浙江省臺州市2024-2025學年高二上學期1月期末考試 數(shù)學 含解析

臺州市2024學年第一學期高二年級期末質(zhì)量評估試題數(shù)學2025.01命題：丁君斌（臺州市第一中學）王智宇（臺州市路橋中學）審題：陳清妹（臺州中學）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點A2,3在坐標平面內(nèi)射影的坐標為（）A.2B.0,3C.2,0D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中，點在平面上射影點的坐標特點，即可確定A在平面內(nèi)射影坐標.【詳解】點在平面內(nèi)射影，只需z0即可，∴A2,3在平面內(nèi)射影的坐標為2,0.故選：C.2.已知直線l的一般式方程為x2y60，則（）xyA.直線l的截距式方程為163xyB.直線l的截距式方程為163C.直線l的斜截式方程為1yx23D.直線l的斜截式方程為1yx23【答案】A【解析】【分析】將直線方程化為截距式、斜截式即可判別.【詳解】由x2y60得2yx6，yx，即xy1直線l的截距式方程為：1.3663第1頁/共21頁直線l的斜截式方程為：1yx3.2故選：A.3.已知橢圓的標準方程為x2y2，下列說法正確的是（）143A.橢圓的長軸長為2B.橢圓的焦點坐標為7,0,7,0C.橢圓關于直線yx對稱D.當點0,y0在橢圓上時，03【答案】D【解析】【分析】由橢圓的標準方程先確定a,b,求得c，得到長軸長2a，焦點為c,0即可判斷A，B；將方程中的x,y互換，根據(jù)所得方程是否與原方程相同可判別C；根據(jù)橢圓的范圍可判斷D.【詳解】對于A、B，由x2y2得143ab3,cab1，22∴長軸長2a4，焦點為0,0.故A、B不正確；對于C，將x,y互換，得橢圓yx與原橢圓方程不相同，故橢圓不關于直線yx對稱.故C不正22143確；對于D，因為點0,y0在橢圓x2y2上，則1433x2y，∴23030403，故D正確.故選：DS4.設等比數(shù)列anN的前n項和為S，若3*nan2S，則43a3的值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題中已知條件計算出等比數(shù)列公比，然后計算Sa43的值即可.第2頁/共21頁【詳解】因為Sa32aaa1，所以12331q3q13aq2所以S4a414，aa31故選：D5.臺州學子黃雨婷奪得巴黎奧運會10米氣步槍比賽1金1銀兩塊獎牌后，10米氣步槍射擊項目引起了大家的關注.在10米氣步槍比賽中，瞄準目標并不是直接用眼睛對準靶心，而是通過覘孔式瞄具來實現(xiàn).這種瞄具有前后兩個覘孔（覘孔的中心分別記為點,BC）與這兩個覘孔的中心對齊，以達到三圓同心的狀態(tài).若某次射擊達到三圓同心，且點A3，點2B489,，則點C的坐標為（）550A.92B.5C.112D.6【答案】B【解析】【分析】由題意,B,C三點共線，結(jié)合兩點式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可.【詳解】由題意,B,C三點共線，設Ct，因為A32，B489,，550所以8933t75022kkABAC40201005，解得t5，所以C5.故選：B6.在四面體OABC中，OAOBOAOCOBOCOAOC2，若直線與平面所成角為，則OB（）第3頁/共21頁A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用三線垂直建立空間直角坐標系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進行求解.【詳解】由OAOBOAOCOBOC0，得，，兩兩垂直.以，，所在直線為x軸，y軸，z則(2,0)，C(0,0)，設B(0,0,b)，OC2,0，ABb，AC2,0，設平面的一個法向量為mx,y,z，則m0，即m02xbz02x2y0，令=，則y1，z2，b所以平面的一個法向量為2m，b則2m012102b；2，m24b2設直線與平面所成角為30，則mOC1，mOC2211422b2，解得b22，∴OBb22.第4頁/共21頁故選：B.7.已知等差數(shù)列anN的首項為*na，公差為2，前n項和為Sn，數(shù)列nbS，則b滿足：1nnn下列說法正確的是（）A.1R，數(shù)列S為遞增數(shù)列nB.1R，使得數(shù)列b為遞減數(shù)列n1R及正整數(shù)p,q,rpqr)，使得a,a,a成等比數(shù)列pqrD.a，數(shù)列ab的最小項為ab1nn11【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，再結(jié)合二次函數(shù)分析單調(diào)性，即可求解.