大學(xué)巖石力學(xué)講義1

第一章巖石的力學(xué)性質(zhì)

巖石和巖體的力學(xué)性質(zhì)，是礦山巖體力學(xué)的基本問題。巖石的力學(xué)性質(zhì)主要指：在各種

載荷作用下，它們的變形特征，出現(xiàn)塑性流動(dòng)和發(fā)生破壞的條件。表征巖石力學(xué)性質(zhì)的參數(shù)

如下：

變形參數(shù)：巖石的變形摸量，彈性摸量，切變摸量，泊松比和流變性等。

強(qiáng)度特性參數(shù)：巖石抗拉，抗彎，抗煎，抗壓等各加強(qiáng)度極限。

第一節(jié)、巖石的成分及結(jié)構(gòu)與其力學(xué)性質(zhì)的關(guān)系

巖石是多種礦物顆粒的集合體。巖石一般有下列十余中主要礦物組成，即長石（正長石、

斜長石）、石英、云母（黑云母、白云母）、角閃石、輝石、橄欖石、方解石、白云石、高嶺土、

赤鐵礦等。它們在礦石中的含量按巖石成因而異。

巖層按成因分類為：

巖漿巖一系由巖漿在地殼內(nèi)不同深度冷凝而成：

沉積巖一是由已有巖體經(jīng)風(fēng)化、崩潰、搬遷、再膠結(jié)或化學(xué)作用而形成；

變質(zhì)巖一則由已有巖石在高溫高壓條件下經(jīng)過改變而形成的。

基本概念

（1）、巖石的結(jié)構(gòu)：巖石的礦物顆粒的大小、形狀、表面特征、顆粒相互關(guān)系、膠結(jié)類型

等特征。

（2）、巖石的構(gòu)造：巖石的組成部分在定向的排列情況。如層面、斷層（幾何特征）.

晶體結(jié)構(gòu)是巖漿巖和變質(zhì)巖的最大特征，也是很多沉積巖的特征。

（3）、礦物的晶體：構(gòu)成礦物的各種化學(xué)元素的原子：離子）在空間一定規(guī)律排列，使其

具有規(guī)則的幾何形狀的固體稱為晶體。

（4）、礦物的晶體的結(jié)構(gòu)類型：等粒結(jié)構(gòu)，不等粒結(jié)構(gòu)，斑狀結(jié)構(gòu)。

圖1-1是典型晶體結(jié)構(gòu)類型

圖1-1晶體緒構(gòu)類型

（。）等粒結(jié)構(gòu)，（匕）不等粒結(jié)構(gòu)J（c）,狀結(jié)構(gòu)

巖漿巖和變質(zhì)巖的晶體結(jié)構(gòu)與巖石力學(xué)性質(zhì)的關(guān)系：晶粒細(xì)小，等粒狀，巖石強(qiáng)度大。

顆粒大的斑狀結(jié)構(gòu)晶體內(nèi)部或晶粒間含有缺陷，巖石強(qiáng)度低。

沉積巖的結(jié)構(gòu)與力學(xué)性質(zhì)的關(guān)系

沉積巖中的巖石碎屑之間由膠結(jié)物將連結(jié)在一起。其力學(xué)性質(zhì)取決于膠結(jié)物和膠結(jié)類

型。

圖1.2膠結(jié)類型

（o）莒質(zhì)膠結(jié)，（抗接觸膠結(jié)，＜c）孔隙膠結(jié)

1一膠結(jié)物質(zhì)，2—顆粒?3—未被充填的孔隙

基質(zhì)膠結(jié)：巖石碎屑枝膠結(jié)物包圍，強(qiáng)度取決于膠結(jié)物。

接觸膠結(jié)：僅顆粒接觸處有膠結(jié)物，膠結(jié)不牢，強(qiáng)度低，透水性強(qiáng)。

孔隙膠結(jié)：膠結(jié)物完全成部分地充填與顆?？紫吨g。膠結(jié)牢固，所以巖石強(qiáng)度和透水

性主要由膠結(jié)物性質(zhì)及充填程度確定。

膠層物分類：硅質(zhì)和鐵質(zhì)強(qiáng)度高，鈣質(zhì)次之，泥質(zhì)最低。

沉積強(qiáng)度主要取決于膠結(jié)物性質(zhì)及充填程度。

除構(gòu)成巖石的礦物顆粒大小，結(jié)合方式對其力學(xué)性質(zhì)有影響外，礦物的排列方式（構(gòu)造）

及沉積順序亦表現(xiàn)出影響，如云母片巖、片麻巖、頁巖等，則表現(xiàn)出力學(xué)性質(zhì)的各向異性。

第二節(jié)影響巖石力學(xué)性質(zhì)的物理特性

一、容重和比重

1、容重

式中一容重：用一巖石試件重量；V—巖石試件體積

巖石容重與巖性和成因有關(guān),從巖石力學(xué)的角度，巖石的容重和比重影響到巖石的自

重應(yīng)力場和慣性質(zhì)量

巖石容重的測試方法，

2、比重

巖石比重是扣除孔隙的巖石干重和其實(shí)體積之比，再與4c水的容重之比。

以

式中AR—巖石比重；WL巖石試件在烘箱中烘至105℃保持恒溫、恒重時(shí)，巖石固體重量;

