《高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))》課件-第11章

第11章線性代數(shù)初步11.1行列式

11.2行列式的計(jì)算、克萊姆法則

11.3矩陣的概念與運(yùn)算

11.4逆矩陣

11.5矩陣的秩

11.6線性方程組

11.1行列式

11.1.1二階、三階行列式

設(shè)二元線性方程組為

用加減消元法解線性方程組(11-1)得

(a11a22－a12a21)x1=b1a22－a12b2

(a11a22－a12a21)x2=a11b2－b1a21

當(dāng)a11a22－a12a21≠0時(shí)，方程組(11-1)有唯一解(11-1)

定義11-1我們稱記號(hào) 為二階行列式，它的表

達(dá)示為a11a22－a12a21，即

行列式中橫排稱為行，縱排稱為列，aij(i，j=1，2)稱為行列式的元素，i為行標(biāo)，j為列標(biāo).

由上述定義得(11-2)若記

則方程組(11-1)的解可表示為

對(duì)于三元線性方程組(11-3)用加減消元法解線性方程組(11-3)，也可得出與二元線性方程組(11-1)相類似的結(jié)果.線性方程組(11-3)解的表達(dá)式較為復(fù)雜，難以看出解與未知數(shù)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.為尋求這種關(guān)系，下面引入三階行列式的概念.

定義11-2我們稱記號(hào) 為三階行列式，它

由三行三列共9個(gè)元素組成，表示為

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a13a22a31－a11a23a32－a12a21a33

即

若記(11-4)則容易驗(yàn)證，方程組(11-4)的解可以表示為

現(xiàn)在我們來(lái)討論二階行列式與三階行列式之間的關(guān)系.由二階行列式與三階行列式的定義，有由此式可以看出，三階行列式等于它的第一行的每個(gè)元素分別乘以一個(gè)二階行列式的代數(shù)和.

為了進(jìn)一步了解這三個(gè)二階行列式與原來(lái)的三階行列式的關(guān)系，我們引入余子式和代數(shù)余子式的概念.

定義11-3三階行列式中，把元素aij(i=1，2，3；j=1，2，3)所在行和列的元素刪除，剩下的元素保持原來(lái)的相對(duì)位置不變所構(gòu)成的二階行列式稱為元素aij的余子式，記為Mij.記Aij=(－1)i+jMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.

由此可知，三階行列式等于它的某一行(或某一列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之和.11.1.2

n階行列式

類似二階行列式與三階行列式的關(guān)系，我們用歸納法給出n階行列式的定義.

定義11-4由n2個(gè)數(shù)排成一個(gè)n行n列的數(shù)表，稱

為n階行列式，它是一個(gè)算式，其值定義為其中，Aij是行列式中的元素aij的代數(shù)余子式.

例11-1應(yīng)用定義計(jì)算四階行列式

解解11.1.3行列式的性質(zhì)

利用行列式的定義計(jì)算特殊類型的行列式比較簡(jiǎn)單，但對(duì)一般行列式，特別是高階行列式，計(jì)算量相當(dāng)大.為簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，下面我們給出行列式的性質(zhì).

設(shè)n階行列式

將行列式D的行與相應(yīng)的列互換后得到的新行列式

稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記為D'(或記為DT).

性質(zhì)11-1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

性質(zhì)11-1表明，行列式中的行與列具有同等的地位，凡是行所具有的性質(zhì)，對(duì)于列也成立，反之亦然.

性質(zhì)11-2互換行列式中的任意兩行(列)，行列式變號(hào).

推論11-1行列式中兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相等，行列式的值為零.

推論11-2行列式某一行(列)的每一個(gè)元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.

性質(zhì)11-3行列式的某一行(列)的每一個(gè)元素都乘以數(shù)k，等于用數(shù)k乘這個(gè)行列式.

推論11-3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符號(hào)外面.

推論11-4如果行列式中有一行元素全為零，則該行列式的值為零.

推論11-5如果行列式有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例，則該行列式的值為零.

性質(zhì)11-4如果行列式中某一行(列)的元素都能表示成二項(xiàng)式，則此行列式等于把這些二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作相應(yīng)行(列)，而其余的行(列)不變的兩個(gè)行列式之和.

性質(zhì)11-5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一個(gè)常數(shù)后加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變.

