《變量代換在解微分方程中的應(yīng)用研究》11000字（論文）

[23]．例19．解觀察原式，它的特征方程就是．之后經(jīng)過計算我們可以知道，是其特征根．那么接著我們能夠求出來它的通解，，為任意的常數(shù)．這里是先列出特征方程，借助特征根，最后再來求得方程通解．6總結(jié)微分方程對于數(shù)學(xué)專業(yè)來說是個基礎(chǔ)課，它的重要性很強(qiáng)，關(guān)于微分方程的解法有很多，在解題中所需要的技巧性是非常強(qiáng)的．對于各種類型的微分方程來說，了解微分方程的解題方法，是作為本課程最基本的要求．本文在變量代換的應(yīng)用方面，也就是說對低階還有高階的微分方程的應(yīng)用里面，作了一些詳細(xì)的介紹．其中，從變量變換方法的概念開始，接著是微分方程中的一些特殊的變換的方式，來進(jìn)行介紹，也就是拉普拉斯轉(zhuǎn)換法、常數(shù)變易法、特征函數(shù)法等類型的變換．在準(zhǔn)備寫論文時，由于關(guān)于微分方程的了解還不夠透徹，經(jīng)常不能抓住問題的重點．在趙老師指導(dǎo)下，我對微分方程也理解得更加深刻和全面．在經(jīng)過閱讀相關(guān)資料和文獻(xiàn)之后，決定從變量代換法的相關(guān)概念開始，再分析變量代換法在微分方程解決實際問題中的應(yīng)用，完成了這篇論文．首先，第一章節(jié)介紹了變量代換法的相關(guān)概念，變量代換法的數(shù)學(xué)意義，解題過程中的優(yōu)越性．這里不做過多講解．在第二章中分為兩部分，第一部分依次介紹一階微分方程的幾種類型，在這其中，采用了變量變換法，來將各種類型的微分方程進(jìn)行求解．其中涉及到了將不容易解的非齊次微分方程，在尋找一些轉(zhuǎn)換之后，變?yōu)楸容^容易解的齊次方程，可分離變量微分方程在轉(zhuǎn)化之后，可以成為齊次方程，繼而又轉(zhuǎn)化為可用常數(shù)變易法來求解的類型．第二部分分別介紹了一階隱式方程和一些特殊形式的方程，一階隱式介紹了四個類型，包括了可以解出或的方程，和不顯含或的方程等．這些全是在解決問題的時候化成變量分離方程，然后才解決的．第三章介紹了變量代換在解高階微分方程中的應(yīng)用，在這里主要分為兩部分，第一部分主要簡單介紹高階微分方程的降階，在這一部分，主要探討可降階的方程，類型有三種．第二部分介紹變系數(shù)線性微分方程，利用變量代換，變系數(shù)線性微分方程能夠被化為常系數(shù)線性微分方程．第四章主要介紹了拉普拉斯變換和特征函數(shù)法兩個部分，并分別通過例題來展現(xiàn)．變量代換法是能夠讓微分方程復(fù)雜問題，更簡易被解決的一個方法．假如讓方程被化成為變量分離方程，變量變換就是一個特別簡單便利的方法．變量變換在特殊方程中有不變的形式．高階微分方程在展開計算的時候，變量代換被運用到的頻率同樣是很高的．本文對變量變換在求解一階及高階微分方程中的解題方法做了相應(yīng)的描述．在解題的時候，我們可以得知，變量代換法的應(yīng)用，需要透過它的外在進(jìn)而來抓它內(nèi)在的本質(zhì)，這是這個方法的關(guān)鍵．關(guān)于那些復(fù)雜形式，使用變量代換可以讓方程被簡化得更加簡潔，同時也非常容易求出來它的解，這個方法特別簡便．這其中是利用了轉(zhuǎn)化思想，另一方面也是它在數(shù)學(xué)中的深刻的體現(xiàn)．參考文獻(xiàn)錢詳征.常微分方程解題方法[M].湖南:湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1984.黃雪燕.常微分方程的化歸思想[J].長春師范學(xué)院學(xué)報,2007(08):24～26.趙越.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用研究[J].新課程導(dǎo)學(xué),2018(09):81.方道元,薛儒英.常微分方程[M].杭州:浙江大學(xué)出版社，2008.朱思銘.常微分方程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題解答[M].北京:高等教育出版社，2009.王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2006.丁同仁、李承治著,常微分方程[M].高等教育出版社,2001.孫清華,李英蘭,孫昊.常微分方程內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2006.劉穎.幾類特殊的黎卡提(Riccati)方程通解求法[J].沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2000(04):65～68.劉穎.一類特殊的一階常微分方程的初等積分法[J].沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2004(05):90～91.朱強(qiáng).常微分方程中的變量代換法[D].紹興文理學(xué)院.2005.竇霽虹.常微分方程導(dǎo)教﹒導(dǎo)學(xué)﹒導(dǎo)考[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2007.楊孝剛.變量變換在解常微分方程的應(yīng)用[D].宜賓學(xué)院,2011.常微分方程教案[EB].2017./p-230196145.html陳小蕾,鄭立飛,王潔.利用換元法求解一階微分方程的應(yīng)用舉例[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報,2017,25(02):110～111+105.羅顯康,王雄瑞.變量變換在解一階常微分方程中的應(yīng)用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2009,9(12):32～34.張海,謝秀娟.變量代換法求解常微分方程[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,16(04):82～87.江磊.幾類應(yīng)用變量代換求解的常微分方程[J].成都紡織高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2005(04):19～20+23.蔡燧林.常微分方程[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2003.?秦軍.幾類變系數(shù)微分方程化為常系數(shù)方程的變量代換法[J].皖西學(xué)院學(xué)報,2009,25(05):14～16.楊寶珍,景慧麗,劉華.變量代換法在解微分方程中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014,17(01):89