考研數(shù)學(xué)一多維隨機變量及其分布

考研數(shù)學(xué)一多維隨機變量及其分布

1.【單項選擇題】設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X與Y分別服從N(0,1)與

N(l,1),則().

1

A(江南博哥).P{X+YW1}=2

1

B.P{X+YW0}=2

1

C.P{X-YW1}=2

1

D.P{X-Y<0}=2

正確答案：A

參考解析：由X,Y相互獨立,X?N(0,1),Y?N(L1),知X+Y?N(O+L

1+1)=N(1,2),

1

所以X+Y的概率密度曲線關(guān)于u=l對稱，故P{X+YW1}=2

2.【單項選擇題】設(shè)二維隨機變量(X”X2)的概率密度為f?(X“xj,Y尸2X”

X2=3X2,則(Y“Y2)的概率密度f2(y”y2)=().

A.A⑵1,3y2)

B.

Cy/i<2y,.35r;)

D,"G".)

正確答案：D

參考解析：

解記（X〃X?）的分布函數(shù)為片（八.八），（匕,匕）的分布函數(shù)為E（y,則

F?（yi?W）=P{Yi<>1,Y2<>,}=P{2X&yi,3X：<y2}

=P{X|<[1,X2<^-yt>=Ft（4-yi'

4J\?M/

故

=9?打陽，卜j="(聶+z)?

3.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X,Y均服從N(0,1),且X與Y相互獨立，則

（）.

1

A.P{X—YNO}=4

1

B.P{X+Y20}=4

1

C.P{min{X,Y)20}=4

1

D.P(max{X,Y)20}=4

正確答案：C

參考解析：令A(yù)尸{X20),A2={Y^0),則考與A2相互獨立,且

L,1

P(A1)=P(A2)=^(x)dx=—?

其中小外為N(0.1)的概率密度.故

P<min{X,Y)》0}=P{X2O?Y2O}=P(A}AZ)=P(AQP(&)=J,

4

c正確.

由X,y相互獨立且均服從N(O.l),知X+Y.X-y服從N(0.2),故

p{x+y>0}=p{x-y2o)=),

￡?

P{max{X,Y}》0}=P(A,U4)=1-P(A,UAz)

——a

=1-P(A))P(A2)=y,

選項A,B,D錯誤.

3.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X,Y均服從N(0,1),且X與Y相互獨立，則

().

1

A.P{X—Y20}=4

1

B.P{X+Y20}=4

1

C.P{min{X,Y)20}=4

1

D.P(max{X,Y)20}=4

正確答案：C

參考解析：令A(yù)尸{XNO),A2={YN0),則人與A2相互獨立，且

P(A1)=P(A2)=^(x)dj=—?

其中小外為N(0J)的概率密度.故

P<min{X,Y)》0}=P{X2O?Y2O}=P(AA)=P(AQP(&)=J,

}Z4

c正確.

由X,y相互獨立且均服從N(O.l),知X+Y.X-y服從N(0.2),故

p{x+y>0}=p{x-y2o)=),

￡?

P{max{X,Y}》0}=P(A,U4)=1-P(A,UA)

——az

=1-P(A))P(A2)=y,

選項A,B,D錯誤.

4.【單項選擇題】設(shè)A,B,C為三個隨機事件，且A與C相互獨立，B與C相

互獨立，則A-B與C相互獨立的充分必要條件是

A.A與B相互獨立.

B.A與B互不相容.

C.AB與C相互獨立.

D.AB與C互不相容.

正確答案：C

參考解析：A-B與C獨Z即P((Ap)C)=P(A-B)P(C).

而P((A-B)C)=P(ABC)=P(ACB)=P(AC-B)=P(AC)-P(ABC).

又P(A-B)P(C)=[P(A)-P(AB)]P(C)=P(A)P(C)-P(AB)P(C)

=P(AC)-P(AB)P(C),

所以A-B與C獨立的充分必要條件是P(AC)-P(ABC)=P(AC)-P(AB)P(C),即

P(ABC)=POB)P(C),就是AB與C相互獨立.選(C).

5.【單項選擇題】

問

A.-1.

B.0.

1

c.2.

D.1.

正確答案：C

參考解析：

顯然,我們需由等式P{X+Y&I)=:確定分為此需要知道x+y的分布.