例11-2計(jì)算行列式

解 11.2行列式的計(jì)算克萊姆法則

11.2.1化三角形法

例11-3計(jì)算四階行列式

解利用行列式的性質(zhì)，把D化為上三角形行列式，再求值，有

例11-4計(jì)算行列式

解利用行列式的性質(zhì)，把D化為上三角形行列式，再求值，即11.2.2降階法

計(jì)算行列式的另一種基本方法是選擇零元素最多的行(或列)，按這一行(或列)展開，也可以先利用行列式性質(zhì)把某一行(或列)的元素化為僅有一個(gè)非零元素，然后再按這一行(或列)展開，這種方法一般稱為“降階法”.

例11-5計(jì)算四階行列式

解為了避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算，利用推論11-3，可以把第一行和第三行的分?jǐn)?shù)元素化為整數(shù)，即

例11-6計(jì)算四階行列式

解因?yàn)樵撔辛惺街懈餍?或列)的元素之和都是2a+b，所以，可把各列元素都加到第一列上，然后提取公因式，再利用行列式的性質(zhì)，進(jìn)行降階計(jì)算，即11.2.3克萊姆法則

設(shè)n元線性方程組為

其未知量的系數(shù)構(gòu)成的行列式(11-5)稱為方程組(11-5)的系數(shù)行列式.

定理11-1

(克萊姆法則)如果線性方程組(11-5)的系數(shù)行列式D≠0，則方程組(11-5)有唯一解，且

其中，Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用常數(shù)項(xiàng)b1、b2、…、bn代替后所得到的n階行列式.

例11-7解線性方程組

解方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯一解，又因?yàn)樗苑匠探M的解為克萊姆法則僅適用于求解方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，且系數(shù)行列式不為零的線性方程組，它的主要優(yōu)點(diǎn)在于給出了方程組的解與方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系式，因此具有重要的理論價(jià)值.

當(dāng)方程組(11-5)的右端常數(shù)項(xiàng)b1、b2、…、bn不全為零時(shí),則稱該方程組為非齊次線性方程組.

當(dāng)b1、b2、…、bn全為零時(shí)，方程組

(11-6)稱為齊次線性方程組.

對(duì)于齊次線性方程組(11-6)，根據(jù)克萊姆法則得下面的推論.

推論11-6如果齊次線性方程組(11-6)的系數(shù)行列式不等于零，則方程組(11-6)只有零解.

此推論的另一種說法是：如果齊次線性方程組(11-6)有非零解，則方程組(11-6)的系數(shù)行列式必為零.

例11-8判定齊次線性方程組是否有非零解？

解因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式

所以此方程組沒有非零解. 11.3矩陣的概念與運(yùn)算

11.3.1矩陣的概念

下面先看兩個(gè)實(shí)例

例11-9在物資調(diào)運(yùn)中，經(jīng)常要考慮如何供應(yīng)銷售地，使物資的總運(yùn)費(fèi)最低.假定某個(gè)地區(qū)的煤有3個(gè)產(chǎn)地，有4個(gè)銷售地，如果用aij表示由產(chǎn)地Pi(i=1，2，3)運(yùn)到銷售地Sj(j=1，2，3，4)的數(shù)量，那么調(diào)運(yùn)方案如表11-1所示.表11-1表11-1也可以用矩形數(shù)表簡(jiǎn)明地表示為

例11-10線性方程組(11-7)的未知數(shù)的系數(shù)可組成一個(gè)m行n列的數(shù)表

而未知數(shù)和系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)合在一起，又可以組成一個(gè)m行n+1列的數(shù)表有了這兩個(gè)數(shù)表，方程組(11-7)就完全確定了.

不同的問題可以用不同的數(shù)表來(lái)表示，去掉數(shù)表中數(shù)據(jù)的具體含義，對(duì)上述所涉及的矩形數(shù)表，給出定義.

定義11-5由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…,n)排成m行n列的數(shù)表，即

稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣.m×n矩陣可記為Am×n或(aij)m×n，有時(shí)簡(jiǎn)記為A或(aij).組成矩陣的每個(gè)數(shù)稱為矩陣的元素，aij稱為該矩陣的第i行第j列的元素.當(dāng)m=1時(shí)，即只有一行的矩陣

A=(a11，a12，…，a1n)

稱為行矩陣.

