)^O5limG2(x)=1+F(l)>1；limGJj)=F(l)+F(l)^0

G(i)GCr)G(i)都不右連續(xù)’,所以正確選項是(C),如果需要直接證明G3(I)是分布函

數(shù),那就需要按充要條件逐條加以驗正

2.【單項選擇題】已知隨機變量X1與X2具有相同的分布函數(shù)F(x),設(shè)X=Xi+X2

的分布函數(shù)為G(x),則有

A.G(2x)=2F(x).

B.G(2x)=F(x)?F(x).

C.G(2x)W2F(x).

D.G(2x)22F(x).

正確答案：C

參考解析：由(A)知當F(+8)=1時,G(+8)=2,而分布函數(shù)G(+8)=l,故(A)

不成立.

同理，由(D),G(+8)》2F(+8)=2,不可能.⑴)也不能選.

對選項(B),考慮特例,當X,=X?.當然X：與X2有相同分布F(X),G(2J)=P(X42.r}=

P{X1+蒞42]}=P{2XY2x}=P{X《6=FCr),故(B)不成立.

正確選項應(yīng)為(C).事實上，由于{X>2]}={X1+X2>2Z}D{X1>X}。{X?>十,

故(X426U{XYRu(XY*即

G(2x)=P{X42工YP(X>《工)+P{X,<1}=F(z)+Fix)=2F(J).

3.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(l,。其分布函數(shù)為

F(x),則對任意實數(shù)x,有

A.F(x)+F(-x)=1.

B.F(l+x)+F(l-x)=l.

C.F(x+l)+F(x-l)=l.

D.F(l-x)+F(x-l)=l.

正確答案：B

參考解析：請于X?N(l./),所以X的密度函數(shù)/(公的圖

形是關(guān)于工=1對稱的,而F(l)=「/(Ddz是曲邊梯形面積.由

此即知正確選項是(B).當然我們也可以應(yīng)用特殊值(例如取z=

0)或者通過計算=可與」)來確定正確選項,讀者不妨自

己計算一下,從中確定正確選項.

4.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

Ae-',x>A

/(x)=(A>0)

0,

則概率P{入率<入+a)(a>0)的值

A.與a無關(guān),隨人的增大而增大.

B.與a無關(guān),隨人的增大而減小.

C.與人無關(guān),隨a的增大而增大.

D.與人無關(guān),隨a的增大而減小.

正確答案：C

參考解析：概率P{A<X<人+a)(a>0),顯然與a有關(guān)，固定入后概率隨a的增大

而增大，因而選擇(C).

事實上,由于1=/(z)d.r=A葭業(yè)=AL,解得A=1.概率

??8?A

P{A<X<A+a1=A=eA(eA—e-A-a)=1—e4

Ji

與;l無關(guān)?隨a的增大而增大.

5.【單項選擇題】設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)

A+Be-，>0

F(x)=(A>0)

0,n40

則P-l&XV1)=

A.eA-ex.

B.l-e\

1

C.-(l+e“).

1

x

D.2(l+e).

正確答案：B

參考解析：

F(z)=H，%?a〉o).先根據(jù)F(z)為分布函數(shù)的性質(zhì)定出常

數(shù)AB.

1=limFCr)=A,又根據(jù)右連續(xù)性limF(i)=A+B=F(0)=0,得A=1,B=-1.

F(x)=P"e-k，是一連續(xù)函數(shù).

10,

所以P{-1WX<1}=PHl<X<n=F(l)-F(-l)=1-e力選(B).

6.1單項選擇題】設(shè)隨機變量X”X2,X3,X”均服從分布B(l,2),則

A.X1+X2與X3+X4同分布.

B.XHG與X3-X4同分布.

C.區(qū)，Xz)與(X3,X。同分布.

D.Xl.Xl.Xl.Xi同分布.

正確答案：D

X.01

X.?B(l.1，即一11(i=1.2,3.4).