由題設(shè)x與y獨立知x+丫?N(2〃.i),所以由正態(tài)分布概率密度對稱性知

P(X+Y42〃)=y,

得到2/=:，選擇(C).

6.【單項選擇題】一

設(shè)相互獨立的兩隨機變艮X和丫,其中X?8(1.3),而Y具有概率密度函數(shù)

4)=｛：：?則P[X+Y<T的值為

1

A..

1

B.3.

1

C.」.

1

D.2.

正確答案：A

參考解析：X?B(l,2),X取值只能X=0或X=l,將X=0和X=1看成完備事件

組，用全概率公式有

PX+y《!|=P(X=O}PlX+Y(］|X=o|+P{X=l}PX+Y&J|X=1

uj\0jIJ

=1.PX=O|+1?PU+Y《〈Ix=U

L3IL|J

4-pby|+rpiY<4|

=—X—+—xo=—

2326,

7.【單項選擇題】設(shè)相互獨立的兩隨機變量X,Y均服從［0,3］上的均勻分

布，則P{l〈max(X,Y)W2)的值為

A.1/6

B.1/4

C.1/3

D.1/2

正確答案：C

參考解析：P{l<max(X,Y)W2}=P{max(X,Y)W2}-P{max(X,Y)W1}

=P{XW2,YW2}-P{XW1,YW1}

=P{XW2}P{YW2}-P{XW1}P{Y

Wl}

=2/3X2/3-l/3Xl/3=l/3

8.1單項選擇題】

101i

設(shè)隨機變量X,?111(i=1.2),且滿足P(X|X2=0)=1,則P(X1=X?)等

'777'

T().

(A)O(B)4(C)4-(D)l

42

A.A

B.B

C.C

D.D

正確答案：A

參考解析：由題意得

P(X1=-1,X?=-1)=P(X|=-l,X2=l)

=P(X]=1.X2=-1)=P(XI=LX2=1)=0.

P(X1=-l,X2=0)=P(X,=-l)=7，P(X,=1,X2=O)=P(X1=1)=1，

44

P(X,=O,X,=-1)=P(X,=-1)=-,P(X1=O,X2=1)=P(X,=1)=5，

44

故P(X1=0,X2=0)=0,于是

P(X1=X2)=P(X1=-1,X2=-1)+P(X1=O.X2=0)4-P(X,=l.X2=1)=0,

選(A).

4

9.【單項選擇題】設(shè)X,Y為兩個隨機變量，P(XW1,YW1)=9,P(XWl)=P(y

5

Wl)=9,則P(min(X,Y)W1)=().

4

A.9

20

B.SI

c.3

D.3

正確答案：c

參考解析：

令A(yù)={X{1},B={丫&1}.則P(AB)=9.P(A)=P(B)=*|j

P{min(X,y)<l}=l-P{min(X.y)>l)=l-P(X>l.r>l)=l-P(AB)

=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=［，iS(C).

10.1單項選擇題】設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則下列I說法不正確的是

().

A.X,Y一定相互獨立

B.X,Y的任意線性組合LX+合(L,B不全為零)服從正態(tài)分布

C.X,Y都服從正態(tài)分布

D.P=0EftX,Y相互獨立

正確答案：A

參考解析：因為(X,Y)服從二維正態(tài)分布，所以(B),(C),(D)都是正確的，只

有當(dāng)P=0時，X,Y才相互獨立，所以選(A).

11.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X,Y都是正態(tài)變量，且X,Y不相關(guān)，則

().

A.X,Y一定相互獨立

B.(X,Y)一定服從二維正態(tài)分布

C.X,Y不一定相互獨立

D.X+Y服從一維正態(tài)分布

正確答案：C

參考解析：只有當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，X,Y獨立才與X,Y不相關(guān)等

價，由X,Y僅僅是正態(tài)變量且不相關(guān)不能推出x,Y相互獨立，(A)不對；若

X,Y都服從正態(tài)分布且相互獨立，則(X,Y)服從二維正態(tài)分布，但X,Y不一定

相互獨立，(B)不對；當(dāng)X,Y相互獨立時才能推出X+Y服從一維正態(tài)分布，(D)

不對，故選(C).

12.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X,Y相互獨立且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，

則().

A.P{X=Y）=1

B.P{X<Y}=0

C.P{X=Y}=0

D.PX-T

正確答案：C

參考解析：依題設(shè)，X,Y相互獨立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則

（eJ\J>Oi|ey>01

X-/）（!）=Y~A（y）=

|0,140,|0,

故（X.Y）的概率密度為

x>O.j>0.