【詳解】由已知可得：aanna，n11221222nnSnanan22n11222，要使得數(shù)列S為遞增數(shù)列，則當n2時，滿足a2na20，nn1即12，故A錯誤；S22由nSn可得：bnann1n22，根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可知數(shù)列b為遞增數(shù)列，故B錯誤；n不妨令12,pqr8，則222,442,882滿足aaa，此時22,4,8成等比數(shù)列，故C正確；42822322ab2na2nan2a2na2ann111112222，322a要使得數(shù)列ab的最小項為ab，則需要滿足123nn1122，第5頁/共21頁解得2a，故D錯誤；13故選：C.8.已知橢圓x2y2的左右焦點分別為1,2，點M0,y0是橢圓E上第一象限的E:b5)5b2一點，△12的內(nèi)心為Nx,y，若11xx，則橢圓E的方程為（）051A.x25y21B.x2y2152C.x2y2D.153x2y2154【答案】D【解析】【分析】先證明焦半徑公式，然后根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)求得GF10c，進一步得，從而0x，由10xx得離心率，利用a2b2c2求解即可.051【詳解】先證明焦半徑公式，對于橢圓方程：x2y2221，ab由橢圓上任意點P(x,y)及左、右焦點1(c,0)、2,0)，x2a2b2得PF1(xc)y(xc)b122x2cb2222222aac2c22；x2a2ax

aa同理，c2(xc)yax；22acc，即acx0根據(jù)橢圓方程知，(0,1),|x|aa|x|，aaa故橢圓xy22221兩個焦半徑為abcax，1acPFax，2a如圖,設△12的內(nèi)切圓與三邊切于點D,G,E，第6頁/共21頁由圓的性質(zhì)可知GF1DF1,22,EM，則EFaa，1212120020又GF122c，所以c，所以10，又0xxx，GN1則10，由xx得5051e，所以5e2c2a2b2b251，解得b24，a2a255所以橢圓E的方程為xy.22154故選：D二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關于曲線Γ:Ax2By21,BR,A2B20，下列說法正確的是（）A.若AB0，則曲線Γ表示圓B.若0，則曲線Γ表示拋物線C.若0，則曲線Γ表示橢圓D.若AB0，則曲線Γ表示雙曲線【答案】AD【解析】【分析】分AB0，AB0，AB0，AB0，AB0多種情況分別對Γ:Ax2By21,BR,A2B20進行變形，對照圓、拋物線、橢圓、雙曲線的方程即可做出判斷.221【詳解】若AB0，，表示以0為圓心，半徑為Γ:xyA0A1A的圓,故A正確，但C不正確；第7頁/共21頁若AB0，則Γ:By21，B0時，表示兩條直線，B0時不表示任何圖形；若AB0，則Γ:Ay21，A0時，表示兩條直線，A0時不表示任何圖形.故B不正確；若AB0，則x2y2y2x2Γ:1Γ:1表示焦點在x軸上的雙曲線；若AB0，則1111表ABBA示焦點在y軸上的雙曲線.故D正確.故選：AD.10.對于數(shù)列aa，則稱數(shù)列anN，若存在正整數(shù)T，使得對于任意正整數(shù)n，都有*annTnn為周期數(shù)列.下列數(shù)列a中為周期數(shù)列的是（）nan1(naa1B.11n21anC.nπa2nsinD.n22a,n,是奇數(shù)naa11n1,.an【答案】ABD【解析】【分析】按照數(shù)列的遞推公式進行計算，并根據(jù)周期數(shù)列的定義逐一驗證即可判斷.【詳解】對于A，132n1222n1，數(shù)列a是周期為2的周期數(shù)列，故nA正確；1111aa1,a1a12a，對于B，由遞推公式，12341a2aa123數(shù)列a是周期為3的周期數(shù)列，故B正確；n對于C，當n為偶數(shù)時，a0，滿足aa，當n為奇數(shù)時，a2，從而不存在正整數(shù)T，使得nnn2nnaa，nTn則數(shù)列a不是周期數(shù)列，故C錯誤；n對于D，當n為奇數(shù)時，n12n，則an2111，a2a，n3n2a2aan1nn1aa，n4nan3第8頁/共21頁12當n為偶數(shù)時，1，則aa，a2ann2n1n3aann1a，na2n2n42n3n，所以數(shù)列a是周期為4周期數(shù)列，故D正確；的n故選：ABD.已知正方體ABCD111的棱長為M為AD的中點，N為11DC的中點，P為平面11ACB內(nèi)的1動點，則（）A.1∥平面ACB1B.平面11與平面ACB所成角的正切值為21C.若與BD1所成角為π3，則點P的軌跡為圓D.△周長的最小值為2142【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面的位置關系、線線所成角、面面所成角、點關于面的對稱點及最短距離的問題.