當(dāng)n=1時(shí)，即只有一列的矩陣

稱為列矩陣.

當(dāng)m=n時(shí)，矩陣Am×n稱為n階方陣，可以簡(jiǎn)記為An.在n階方陣A中，從左上角a11到右下角ann的元素稱為方陣A的主對(duì)角線元素.主對(duì)角線一側(cè)的元素全為零的方陣，稱為三角矩陣，三角矩陣分為上三角形矩陣與下三角形矩陣，即

主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣，稱為對(duì)角矩陣，即

主對(duì)角線上的元素全為1的對(duì)角矩陣，稱為單位陣，記為E,即

元素全為零的矩陣，稱為零矩陣，記為Omn.11.3.2矩陣的運(yùn)算

1.矩陣的加減

定義11-6設(shè)有兩個(gè)m×n矩陣A=(aij)與B=(bij)，那么A與B的和記為A+B，規(guī)定為：

A+B=aij+bij

例11-11設(shè)矩陣

那么

矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B、C是同型矩陣)：

(1)交換律A+B=B+A.

(2)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C).

2.矩陣的數(shù)乘

定義11-7設(shè)k為任意數(shù)，以數(shù)k乘矩陣A中的每一個(gè)元素所得到的矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記為kA(或Ak)，即當(dāng)l=－1時(shí)，可得到A的負(fù)矩陣，(－1)A=－A.

數(shù)與矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A，B是同型矩陣,l，m都是數(shù))：

(1)l(A+B)=lA+lB.

(2)(l+m)A=lA+mA.

(3)(lm)A=l(mA).

例11-12已知

求

解

3.矩陣的乘法

定義11-8設(shè)矩陣A=(aij)m×s，矩陣B=(bij)s×n，那么矩陣C=(cij)m×n稱為矩陣A與矩陣B的乘積，其中

記為C=AB.

(2)乘積矩陣AB的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，AB的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù).

例11-13設(shè)矩陣求乘積矩陣AB和BA.

解

例11-14設(shè)

求AC和BC.

解由例11-13可以看出，矩陣的乘法不滿足交換律.同樣由例11-14也可以看出，矩陣的乘積也不滿足消去律.

矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的)：

(1)(AB)C=A(BC).

(2)A(B+C)=AB+AC;

(B+C)A=BA+CA.

(3)l(AB)=(lA)B=A(lB)

(其中，l為數(shù)).

上面的運(yùn)算規(guī)律我們不給出證明，我們通過下面的示例予以說明.

例11-15設(shè)

求AB、BC、(AB)C、A(BC).

解

4.矩陣的相等與轉(zhuǎn)置

定義11-9如果兩個(gè)矩陣A=(aij)與B=(bij)的行數(shù)和列數(shù)分別相等，而且各對(duì)應(yīng)元素相等，則稱矩陣A與矩陣B相等,記為A=B.

定義11-10把矩陣A的行換成相應(yīng)的列所得到的矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT，即若則

轉(zhuǎn)置矩陣具有下列性質(zhì)：

(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；

(3)(kA)T=kAT；(4)(AB)T=BTAT.

例11-16設(shè)求(AB)T、BTAT.

解由矩陣乘積和矩陣轉(zhuǎn)置的定義，有所以

11.4逆矩陣

11.4.1逆矩陣的定義

定義11-11設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B，使得 AB=BA=E

成立，那么就稱A是可逆矩陣，并稱B為A的逆矩陣，記為A－1，即B=A－1.

該定義中，方陣A和B的地位是相同的，因而如果可A逆,且B是A的逆矩陣，則B也可逆，且A也是B的逆矩陣.

例11-17

因?yàn)?/p>

所以，B是A的逆矩陣，同樣也A是的B逆矩陣.

11.4.2逆矩陣的性質(zhì)

由逆矩陣的定義可以證明可逆矩陣具有以下性質(zhì)；

性質(zhì)11-6如果是A可逆矩陣，那么它的逆矩陣是唯一的.證明假設(shè)B，C都是的A逆矩陣，則有

AB=BA=E，AC=CA=E

于是

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

性質(zhì)11-7如果A可逆，則A－1也可逆，且(A－1)－1=A.

性質(zhì)11-8如果A可逆，數(shù)k≠0，則kA也可逆，且

性質(zhì)11-9如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)－1=B－1A－1.

