浙江省杭州市八縣區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（乙卷） 含解析

學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期1題?85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式，求得集合的表示，利用交集，可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：D.2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的意義求解即得.【詳解】依題意，，所以所求共軛復(fù)數(shù)是.故選：B3.已知且數(shù)列各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，設(shè)甲：為等比數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則甲是乙的（）第1頁/共19頁A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由為等比數(shù)列，可得通項(xiàng)公式；由為等差數(shù)列，可得通項(xiàng)公式，據(jù)此可得答案.【詳解】為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為公比為q則，因此是以為公差的等差數(shù)列.則甲是乙的充分條件;反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)即，因此為正項(xiàng)等比數(shù)列.則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，故選：C4.一個(gè)筆盒中裝有63212“恰有1支黑色”的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的概率公式可得.【詳解】由題意，“恰有1支黑色”的概率是.故選：A5.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，雙曲線漸近線的斜率小于，則的取值范圍是（）第2頁/共19頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求得，再利用橢圓、雙曲線離心率的意義列式求出范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的漸近線的斜率小于，得，因此，由，得，則，即，，所以的取值范圍是.故選：D6.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽且則（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】令，因?yàn)?，得到，?duì)表達(dá)式中替換為得到，兩式相加整理得到，再通過替換得到函數(shù)的周期.令，求得，由求得的值，由第3頁/共19頁周期性即可求出.【詳解】令得，，又，所以①，①中將替換為，得②，由①+②，得③，③中將替換為，得，③中將替換為，得，所以的周期為6，令，得.由①，易得，同理，所以，.故選：A7.已知?jiǎng)t（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用切化弦、兩角和的正切展開式化簡結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】第4頁/共19頁故.故選：C.8.如圖，曲線C這種造型被稱為雙紐線，在紡織中作為花紋得到廣泛應(yīng)用．已知曲線C上的點(diǎn)滿足到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則曲線C上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)雙紐線上任意點(diǎn)坐標(biāo)為，依據(jù)題設(shè)列式計(jì)算化簡即可求解.【詳解】設(shè)雙紐線上任意點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩邊平方得：第5頁/共19頁得：從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值1，所以y的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是在計(jì)算化簡得時(shí)巧妙處理得，再對(duì)分子進(jìn)行巧妙配方求解.二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷AB，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，初等函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo)判斷CD.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確，故選：BD.第6頁/共19頁10.在數(shù)列和中的前n項(xiàng)和則下列說法正確的有（）A.B.C.36是與的公共項(xiàng)D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)迭代可得根據(jù)的關(guān)系即可求解，即可求解ABC，利用裂項(xiàng)相消法求和即可求解D.【詳解】在數(shù)列中所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，則則故B錯(cuò)誤；的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，也滿足上式，則故A正確；令解得令解得故36是與的公共項(xiàng)，即C正確；第7頁/共19頁因?yàn)樗裕驗(yàn)樗?，故D正確.故選：ACD一條動(dòng)直線與圓相交于點(diǎn)為定直線：上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.存在直線，使得以為直徑的圓與相切B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，數(shù)形結(jié)合求出點(diǎn)到直線距離最小值與比較可判斷；對(duì)B，C，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合，運(yùn)算得解判斷；對(duì)D，直線上點(diǎn)使得最小等同于求直線上一點(diǎn)，的最小值問題，設(shè)，，，利用直線對(duì)稱列式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為M，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)在圓上，第8頁/共19頁則，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，易知，對(duì)于A:點(diǎn)到直線距離的最小值為，且，所以以為直徑的圓與相離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C:，所以，故C正確；對(duì)于B：，所以，故B正確；對(duì)于D：由于兩點(diǎn)在圓上，且，點(diǎn)到直線的距離，求直線上點(diǎn)使得最小由對(duì)稱性等同于求直線上一點(diǎn)使得的最小值問題，設(shè)，，，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，直線，由，消去整理得，即，即，所以，，同理，所以，，第9頁/共19頁當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，所以的最小值為，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解題的關(guān)鍵是將求直線上點(diǎn)使得最小值轉(zhuǎn)化為求直線上一點(diǎn)，的最小值問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知空間向量，，，則向量在坐標(biāo)平面上投影向量是___________.