對于A，計算得1BD10可判斷；對于B，計算得1,13，再求tan,BD即可判斷；對于C，由題意設Px,y,z，則xyz1，由152xyzMP,BD121xyz22311212，根據(jù)化簡結(jié)果即可判斷；對于D，求出N1,1,1關于平面1的對稱點為N，計算MNMN即得△周長的最小值.2【詳解】第9頁/共21頁在正方體中建立如圖所示的空間直角坐標系，BACDBCMN0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,,1,,1,111則1122，AB，AC，BD11∵AB1BD10，，所以BD是平面101ABC的一個法向量.1MC,01對于A，1，21BD1120，∴1與平面ACB不平行，故A不正確；1對于B，因為平面11的一個法向量，平面ACB的一個法向量BD1，故1,113212,sin,BD1133,tan,BD2，故B正確；1對于C，因為P為平面1內(nèi)的動點，設Px,y,z，則xy1z,1，21Px,y,z，由BDBP，得x1y1z10，即xyz1，11553BDxyz112222xyz212，1125xyzBD21,，BD112BD211223x1yz123即221223x1yz12122x2y1z2113，化簡得2.故C正確；對于D，設N1,1,12關于平面1的對稱點為Nxyz，0,0,0∴NN平面111111ACB，且NN的中點x,y,z在平面1上，1000242222∴BD∥NN，1第10頁/共21頁又BD，1NNxyz1，，1000211x0xy1z120002y0∴，∴，解得0111111xyz1z00002422220N1,0,02.則14，MN2，∴△周長的最小值為214222.故D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.y212.已知雙曲線x2b的離心率為5，則b__________.210b【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程及離心率求解即可.y2【詳解】由雙曲線2可知，a1，x21b0bc又e5，所以c5，a所以a2b21b2c25，解得b24，即b2故答案為：213.已知曲線x2y2xy，則該曲線的一條對稱軸方程為__________.（寫出滿足條件的一個方程即可）【答案】yx（答案不唯一?yx,xy0均可）【解析】【分析】根據(jù)求由曲線方程特征判別曲線對稱性的方法求解即可.【詳解】用y替換y所得方程不變，所以曲線關于x軸對稱；用x替換x所得方程不變，所以曲線關于y軸對稱；將x,y互換所得方程不變，所以曲線關于yx軸對稱；第頁/共21頁用x替換y同時用y替換x所得方程不變，所以曲線關于yx軸對稱.故答案為：yx（答案不唯一?yx,xy0均可）14.用a,表示兩數(shù)a,b中的較大者，記cn2nnN，若1*n1234560，則的取值范圍是__________.【答案】15,8【解析】【分析】我們先分別計算出1,2,3,4,5，因為0，里面兩個式子一個是一次型，一個是指數(shù)型，利用兩個函數(shù)的圖象可知，n增大時，指數(shù)型的增長加快，故可先討論c取指數(shù)型的值，其余為一次型的值，5接著依次判斷4,5取指數(shù)型的值，其他為一次型的值，逐一判斷即可.【詳解】由題可知c，c，c，c，125,238,448c，514,167當1614時，即，易知1234525811144060，顯然不成立；87711，且11時，即時，當888得12345258111626165860，顯然不成立；11，且48時，即2時，12345258161524，當88，所以有15215要使1234560，則152460，解得；88當2時，顯然12345152460；15.綜上所述，8故答案為：,.8【點睛】關鍵點點睛：因為在指數(shù)型函數(shù)與一次型函數(shù)都是遞增的情況下，自變量變大時，指數(shù)型增長速度總有一個時候比一次型快，所以指數(shù)型的值如果開始比一次型的小，也在自變量足夠大的時候指數(shù)型的函數(shù)值會大于一次型的函數(shù)值,故只需從5開始按照兩個值的大小分類討論即可！第12頁/共21頁四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線l:xy40，圓C:(xa)2(y2)22.（1）若直線l把圓C分成面積相等的兩部分，求實數(shù)a的值；（2）若直線l與圓C相切，求實數(shù)a的值.【答案】（1）―2（2）a0或a4.【解析】1）由圓心在直線上可得結(jié)果；（2）利用點到直線距離解方程可得.【小問1詳解】由題意得，圓心a,2在直線l上，即a20,解得a2.【小問2詳解】圓C的半徑為2，圓心到直線l的距離da22，2解得a0或a4.16.如圖，在直三棱柱ABC11中，ABACAA，π13BAC，31BDBA.13（1）用AB,AC,AA表示CD；1（2）求直線CD與直線1所成角的余弦值.21CDABACAA【答案】（1）133（2）14.第13頁/共21頁【解析】21CDABACAA1）利用空間向量基本定理得到1；3321CDABACAA，得到CD22，并求出2（2）1CD8兩邊平方，求出33CDAC2ABAC1AAACAA3，132，利用異面直線向量夾角余弦公式求11133出答案.