—扣除孔隙的巖石試件固體部分的體積；一4C時(shí)水的容重。

二、巖石的孔隙度

巖石的孔隙度是巖石試件中孔隙體積與包括孔隙的巖石體積之比，直接測最孔隙體積是

困難的，一般通過測量巖石重量，再通過一些換算公式則量巖石的孔隙

T-VV

-2xl(X)%

py

式中做一為水飽和的巖石試件重量(如某種巖石與水有化學(xué)反應(yīng)時(shí)，應(yīng)改用與巖石無化學(xué)反

應(yīng)的液體)：WL干燥巖石試件的重量：丫一巖石試件體積：一液體的密度。

幾種巖石的容重、比重、孔隙度見下表

我1-1幾種巖石的容?、比?、孔隙度

容重孔隙咬

巖石名再比?

(8/cm1)n(%)

花崗巖2?6?2.72?5~2?8SQ.5?L5

粗玄巖3?。?3.05

流蚊巖2.4?2.64?0~6?0

安山巖2.2~2.32?4~2?8

理長巖3.0-3.12.7—3.20.1?。.2

玄武巖2.8?2.92.6?3.30“~1?0

_______________

2?0~2?62?甘?2.765?0~25?0

頁巖2?0~2.42?57~2?7710?。?30.0

石灰?guī)r2.1—2.62.48~2?855.0—20.0

片聯(lián)君2?9?3.02.63-3.070?5~1?5

大理巖2?6~2?72.6~2.80.5—2.0

石英巖2.652?63~2?840.1~0.5

板巖2.6~2.72.68?2.76。?…0.5/

三、巖石的水理性質(zhì)

實(shí)踐表明，水能瞬時(shí)地或逐漸地改變巖石的力學(xué)性質(zhì)和性態(tài)。

巖石在水溶液作用下所表現(xiàn)出的力學(xué)的、物理的、化學(xué)的性質(zhì)稱為巖石的水理性質(zhì)。

(I)、巖石的滲透性

水通過巖石流動(dòng)的難易程度，在一維條件下，有

一包

dx

式中v一滲流速度，也稱比流量：〃-孔隙水壓力；K-滲透系數(shù)。

巖石的滲透性通常用滲透系數(shù)K衡量，K越大，滲透性越好。

(2)、軟化性

巖石被水濕潤后，強(qiáng)度降低，柔度增加(彈性模量降低)的特性。

(3)、溶蝕性

由于水的化學(xué)作用，巖石中的某些成分被水流帶走的現(xiàn)象。溶蝕造成巖石致密程度降低,

孔隙度增大，滲透性改善，強(qiáng)度降低。

(4)、膨脹性

巖石受水浸濕后，體積膨脹的現(xiàn)象。巖石膨脹造成強(qiáng)度降低、柔度增加并導(dǎo)致應(yīng)力的不

均勻。

*1-2幾料巖石■速索■裳

添w系敷

巖石名孤孔隙情況

K(an/s>

花崗巖收致密.微吸感1.1X10~u~9.5xl0-,?

含我裂隙(1J~2?5)*10-，'

微裂隙及一些短笈!?2.8X10-,?7x10-，

綠巖致e<107

潦紋風(fēng)料效電

玄武巖致?

安山粉巖禁裂隙8XI0-”

砂巖較致密】o-"?2.5X10-1，

砂巖孔敏較發(fā)育5.5X1O-e

石灰?guī)r致eSXI0-"?6x10-1。

微裂隙、孔隙2xiO-1~3xiO-?

裂隙，孔隙較發(fā)奇9X10-、~3xi0一?

員詈微裂隙發(fā)育2、1。-"?8*10->

片巖滋密瞰發(fā)育1OT~5X1OT

片麻巖致?<io-u

微裂隙9x10-??4x1Q-*

循裂防發(fā)百2X10-，~3X10-?

石英巖鼻綾除(1.2—1.8)X10-**

?1-3集贊號石在水作用下融廢變化

抗反強(qiáng)度(MPa)

胄石名稱折減系數(shù)

漫水

干燥_----

花崗巖40?22025~2050?03~0?25

閃長巖97.7—232€8.8~159.70.24?0?40

輝長巖118.1-273.658-245.80.10-0.56

玄武巖102.7-290.5102~192.40.08~0.29

石灰?guī)r13.4~250.87.8-189.20?。6~0.42

砂巖17.5—250.85?7~245?50.03—0.66

怙土巖20.7?592.4?31.80.13~0,92

頁巖57~13613?7~75?10.45—0.76

板巖123?199?672~149?60?18~0?48

千枚巖30.1?49?428?1~3s.30.04—0.3)

片巖59.6~218.929.5-171.40.20—0.51

石英巖145?1?2。050-171.4。?04?0?20

第三節(jié)巖石的變形特征

巖石在載荷作用下首先發(fā)生的現(xiàn)象是變形。巖石的變形性對采礦工程和巖石工程有重要

影響。巖石的單向、二向、三向變形特征不同，但研究最充分的是巖石的單向變形二巖石的

變形（用應(yīng)變表示）與載荷（用應(yīng)力表示）有關(guān)，但有時(shí)還與時(shí)間有關(guān)。當(dāng)巖石的變形F僅取決

