認識三角形第3課時三角形的高中線與角平分線課件北師大版七年級數(shù)學下冊

1認識三角形第3課時三角形的高、中線與角平分線

第四章三角形北師大版（2024）數(shù)學七年級下冊1.認識三角形的高、中線與角平分線，能畫任意三角形的高;了解三角形的三條中線交于一點，三角形的三條角平分線交于一點，三角形三條高所在的直線交于一點（重點）2.學會用數(shù)學知識解決實際問題的能力，發(fā)展應(yīng)用和自主探究意識，并培養(yǎng)學生的動手實踐能力與合作精神.（難點）學習目標你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.思考：過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?新課導入三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.和垂足的字母.注意!標明垂直的記號012345678910012345012345三角形的高思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應(yīng)該有三條高.(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)

這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？O(3)

銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.銳角三角形的三條高如圖所示；直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,ABBC它們有怎樣的位置關(guān)系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD鈍角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEADABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點.例1

作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．D例2

如圖，在△ABC中，BC邊上的高AD＝4cm，BC＝4cm，AC＝5cm.(1)試求△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)試求AD∶BE的值．利用三角形面積公式及面積法求解．導引：(1)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8(cm2)，因為S△ABC＝AC·BE＝×5×BE＝8(cm2)，所以BE＝cm.(2)AD∶BE＝4∶＝

解：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．練一練在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個三角形的中線(median).AE是BC邊上的中線.三角形的“中線”BACABE=ECE三角形的中線(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.

你有什么方法？它有多少條中線？它們有怎樣的位置關(guān)系?議一議三條中線，交于一點(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？折一折，畫一畫，并與同伴交流.

三角形的三條中線交于一點，這個交點就是三角形的重心.要點歸納例1

在△ABC中，AC＝7cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.提示：將△ABD與△ADC的周長之差轉(zhuǎn)化為邊長的差.9cm例2

張大爺?shù)膬蓚€兒子都長大成人了，也該分家了．于是張大爺準備把如圖所示的一塊三角形田地平均分給兩個兒子，兩個兒子要求分成的兩塊田地的形狀仍然是三角形，請你幫助張大爺提出一種平分的方案．根據(jù)等底等高的兩個三角形的面積相等，要等分三角形的面積，只需要作出一條邊上的中線即可．導引：根據(jù)要求，平分田地的直線只能經(jīng)過三角形的頂點．畫△ABC的中線AD(如圖)，則AD就把△ABC的面積平分成兩份．這是因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC.過點A作AE⊥BC于點E.在△ABD和△ACD中，因為BD，CD邊上的高都是AE，所以由三角形的面積計算公式，知△ABD和△ACD的面積相等，因此，要把△ABC平分成兩個三角形，只需畫中線AD即可，這是一種平分方法．(本題答案不唯一，作AB，AC邊上的中線也可以)解：1.若AD是△ABC的中線，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．AB＝BC

B．BD＝DCC．AD平分BC

D．BC＝2DCA練一練2.如圖，△ABC的面積為3，BD：DC＝2：1，E是AC的中點，AD與BE相交于點P，那么四邊形PDCE的面積為(

)A.B.C.D.B三角形的角平分線的定義:

在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD注意：“三角形的角平分線”是一條線段.∠1=∠2三角形的角平分線每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?(2)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系?做一做三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質(zhì)例3

如圖所示，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABD的角平分線，∠BAC＝80°，則∠EAD的度數(shù)是(

)A．20°

B．30°C．45°

D．60°因為AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，所以∠BAD＝40°.又因為AE平分∠BAD，所以∠EAD＝20°.導引：A3.如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列結(jié)論錯誤的是(

)A．BD是△ABC的角平分線B．CE是△BCD的角平分線C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分線D練一練解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.4.

如圖,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC5

如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數(shù)．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDD當堂練習1.AD是ΔABC的高（如圖1），那么

∠ADB∠ADC=

；2.AD是ΔABC的角平分線（如圖2），那么

∠BAC=∠BAD；3.AE是ΔABC的中線（如圖3），那么

BC=BE.2當堂練習圖1圖2圖390°2=4.如圖,在△ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交

AC于E,F為AB上一點,CF⊥AD于H,判斷下列說法的正誤.⌒⌒ABCDE12FGH（1）AD是△ABE的角平分線()（2）BE是△ABC邊AC上的中線()××（3）CH是△ACD邊AD上的高()√

5.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)

=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.BACDE6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm的兩部分，求三角形的各邊長．因為中線BD將△ABC的周長分成兩部分：(BC＋CD)和(AD＋AB)，誰為12cm，誰為15cm，不確定，故應(yīng)分類討論；另外題中涉及線段較多，因此可建立方程模型，利用設(shè)未知數(shù)來求解．導引：設(shè)AB＝xcm，則AD＝CD＝

xcm.(1)如圖①，若AB＋AD＝12cm，則x＋

x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時AB＋AC＞BC，所以三邊長分別為8cm，8cm，11cm.解：(2)