性質(zhì)11-10如果矩陣A可逆，則AT也可逆，且(AT)－1=(A－1)T.

這幾條性質(zhì)的證明略.11.4.3可逆矩陣的判別

定義11-12設(shè)Aij是矩陣

所對(duì)應(yīng)的行列式｜A｜中元素aij的代數(shù)余子式，矩陣稱為矩陣的A伴隨矩陣.

顯然

仍是一個(gè)n階方陣，其中，第i行第j列的元素為

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn

由行列式知識(shí)可知所以

同理A*A=｜A｜E=AA*.

于是我們有下面的定理

定理11-2方陣A可逆的充分必要條件是｜A｜≠0，且當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，A稱為非奇異矩陣；當(dāng)｜A｜=0時(shí)，A稱為奇異矩陣.

例11-18設(shè)

判斷方陣A是否可逆？若可逆，求出A－1.

解因?yàn)樗訟是可逆的.

又于是有從而得11.4.4用初等行變換求逆矩陣

矩陣的行初等變換在求逆矩陣及解線性方程組等問題中有著重要的作用.我們知道，在利用消元法解線性方程組時(shí)經(jīng)常反復(fù)使用這樣的三種運(yùn)算：

(1)互換兩個(gè)方程的位置.

(2)以不等于零的數(shù)乘某個(gè)方程.

(3)用一個(gè)非零數(shù)乘以某一個(gè)方程，加到另一個(gè)方程上去.

這三種運(yùn)算叫做方程組的初等變換，容易驗(yàn)證，線性方程組經(jīng)過初等變換后其解不變.類比可以得到矩陣的初等變換.

定義11-13下面的三種初等變換稱為矩陣的初等行變換：

(1)對(duì)換矩陣中的某兩行(對(duì)換i、j兩行，記為ri

rj).

(2)用不為零的數(shù)k乘矩陣的某一行的所有元素(用數(shù)k≠0乘第i行，記為kri).

(3)把矩陣中某一行所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去(第j行的k倍加到第i行上，記為krj+ri).

定理11-3任何非奇異矩陣(對(duì)應(yīng)的行列式的值不為零)都可以用行初等變換化為單位矩陣.由上面的定理，可以用一系列行初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣，那么用同樣的初等行變換作用于單位矩陣E上，就可得到A的逆矩陣A－1，從而得到一個(gè)用初等行變換求逆矩陣的方法.

生成矩陣(A|E)，對(duì)這個(gè)矩陣施以初等行變換，將它左半部的矩陣A化為單位矩陣E，那么右半部的矩陣E就同時(shí)化成了A－1，即

例11-19求矩陣的逆矩陣.

解所以

11.5矩陣的秩

11.5.1矩陣秩的概念

定義11-14在m×n矩陣A中，任選k行k列，將位于這些行和列交點(diǎn)處的k2個(gè)元素，按原來(lái)的次序形成一個(gè)k階行列式，此行列式稱為矩陣A的一個(gè)k階子式，其中，k≤min(m，n).

例如，矩陣選取第一、三、四行和一、二、三列的元素構(gòu)成的三階行列式為

此式稱為A的一個(gè)三階子式.

定義11-15若一個(gè)m×n矩陣A至少有一個(gè)不為零的r階子式，而所有高于r階的子式都為零，則稱矩陣A的秩為r，記為r(A)=r.

例11-20求矩陣

的秩.

解計(jì)算它的二階子式，容易算出而矩陣A的所有三階子式均為零，即

所以這個(gè)矩陣的秩r(A)=2.11.5.2矩陣秩的計(jì)算

定理11-4矩陣經(jīng)過初等行變換后，其秩不變.

此定理讀者可利用行列式的性質(zhì)來(lái)證明.

例11-21求矩陣

的秩.

解由最后矩陣可得，矩陣的最高階子式即三階子式為

所以r(A)=3.

上例中變換后的矩陣是一個(gè)特殊形式矩陣，我們給出定義

定義11-16滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：

(1)若矩陣有零行(元素全部為零的行)，且零行全部在下方.

(2)各非零行的第一個(gè)不為零的元素(稱為首非零元素)的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大.由階梯形矩陣的定義及上例可知，求矩陣A的秩就是：通過初等行變換，將矩陣A化為行階梯形矩陣后，非零行的行數(shù).