于應(yīng)力還取決于時(shí)間時(shí)，需要考慮巖石的流變特性。脆性、塑性、堅(jiān)硬等說法是通常用來描

述巖石變形性能（有時(shí)也包括強(qiáng)度）的直觀說法，形象但不十分嚴(yán)格。

脆性材料一破壞具有突變性的材料。

延性材料一破壞比較平緩的材料。

脆性一破壞前永久變形的大小，可用脆性度度量（庫克）。

延性一塑性，永久變形。

一、巖石在單向受壓狀態(tài)下的變形

下面圖是單向受壓情況下巖石的應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變的全過程曲線。圖1-3是全圖，圖L4是

屈服以前的局部放大圖。

圖1-3巖石變形的典型全應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖I4巖石受單向壓縮時(shí)橫向、軸向及體積應(yīng)力應(yīng)變曲線

從圖中可以看出在單向受載下巖石的變形可劃分為四個(gè)階段：

1、微裂隙壓密段（。一4段），巖石內(nèi)部原有裂隙的刃合超過新產(chǎn)生的裂隙，曲線上凹:

2、彈性變形階段（八一8段），巖石內(nèi)部原有裂隙的壓密與新產(chǎn)生的裂隙大致相等，巖

石被繼續(xù)壓縮，應(yīng)力應(yīng)變曲線的斜率不變，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)為線性；

3、巖石總體上進(jìn)入裂隙發(fā)展和擴(kuò)展的階段(B—C)段，在該階段巖石中新產(chǎn)生的裂隙

超過了被壓密的裂紋，曲線向下凹，開始進(jìn)入塑性階段，并發(fā)生體積膨脹。同時(shí)有聲發(fā)射加

劇的現(xiàn)象；

4、裂隙加速產(chǎn)生并不穩(wěn)定擴(kuò)展，直至巖石試件完全喪失承載能力(C—段。破壞過

程。在這個(gè)階段隨著應(yīng)變的增加，巖石強(qiáng)度減小，巖石的這種特性稱為巖石的應(yīng)變?nèi)趸瑧?yīng)

變?nèi)趸瘞r石區(qū)別于金屬的顯著的力學(xué)性質(zhì)之一

對于均勻各向同性介質(zhì)，按線彈塑性理論，在彈性階段的體積變形為

邑=邑-2邑

按照這個(gè)關(guān)系可以描述巖石單向壓應(yīng)力與體積變形的美系。一般認(rèn)為，當(dāng)體積變形偏離

彈性壓縮并增大，就認(rèn)為產(chǎn)生了壓應(yīng)力作用卜?的體積膨脹，壓應(yīng)力下的體積膨脹是巖石區(qū)別

于金屬的另一顯著的力學(xué)性質(zhì)。

壓應(yīng)力作用巖石的應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程曲線反映了巖石在壓應(yīng)力作用下其內(nèi)部裂隙的發(fā)展

過程、漸近破壞，應(yīng)變?nèi)趸氖菐r石區(qū)別于金屬的最主要的力學(xué)特性.

二、試驗(yàn)機(jī)特性與巖石的應(yīng)力一應(yīng)變?nèi)^程曲線

首先介紹剛度的定義。設(shè)物體所受的載荷為Q，在。的作用下，總的變形為U,如果

物體是彈性的，則Q與U之間的關(guān)系為

Q=KU(1-1)

式中K就是該物體的剛度。從上式可以看出，剛度K是物體產(chǎn)生單位位移(總體變形)所需要

的力(載荷)。這里彈性表現(xiàn)為K是與U無關(guān)的是一個(gè)常數(shù)。對于彈性介質(zhì)，應(yīng)力應(yīng)變的線

性關(guān)系等價(jià)于載荷Q和位移(總體變形)的線性關(guān)系。這是因?yàn)?，如果A是彈性試件的面積，

L是試件的長度，Q是試件所受的載荷，是試件在載荷。的作用下的總變形，則&

A

是試件應(yīng)力，半=￡是試件應(yīng)變，彈性變形要求

a=Ec=>^-=E—(1-2)

AL

從上式可得出

r*Ar*A

Q=—M=>Q=KMK=一(1-3)

LL

由于七是常數(shù)，因此K也是常數(shù)，因此線彈性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)致線性的載荷位移關(guān)

系，但必須指出的是，剛度包含了幾何因素，因此不是材料內(nèi)乘的力學(xué)性質(zhì)，而是一種結(jié)構(gòu)

特性。

巖石試驗(yàn)機(jī)在其工作范圍內(nèi)總體的力學(xué)特性是彈性的，否則試驗(yàn)機(jī)不能正常工作。這

樣試驗(yàn)機(jī)和巖石組成的力學(xué)系統(tǒng)可以簡化成下圖的力學(xué)模型，若尸是試驗(yàn)機(jī)所受力，。是

巖石試樣所受的力，由于試驗(yàn)機(jī)與試樣組成了串聯(lián)系統(tǒng)，因此在平衡狀態(tài)下

P=R(1-4)

由于試驗(yàn)機(jī)在彈性范圍內(nèi)工作，因此

P=KMU”=const(1-5)

