備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4講-空間直線(xiàn)、平面的平行

第4講空間直線(xiàn)、平面的平行1．直線(xiàn)與平面平行(1)判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(01))a?α,\x(\s\up1(02))b?α,\x(\s\up1(03))a∥b))?a∥α(2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(04))a∥α,\x(\s\up1(05))a?β,\x(\s\up1(06))α∩β＝b))?a∥b2．平面與平面平行(1)判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條eq\x(\s\up1(07))相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(08))a?α,\x(\s\up1(09))b?α,\x(\s\up1(10))a∩b＝P,\x(\s\up1(11))a∥β,\x(\s\up1(12))b∥β))?α∥β(2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)eq\x(\s\up1(13))平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(14))α∥β,\x(\s\up1(15))α∩γ＝a,\x(\s\up1(16))β∩γ＝b))?a∥b1．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.3．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．5．夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等．6．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．7．兩條直線(xiàn)被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．8．如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行．1．已知直線(xiàn)l和平面α，若l∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線(xiàn)()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有無(wú)數(shù)條，一定在平面α內(nèi)D．有無(wú)數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)答案B解析過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作該直線(xiàn)的平行線(xiàn)有且只有一條，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面α內(nèi)，所以這條直線(xiàn)也應(yīng)該在平面α內(nèi)．故選B.2．(2019·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行C．α，β平行于同一條直線(xiàn)D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，則α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線(xiàn)，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．根據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，反之也成立．因此B中的條件是α∥β的充要條件．故選B.3．(多選)(2022·江蘇鎮(zhèn)江質(zhì)量檢測(cè))如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ平行的是()答案BCD解析A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線(xiàn)，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線(xiàn)AB與平面MNQ相交；B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選BCD.4．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出下列五個(gè)結(jié)論：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．在△PBD中，因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PBD的中位線(xiàn)，OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因?yàn)镸∈PB，所以O(shè)M與平面PBA，平面PBC相交．故選C．5．如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.答案eq\f(5,2)解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA·CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).6．已知下列命題：①若直線(xiàn)與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)在平面內(nèi)；②若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若直線(xiàn)l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線(xiàn)都是異面直線(xiàn)；④如果兩條異面直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線(xiàn)一定與該平面相交；⑤若直線(xiàn)l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面；⑥若平面α∥平面β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則a∥b.其中正確的是________(填序號(hào))．答案①⑤解析①若直線(xiàn)與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，由基本事實(shí)2可得直線(xiàn)在平面內(nèi)，故①正確；②若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故②錯(cuò)誤；③若直線(xiàn)l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線(xiàn)可能是異面直線(xiàn)或相交直線(xiàn)，故③錯(cuò)誤；④如果兩條異面直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線(xiàn)可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤；⑤若直線(xiàn)l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，即平行或異面，故⑤正確；⑥若平面α∥平面β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則a∥b或a，b異面，故⑥錯(cuò)誤．考向一有關(guān)平行關(guān)系的判斷例1(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中點(diǎn)為Q，連接MQ，NQ，由三角形中位線(xiàn)定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D，故選C．(2)已知兩條不同的直線(xiàn)a，b，兩個(gè)不同的平面α，β，有如下命題：①若a∥α，b?α，則a∥b；②若α∥β，a?α，則a∥β；③若α∥β，a?α，b?β，則a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯(cuò)誤；若α∥β，a?α，則a與β沒(méi)有公共點(diǎn)，即a∥β，故②正確；若α∥β，a?α，b?β，則a與b無(wú)公共點(diǎn)，得a，b平行或異面，故③錯(cuò)誤．∴正確命題的個(gè)數(shù)為1.故選C．解決有關(guān)線(xiàn)面平行、面面平行的基本問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線(xiàn)面平行的判定定理中，條件“線(xiàn)在面外”易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．1.已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析A中，兩直線(xiàn)可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故選D.2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)．則下列敘述中正確的是()A．直線(xiàn)BQ∥平面EFGB．直線(xiàn)A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(其中H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))．∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故選B.多角度探究突破考向二直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)角度用線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行例2(1)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線(xiàn)段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)锽B1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又因?yàn)镃C1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而B(niǎo)B1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.(2)如圖，在三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．求證：BD∥平面FGH.證明證法一：連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺(tái)DEF－ABC中，由AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則M為CD的中點(diǎn)，又因?yàn)镠為BC的中點(diǎn)，所以HM∥BD.因?yàn)镠M?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺(tái)DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點(diǎn)，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，BE∥HF.在△ABC中，因?yàn)镚為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，所以GH∥AB.又因?yàn)镚H∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因?yàn)锽D?平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度用線(xiàn)面平行證明線(xiàn)線(xiàn)平行例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在MD上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴PA∥GH.1．判斷或證明線(xiàn)面平行的常用方法(1)利用線(xiàn)面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．(2)利用線(xiàn)面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．2．證明線(xiàn)線(xiàn)平行的三種方法(1)利用基本事實(shí)4(a∥b，b∥c?a∥c)．