=/|（工）/式山=i；

工《?；騳40,

知聯(lián)合概率密度/Cr，y）關(guān)于直線9=工對稱,由對稱性，事件{XCY}所覆蓋區(qū)域后好為聯(lián)合攝串

密度正概率定義區(qū)域?qū)ΨQ軸的一帆所以有P{X〈Y）=$■,知（B）不正確.

又由于（X,Y）正概率密度區(qū)域為（（{3）］工>0,），>0邛件4十丫<0闈蓋區(qū)域不在該區(qū)域

內(nèi)，則P（X+Y〈O）=。,知（D）不正耽

另外，概率P（X=y間表示為定義在直線5=1上的二歪積分,即有P{X=Y）=0,%（A）

不正確，故選（C）..

13.【單項選擇題】

已知隨機變址（X1,X?）的機率密度為人但.工）,設(shè)匕=2X,,y?=9x?,則隨機變位

（Y..YJ的概率密度上（加,貝）=（）.

A.力信?3山）

B.4Zl（^,：b，2）

c.3）

D.9專）

正確答案：B

參考解析：

設(shè)（X「X?）的分布函數(shù)為卜；（為?q）.（匕,丫_）的分布函數(shù)為F?（y「s）,則

=P(XI<^,X2<3J2UF1(^3J2),

所以

'*)='合；=f/'(方'3北).

14.【單項選擇題】設(shè)隨機變量X?N(l,1),Y?N(-1,1),且X,Y相互獨

立，則下列結(jié)論不正確的是().

A.(X,Y)服從二維正態(tài)分布

B.2X+Y服從正態(tài)分布

「P2XT>1>=J

D.2X+Y與X+2Y相互獨立

正確答案：D

參考解析：由題意，(A),(B)正確

對于(C),

E(2X+Y)=2EX+EY=2Xl-l=l,

于是2X+Y?N(l,小乂?！?。)，

故P{2X+Y41}==1,

即P(2X+Y>1}=1-P(2X+Y41)=1,(C)正確,由排除法,選(D).

事實上，

Cov(2X+Y.X+2y)=Cov(2X.X)+Cov(2X,2D+Cov(y.X)+Cov(y,2y),

因x.y相互獨立，則Cov(x,y)=o,于是

Cov(2X+Y,X+2Y)=2DX+2DY=2X1+2X1=4工0,

故2X+Y,X+2丫相關(guān),一定不獨立.

15.【填空題】設(shè)X與Y相互獨立且均服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，則Z=min{X,

Y}的分布函數(shù)F“z)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

1-c"?;>0.

參考解析：3J-0.

【解析】

依題設(shè)?X與、'的分布函數(shù)均為F(jjn

10.工生U?

F/(x)■PminX?Yw；:}=1—P'minX?Y>*1

1P\'〉/'\.?，》?；

?1-[1-F(r)?-l~e-,e]?'

10>t&o.

可見min{X,Y)服從參數(shù)為2人的指數(shù)分布.

16.【填空題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從參數(shù)為入=1的指數(shù)分布，Y

服從參數(shù)為0.6的0—1分布，則P{X+YN1.6}=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0.4”+。.Ge'"

【解析】

應(yīng)用全概率公式，有P{X+Y21.6}

=P{Y=O}?P{X+Y21.6|Y=O}+P{Y=1}?P{X+Y21.61Y=l}

=0.4P{X21.61Y=0}+0.6P{X20.61Y=l}.

由于X與Y相互獨立，故

P{X21.6|Y=O}=P{X2L6}=1-P{X<1.6}=e-16.

同理，可得P{X20.6|Y=l}=e-°",故

P{X+Y2L6}=0.4eL6+0.6e-0-6.

1

17.【填空題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從二項分布B(4,2),Y服

從人=1的泊松分布，則概率P{l〈max{X,Y)W3)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

15

參考解析：、<」

【解析】

記U=max{X,Y),依題設(shè)，有

P1VmaxiA）《

而

18.【填空題】設(shè)X,Y相互獨立且都服從(0,2)上的均勻分布，令2=01N。,

Y},則P(0〈Z〈l)=

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：由X,Y在(0,2)上服從均勻分布得

0,z<0?0,y<0,

Fx(r)=?5,04I<2,Fy(y)=?白。4y<2,

ww

LI》2,1，y22.