例11-22設(shè)矩陣求r(A)、r(B)、r(AB).

解因?yàn)?/p>

所以R(A)=2.

因?yàn)樗詒(B)=3.

因?yàn)?/p>

其中，二階子式為

所以r(AB)=2.由例11-22可知，乘積矩陣AB的秩不大于兩個(gè)相乘的矩陣A，B的秩，即r(AB)≤min｛r(A)，r(B)｝.

例11-23設(shè)矩陣

求R(A)和R(AT).

解因?yàn)樗訰(A)=3.又因?yàn)?/p>

所以R(AT)=3.

由例11-23可知，矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的秩相等.

11.6線性方程組

11.6.1線性方程組的消元法

對(duì)于n元線性方程組(11-8)其中，系數(shù)aij、常數(shù)項(xiàng)bi都是已知數(shù)；xi是未知量，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)b1、b2、…、bm不全為零時(shí)，稱式(11-8)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1、b2、…、bm全為零時(shí)，即

稱式(11-9)為齊次線性方程組.

若記(11-9)則方程組(11-8)可表示為AX=B.稱A為方程組(11-8)的系數(shù)矩陣，X為未知數(shù)矩陣，B為常數(shù)矩陣，將系數(shù)矩陣A和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣

稱為方程組(11-8)的增廣矩陣.顯然方程組(11-8)與它的增廣矩陣A是一一對(duì)應(yīng)的.~如果存在一組常數(shù)c1、c2、…、cn，當(dāng)把x1=c1、x2=c2、

…、xn=cn代入方程組(11-8)后，使得每個(gè)方程都成為恒等式，則稱x1=c1、x2=c2、…、xn=cn為方程組(11-8)的一組解.如果兩個(gè)線性方程組有完全相同的解，則稱它們是同解方程組.

例11-24解方程組其中

解給第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，給第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，這樣后兩個(gè)方程中的x1都被消去，于是方程組就化為(11-10)其中

將第二個(gè)方程與第三個(gè)方程的位置對(duì)換，于是方程組就化為(11-11)其中

給第三個(gè)方程加上第二個(gè)方程的5倍，于是方程組就化為(11-12)其中

給第三個(gè)方程乘以－ ，于是方程組就化為(11-13)其中

容易驗(yàn)證，方程組(11-10)～方程組(11-14)都是同解方程組，方程組(11-10)的解可用代入消元法求出來(lái)，它的解為(11-14)由例11-24我們得到了求解方程組(11-8)的一般方法：

用初等行變換將方程組(11-8)的增廣矩陣化成階梯形矩陣，再寫出該階梯矩陣所代表的方程組，逐步回代，求出方程組的解，這種求解方法稱為高斯消元法.

11.6.2線性方程組解的判定

定理11-5線性方程組(11-8)有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣有相同的秩，即

推論11-7線性方程組(11-8)有唯一解的充分必要條件是

推論11-8線性方程組(11-8)有無(wú)窮多解的充分必要條件是

推論11-9齊次線性方程組(11-9)只有零解的充分必要條件是r(A)=n.

推論11-10齊次線性方程組(11-9)有非零解的充分必要條件是r(A)<n.

特別地，當(dāng)齊次線性方程組(11-9)中，方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)(即m<n)時(shí)，方程組一定有非零解.

例11-25判斷下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無(wú)窮多解？

(1)

(2)

解

(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即由此可以看出r(A)=2， ，即 ，所以方程組無(wú)解.

(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

由此可以看出， ，所以方程組有無(wú)窮多解.11.6.3

n維向量及其線性相關(guān)性

1.n維向量

定義11-17由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組a=(a1，a2，…，an)稱為n維向量.其中，a1、a2、…、an稱為向量a的分量(或坐標(biāo)).

根據(jù)討論問題的需要，向量a也可以豎起來(lái)寫成

為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量.事實(shí)上，行向量就是一行n列矩陣，列向量就是n行一列矩陣.顯然，行向量的轉(zhuǎn)置為列向量，列向量的轉(zhuǎn)置為行向量.

由向量的定義可知，n維向量是解析幾何中向量的推廣，所以，n維向量與二、三維向量有類似的線性運(yùn)算規(guī)則.

例11-26設(shè)a=(1，3，－2，2)，b=(5，1，－2，0)，且a+2g=3b，求向量g.