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示，寫出結(jié)論即可.【詳解】解：根據(jù)空間中點(diǎn)坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)，，在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以空間向量，，在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)是：，，.故答案為：，，.13.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線在第一象限與交于、兩點(diǎn)，且為的平分線，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，由條件結(jié)合拋物線定義證明，，三點(diǎn)共線，聯(lián)立方程組結(jié)合列方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，第10頁/共19頁連接，，，如下圖所示：設(shè)，所以，因?yàn)闉閽佄锞€的準(zhǔn)線，所以，所以，又為的平分線，所以，因?yàn)檩S，所以，，三點(diǎn)共線，所以顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得：，所以，由，所以，解得，所以，故.第11頁/共19頁故答案為：.14.定義：已知一個(gè)點(diǎn)集及一點(diǎn)P，任取點(diǎn)集中一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到點(diǎn)集的距離，記作現(xiàn)已知空間中一點(diǎn)P，平面上一個(gè)長為2、寬為1的矩形及其內(nèi)部的所有點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集則點(diǎn)的集合所表示幾何體的體積為_________.【答案】【解析】【分析】由定義得幾所構(gòu)成的幾何體，進(jìn)而求得幾何體的體積.【詳解】P點(diǎn)構(gòu)成的幾何體由下列幾何體構(gòu)成：①如圖，為已知矩形，其長則以矩形為公共面的兩個(gè)長方體，其長，寬，高分別為1，2，1，此時(shí)兩個(gè)長方體內(nèi)的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，兩長方體體積和為；②分別以為軸，底面圓半徑為1的兩個(gè)半圓柱分別在的外側(cè)此時(shí)兩個(gè)半圓柱表面及內(nèi)部的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，合成一個(gè)以底面圓半徑為1，高為2的圓柱，體積為；③分別以為軸，底面圓半徑為1兩個(gè)半圓柱分別在的外側(cè)此時(shí)兩個(gè)圓柱表面及內(nèi)部的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，合成一個(gè)以底面圓半徑為1，高為1的圓柱，體積為；④分別以為球心，半徑為1的球的四分之一，此時(shí)四個(gè)四分之一球表面及球內(nèi)的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，合成一個(gè)以1為半徑的球，體積為;由①②③④點(diǎn)的集合所表示幾何體的體積為故答案為：第12頁/共19頁四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，三角形的面積為，求三角形的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因?yàn)?，所以，因此，所以，所?【小問2詳解】由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.16.已知函數(shù)（1）若求在點(diǎn)處的切線方程；第13頁/共19頁（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，求的值．【答案】（1）（2）【解析】1）求導(dǎo)得切線斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程即得，（2）根據(jù)對(duì)稱可知為奇函數(shù)，即可利用定義域?qū)ΨQ求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又故在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，可知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，則由的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，即，于是，定義域?yàn)?，故?lián)立解得17.ABCDEF是由一個(gè)四棱錐與一個(gè)三棱錐是棱長為2的菱形（1）證明：平面平面；第14頁/共19頁（2）若求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得和平面，根據(jù)面面垂直的判定即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角求解.【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接在中，,平面平面平面，平面平面【小問2詳解】由題可得：是平行四邊形，由（1）得平面，取中點(diǎn)連接，則分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：設(shè)平面的法向量則,取，得平面的法向量所以平面與平面所成角的余弦值為第15頁/共19頁18.已知橢圓：左頂點(diǎn)離心率BB作橢圓的切線交直線于點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)A且平行于BP的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線AC交BO延長線于點(diǎn)M，記的面積分別為（i）證明：；（ii）當(dāng)時(shí)，求直線AC的方程．【答案】（1）（2i）證明見解析（ii）【解析】1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求出，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2i）利用直線與橢圓的位置關(guān)系、直曲聯(lián)立求出直線聯(lián)立求出根據(jù)切線性質(zhì)求出最后根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)證明即可.（ii）根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)得到面積關(guān)系，根據(jù)切線求出再根據(jù)面積條件列方程計(jì)算.【小問1詳解】由題意得離心率則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為第16頁/共19頁【小問2詳解】（i）設(shè)直線代入到橢圓方程，化簡得故設(shè)聯(lián)立直線AC，BO的方程切線又則故所以：即M為線段AC中點(diǎn).由與中點(diǎn)M，則（ii）由中點(diǎn)M得將代入直線可得則即則故則19.已知數(shù)列是斐波那契數(shù)列這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：N數(shù)列對(duì)于確定的正整數(shù)k，若存在正整數(shù)n，使得成立，則稱數(shù)列為“k階可分拆數(shù)列”．（1滿足若對(duì)數(shù)列為“1階可分拆數(shù)列”符合條件的實(shí)數(shù)t的值；（2）已知數(shù)列滿足若為“k階可分拆數(shù)列”，記正整數(shù)m的最小值為求；第17頁/共19頁（3）若數(shù)列滿足其前n項(xiàng)和為求證：當(dāng)且時(shí)，成立．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】1）根