因為X,丫相互獨立，所以

Fz（z）=P（Z4z）=l-P（Z>z）=l-P（min{X,y）〉z）=l-P（X>z.y〉z）

=i-p（x>c）p（y>z）=i-[i-p（xCZ）][I-P（Y<2）]

=1—[1—FX（N）][1—Fy（z）J?

3

于是P(O<Z<1)=FZ(1)-F2(O)=J.

19.【填空題】

設(shè)二維隨機變量(XI)在區(qū)域D=卜可)；l4'r&e：上服從均勻分布,則(X

Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fx(x)在點x=e處的值為.

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正確答案：

J_

參考解析：參

【解析】

區(qū)域D如圖陰影部分所示，它的面積

S=|-dx=Inx=2.

Jixi

所以（X?Y）的概率密度為

Io.其他.

20.【填空題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間［0,3］上的均勻分

布，則P{max{X,Y)WD=

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

J_

參考解析：9

【解析】

由題設(shè),隨機變址X與丫相互獨立,且均服從區(qū)間［0,3］上的均勻分布,則它們的

聯(lián)合分G服從二維均勻分布.正概率密度區(qū)域是由確定的正方形區(qū)域,而枳為9.

其中事件{maxXZ4〕表示隨機變址X與丫巾出大的小于等于1,等價于X與丫均小于等于I.即

{maxIXY}41；=X41)邛件覆蓋正概率密度區(qū)域面積為1.所以P(max{XM41=1,

21.【解答題】設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為"

\XI

.X01

(1)求2乂+丫,max{求Y},min{X,Y}的分布律;

(II)求P{min{X,Y}20}；

(m)問X與y是否相互獨立?說明理由.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：(I)隨機變量取值情況如下：

(X.Y)(0.-1)(0.1)(1,-1)(1.1)

h3193

16161616

2X+Y一1113

max{X.Y}0111

min{X.y)—10-11

故

2X4-Y-113

33

Pv16816

max{X.Y0j

-

1"T"-n

p1616

minX?Y10i

P

(II)

Pmin(X.y>—2+㈢.

161641

(IIDX與Y的邊緣分布律分別為

X01YI-I

|1§IS

PI*TPI了

顯然滿足P.=P.??故x與丫相互獨立.

22.【解答題】設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為

1Aa|

’1?J*1,yJT?

0,B他.

(I)求邊緣概率密度fx(x),fv(y)；

(II)求條件概率密度fxiv(x|y),fY|x(y|x);

(III)

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參考解析：(I)

/(jr,y)d_y=""0<x<1,

10,其他

l2x.0<x<

1o?其他.

0<><1,

f(.x?y)dx—

<y<0.

其他，

I>l<1.

比他.

--.IjKx<1,

yI

其他.

IyIVhV1.

其他.

(III)

PX>\Y>0]

4

23.【解答題】設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

/“-I伙。其J-他>.0,V>0.

(1)求常數(shù)女的值，并判別X與Y是否相互獨立，說明理由;

(11)求2=乂+丫的概率密度fz(z).

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：(I)由

C-

LJ/(?■y〉cLrdy■

m■12?故

x>Q.y>0?

其他

又由于/M(X)—f/(x?y)dy-|】2b'?e"d_y=4ex>0.

可得介3?1e”?連。?顯然’7)

具IE.共但?

八。)?/,心).故X與Y相互發(fā)立.

(ID

由卷枳公式?盯/z<x)=II)/Y(W-jr)dj.

當(dāng)nVO時=0：當(dāng)時.

/,(:)=[123“?<dx-12|\-dx-11

24.【解答題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，其概率密度分別為

/X(X)=/y(j)=',

|O.z&O.|0?y40,

,iXVY

其中為>0?心>0為常數(shù),令Z=八v求Z的分布律和分布函數(shù).

AC

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：.答對了滓錯了

參考解析：由X與Y相互獨立，有

/(x.y)-/x(x)-My}-(0其他.

fla

P{Z-1)-P(X<Y)=|AAeT/"(Lrdy

=AtAjIe'4|*cLrIe*iydy=--:丁.

J?J?A|+Aj

P(Z-0>=1-P{Z-1)-.亂.

Ai+Ai

[0?z<0>

分布函Be為F/(r)---?04tV1?