式中一試驗(yàn)機(jī)的變形，一試驗(yàn)機(jī)的剛度。幺一巖石的變形，心,一試驗(yàn)機(jī)的剛度

從圖1—3可以看到，巖樣的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，巖石的剛度底是變形外的函

數(shù)，因此

圖1一5試驗(yàn)機(jī)一巖樣系統(tǒng)的力學(xué)模型

Q=KR(U)UR(1-6)

式中以一巖石的變形。若系統(tǒng)的總位移是U。在巖樣破壞前的加載過程中，外部對系

統(tǒng)的功為

W=-PU(1-7)

2

儲存在試驗(yàn)機(jī)中的彈性變形能為

11Ip2

匕=產(chǎn),=5解=溫(1-8)

儲存在巖樣中的變形能和由于巖樣內(nèi)裂隙生成、擴(kuò)展所消耗的功之和為

M(1-9)

上式可以寫為

w,=咨&*(1-10)

式中是巖樣從變形為零到變形為UK過程中的平均剛度。上式的正確性可由定積分的第一中

值定理得到(見有關(guān)數(shù)學(xué)分析的教程)。

由于P=R,如果試驗(yàn)機(jī)的剛度KM小于巖樣的平均剛度,即K”<KR,從(1-8)式和(1-10)

式可知，在加載過程中儲存在試驗(yàn)機(jī)中的彈性能Ww大于WR，即Ww>跌。此時(shí)，巖樣一旦

發(fā)生破壞，則儲存在試驗(yàn)機(jī)中的彈性能突然釋放，對巖樣產(chǎn)生沖擊作用，破壞以突變的形式

發(fā)生，試驗(yàn)終止，無法得到巖樣的全程曲線。

當(dāng)巖樣進(jìn)入過過峰值強(qiáng)度后的變形區(qū)，使巖樣繼續(xù)壓縮所需要的載荷減小，系統(tǒng)受力

P二Q減小，如果此時(shí)K”v,則從圖1-7可見，即使外界不對系統(tǒng)作功，巖樣的變形也可

繼續(xù)發(fā)生。從圖1-7還可見到，巖樣從URC變到Uq過程中，載荷降低了AQ,這一'1起試驗(yàn)

機(jī)變形恢復(fù)，并釋放能量,從圖1-7可以看出，若KM<KR,則載荷減少AP=AQ過程中，試

驗(yàn)機(jī)釋放的能量超過了使巖樣繼續(xù)變形4c所需要的能量。試驗(yàn)機(jī)施加于巖樣的

實(shí)際載荷PCP也大于此時(shí)巖石的強(qiáng)度URP，即PCP>Q即。

在這種情況下，一旦巖樣的變形進(jìn)入了過峰值強(qiáng)度后的U期時(shí)，儲存在試驗(yàn)機(jī)中彈性變

形能突然釋放，對巖樣產(chǎn)生沖擊作用，導(dǎo)致巖石的突然破壞。無法得到巖樣的應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^

程曲線。

圖1一6普通柔性試驗(yàn)機(jī)上巖樣的突然破壞

反之，如果試驗(yàn)機(jī)的剛度K”更大，當(dāng)巖樣進(jìn)入過峰值強(qiáng)度后的變形區(qū)，巖樣繼續(xù)變形，

△4=4-%的過程中，試驗(yàn)機(jī)釋放的彈性能小于巖樣繼續(xù)壓縮的變形能。試驗(yàn)機(jī)的載荷Per

也小于巖樣的載荷Q/，因此，必須外界繼續(xù)對試驗(yàn)系統(tǒng)作功，巖樣才能繼續(xù)壓縮（見圖1-8）。

KM很大的試驗(yàn)機(jī)叫剛性試驗(yàn)機(jī)。

三、巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線的類型

類型I:線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系。堅(jiān)硬巖石，細(xì)粒巖漿巖、細(xì)粒變質(zhì)巖、玄武巖、石英巖、