P

參考解析：2~2

X；01

顯然二"丁丁J=123.4),故X1,X；,X；,X：同服從分布.

pT7

至于(A)(B)(C)均不正確,可以舉反例如下:

設(shè)

顯然X1,X2,X3，X,均服從但(X1,X?)與(X-X：)不同分布.

X,+X202Xa+X,1

即X1+X?與X：、+X,不同分布.

x>-x20X3-X4-11

即即一一與乂3——不同分布.

7.【單項選擇題】設(shè)隨機變量Xi與X?的分布函數(shù)分別為F"x)與Fz(x),

F(x)=aF.(x)-bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，貝U().

A.a=二，b=-1

B.a=?,b=?

C.a=--,b=-

13

D.a=一,b=-*-

正確答案：A

參考解析：要使F(x)為某一隨機變量的分布函數(shù)，必須有F(+8)=l.又由已

知，F(xiàn)i(+°°)=1,F2(+°°)=l,故a-b=l,即只要a,b的取值滿足a-b=l即可.

8.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x),且f(-x)=f(x),X的分布

函數(shù)為F(x),則對任意實數(shù)k,有().

F(—k)=1—/(.r)d.r

A..

1

卜(一人)--/(j)d.r

D.一.

C.F(-k)=2F(k)-l

D.F(-k)=F(k)

正確答案：B

參考解析：考慮到f(-x)=f(x),知f(x)為偶函數(shù)，故

d.r]

F(T)=f(x)dx—/(工)裊+[/(jr)

-8Jk

/(i-)dj-f(x)djc=-_J(z)d.r]=：—j/(j)d.r.

9.【單項選擇題】下列函數(shù)中，可作為某一隨機變量的分布函數(shù)的是().

1

F(jr)=

A.1+x2

F(.r)

B.

jr>0.

F(x)

C.j-co

F(/)=[/(z)d/.且|/(/)d/=1

D.

正確答案：B

參考解析：F(x)要成為某一隨機變量的分布函數(shù)，必滿足以下三個條件:

①OWF(x)Wl,F(+8)=I,F(-°°)=0；

②F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；

③F(i)右連續(xù).即limF(?r)=F(a).

只有B滿足以上三個菜件，而A,C中F(x)不滿足F(+8)=I,D中F(x)不一定

單調(diào)不減.

9.【單項選擇題】下列函數(shù)中，可作為某一隨機變量的分布函數(shù)的是().

F(.r)=-arctanx4--

B.7T2

C.「二。

DF(.r)=/⑺山,且|/(z)d/=1

正確答案：B

參考解析：F(x)要成為某一隨機變量的分布函數(shù)，必滿足以下三個條件：

①O《F(x)《LF(+°°)=l,F(-°°)=0；

②F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；

?F(x)右連續(xù),即limF(z)=F(a).

只有B滿足以上三個案件，而A,C中F(x)不滿足F(+8)=I,D中F(x)不一定

單調(diào)不減.

10.【單項選擇題】設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x,P{X=x}=0的充分必要條

件是().

A.X的概率密度f(x)是連續(xù)函數(shù)

B.X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)

C.X為離散型隨機變量

D.X是非離散型隨機變量

正確答案：B

參考解析：F(x)=P{XWx),對任意實數(shù)x,F(x+0)=F(x)(右連續(xù)).又

P{X=x}=F(x)-F(x-0),

故PX=x]—OQF(I)—F(z—0)=0oF(i-0)=F(J)WF(J)在j處連續(xù).

11.【單項選擇題】設(shè)X?N(u,42),Y?N(u,52),記pi=P{XWu-4},

P2=P{Y2U+5),貝(J().

A.對任意實數(shù)P,有P1>P2

B.對任意實數(shù)u,pi<p2

C.對任意實數(shù)R,有Pl=P2

D.只對口=0,有pi=p2

正確答案：C

參考解析：

=P{X4〃-4}=PIX二&&-1；■=0(—1).

p\\4J

>11=1-0(1)=0(-1).

pz=+

故Pi=p2,與u取值無關(guān).