Ai+2*

[ita?I.

25.【解答題】設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

.1v?11*'r*v'*'?

/(“?y)n(一一

'?10.其他.

(I)求X與Y的邊緣概率密度，并判別X與Y是否相互獨立；

(II)求(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)；

(皿)求Z=X+Y的概率密度fz(z).

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參考解析：(I)

〃(幻=「八3曲=JLe山，x>0,

10,x<0

_/xe*?z>0,

10,x<0,

rtf

/?/、f'rt\JJxe->dx.y>0,

/y(y)=/<x,y)dx-<Jo1

J-*lo,

=Jy>0?

IO,y<0,

由于/-(x.v)fAx)?八(y),故X與Y不相互獨立.

(II)F(x,y)=F{XWx,YWy).

專電一點(z?y)的分布函數(shù).

當(dāng)JTVO或yVO時，F(xiàn)(j*.y)-0s當(dāng)O《yV?rV+5時?如圖18*2(A)所取.

F(x?y)-P{X?jr.Y4y),dy|xe-,cLr■1-(/V+y+1)e"1

y

(a)(b)

B18-2

當(dāng)04工VyV+8時?如圖182(b)所示.

F(i.y)=PXx.Y>=|dxfjrc-1—(x4-1)e*—

J0』”

(in)求fz(z)用卷積公式.

/z(z)。f/(x>z-x)<Lr.

當(dāng)￡V0時?//(￡)-01當(dāng)0V/<t—/時?/(r?:.r)不為0?

即0VXV個?故當(dāng)w20時?如圖183所示.

，z(t).J.J—5/也1.e"+(彳一1)e十.

n11-3

26.【解答題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為

2

**r?2，

/(x)=

.0?其他.

求z二f的分布函數(shù)和微率密度］

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：由X與Y相互獨立，知(X,Y)的概率密度為

,jr>2,y>2.

/(x.j)=<x2y2

lo,*其他.

用定義法,Fz(？)=P{Z^z}=尸{令az}.

當(dāng)zV0時,Fz(z)=P(0)=0?

當(dāng)04zV1時?如圖18-4所示.

Fz(?)=P{y<?}=P<(X.Y)6G}

當(dāng)z》1時,Fz(z)=P{y<?}=l-P<(X.y)eD}

nix-4

0?

故分布函數(shù)為

假率密度為

27.【解答題】設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X?N（0,。與，丫服從[-a,

a]（a〉0）上的均勻分布，求Z=X+Y的概率密度（可用①（x）表示）.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：依題意，Y的概率密度為

io.其他，

X的微率密度為/M(X)=rL-e5.-oo<x<4-?.

v2x(y

由于X與丫相互獨立?由卷積公式?得

廣’r*1“川’1

=|/x(z~y)/V(y)dy—|—rzzre.?r-dy

JFJrv2*0

為將箕化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)3(1).令匚3人則dy-故

28.【解答題】在區(qū)間［0,1］上隨機地擲兩點，求這兩點間距離的概率密度.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：設(shè)x和y分別表示兩點的坐標(biāo)，則(X,Y)服從均勻分布，

其微率密度為人工.山。瀛:

所求問題歸靖為求Z=X1Y的M率密度.

用定義法.FJz)=PZ&z}=F(IX-Y|&Q

(T

=1|/(工沙)業(yè)“?

..

其中D：I］一y星?如圖18-8所示.

當(dāng)*V0時?F/(z)9():當(dāng)0<￡41時?

nr1

F/(z)=I/(jr?y)dLrdy11一2?—(1-z)J-24—z:i

*

當(dāng)w>l時.D為?故FI(￡>=1?即

/OfzV0.

Fz(Z)=<2彳一0<*vI.

I［■z>］?

所以Z-IX-Y的概率密度為

//K匚，/、'2(1—z)?04zVl,

=FZ")=IQ.其他.

明18-8

29.【解答題】設(shè)二維隨機變量(X,丫)在口={6,y)|0WxW2,OWyWl)上服從

p.X<Y.)0,X42Y,

均勻分布，令-'1.'4.，求(U,V)的聯(lián)合分布律，

并判別U與V是否相互獨立.

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參考解析：(U,V)可能的值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),依題設(shè)，

(X,Y)的概率密度為

rt、I—?04jr42?04yWl.

lo,箕他.

