2025年滬科版高考數(shù)學總復習高中所有數(shù)學公式匯編

PAGEPAGE9高中數(shù)學常用公式及結論一、集合與常用邏輯用語：1集合的子集個數(shù)共有個；真子集有個；非空子集有個。2含有一個量詞的否定：‘量詞改變，結論否定’命題命題的否定3真值表：同真‘且’真，同假‘或’假PqP或qP且q非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真4常見結論的否定形式：原結論否定詞原結論否定詞大于不大于至少有個至多有（）個都是不都是至多有個至少有（）個至少有一個一個也沒有或且至多有一個至少有兩個且或5四種命題的相互關系:（原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.）原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ充要條件：(1)、，則P是q的充分條件，反之，q是p的必要條件；（2）、，且q≠>p，則P是q的充分不必要條件；(3)、p≠>p，且，則P是q的必要不充分條件；(4)、p≠>p，且q≠>p，則P是q的既不充分又不必要條件。(5)、,A是B的充分條件(小范圍大范圍)二、函數(shù)：1二次函數(shù)的解析式的三種形式：(1)一般式;(2)頂點式;（當已知拋物線的頂點坐標時，設為此式）(3)零點式；（當已知拋物線與軸的交點坐標為時）2函數(shù)單調(diào)性:增函數(shù)：f（x）在xD上是減函數(shù)。（y隨x的增大而增大）減函數(shù)：f（x）在xD上是減函數(shù)。（y隨x的增大而減?。┑葍r關系：(1)設那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).(2)設在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則增；如果，則減.單調(diào)性性質(zhì)：(1)增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；（兩個函數(shù)定義域交集）(2)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；(3)與單調(diào)性相反，與單調(diào)性相反。（有意義的前提）復合函數(shù)的單調(diào)性：，由和復合，同真異減。3函數(shù)的奇偶性：（注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關于原點對稱）奇函數(shù)：在前提條件下，若有，則f（x）就是奇函數(shù)。性質(zhì)：（1）奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；（2）奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；（3）定義在R上的奇函數(shù)，有f（0）=0.偶函數(shù)：在前提條件下，若有，則f（x）就是偶函數(shù)。性質(zhì)：（1）偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；（2）偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；奇偶函數(shù)間的關系：(1)奇函數(shù)·偶函數(shù)=奇函數(shù)；奇函數(shù)·奇函數(shù)=偶函數(shù)；(2)偶奇函數(shù)·偶函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．4函數(shù)的周期性：定義：對函數(shù)f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x）T是f（x）的一個周期。周期函數(shù)幾種常見的表述形式：(1)f（x+T）=-f（x），此時周期為2T；（2）f（x+m）=f（x+n），此時周期為2；(3)，此時周期為2m;(4)兩條對稱軸：，此時周期為；（形如）(5)兩個對稱點：，此時周期為；（形如）(6)一條對稱軸：一個對稱點：，此時周期為；（形如）5對稱性：對于函數(shù)(),①函數(shù)關于y軸對稱②函數(shù)關于原點對③函數(shù)的對稱軸是特別地：函數(shù)的對稱軸是④函數(shù)關于點（，0）對稱特別地：函數(shù)的對稱點⑤與互為反函數(shù)與關于對稱特別地：與關于對稱6圖像變換：①平移變換：沿軸方向平移個單位長度左加右減沿軸方向平移個單位長度上加下減②對稱變換：與關于軸對稱與關于軸對稱與關于原點對稱與關于成軸對稱與關于成點對稱③伸縮變換：縱坐標伸縮為原來的A倍橫坐標伸縮為原來的倍④翻折變換：：作出的圖像，保留軸上方圖像，將軸下方圖像沿著軸翻折上去。：作出的圖像，保留軸右方圖像，將其沿著關于軸翻折到左邊，右邊不變。（是偶函數(shù)）7分數(shù)指數(shù)冪與根式的性質(zhì)：(1)（，且）.（2）（，且）.（3）.（4）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.8指數(shù)式與對數(shù)式的互化式:.9指數(shù)與指數(shù)函數(shù)：指數(shù)性質(zhì)：(1)1、；（2）、（）；(3)、(4)、；(5)、；指數(shù)函數(shù)：(1)、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點（0，1）10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)：對數(shù)性質(zhì)：若，則(1)、；（2）、；(3)、；(4)、；(5)、(6)、；(7)、對數(shù)的換底公式:(,且,,且,).對數(shù)函數(shù)：(1)、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點（1，0）(3)、(4)、或11冪函數(shù):冪函數(shù)在第一象限的情況：(1)所有的圖形都通過(1，1)這點，a大于0，函數(shù)過(0，0)；α>10<α>10<α<1α<0 12平均增長率的問題（負增長時）：如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.三、導數(shù)：1在處的導數(shù)（或變化率）：.瞬時速度：.瞬時加速度：.2函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.3幾種常見函數(shù)的導數(shù)：(1)（C為常數(shù)）.(2).(3).(4).(5)；.(6);.4導數(shù)的運算法則：（1）.（2）.（3）.5復合函數(shù)的導數(shù)：，由和復合，。6導數(shù)在函數(shù)中的應用：（1）在區(qū)間的單調(diào)性與導數(shù)：在內(nèi)恒有遞增在內(nèi)恒有遞減在內(nèi)恒有是常數(shù)函數(shù)在遞增在遞減（2）判別是極大（?。┲档姆椒ǎ寒敽瘮?shù)在點處連續(xù)時，（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.7定積分的性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0,則8微積分基本定理：如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′(x)=f(x)，那么9定積分的幾何意義：由連續(xù)曲線（）和及圍成的平面圖形稱為曲邊梯形．1)若如圖5-8所示，則面積為 2)把由直線y=c，y=d(c<d)及兩條連續(xù)曲線x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)g2(y))xyOx=xyOx=g1(y)x=g2(y)dc陰影部分的面積：yy=f2(xyy=f2(x)yxyOy=f2(x)bay=f1(x)by=f2(x)by=f2(x)aOxy=f1(x)aOxaOxy=f1(x)aOxbbyy=f1(x)陰影部分的面積：10定積分在物理上的應用。（1）變速時間在段，路程（2）變力物體沿力的方向從移動到，做功四、三角函數(shù)：1三角不等式：（1）若，則.(2)若，則.(3).2同角三角函數(shù)的基本關系式：，=，3正弦、余弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）4和角與差角公式;;.=(輔助角所在象限由點的象限決定,).5二倍角公式及降冪公式...6三角函數(shù)的周期公式函數(shù)及函數(shù)(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.三角函數(shù)的圖像：7正弦定理