12.【單項選擇題】設(shè)X?N(u,則隨著盯的增大，P{|X-P|<

。}().

A.單調(diào)減少

B.單調(diào)增加

C.保持不變

D.增減不確定

正確答案：C

由V?N(0J),故

參考解析：a

P{IX-fiIV“}=P<1=0(1)一取一1).

與〃9取值無關(guān)，故C正確.

13.【單項選擇題】

設(shè)義工)為隨機變址X的概率密度,且/(1-』?)=/(1+外,=0.4,X的

分布函數(shù)為F(/).則F(0)=().

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

正確答案：A

參考解析：由f(l-x)=f(l+x),.知f(x)關(guān)于x=l對稱，如圖16—1所示,

=J/(x)dji'=0.5—0.4=0.1.

14.【單項選擇題】設(shè)f(x)為隨機變量X的概率密度，則下列選項可作為某一

隨機變量的概率密度的是().

A.f(1-x)

.V

B.f(2)

C.f(x2)

D.f2(x)

正確答案：A

參考解析：

解/(工)作為隨機變量的概率密度,必須滿足:①八])20；②

J-OO

對于A于(1一力》0且

?十00「十8什8

/(I—x)dj=—/(1—j)d(l—x)=/(/)dz=1,

J-8J-8J-3

故A正確.

對#,1/(撲i=2廣/團d團=2HL

對于3D,['f(j)da-與)d.r都不為1.

15.【單項選拓題】設(shè)X“X2,X：,都服從正態(tài)分布，且X「N(O,1),X2?N(0,

22),X3?N(5,32),Pi=P{-2WXW2}(i=l,2,3),貝ij().

A.p3>p!>p2

B.pi>p3>p2

C.pi>p2>pa

D.P2>P1>P3

正確答案：c

參考解析：依題設(shè)，有

P\=P{-24X]{2)=0(2)-0(-2)=20(2)—1,

色=P{-24X,42)=P-14&I1;

=0(1)-0(-1)=20(1)—1,

12

p3=P(-2<X3<2)=pl-y<^<-li

0M)

又0(工)單調(diào)增加，所以/>,=20(2)-1〉20(1)—1=%.

而0(1)—0(-1)>0.68,故

pz=0(1)-0(-1)>0,68>0.5=0(0)>0(-1)>%,

所以C正確.

16.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x),若當-8<x<+8時，恒有

O^f(x)<l,則X可能服從().

A.N(l,。2)

B.N(u,1)

C.N(u,。2)

D.N(0,。9

正確答案：B

杳X?,則X的概率密度為

/(x)=e~2/，-8V1<+oo,

參考解析：\/2n(j

當X=〃時,/(i)取得最大值占,顯然,/(/)的最大值與〃無關(guān)，故當X?

時,/(〃)=

岳G

當a=1時,/(〃)=1,從而04/(1)<1,故B正確.

1底1

當)<3時,/(〃)=一^>1.所以A.C.D不正確.

\/2K\/27r(j

17.【單項選擇題】假設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其分布函

數(shù)為F(x),則

A.F(x)是偶函數(shù).

B.F(x)是奇函數(shù).

C.F(x)+F(-x)=l.

D.2F(x)-F(-x)=l.

正確答案：c

參考解析：畝于F(x)是單調(diào)不減的非負函數(shù)，所以(A)、(B)不成立.已知f(x)

是偶函數(shù)，因

此有F(-z)='/⑴也=7(/)cl/,F(.r)+F(-x)='/〃欣+"7sd/=1,選擇(C),

-8JJtJJJ

而2FCr)-F(—.r)=21/(f)d/=2-3[/⑺力H1,選項(D)不成立.

18.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則可以作出分布函數(shù)

A.F(ax).

B.F(X2+1).

C.F(x-l).

D.F(|x|).