【小問1詳解】1BDBA，1311故CDCBBDCBBAABACAAAB113321ABACAA；133【小問2詳解】21CDABACAA由（1）知，1，兩邊平方得332CDABACAA21213341424222ABACAAABACAAACABAA11199339因為三棱柱ABC11為直三棱柱，ABACAA13，所以ABAA1,AA1AC，故ABAA1AA1AC0，ππ9ABACABAC33cos332249CD4918所以，32，故CD22.ACACCC，故132，因為223211設直線CD與直線1所成角為，CDACABACAAACAA2111133第14頁/共21頁221122ABACABAAACACAAACAAAA1111333329933，32cos所以CDAC311，22324CDAC1所以直線CD與直線1所成角的余弦值為14.17.設函數(shù)fx2xgx4x2x1，數(shù)列abnN滿足：2,*nn2fagagbfb13,1a1,b1.2nnnnnn22a，求數(shù)列（1）若0a的通項公式；nn（2）求數(shù)列ba21nN*的前n項和nnS.n【答案】（1）a2n1n（2）12n2Sn1.n【解析】1）代入化簡可得aa，即可根據(jù)n112n1a21為等比數(shù)列求解，22n（2）根據(jù)b為等差數(shù)列可求解ba2n2n，即可利用錯位相減法求解.nnn【小問1詳解】2a14a2a12aa2nnn221n1n2得aa，211221所以數(shù)列a21是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，n所以aa，化簡得22n1221a，112nn1na，所以因為0a的通項公式為a2n1；nnn【小問2詳解】2gbfbb1b1，nnnn2第15頁/共21頁所以數(shù)列b是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，nbnn，111nba21n2n，nnS12222323n2n，n2S122223324n2n1，n兩式相減得S222232nn2n1，n所以2222n2n12n2S23n1n1，n故12n2Sn1.n18.動點Mx,y到直線yx與直線yx的距離之積為12，記點M的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）若點(0,y0)為曲線E與拋物線23y2px(0p)的一個公共點，點B(4p,0).4①求0的取值范圍；②當y00，且01時，求直線斜率的取值范圍.【答案】（1）x2y21或y2x21.（2）①；②(,3](0,).【解析】1）根據(jù)給定條件，利用點到直線距離公式列式化簡即得.（2）①聯(lián)立E的方程與拋物線方程，用0表示p并建立不等式求出范圍；②利用斜率坐標公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【小問1詳解】依題意，||||1xyxy222，化簡得|x2y21，所以曲線E的方程為：x2y21或y2x21.【小問2詳解】①由（1）可知，x2y2或y2x2，001001第16頁/共21頁當y2x21y221時，由00，得y22px00px21，而02x0x212x，03001p，2x2x400x無解；0當x2y21xy時，由100，得y2px200px21，由030p，解得1x2，02x40所以0的取值范圍為.k②直線的斜率x2x2x2y1(0000x4p22x2x1040x002x0，由①知，102且x，02t2x，則t[0)，則(2)tt2，令k0t當t，即11時，2(1)210k，tttAB當t[0)，11時，2(1)213k，t2ttAB所以直線的斜率取值范圍為(,3](0,).19.把n元有序?qū)崝?shù)組aaa稱為n維向量，類似平面向量與空間向量，對于n維向量1,2,,ni1,2,,n,j1,2,,n，也可定義兩個向量的加法運算和減法運算ijababab；數(shù)乘運算iaaaR；向量的長度（模）11,22,,nn1,2,,n,n|i|a2ii1；兩個向量的數(shù)量積nij|i|ji,jab（i,j表示向量i,j的夾角，iii1i,jπj在向量i上的投影向量的模nabiii1na2ii1n維向量為我們解決數(shù)學問題提供了更為廣闊的思維空間.（1）已知m2,3,4,5,n1，求向量m,n的夾角的余弦值；（2）已知4維向量2,3,0,2,0,4,1,0,3,4,2,3,4，OPaOAbOBcOCdOD，且6a7bc9d1，求OP的最小值；第17頁/共21頁（3）nai1,2,n0R，求iii1naii1na2ii1的最大值（用含n的式子表示）.2222nnn12n）（注：6【答案】（1）31111（2）12（3）nn4n2.【解析】1）求出mn、m,n，代入,mnmnmn可得答案；（2）求出OP的坐標，設k1，求出k，由kkkk，得2OP1可得答案；（3）解法1：設11,2,,,2,3,naaannn，nnanni12i1表示向量nna21ii1n在2n上投影向量的模，設以1n與“