(2)利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理(a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b)．3.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF.證明(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB.因?yàn)镺E?平面PAB，PB?平面PAB，所以O(shè)E∥平面PAB.(2)過(guò)E作EG∥FD交AP于點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)O.因?yàn)镋G∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF，所以EG∥平面BDF.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，EG∥FD，所以G為PF的中點(diǎn)，因?yàn)锳F＝1，PA＝3，所以F為AG的中點(diǎn)，又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CG.因?yàn)镃G?平面BDF，OF?平面BDF，所以CG∥平面BDF.因?yàn)镋G∩CG＝G，EG?平面CGE，CG?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因?yàn)镃E?平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定與性質(zhì)例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因?yàn)镚H是△A1B1C1的中位線(xiàn)，所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC．因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G與EB平行且相等，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行．(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線(xiàn)線(xiàn)平行”“線(xiàn)面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．4．(2022·福建福清階段考試)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線(xiàn)BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．解(1)證明：連接CP并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因?yàn)閑q\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．(2)當(dāng)eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA．如圖．證明：因?yàn)閑q\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD)，所以PR∥DA．又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA．一、單項(xiàng)選擇題1．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，直線(xiàn)m是α內(nèi)一條直線(xiàn)，則“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由α∥β，m?α，可得m∥β；反過(guò)來(lái)，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件．故選A．2．已知直線(xiàn)a，b和平面α，下列說(shuō)法中正確的是()A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a⊥α，b?α，則a⊥bC．若a，b與α所成的角相等，則a∥bD．若a∥α，b∥α，則a∥b答案B解析若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面，故A錯(cuò)誤；利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可知若a⊥α，b?α，則a⊥b，故B正確；若a，b與α所成的角相等，則a與b相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；由a∥α，b∥α，得a，b之間的位置關(guān)系可以是相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選B.3．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面EFGH分別交BC和AD于點(diǎn)G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面答案A解析由長(zhǎng)方體的性質(zhì)，知EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.故選A．4．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案B解析∵M(jìn)N∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN?平面PAC，∴MN∥PA．故選B.5．如圖，在多面體ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF答案A解析如圖所示，取DG的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM，又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故選A．6．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，eq\f(PF,FC)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案D解析如圖，連接AC交BE于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)镻A∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又因?yàn)锳D∥BC，E為AD的中點(diǎn)，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).故選D.7．在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線(xiàn)SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A．eq\f(45,2) B．eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也分別為AS，SC的中點(diǎn)，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．因?yàn)锳C⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).故選A．8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4答案C解析如圖所示，易知截面是菱形．分別取棱D1C1，AB的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，CF，CE，則菱形A1ECF為符合題意的截面．連接EF，A1C，易知EF＝2eq\r(2)，A1C＝2eq\r(3)，EF⊥A1C，所以截面的面積S＝eq\f(1,2)EF·A1C＝2eq\r(6).故選C．二、多項(xiàng)選擇題9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線(xiàn)段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是()A．線(xiàn)段B1D1上存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AE∥BFB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面積與△BEF的面積相等D．三棱錐A－BEF的體積為定值答案BD解析如圖所示，AB與B1D1為異面直線(xiàn)，故AE與BF也為異面直線(xiàn)，A錯(cuò)誤；B1D1∥BD，故EF∥平面ABCD，故B正確；由圖可知，點(diǎn)A和點(diǎn)B到EF的距離是不相等的，C錯(cuò)誤；連接BD交AC于O，則AO為三棱錐A－BEF的高，S△BEF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)，三棱錐A－BEF的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),24)，為定值，D正確．故選BD.10．(2021·保定一中模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)D．平面MNQ∥平面APC答案BC解析如圖，對(duì)于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；對(duì)于B，由A項(xiàng)知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，AN?平面APC，所以C1Q∥平面APC是正確的；對(duì)于C，由A項(xiàng)知A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)是正確的；對(duì)于D，由A項(xiàng)知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．三、填空題11．(2022·北京東城區(qū)模擬)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線(xiàn)，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線(xiàn)處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號(hào))．答案①或③解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確．12．(2022·福建龍巖高三模擬)如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿(mǎn)足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)答案點(diǎn)M在線(xiàn)段FH上解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M在線(xiàn)段FH上，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.13．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如圖所示，連接AC，易知MN∥平面ABCD.∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC．∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3).∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2,3)×eq\r(2)a＝eq\f(2\r(2),3)a.四、解答題14．如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn)，又M為AB的中點(diǎn)，所以MO為△ABE的中位線(xiàn)，所以BE∥MO，又因?yàn)锽E?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的對(duì)邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又因?yàn)镈E?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線(xiàn)，所以BD∥MN，因?yàn)锽D?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以平面BDE∥平面MNG.15．(2022·湖北黃岡入學(xué)考試)如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求證：當(dāng)點(diǎn)