正確答案：c

參考解析：函數(shù)F(x)成為分布函數(shù)的充要條件為：

①F(z)單調(diào)不減；②limF(x)=0,limF(x)=1；③F(z)右連續(xù).

(A)F(or)當aV0時?①、②、③都不滿足,故F(ar)不是分布函數(shù).

(B)F(J-2+1)不滿足條件limF(z)=0?不是分布函數(shù).

--0C

(c)F(r-1)條件①、②、③均成立,是分布函數(shù).

(D)F(|N|)不滿足條件limF(z)=0?不是分布函數(shù).

19.【單項選擇題】設(shè)隨機叁量X的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為F(x)和

f(x),則隨機變量-X的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為

A.F(-x)和f(-x).

B.F(-x)^Df(x).

C.l-F(-x^Df(-x).

D.l-F(-x^Df(x).

正確答案：C

參考解析：記-X的分布函數(shù)和概率密度分別為FKx)和fi(x)，

貝(IF,(x)=P{-XWx}=P{X^-x}=l-P{X<-x}

=1-P{XW-

x}=l-F(-x)

fi(x)=Fi'(x)=[l-F(-x)]=f(-x)

20.【單項選擇題】

。,二,則P-2IX別的值為

設(shè)隨機變量?x的概率密度函數(shù)為/(工)=

A.et

B.-e'2.

C.e-1.

D.1-e

正確答案：D

參考解析：

P<X21,X<2}_P{14X{2}

?方法1P{X42|=p-DFvT"

P{X42|X21)=1-P《X〉2|X》1}=1-P{X22|X211

=1-P{X21}=1—e1.

21.【單項選擇題】已知X?N(15,4),若X的值落人區(qū)間(-8,X1),(xl,

x2),(x2,x3),(x3,x4),

(x4,+8)內(nèi)的概率之比為7：24：38：24：7,則xLx2,x3,x4分別為

A.12,13.5,16.5,18.

B.11.5,13.5,16.5,18.5.

C.12,14,16,18.

D.11,14,16,19.

附：標準正態(tài)分布函數(shù)值①(1.5)=0.93,①(0.5)=0.69.

正確答案：C

參考解析：

794

X落人(一8山),(工],+oo)的概率應(yīng)為赤，而，

￡，2,4?即°，°7,0.24.0,38,0.24.0.07.

100100100

=l-P{X〉rJ=1-0.07=0,93=0(1.5).

而X?N(15,4)?所以匕衿?N(0,l).

P—號《唁卜耳中.

[MW)14/

所以包J=1.5,

解得x4=18.

又=\-P{X>i3]=1-0.24-0.07=0.69=6(0.5),

P{X<R)=P[寧4?)=Q(/卜得寧=0.5,

收工3=16.

由對稱性X\與乙，工2與x3都關(guān)于z=15對稱.

所以工|=15-(工4—15)=12,H2=15一(4一15)=14.

22.【單項選擇題】假設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且都服從參數(shù)為A的指數(shù)分

布，則可以作出服從參數(shù)為2X的指數(shù)分布的隨機變量如

A.X+Y.

B.X-Y.

C.max(X,Y).

D.min(X,Y).

正確答案：D

參考解析：顯然我們可以通過計算每個選項中的隨機變量的分布來確定正確選

項，這樣會有大量計算.我們也可以利用指數(shù)分布的一些性質(zhì)來判斷.

如果X?E(A)則EX='

21

E(X+Y)=EX+EY=

A4"

E(X-Y)=EX—￡Y=OH左

所以(A)不對,(B)也不對；當X,Y獨立時,max(X.Y)的分布函數(shù)為

|(l-e-i,)2,x>0,

F(T)=\

0.Jco.

I1->0

顯然不等于E(2。的分布函數(shù)R(.r)=''所以選擇(D).

I0,工40.

事實上,min(X,Y)的分布函數(shù)

P{min(X,y)<x}=l-P{min(X,y)>x}

=1-P{X>/；'>]}=l-P{X>z}P{Y>/}

1—e如.r>0.