號慮到/Q?y)的非零取值為常數(shù)去?可直接利用面枳進(jìn)行求解.如圖

189所示?格區(qū)域D劃分為三個三M形區(qū)域R.R.R,其面積分別為

§?S：.S區(qū)域D的面根RS=S+S：+S,=2.用面枳求法.科

同理,得P{X>2Y]=)?P{yVX《2Y)=J.故

p{U=o.v=o}=p(x<y,x42y}=P{x<y)=),

p{u=o.v=n=p{x<y.x>2Y>=o,

P(U=l.V=0}=P{X>y,X<2Y}=P{Y<X^2Y}=g.

4

P(U=l,V=l)=l-4--O-4-=4-?

442

故

'01IU的邊緣

---------------

,?—

4

1T

v的邊域4

顯然PijWpi.?p.j,故U與V不相互獨立.

30.【解答題】設(shè)隨機變量X和Y都在[a,b]上服從均勻分布，且X與Y相互

獨立.

(I)求Z]=max{X,Y}和求=min{X,Y}的概率密度;

(II)求(Z”Z2)的聯(lián)合概率密度.

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參考解析：(I)依題設(shè)，X與Y的分布函數(shù)分別為

JTVae

F、(H)=f/(z)d/=<￡-—-,a&JT<Zb.

J—b-a

、1?工,b.

Oty<a

P.v—a

FY(v)=/(r)d/?<+------?a￡yVb.

J.。一.

'19y，b.

乙的分布函數(shù)為Fz(?)=PZ[W工=Pmax(火?Vz1,

Z的分布函數(shù)為

FZ|(t)0Pz

P{X>z.Y>：f-1-[1P：X<

f0**Va?

Jl-a^t<h.

\b-aI

】?上)6?

(24b-z)//z

、「，,、IT；------rr?aW工W

)?F。(h)=<(6—a>

10，其他.

(II)⑵，ZJ的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(ti.z：)=P{ZiC必2C5}

=PmaxX.Y石Z\?minX?Yl45.

當(dāng)?V孫時?F(說用)=0$當(dāng)：>t時.

F(，i?%)=P<(max^X.y(?)fl1。一(minXtY>z)])

=P<(max*!X.Y)W句)一(max：X.Y；&)Q(minX?Y

?Pmax(X?Y)&)—Pi(maxX.H(孫)A(miniX?Y

=FZ91-P(X<5?Y《Z|>f)<X>rl>Y>xl)J

■F[](￡[)-PM】VX《N]?5<Y4孫》?

由(I)的結(jié)果：可褥

故(乙.Z?)的聯(lián)合概率密度為

tZ：)_JJr-------r?a<:

/(€|?<>)——5~~~z------.<(6—a)”

!o.苴劭

31.【解答題】

設(shè)(X,Y)的微率密度為=<4''

0,"他.

(I)求X和Y的邊緣概率密度，并判別X與Y是否相互獨立；

2

(II)記Zi=X2,Z2=Y,求Z“Z2的分布函數(shù)及⑵，求的聯(lián)合分布函數(shù).

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參考解析：(I)當(dāng)|x|〈l時，X的邊緣概率密度為

f111

石

fx(.r)=Jf(jrty)dy=|—(14-xy)d1y=?

當(dāng)I1I》1時JxQ)=。.故

同理.可陽y的邊緣微率密度為

io.iyi

顯然?/(1?3H/、(J)?/v(y)?故X與丫不相互獨立.

(II)設(shè)ZFX2與Z2=Y2的分布函數(shù)分別為R(x)與Fz(y),(Z1,Z2)的分布函數(shù)為

F(x,y).

當(dāng)工V0時.RQ)=P{X2=0；當(dāng)O&zV1時.

F,(x)=P{X24/}=P{-vGr&X&vGr)=

當(dāng)工>1時，BGr)=1,所以

[0.arV0.

F|(x)=<0<J-<1,

11.

f0?1yV0.

同理

，可得F?(1y)=[6，0<>><1,

求

下F(.x,y).

當(dāng)N

oV0或yV0時.F(z.y)=0)

當(dāng)《zV1‘》>】時.

F(x,>)=P{X2<x,Y2<v}=P；X24

當(dāng)o

&yVl,z>I時.

當(dāng)OF(J,>)=P{X-<x.yJ&y}=PiY24

V1.04yV1時.