輝綠巖、白云巖和堅(jiān)硬石灰?guī)r，脆性破壞。

類型II:彈塑性。開始彈性，以后塑性。代表性巖為石灰?guī)r、粉砂巖、凝灰?guī)r。

類型川：塑彈性開始上凹，后轉(zhuǎn)為直線。破壞以前沒有明顯屈服。具有這類塑彈性變形

特征的是巖石中有孔隙和細(xì)裂隙的堅(jiān)硬巖石，如砂巖、花崗巖、某些輝綠巖等。

類型IV：塑性一彈性（細(xì)S型）。線性段斜率較大。這類變形的巖石有堅(jiān)硬致密的變質(zhì)巖,

如大理巖、片麻巖。

類型\『：亦為細(xì)s型，但線性段斜率較小。如在垂直片理方向受壓的片巖，有很高的壓

縮性和很大的塑性變形。

類型VI：巖鹽及其他蒸發(fā)巖的變形特征曲線。開始是很短的直線，隨后出現(xiàn)不斷增大的

非彈性變形和連續(xù)蠕變。

圖！-9?巖石幾種典型單向應(yīng)力應(yīng)變曲線

三軸試驗(yàn)下的應(yīng)力一應(yīng)變曲線（圍壓的影響）

1、圍壓對圍巖的影響因圍巖不同而異，硬巖受圍壓影響小，較軟的砂巖受圍巖影響大。

2、圍壓加大時(shí)破壞時(shí)的峰值載荷增大（強(qiáng)度增加），塑性變形增大。

這些從下圖可以看出。

316.4"S=，仙6MPa

2U.0X"3=70.3MPa

W5.5

351.6

'X。3=35?2MPa

加載速度對巖石變形的影響

隨著加載速率增加，曲線斜率增大，即變形模量增大。

E

S

I

O

X

》

Q

圖1-11砂巖在不同加載速率下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

四、變形指標(biāo)及其測定

反映巖石變形特性的指標(biāo)有彈性模量（變形模量）和泊松比（側(cè)向變形系數(shù)）。

彈性模量E（變形模量）的定義為E=由于單向受壓情況下巖石的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性

的，因此變形模量不是常數(shù)，常用的變形模量有以下幾種

1、初始模量，用應(yīng)力應(yīng)變曲線坐標(biāo)原點(diǎn)的切線斜率表示，即

2、割線模量，由應(yīng)力應(yīng)變曲線的起始點(diǎn)與曲線上另一點(diǎn)作割線，割線的斜率看是割線

模量,一般選強(qiáng)度為50%的應(yīng)力點(diǎn)

子=

3、切線模量，用應(yīng)力應(yīng)變曲線直線段的斜率表示

%一%

E,=

%一與2

隨巖性不同，這三種模量可以相差很大。一般有E>E、>￡,有時(shí)可以用反映巖石孔隙發(fā)

育的程度。在工程應(yīng)用上應(yīng)用哪一種模量到目前還沒有統(tǒng)一的規(guī)定。

4、泊松比，單向載荷作用下，橫向變形與縱向變形之比

￡,

式中為平行加載方向的縱向應(yīng)變，為垂直于加載方向的橫向應(yīng)變。

第四節(jié)巖石的流變性

巖石的流變是其本構(gòu)方程（應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）隨時(shí)間而變化的性質(zhì)。更準(zhǔn)確地說是巖石的

應(yīng)力率與應(yīng)變率之間的物理關(guān)系,最常見的巖石流變是在外力不變的情況下巖石的變形隨

時(shí)間流逝而增長，即蠕變，巖石的蠕變不?定要在外載荷很大時(shí)才發(fā)生，也不一定要在高溫

下才發(fā)生。即使在常溫條件下，盡管作用在巖石上的載荷很小，只要它的作用肘間相當(dāng)長。

也會發(fā)生永久變形。在地殼中所看到的各種地質(zhì)構(gòu)造形跡，以及在第四紀(jì)冰川沉積物中經(jīng)常

可看到各種彎曲礫石。這些現(xiàn)象就是巖石流變性的反映。

基本概念：

流變一介質(zhì)應(yīng)力或應(yīng)變之間的物理關(guān)系與時(shí)間而相關(guān)的性質(zhì)，或者說是巖石的應(yīng)力率與

應(yīng)變率之間的物理關(guān)系。

蠕變一外力不變時(shí)，變形隨時(shí)間的發(fā)展的現(xiàn)象。

松弛一變形不變時(shí)，介質(zhì)應(yīng)力隨時(shí)間而降低的現(xiàn)象。

巖石流變的實(shí)例，沉積巖的彎曲，第四紀(jì)冰川沉積物中的各種彎曲礫石。

研究巖石流變性質(zhì)的方法：I、經(jīng)驗(yàn)定律；2、模型理論；3、積分理論。本章只介紹經(jīng)

驗(yàn)定律和模型理論。

一、研究巖石蠕變的經(jīng)驗(yàn)定律

巖石蠕變的典型形式，

圖1-12巖石的典型蠕變曲線

圖1一12所示的蠕變應(yīng)變可表示為

￡?）=%+Ga）+w+/（j）

0A段一瞬時(shí)彈性，變形以接近聲速的速度完成.

A3段一蠕變第一階段，蠕變速度下降，也叫瞬時(shí)蠕變。

8c段一蠕變第二階段，等速蠕變，亦稱穩(wěn)定蠕變。

C。段一蠕變第三階段，加速蠕變，蠕變破壞階段。

對于與⑴，有以下幾種常用的經(jīng)驗(yàn)蠕變定律

與(1)=4"0</?<1

其中最常用的是暴定律

4/)=人產(chǎn)(Andrade,1910,194)

和對數(shù)定律

￡1(/)=4Inf

但是這三個(gè)經(jīng)驗(yàn)定律都沒有嚴(yán)格地符合瞬態(tài)蠕變的概念，表現(xiàn)在

(1)、隨著時(shí)間增加變形不斷增加，而不是趨于一個(gè)常數(shù)；

(2)、r~>0時(shí)蠕變速率百⑺趨于無窮大。

為避免這些缺點(diǎn)，又有

￡:,(/)=4ln(l+az)(Lomnitz,1956,1957)