=1-[1-F(x)]2=[

0,.r40.

即min(X,Y)?E(2A).

23.【單項選擇題】設(shè)相互獨立的兩隨機變量x和y均服從分布B(l,3),則

P{XW2Y}=

1

A.9.

4

B.D.

C.9.

D.9.

正確答案：D

參考解析：【分析】

PX42Y)=P{X=O}+P(X=1.丫=1)=￡+P1X=1>P{Y=1}

o

_2,11_7

=T+TxvT=T,

24.【單項選擇題】設(shè)相式獨立的兩隨機變量X,Y均服從［0,3］上的均勻分

布，則P{l<max(X,Y)W2)的值為

1

A.6.

1

B.4.

c.3.

正確答案：c

參考解析：

P{\<max(X.Y)&2}=P{max(X.Y)42}-P{max(X.Y)<1}

=P{X&2,Y42)-P〈X&i.y41)

=P{X42}P{Y{2}-P{X4l}P〈y41}

_22_11_1

-7yx77yxj-y-

25.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x),則其數(shù)學期望

E(x)=a,如果成立

A［xf(a*—u)dj-=0.

z/(+a)d/=0.

Bn.J.?

41

J(j)dj'=—.

V/.dj

DJ*a*(z)dz=?1

正確答案：B

/以初+二當(B)成立時.即|//Q+a)d.r=0.

令z+a=八if(j：4-a)dz=(t—=tf(t)dt—af(t)dt

JJJ-8

=E(X)—a=0

即E(X)=a.

26.【單項選擇題】設(shè)Xn表示將一硬幣隨意投擲n次“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則

參考解析：

由題設(shè)知X.?8(〃,}),根據(jù)“二項分布以正態(tài)分布為其極限分布“定理得：

fY】

2412X.-nI

limPs門—41>=limP(—1—4]，=6(I).選擇((

-8/I—9Iy/n

\VTWI

27.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X?N(u,。9,則P(X-u<2o)().

與

六

院

另

及2

u。

A.-

與

與

有

關(guān)2

u0無

B.*,

與

與

無

2有

u關(guān)O

*’

與

臨

C.及

2式W

U。

D.X

正確答案：A

參考解析：

因為P(|X—〃|<2a)=P(-2(7<X-^<2(7)=P(-2<^^<2)

=中⑵-①(-2)為常數(shù),所以應(yīng)選(A).

28.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X?U[l,7],則方程x2+2Xx+9=0有實根的概率

為().

112

(A)y(B)-=-(C)y(D)0

A.A

B.B

C.C

D.D

正確答案：A

參考解析：【解】

X?八、""方程儲+2X/+9=0有實根的充要條件為

0,其他.

2

A=4X2-36^O?X2^9,P(X->9)=1-P(X2<9)=1-P(l<X<3)=p

29.【填空題】設(shè)x是服從參數(shù)為2的指數(shù)分布的隨機變量，則隨機變亶Y=X-

-的概率密度函數(shù)fv(y)=—.

請查看答案解析后對本題拄行判斷：答對了答錯了

正確答案：

29e-2y->,y、>——

<

參考解析：y^~~2

【解析】

2jr

;9P~.r、0

X?E(2),所以其概率密度/x(z)=；八,二、.

I0,140

現(xiàn)丫=X-1?，所以FY(y)=P{Y^y}=P；X-P：X(y+；|

="(i)dr=Fx(y+})

9~2y-l、1

112e，y〉一］

斤(丁)=F'y(y)=匕0+彳卜/.\q+彳)=<；?

o，一萬

30.【填空題】已知隨機變量X服從參數(shù)為入(入>0)的指數(shù)分布，且謔機變量

V)X,當|X|41

I=\

「X,當|X|>1

則pj.