解由a+2g=3b得

2.n維向量的線性相關(guān)性

對(duì)于線性方程組(11-8)，若令

我們用向量的概念及相關(guān)運(yùn)算關(guān)系，可以把線性方程組寫成形式為(11-15)即

ax1+a2x2+…+anxn=b

于是線性方程組的求解問題就可以看成是求一組數(shù)x1、x2、…、xn，使等號(hào)右端的常數(shù)向量與等號(hào)左端的系數(shù)矩陣的列向量之間的一種特殊關(guān)系.

由此可知，研究一個(gè)向量與另外一些向量之間是否存在式(11-5)的那種關(guān)系是非常重要的.

定義11-18對(duì)于向量a、a1、a2、…、am，如果存在一組數(shù)k1、k2、…、km，使

a=k1a1+k2a2+…+kmam則稱向量a是向量a1、a2、…、am的線性組合，或稱a可由a1、a2、…、am線性表示.

顯然，零向量是任何一組向量a1、a2、…、am的線性組合.

例11-27設(shè)n維向量

a=(a1，a2，…，an)是任意一個(gè)n維向量，由于

a=a1e1+a2e2+…+anan所以，a是e1、e2、…、en的線性組合.

同維列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組.通常稱e1、e2、…、en為n維單位向量組.例11-27表明，任何一個(gè)n維向量必可由n維單位向量組線性表示.

例11-28設(shè)有向量b=(0，4，2)，a1=(1，2，3)，a2=(2，3，1)，a3=(3，1，2)，判斷b能否用a1、a2、a3線性表示？若能，寫出具體表達(dá)式.

解令根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量相等的定義，有

因?yàn)橛煽巳R姆法則，可求出

k1=1，k2=1，k3=－1

所以，a能用a1、a2、a3線性表示，且有

b=a1+a2－a3

定義11-19設(shè)a1、a2、…、am是一個(gè)n維向量組，如果存在不全為零的m個(gè)常數(shù)k1、k2、…、km，使得

k1a1+k2a2+…+kmam=0

成立，則稱向量組a1、a2、…、am線性相關(guān)；否則，稱向量組a1、a2、…、am線性無(wú)關(guān).

由此定義可以推出：

(1)含有零向量的向量組線性相關(guān).

(2)任何一個(gè)單位向量組線性無(wú)關(guān).

一般地，判斷一個(gè)向量組a1、a2、…、am的線性相關(guān)性的基本方法和步驟是：

(1)假定存在一組數(shù)k1、k2、…、km.

(2)k1a1+k2a2+…+kmam=0.

(3)應(yīng)用向量的線性運(yùn)算和向量相等的定義，找出未知數(shù)k1、k2、…、km的齊次線性方程組.

(4)判斷方程組有無(wú)非零解.

(5)如有非零解，則a1、a2、…、am線性相關(guān)；如僅有零解，則a1、a2、…、am

線性無(wú)關(guān).

例11-29討論下列向量組的線性相關(guān)性.

(1)a1=(1，1，1)，a2=(1，2，3)，a3=(1，3，6).

(2)a1=(1，1，1)，a2=(0，2，5)，a3=(1，3，6).

解

(1)設(shè)有k1、k2、k3，使

k1a1+k2a2+k3a3=0

即

(k1+k2+k3，k1+2k2+3k3，k1+3k2+6k3)=0

根據(jù)兩向量相等，有

因?yàn)榉匠淌浇M的系數(shù)行列式

所以方程組只有零解，即k1=k2=k3=0.

故a1、a2、a3線性無(wú)關(guān).

問題(2)和(1)一樣，問題歸結(jié)為求解齊次線性方程組因?yàn)樗南禂?shù)行列式

所以方程組有非零解.

任選兩個(gè)方程可解得：k1=k2=－k3=c.

若取c=1，則k1=1，k2=1，k3=－1，于是

a1+a2－a3=0

故a1、a2、a3線性相關(guān).11.6.4向量組的秩

對(duì)于一個(gè)給定的向量組，在討論其線性關(guān)系問題時(shí)，如何找出用向量組中盡可能少的向量去表示全體向量組呢？這就是我們下面要討論的問題.

定義11-20若向量組a1、a2、…、am中的部分向量組a1、a2、…、ar(r≤m)滿足：

(1)a1、a2、…、ar線性無(wú)關(guān).