經(jīng)驗(yàn)定律的中V和A取決于試驗(yàn)條件。

二、研究巖石流變的模型理論

其主要的思想是利用具有簡單力學(xué)性質(zhì)的元件的組合，反映巖石的更為復(fù)雜的流變特

性。

常用的元件有三種：11)、彈性元件；(2)、粘性元件；(3)、摩擦片。彈性元件反映彈

性變形，粘性元件反映巖石的粘性，摩擦件反映巖石的塑性。

(1)、彈性元件

3)

1-13彈性元件的模型簡圖與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

<y=Es(1-11)

從上圖可以看出彈性元件的力學(xué)特點(diǎn)為：應(yīng)力僅僅依賴于應(yīng)變，與時(shí)間無關(guān)。在力的作

用下，彈性變形瞬間完成，以后只要受力不變，變形就恒定“簡而言之，彈性元件有受力

瞬間變形，應(yīng)變恒定的特點(diǎn)。

(2)、粘性元件

圖1-14是粘性元件的模型簡圖與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。從圖中可以看出粘性元件的力學(xué)特點(diǎn)

為，應(yīng)力與應(yīng)變速率相關(guān)，當(dāng)應(yīng)力保持恒定時(shí)，應(yīng)變不斷增長，在受力瞬間變形為零。簡

而言之，粘性元件有受力瞬間不變形，隨時(shí)間流逝變形迫于無限的特點(diǎn)。

_U---?

(?)

1-14粘性元件的模型簡圖與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

彈性元件和粘性元件的上述特性對分析流變模型的刀學(xué)特性是十分重要的。

（33摩擦片

1-15摩擦件的模型簡圖與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

d￡（1-13）

>a.—=const

sdt

本課程只研究粘彈性，故不考慮摩擦元件的作用。

在模型理論中主要研究兩個(gè)問題：1、流變模型的本構(gòu)方程；2、流變模型的特:性。

流變模型的本構(gòu)方程是指模型的總應(yīng)力、總應(yīng)變之間的關(guān)系。

最簡單的流變模型

在巖石力學(xué)中常用的最簡單的流變模型有以下幾種：I、Maxwell體；2、Kelvin體；3、

推廣的Kelvin體（標(biāo)準(zhǔn)線性固體）；4、伯格斯體。

上述簡單模型是由彈性元件和粘性元件的串并聯(lián)形成。

推導(dǎo)模型本構(gòu)方程的原則有兩條：

（1）、若兩元件串聯(lián)，則總變形是兩個(gè)元件變形的迭加。此時(shí)元件的應(yīng)力相等，并等于

總應(yīng)力。

（2）、若兩元件并聯(lián)，則元件的變形相同，并等于總變形。而總應(yīng)力是元件應(yīng)力的迭加。

1、Maxwell體

Maxwell體是彈性元件和粘性元件的串聯(lián)組成的。

E,又小%

生，￡口

圖1/6Maxwell體的模型簡圖

按照串聯(lián)模型特點(diǎn)：I、變形迭加；2、應(yīng)力相等。因此有

(1-13〃，h)

式中下標(biāo)1—彈簧，下標(biāo)2—粘性元件。一模型總應(yīng)變，一模型總應(yīng)力。

從式(1-13小勿和元件的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(1-11)和(1-⑵可得

一E-n

因此

aa

￡=—+—(1-14)

En

式(1-14)已消去了元步應(yīng)力和應(yīng)變，因此就是Maxwell體的一維本構(gòu)方程。

Maxwell體的流變特性

首先從模型簡圖看Maxwell體的流變特性。當(dāng)Maxwell體受到一個(gè)恒定的應(yīng)力的作用

時(shí)，由于彈性元件的作用，在受力瞬間模型有一個(gè)瞬時(shí)的彈性變形。由于粘性元件的作用，

隨著時(shí)間的增長，變形趨近于無窮，因此Maxwell模型有瞬時(shí)彈性和蠕變現(xiàn)象。而當(dāng)模型

在壓力的作用下產(chǎn)生一個(gè)瞬時(shí)壓縮變形，并保持不變時(shí)，由于粘性元件不斷變形，在總應(yīng)變

不變的情況F，彈性元件不斷伸長，應(yīng)力不斷降低，導(dǎo)致模型應(yīng)力降低，因此Maxwell體

有松弛現(xiàn)象。

Maxwell體的蠕變方程

按定義此時(shí)，因此，于是嫡變微分方程為

”=曳(1-15)

dt7]

積分上式得

￡=—t+C(1-16)

fj

式中c是積分常數(shù)。初始條件為：當(dāng)片0時(shí)，4。)=2。初始條件的物理意義是，在模型受力

瞬間彈性元件產(chǎn)生瞬時(shí)彈性應(yīng)變?yōu)樾汀⒊跏紬l件代入(1-16)得出c=2,，因此Maxwell

En

體的蠕變方程為

[=*+%(M7)

E〃

Maxwell體的蠕變曲線見圖1-13。從圖中可以看出：在壓力的作用卜.模型產(chǎn)生一個(gè)瞬時(shí)

變形4/E；隨時(shí)間的流逝，變形增長。

Maxwell體的松弛方程

按定義，此時(shí)￡=0,因此松弛微分方程為

積分上式可得

F--I

|ncr=--Z+C1(7=C,e"(1-19)

n

而當(dāng)仁而二。時(shí)，粘性元件不變形，因此在受力瞬間彈性元件的瞬時(shí)變形為，相應(yīng)的應(yīng)力

為b(O)=E/。將這個(gè)初始條件代入上式，得出積分常數(shù)因此松弛方程為

b=(1-20)