請查看答案葡析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1—e—+e"

【解析】

服從指數(shù)分布的隨機變量X的概率密度:

:Aeu,1>0,

/(J)=io.,<0.(A>0)

0.

因為y是由X41和X|〉l定義而來,只要找出KLjX的關(guān)系就不難求出

py=P(丫號，IXI&U+P丫號"X|〉l

i4)ZIL

pjx",|X|<U+P-X號，|X|〉l

4JI4

=p{x",-l<X<l;+PX>-pX>1

=1—1Ae-Xr(Lr=1—e+e-\

31.【填空題】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為X(X>0)的指數(shù)分布，則

P{X>16|X>8)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：參

【解析】

利用指數(shù)分布的無記憶性，得P{X>16|X>8)=P{X>8}=e=.

32.【填空題】設(shè)X?N(2,。2)且p{0<x<2}=O.3,則P{X>0)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0.8

【解析】

由X?N(2.J),知X的概率密度曲線6])=+e寸關(guān)于直線1=2對稱,

Jizo

因止匕P{X<2}=P{X22}=0.5,P{0<X<2)=P{2^X<4}=0.3,故此X>O}=1-P{XW

0}=1-(P{X<2}-P{0<X<2})=1-0.5+0.3=0.8.

33.【填空題】

設(shè)X?N(i為X的概率密度,當工=1時J(z)取得最大值今,則

P(X<3)=(用標準正態(tài)分布函數(shù)。(x)表示).’

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：6(1)

【解析】

由已知(7)='1_e_*^*，在1=〃=1處，/(/)取得最大值

V27TCT

〃、-1_]

"-后—2E

故〃=lw=2.即X?N(1.4),所以

P{X<3}=P<1'=0(1).

34.【填空題】設(shè)自動機床在任何時長為t的時間向隔內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X服

從參數(shù)為入t的泊松分布，Y表示相繼兩次故障之間的時間間隔，則當t>0時,

P{Y>t)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案:

參考解析：e-'

【解析】

{Y>t}表示相繼兩次故障之間的時間間隔超過t,故在時長為t的時問間隔內(nèi)沒

有發(fā)生故障，所以P{Y>t}=P{X=O},而X是服從參數(shù)人t的泊松分布，故

P{y>f}=P[X=0}==e-'.

35.【填空題】設(shè)X?N(0,1),向Y=|X|的概率密度f;(y)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

‘杼十,°,

參考解析：y&O.

【解析】

由Y=lX|取值非負,故當y40時,Fy(y)=0；當？>0時.

Fy(j)=P{Y^y}=P{\XI—}

于是

36.【填空題】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，k為大于零的常數(shù)，則

P{XWk+l[X>k)=.

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正確答案：

1--

參考解析:e

【解析】

解法1利用指數(shù)分布的無記憶性進行計算.

由于X?e(l),且當2>0時，有巴X>s+/X>/}=P{X>s),故

P{X《A+1|X>?=1-P(X〉人+1|X〉A(chǔ))=1-P{X〉1}

=1-e1=1-

e

解法2直接利用條件概率進行計算.

P(X(為+1|X〉解=1-P{X>A+1|X〉H=

r\A>k]

=ra>A±i}=J^=1

巴X〉公[屋d,「e.

37.【填空題】設(shè)隨機變量X?N(P,。9,o>0,(x。，y。)為其分布函數(shù)曲線

y=F(x)的拐點，則xo=,y0=.

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正確答案：

參考解析:

【解析】

由X-、(〃，/).則其概率密度為/(幻=-^e-守，則

F'5)=/(xo)=?二二國=0.

百為-

故工0=〃，F(xiàn)(xo)=Jo=y.

38.【填空題】設(shè)隨機變量X?(R,。2),其中。>0,F(x)為X的分布函數(shù),

貝!|F(u-X。)+F(u+x。)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

F("—如)+F("+M)=P{Xa\——s；'+P(X<"+.sJ'

=P：=&-“+P；$一)

\a]a

=0(—x)4-0(jr)—r1—6(.r)]+G(i)=1.