：（R為外接圓的半徑）.（）8余弦定理：;;.9面積定理：（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.10三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有.五、平面向量：1實數(shù)與向量的積的運算律:設λ、μ為實數(shù)，那么：(1)結合律：λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ;(3)第二分配律：λ(+)=λ+λ.2與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：·=||||。3平面向量的坐標運算：(1)設=,=，則+=.(2)設=,=，則-=.(3)設A，B,則.(4)設=，則=.(5)設=,=，則·=.4求夾角：(=,=).求長度：5平面兩點間的距離公式：=(A，B).6共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數(shù)λ，使＝λ。（1）三點共線：A、B、C三點共線<=><=>（其中）（2）與共線的單位向量為7共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數(shù)使。（3）四點共面：若A、B、C、P四點共面<=><=>8向量的平行與垂直：設=,=，且，則：||=λ.（交叉相乘差為零）()·=0.（對應相乘和為零）9線段的定比分公式：設，，是線段的分點,是實數(shù)，且，則（）.10三角形的重心坐標公式：△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.11三角形四“心”向量形式的充要條件：設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心（外接圓的圓心，中垂線的交點）.（2）為的重心（中線的交點，三等分點（中位線比））.（3）為的垂心（高的交點）.（4）為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點）.六、數(shù)列：1等差數(shù)列：（1）通項公式：（1），其中為首項，d為公差，n為項數(shù)（2）和之間的關系：

（注：該公式對任意數(shù)列都適用）（2）前n項和：（1）；其中為首項，n為項數(shù)，為末項。（2）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）（3）常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q，則有；注：若的等差中項，則有2n、m、p成等差。（2）、若、為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列。（3）、為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列。（4）、；（4）等差數(shù)列的判定方法：①定義法：或（為常數(shù)）是等差數(shù)列②中項公式法：是等差數(shù)列③通項公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列④前項和公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列注意：①②是用來證明是等差數(shù)列的理論依據(jù)。2等比數(shù)列：（1）通項公式：（1），其中為首項，n為項數(shù)，q為公比。（2）和之間的關系：

（注：該公式對任意數(shù)列都適用）（2）前n項和：（1）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）（2）（3）常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q，則有；注：若的等比中項，則有n、m、p成等比。（2）、若、為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列。（3）、為等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列。（4）等比數(shù)列的判定方法：①定義法：或（是不為零的常數(shù)）是等比數(shù)列②中項公式法：是等差數(shù)列③通項公式法：（是不為零常數(shù)）是等差數(shù)列④前項和公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列注意：①②是用來證明是等比數(shù)列的理論依據(jù)。3分期付款(按揭貸款)：每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).七、不等式：1一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.即：；.2含有絕對值的不等式：當a>0時，有.或.3常用不等式：（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．（3）（4）.（5）(當且僅當a＝b時取“=”號)。4不等式定理:已知都是正數(shù)，則有（1）求和的最小值：，當且僅當取等號；，當且僅當取等號。當且僅當取等號。（2）求積的最大值：，當且僅當取等號；，當且僅當取等號。（3）已知，若則有。（4）已知，若則有5柯西不等式：當且僅當時，（）等號成立。當且僅當?shù)忍柍闪??？挛鞑坏仁降囊话阈问剑寒斍覂H當或存在一個數(shù)，使時，等號成立。八、立體幾何：1線線平行的判斷：①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。②如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。③垂直于同一平面的兩直線平行。2線線垂直的判斷：①在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。②在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。③若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3線面平行的判斷：①如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。②兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。4面面平行的判斷：①一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)兩相交直線，這兩個平面平行。②垂直于同一條直線的兩個平面平行。5線面垂直的判斷：①如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。②如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。③一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。④如果兩個平面垂直，那么在—個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。6面面垂直的判斷：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。7空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：；注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時可找三角形的中位線。有的還可以通過補形，如：將三棱柱補成四棱柱；將正方體再加上三個同樣的正方體，補成一個底面是正方形的長方體。