Maxwell體的松弛曲線見圖l-14o從圖中可以看出

Maxwell體有瞬時(shí)彈性、蠕變和松弛。Maxwell體的長時(shí)力學(xué)響應(yīng)象流體，因此Maxwell

體本質(zhì)上是流體。

2、Kelvin體

E、q

520--------a,------------------?---------，，/

------------±\--------------

圖1-19Kelvin體的模型簡圖

首先從Kelvin體的模型簡圖分析其流變特性，當(dāng)Kelvin體受到一恒定應(yīng)力的作用時(shí)，

由于粘性元件的瞬時(shí)變形為零，并且兩元件并聯(lián)，因此模型的瞬時(shí)變形為零。隨著時(shí)間的流

逝，粘性元件持續(xù)變形，彈性元件也同步壓縮，一直持續(xù)到彈性元件的變形為與=￡=■^為

ll：o此時(shí)彈性元件承受了全部的應(yīng)力而粘性元件完全不受力，Kelvin模型退化為一個(gè)彈性系

數(shù)為三的彈簧，因此Kelvin體有蠕變和彈性后效，其長時(shí)力學(xué)行為象固體。

如果對模型施加了一個(gè)應(yīng)變，并保持不變。由于并聯(lián)，此時(shí)彈性元件的應(yīng)變也是，相

應(yīng)的應(yīng)力為這個(gè)應(yīng)力不會隨時(shí)間減小，因此Kelvin體沒有松弛現(xiàn)象。

按照元件并聯(lián)的規(guī)則：應(yīng)力迭加，應(yīng)變相等的規(guī)則，從元件的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得

(1-21〃，b)

從上面兩個(gè)公式可得

(7=E￡+rj￡(1-22)

上式已消去了元件的應(yīng)力與應(yīng)變，因此就是Kelvin模型的一維本構(gòu)方程。

Kelvin體蠕變方程

按定義，此時(shí)。=%=const,@gcr=0。因此從(1-22)可得Kelvin體的蠕變微分方程

dt

為

化+與2=生(1-23)

力Q7

求解上式可以得到

￡=至改力+4=,曳/力+4=.>+曳

I〃」I，7」[nE\E

由于Kelvin體的瞬時(shí)變形為零，因此當(dāng)f=0時(shí)，￡=(),刈0)=0代入上式可以得到

E

代入上式，得出Kehin體的蠕變方程為

從上式可以看到：當(dāng)if8時(shí)，￡=?是彈性元件的變形，因此。Kelvin體有彈性后效。

Kelvin體沒有松弛。因?yàn)槿糇饔迷谀Ｐ蜕弦粋€(gè)常應(yīng)變，即e=￡=0,此時(shí)從本

構(gòu)方程(1-22)可以得出。=石/，并保持不變。

Kelvin體蠕變的物理意義是：載荷從粘性元件轉(zhuǎn)移到彈性元件上。

Kelvin體有蠕變和彈性后效，其長時(shí)力學(xué)行為象固體。

Maxwell體的長時(shí)力學(xué)行類似于流體，這與巖石的力學(xué)行為不符，而Kelvin體沒有瞬時(shí)

變形，也與巖石的力學(xué)行為不符。因此這兩種流變模型用來模擬巖石的流變行為都不甚滿意，

因此有下面的流變模型。

3、推廣的Kelvin體模型(標(biāo)準(zhǔn)線性固體)

該模型可以看作是Kelvin體和彈性元件的串聯(lián)

首先從模型簡圖分析其流變特性，在不變的應(yīng)力作用下，由于彈性元件的原因，模型有

一個(gè)瞬時(shí)的彈性變形，隨著時(shí)間的增長，由于粘性元件不斷變形，模型有蠕變的現(xiàn)象。如果

作用一個(gè)恒定的應(yīng)變到模型上，由于Kelvin體是與彈性元件串聯(lián)在一起，粘性元件不斷壓

縮，彈性元件不斷伸長，受力逐步減小，因此模型有松范現(xiàn)象。當(dāng)應(yīng)力作用充分長時(shí)間后粘

性元件不斷變形，并將力轉(zhuǎn)移到彈性元件上，此時(shí)模型變成由彈性元件1和2串聯(lián)形成的彈

簧，因此該模型有彈性后效。

因此從元件的理性特性看，推廣的Kelvin體具有以下流變特性：

1、瞬時(shí)彈性

2、彈性后效

3、蠕變

4、松弛

EI，G

AAAAA_______

/、&----??----------?-------%，%

_AAAAA------71---------

￡、>.。

圖1-21第一種推廣的Kelvin體的模型向圖

改進(jìn)的Kelvin體的一維本構(gòu)方程

從模型簡圖和串并聯(lián)原則，可知

b=/=/，￡=￡1+%，￡K=￡\，/=%;+%(1-2567,b,c)

式中下標(biāo)K表示Kelvin體。由于Kelvin體的本構(gòu)方程為

deds

=Erj+Z7—=3+〃下K(1-26)