39.【填空題】設(shè)隨機變量X服從泊松分布,且P{X=1}=P{X=2設(shè)則

P[X>1)=____.

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正確答案：

參考解析：1-3e「2

【解析】

由已知，

P{X=k}=^701',入>0.4=0.1,2「??

依題設(shè),*-A=寄，解得入=2,A=0(舍去),所以

P{X>1}==l-P(X=0}-P{X=1}

=1-e-2—2e-2==1-3e-2.

40.【填空題】

在伯努利試驗中，設(shè)小件發(fā)生的概率P=：,X表示首次發(fā)生所需試驗次數(shù),"為正

4

整數(shù).則?{X=2n}=.

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正確答案：

J.

參考解析：5

【解析】

依題設(shè)，

P[X=k}=(1—py1p=內(nèi)''(q=1—/>=}),

故￡P(guān)X=2n}=附+pq，+…+'+…

-1_q_1

=pq,z----j=L-=T-

1—q-1+q5

41.【填空題】

設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P1X=6=沐',k=0.1.2,-,則常數(shù)

a=.

請醞卷案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：e

【解析】

由分布律的性質(zhì),有2P(X=公=1?故

*-0

SF[e2=ae2Sn="2?e=ae_*=1._

所以a-e.

41.【填空題】

設(shè)離散型隨機變盤X的分布律為P1X=6=[e',k=0.1.2,-,則常數(shù)

a=.

請番蠡案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：e

【解析】

由分布律的性質(zhì),有ZP(X=上=1.故

X言e"=ae2Z7"7=ae',e=ae-1=1,

y”y4!所以a=e.

42.【填空題】設(shè)X?N(O,。2),X在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率最大，其中

a>0,則o2=.

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正確答案：

—從

參考解析：2(lna-InbY

【解析】.

依題意?有X」?N(O,D,故

a

P〈a<X<b]=P—<Z—<Z—\=0(-)—<i>[—)

(aaa}\a/\a!

1rfr//f7上/]記“\

=edx-e2ax=f⑻，

m3'發(fā)小,卜>T1(-7)]?

令/'(“)=0,得加?=ae/,取對數(shù),得In力+J=Ina+/,解得

2/2(r

2_——b]

2(lna-Inb)

2

43.【填空題】設(shè)X?N(u,。;)，Y?N(2u,o2),X與Y相互獨立，已知

P{X-Y21}=0.5,則r=

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正確答案：

參考解析：-1

【解析】

22

由題設(shè)X與Y獨立得X-Y?N(-P,ot+a2),即隨機變量X-Y的密度對稱中心

x=-p,現(xiàn)P{X-Y21}=0.5,即對稱中心在x=l處，-p=l,就有口=-1

44.【填空題】

0<工<?

已知隨機變址(x,y)的概率密度函數(shù)/(?!.『)=，則P(X+Y4

其他

1}=.

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正確答案：

參考解析：l+e~i—2c"

【解析】

1[/(-Wd/dy

應(yīng)用公式巴(X,Y)6D}即可求得結(jié)

果.事實上.

P{X+Y<1>=1/(z^)djrd,y='d/e'dj>

?/JJoJJ

—Hl

=j7(eJ-ei)d.r=14-e1—2e

45.【填空題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且均服從正態(tài)分布N(u,。9,

則P{max(X,y)>u}-P{min(X,Y)<u}=.

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正確答案：

參考解析：0

【解析】

P{max(X,y)>〃}-P{min(X.Y)V〃}

=1-P(max(X,Y)(浦一11-P(min(X,Y))幺}[

=-P{max(X,y)&儲+P{min(X,Y))〃}

=-p(x4".y&浦+P{x>〃,y)浦

=-P(X4"}P{Y+P{X2"}P{Y力

46.【填空題】設(shè)隨機變量X?N(u,。9,且方程x2+4x+X=0無實根的概率為

0.5,則.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析:因為方程x2+4x+X=0無實根，所以16-4XC0,即X>4,

由X~N(P,。2)且「仁〉4)=0.5,得u=4。

47.【填空題】

[3，

~7*>0<7<a.7

設(shè)隨機變址X的密度函數(shù)為/(])=<“3若p(x〉1)=履則a

10,其他，

請查看答橐解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

f?門a/17

P{X>1}=/(x)d;r=—^-clr=—j(a3—1)=*77,則a=2.