當(dāng)10l?y)1

32.【解答題】

0

設(shè)隨機變KN相互拽立?X的做率密度為八(r)，的分布

箕他,

卜,xw/，

函數(shù)為A(y),令Z=<,求Z的分布函數(shù)Fz(z).

|x,X>1.

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參考解析：用定義法.

FAZ')=P{Z4,=P(Z&z.X=44+P(Z-z.X>：］

4J(L\

=p{y<z.x<lkpx<2*x>Il

lZJiZJ

=p{x《i"卜P(Y-p{x《z,x>:)

33.【解答題】設(shè)隨機變量x和y相互獨立，X?N(0,1),Y-U[O,1],

Z=X+Y,求Z的概率密度函數(shù)fz(z).

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參考解析：X?N(0,1),記X的分布函數(shù)為6(x),概率密度為9(x).

,(工).-8<工<+8,0<y<1,

(X,Y)的分布函數(shù)/(i,y)=fx(工)"(y)=

0,其他.

方法一用卷積公式：

大0什8ft

/z(z)=/(z.z—x)dz—/y(z—x)dj=^(x)d.r=0(z)—0(z—1).

J"'CX)J-8Jf-J

方法二

1*4oo

/z(z)=/(n->y?y)dy=/x(z—jOfy()，)dy

J-eoJ-oo

?1fr-l

=g(N-y)dy=^>(z)d(—/)

<p(t)&=0(Z)—0(Z—1).

X

Z?Fz（z）=P{Z&z}=P（X+Y&n}

=1fx（.j?）fY（.y）dxdy

/x（工）/Y（y）d.rdy+||/x（z）/Y（?y）d/dy

AI）

e-lrir?卜

（p（x）dxdy+dr替（jr）dy

JoJ?-iJo

=0(z-1)+(z-jr)^?(jr)d.r.

fz(z)=Fz(z)=—1)—p(z—1)+p(/)d.r=Mz)一。(之1）.

34.【解答題】設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

/Xz,_y)=-8VzV+8,—8VyV+00

求⑴常數(shù)A；

(2)條件概率密度fvix(y|x).

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參考解析：(1)

方法一二維正態(tài)分布(x.y)?N(w，〃?；^^；p)的密度為

J]「八)5i(廠”■-

f(z，y)=----------.e~^T7；L~?v：~+~T~」，—8v<+8

2M①/TV

對比本題所給密度fCr.y)=Aed-『'不難看出題給分布為二維正態(tài)分布:

(；，；

(X.Y).\0,0?]■()

\44

方法二

1=Aj、A=&

42兀

(2)

顯然x,y是相互獨立,因為°=o,所以

X?N(O,9).y?N(O,5)./(3)=fx(^fY(y)

fx(工)—J——8vnV+8

fy(y')—-8V丁<4-8

/；.\(yI/)=號，R)="H")=&6)="，—8v7<+oo,

35.【解答題】二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),-oo<x<+oo,-oo

<Y<+°°.

已知X的密度

一(It0<x<1

fX(工)='

10,其他

當(dāng)0V/V1時,條件概率密度

0<y<x

其他

求/(/，))，-8V/<H-oo,—OO<5?v+co,

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參考解析：

當(dāng)0VzV1時,也就是AO>0時,I-T)=4尹2

當(dāng)0VzV1時,fx(z)=1,所以/(z，3)=/x(<r)/rx(yI當(dāng)=fyx(yx).

我們得到，當(dāng)OVzVl時，/(z，y)=《—z■0V'vVi.

0,其他

但應(yīng)該是定義在全平面上，且f(x,y)dxdy=1.

J-ocJy

顯然在OViVl時.d.r[/(j-.j)dj?=ctr—d,y=d.r=1.

J0J"'oo~040JCJ0

所以?可以理解erV0時或z>1時f(xty)=0.

即可將f(工、y)=[z'°V>VJ,0<x<1.

Io,其他

改寫為

f(3)={工).

.0,其他

36.【解答題】設(shè)X,Y相互獨立，且X?B(3,2),Y?N(0,1),U=max{X,

Y),求P{1<UW1.96)(其中①(1)=0.841,①(1.96)=0.975).

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參考解析：P(UWu)=P(max{X,Y)Wu)=P(XWu,YWu)=P(XWu)P(YWu),

P(U41.96)=P(X41.96)P(Y4L96)=[P(X=O)+P(X=D]U(Y4L96)