將（1-25人）代入上式，得出

。=取￡一￡,）+/（￡—￡,）

dl

將彈性元件的本構(gòu)方程代入上式，可得

整理上式可得，推廣的Kelvin體的一維本構(gòu)方程得:

r/a+(El+E2)(J=EtE2s+E,/7,e=&(七干+7s)(1-27)

對第一種標(biāo)準(zhǔn)線性固體可以同樣推導(dǎo)，可按類似的方法得到它的本構(gòu)方程（留做作業(yè)）

上述模型

此模型更像一個(gè)固體（對第一種標(biāo)準(zhǔn)線性固體）。

本構(gòu)方程的求法：b=5=/,￡=鳥+牡，。內(nèi)=4+0月，￡]=￡“=4。

由Kelvin體，①=CT=耳0+〃與，（y2=cr=E2￡2o

/■、

利用“馬十七，CT=E]（￡-邑）+/將第二式代入°=E[6'--I+/7,￡-不?

推廣的Kelvin體的蠕變方程

按定義此時(shí)。=%=const,<T=0,因此從（1-27）式可得蠕變微分方程為

dsE.E+E,

一+—￡=（To———-(1-28)

dlrjE2JJ

上式是柏努利方程，利用求解公式可得

E+區(qū)片+心

°F3(1-29)

蠕變初始條件為￡(0)=生，代入上式可求出，。=曳("二與士")=-%將c代入(1-29)

EzE,Et￡

式，得到推廣的Kelvin體的蠕變方程為

從上式可以看出，40時(shí)的瞬時(shí)彈性變形為

儀0)=魯

式中，&)=&是模型的瞬時(shí)模量。當(dāng)，一＞8時(shí)的長時(shí)應(yīng)變?yōu)?/p>

E.+E、cr0

4=[

式中，邑=旦。是模型的長時(shí)模量。顯然邑=室口＜居;邑=遇生＜旦=4。因此

在恒力作用下，經(jīng)過充分長的時(shí)問該模型退化為彈性體，其彈性模量比瞬時(shí)模量小。

推廣的Kelvin體的松弛方程

按定義，此時(shí)￡=%=consi,5=0,因此松弛微分方程為

dcy&+E,E[E,

——+—---^cr=—(1-30)

出f]fl

松弛的初始條件為"0,0(0)=區(qū)島，方程(1-30)的解為

耳+￡

將初始條件代入上式，得出

因此

**%+8。一景%缶2劃

由于反可以看成推廣的Kelvin模型的瞬時(shí)彈模，星-可看成長期彈模，令E2=EO,

善三=邑模型的松弛方程可以寫為

￡+E2

丸航+(&￡()-&￡(>)?(1-28Z?)

當(dāng)f=0,(7(0)=E2￡Q

0-(0)=E后

當(dāng),8時(shí)

O=E&

推廣的Kelvin體的蠕變曲線和松弛曲線見圖1-23和1-24

從圖1-23可以看到：在受力瞬間模型有一個(gè)瞬時(shí)彈性變形，當(dāng)，T8時(shí)，隨時(shí)間的流

逝變形增長，但有一個(gè)上限。

/=。

圖1-23推廣的Kelvin體的蠕變曲線圖｛_24推廣的Kelvin體的松弛曲線

從圖1-24可以看到：隨時(shí)間的流逝應(yīng)力不斷下降，但有一個(gè)下限。

第二種標(biāo)準(zhǔn)線性固體的蠕變方程和松弛方程可以按同樣的方法導(dǎo)出，其中的關(guān)鍵是根據(jù)

模型的流變特性，給出蠕變初始條件和松弛初始條件。

推廣的Kelvin體可以模擬蠕變、松弛，瞬時(shí)彈性和瞬時(shí)彈性后效，并且本質(zhì)上是固體,

彌補(bǔ)了Maxwell體和Kelvin體的缺陷。因此，較好的模擬了巖石的粘彈性行為，是最經(jīng)常

采用的巖石流變模型。

5、伯格斯體

伯格斯體是Mxwell體和Kelvin體的串聯(lián)

0￡K

E],￡Af心，￡M__

軟），％——?----7]————?V--------%，￡。

~±1~~

%，￡K

圖1-22伯格斯體的模型簡圖

因此

（）

J=crM=crA,,E=￡Y+eK（1-28〃，b

式中是Maxwell體的的應(yīng)力,是Kelvin體的的應(yīng)力，是Maxwell體的應(yīng)變，是Kelvin體的

應(yīng)變。

Maxwell體的本構(gòu)方程是

(7O

￡=一+一(1-14)

En

Kelvin體的本構(gòu)方程.是

（7=E￡+l]￡

將（1?2砌代入上式,并注意到（1-28幻，得出

??

（T=E]（￡-￡m）+77I（￡一）

將上式對時(shí)間求一次偏導(dǎo)數(shù)，得到

?????

。%￡M）十IJ]（￡一￡1,1）

將Maxwell體的本構(gòu)方程(l-28a,b)代入上式，得到

(y=E\￡------)+7i(^--z-----)

E2Hl與仇

整理上式，得出

—CT+—CF+—(7+—C7+(7=f]]￡+E