（2）線面所成的角：斜線與平面所成的角：斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。范圍（3）二面角：關鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；定義法：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線民主兩條射線所成的叫叫做二面角的平面角。注意：還可以用射影法：；其中為二面角的大小，為內(nèi)的一個封閉幾何圖形的面積；為內(nèi)的一個封閉幾何圖形在內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。8夾角公式：設＝，＝，則（1）線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補角，（2）線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.（3）面面夾角（二面角）：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.9求點到面的距離的方法：①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉移法：轉化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；③體積法：利用三棱錐體積公式。④向量法：到平面的距離：（為平面的法向量，，是的斜線段）.10空間向量的坐標運算：設＝，＝則：(1)＋＝；(2)－＝；(3)λ＝(λ∈R)；(4)·＝；11球的半徑是R，則其體積,其表面積．12球的組合體：(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(正四面體高的),外接球的半徑為(正四面體高的).13多面體：（1）棱柱：兩底面互相平行，側面都是平行四邊形，側棱平行且相等棱柱側棱不垂直于底面斜棱柱側棱垂直于底面直棱柱底面是正多邊形正棱柱；側棱不垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌娴酌媸钦噙呅嗡睦庵酌媸瞧叫兴倪呅纹叫辛骟w側棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長方體底面是正方形正四棱柱棱長都相等正方體。底面是平行四邊形側棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長都相等（2）正棱錐：底面是正多邊形，側面是等腰三角形，頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心性質(zhì)：Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的邊長和底面的對應邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐性質(zhì)：各側面都是全等的等腰三角形；通過四個直角三角形，，，實現(xiàn)邊，高，斜高間的換算ABCDPOH③面積：ABCDPOH④體積：（為底面積，為高）（3）正四面體：對于棱長為正四面體的問題可將它補成一個邊長為的正方體問題。對棱間的距離為（正方體的邊長）正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）內(nèi)切球的半徑為（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑）九、平面解析幾何：1斜率公式：（、）.y=tan2直線的五種方程：（1）點斜式(直線過點，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式()(、()).兩點式的推廣：（無任何限制條件?。?4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時為0).3點到直線的距離：(點,直線：).4兩平行線間距離：5圓的四種方程：（1）圓的標準方程.（2）圓的一般方程(＞0).（3）圓的參數(shù)方程.（4）圓的直徑式方程(圓的直徑的端點是、).6點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有三種：(直接代點簡單)若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).7直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有三種：();;.8兩圓位置關系的判定方法:設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，，則：;;;;.9橢圓方程的定義：①橢圓的標準方程：i.中心在原點，焦點在x軸上：.ii.中心在原點，焦點在軸上：.②一般方程：.③橢圓上點到焦點的距離最大值和最小值在長軸端點取得（近日點和遠日點）焦點到對應準線的距離(焦準距)。過焦點且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：.10若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）.若是雙曲線，則面積為.11橢圓的的內(nèi)外部:（1）點在橢圓的內(nèi)部.（2）點在橢圓的外部.12雙曲線的第一定義：①雙曲線標準方程：.②一般方程：.③準線到中心的距離為，焦點到對應準線的距離(焦準距)。④過焦點且垂直于實軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：.13雙曲線的方程與漸近線方程的關系:(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.(4)焦點到漸近線的距離總是。（會推，可以不記）14拋物線方程：設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點（0，0）離心率焦點注：①通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.②（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.15直線與圓錐曲線相交的弦長公式16圓錐曲線的統(tǒng)一定義..注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡1．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0<e<1）2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1）與定點和直線的距離相等的點的軌跡.方程標準方程(>0)(a>0,b>0)y2=2px參數(shù)方程(t為參數(shù))范圍─axa，─byb|x|a，yRx0中心原點O（0，0）原點O（0，0）頂點(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0)焦距2c（c=）2c（c=）離心率e=1準線x=x=漸近線y=±x焦半徑通徑2p十、計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布1分類計數(shù)原理（加法原理）：.分步計數(shù)原理（乘法原理）：2排列數(shù)公式：==.(，∈N*，且)．規(guī)定.3組合數(shù)公式：===(∈N*，，且).組合數(shù)的兩個性質(zhì):(1)=;(2)+=.規(guī)定.4二項式定理;二項展開式的通項公式.的展開式的系數(shù)關系：；；。5事件的關系與運算①關系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：并事件（和事件）：A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。且事件（積事件）：A、B同時發(fā)生：AB，或者AB?；コ馐录篈B=，表示A與B不可能同時發(fā)生?；臼录腔コ獾?。對立事件：-A稱為事件A的逆事件，記為。=且屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。②運算：結合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