(2)向量組a1、a2、…、am中的任意一個(gè)向量都可以a1、a2、…、ar由線性表示.則稱部分向量組a1、a2、…、ar為向量組a1、a2、…、am的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

定義11-21設(shè)向量組(Ⅰ)a1、a2、…、am；(Ⅱ)b1、b2、…、bs.如果向量組(Ⅰ)中的每一個(gè)ai(i=1，2，…，m)都可由向量組(Ⅱ)線性表示，則稱向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表示.如果向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)可以互相線性表示，則稱向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價(jià).

由極大無(wú)關(guān)組和向量等價(jià)的定義，可以得到以下結(jié)論：

(1)向量組與其任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).

(2)同一向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相同.

(3)等價(jià)向量組的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且它們的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同.

定義11-22向量組a1、a2、…、am的極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記為

r(a1，a2，…，am)

定理11-6

m×n矩陣A的秩為r的充要條件是A的行向量(或列向量)組的秩為r.

根據(jù)這個(gè)定理，對(duì)n維列向量組a1、a2、…、am的討論轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究，即把向量組a1、a2、…、am寫成一個(gè)m行n列的矩陣A，對(duì)矩陣A施行初等行變換，將A化成階梯形矩陣B，如果矩陣B的非零行的首非零元所在的列序號(hào)是j1、j2、…jr，則A的第j1、j2、…、jr列是A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，從而也是向量組a1、a2、…、am的極大線性無(wú)關(guān)組，向量組a1、a2、…、am的秩也就知道了.

例11-30求向量組a1=(1，－1，3，－1，1)、a2=(2，－1，－1，4，2)、a3=(3，－2，2，3，3)、a4=(1，0，－4，5，－1)一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組和秩.

解法1把向量a1、a2、a3、a4作為一個(gè)矩陣A的列向量組，再用初等行變換把A化為階梯形矩陣，即

由上面最后一個(gè)行階梯形矩陣可知，向量組a1、a2、a4是原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的秩為3.

解法2

所以，a1、a2、a4是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的秩為3.11.6.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1.齊次線性方程組解向量的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

設(shè)齊次線性方程組(11-9)的任一組解

x1=k1、x2=k2、…、xn=kn

可以看成一個(gè)n維向量(k1，k2，…，kn)T，我們稱這個(gè)向量為方程組(11-9)的一個(gè)解向量.

顯然，n維零向量0=(0，0，…，0)T是(11-9)的一個(gè)解向量.

齊次線性方程組(11-9)的解向量具有以下兩條基本性質(zhì)：

性質(zhì)11-11如果h1、h2是方程組(11-9)的兩個(gè)解向量，則h1+h2也是方程組(11-9)的解向量.

性質(zhì)11-12如果h是方程組(11-9)的解向量，c為任意實(shí)數(shù)，則ch也是方程組(11-9)的解向量.

由上述兩條性質(zhì)還可推出：如果h1、h2、…、hs是齊次線性方程組(11-9)的解向量，則它們的任一線性組合c1h1+c2h2+…+cshs也是方程組(11-9)的解向量.

由此可知，若齊次線性方程組(11-9)有非零解，則它就有無(wú)窮多個(gè)解，并且當(dāng)我們能找出線性方程組(11-9)的有限個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量h1、h2、…、hs，使得方程組(11-9)的每一個(gè)解都能由h1、h2、…、hs線性表示，那么齊次線性方程組(11-9)的全部解就是

c1h1+c2h2+…+cshs其中，c1、c2、…、cs是任意常數(shù).

定義11-23若齊次線性方程組(11-9)的一組解向量h1、h2、…、hs滿足：

(1)h1、h2、…、hs線性無(wú)關(guān).

(2)方程組(11-9)的任一解向量都可以由h1、h2、…、hs線性表示.

我們就稱h1、h2、…、hs是方程組(11-9)的基礎(chǔ)解系.

根據(jù)定義，如果方程組(11-9)只有零解向量，那么它就不存在基礎(chǔ)解系.如果(11-9)有非零解向量，那么(11-9)就有無(wú)窮多個(gè)解向量.由上面的定義，只要找出(11-9)的基礎(chǔ)解系，那么，方程組(11-9)的全部解向量就能由基礎(chǔ)解系的向量