J1Jiaa8

48.【解答題】設(shè)離散型隨機變量x的分布律為

X—112

A0.20.30.5

(I)

求X的分布函數(shù)；(D)求

請查看答案解析后對本題進行判斷：容對了答錯了

參考解析:解(I)分布函數(shù)的定義：F(x)=P{XWx).

當x〈-l時,F(x)=P{XWx}=0；

當一lWxG時，F(xiàn)(x)=P{X^x)=P{X=-l}=0.2；

當lWx<2時，

F(J-)=P(X{z}=P{X=-1}+P(X=1}=O.2+O.3=0.5；

當時,F(z)=P{X4萬=P{。}=L故

(0,xV—1,

c,、Jo.2,—

PIT)=4

|0.5,1<x<2,

11,

(II)

p]x>}|=1-F(y)=1-0.2=0.8.

(m)P{TWXW2)=P{X=T}+P{T〈XW2}

=P{X=-l}+F(2)-F(-l)=0.2+1-0.2=1

49.【解答題】設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

0?x&—a?

F(z)=《6】+上，arcsin—?——aV.r&a,

[1?]>a,

其中a>0.

(1)求常數(shù)冗，kz的值；

(H)求X的概率密度；

(HD求叩XIVa

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)由分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)，有

F(-a+0)=F(-a),F(a+0)=F(a)，

22

f(z)==J兀y/a—jr

[0,11rl>a.

(Ill)

Pl\Xl<yi=P{-y<X<^}=F(f)

.irii./ii

=KH------arcsin———d-------arcsin--7=

LItLL7t

50.【解答題】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，對X進行三次獨立重

26

復(fù)觀察，至少有一次觀測值大于3的概率為，求人的值.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解由已知，X的概率密度為

/?/)_IAea?x>O?

IO，,令Y為對X作三次獨立重復(fù)觀察中，事

件{X>3)發(fā)生的次數(shù)，則Y?B(3,p),且

*4*00

p=P{X>3}=久e-"di=e_3A.

J3

依題設(shè),P{Y21}=i-p(y=o}=1—(1一戶=第，

故”=(-,由P==e~3得久=—9n-y.

?JO?JaJ

51.【解答題】設(shè)隨機變量X的概率密度為

3/0<x<b

/(J-)=

0,其他.

求丫=￡的分布函數(shù)和概率密度.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解用定義法求分布函數(shù)F1(y),

11fo

當y<0時,Fy(y)=P{-^r<。}—P《X<0}=Ody=0；

X-yJ7

當即y>l時，

y

Fy(y)=P?4yI=PX^—；=1—P;X<—=1—'3/h=1一~

IAjyIIyJoy3

當工〉1,即0<y<l時，

y

Fy(y)==P{Y40>+P<0<Y4力

=P(o<!&y)=P(X'L

Xy

[r>

=1—P{X<—}=1—(3z2dj+Odi,)=0.

yJoJi

土,x—r；'(\<y>l,

故1rrFy(y)=?y/y(y)=Fy(y)=《爐

&其他.E其他.

52.【解答題】設(shè)隨機變量X在(0,1)內(nèi)服從均勻分布，求Y=-21nX的概率密

度.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解

由已知，/("=，:；鼠：<-21nz在(0,1)內(nèi)單調(diào)減少,有反函數(shù)

X—e-i，用公式有I

z

fy(v)=l/(e-7)|(e4)|.0<e-l<1,=J7^7,y>0?

''6