（官方發(fā)布）2014年高考數(shù)學真題（理）（廣東）（解析卷）

第頁|共頁2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則A. B. C. D.2．已知復數(shù)Z滿足，則Z=A. B. C. D.3．若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為和，則A.8 B.7 C.6 D.54．若實數(shù)k滿足，則曲線與曲線的A.離心率相等 B.虛半軸長相等 C.實半軸長相等 D.焦距相等5．已知向量，則下列向量中與成夾角的是A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6．已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2％的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別是小學小學初中30高中10年級50O近視率/%小學生小學生3500名初中生4500名高中生2000名A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，107．若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結論一定正確的是A.B.C.既不垂直也不平行 D.的位置關系不確定8．設集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為A.60 B.90 C.120 D.130二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．不等式的解集為。10．曲線在點處的切線方程為。11．從0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為。12．在中，角所對應的邊分別為，已知，則。13．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則。（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，曲線和的方程分別為和，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線和交點的直角坐標為_________.CEABCEABFD點在上且，與交于點，則三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且，（1）求的值；（2）若，，求。17．（本小題滿分13分）隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2（1）確定樣本頻率分布表中和的值；（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率。ABCDEFP18．（本小題滿分13分）如圖4，四邊形為正方形，平面，，于點，，交于點.ABCDEFP（1）證明：（2）求二面角的余弦值。19．（本小題滿分14分）設數(shù)列的前和為,滿足，且，(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項公式。20．（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為，（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。21．（本小題滿分14分）設函數(shù)，其中，（1）求函數(shù)的定義域D（用區(qū)間表示）；（2）討論函數(shù)在D上的單調性；（3）若，求D上滿足條件的的集合（用區(qū)間表示）。2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（理科）答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．已知集合則（B）A．B.C.D.2.已知復數(shù)Z滿足則Z=（A）A．B.C.D.3.若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為m和n，則（C）A．8B.7C.6D.54.若實數(shù)k滿足則曲線與曲線的（D）A．離心率相等B.虛半軸長相等C.實半軸長相等D.焦距相等5.已知向量則下列向量中與成夾角的是（B）A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6、已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（A）A、200,20B、100,20C、200,10D、100,107、若空間中四條兩兩不同的直線滿足，則下列結論一定正確的是（D）A．B．C．既不垂直也不平行D．的位置關系不確定8.設集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為（D）A．60B90C.120D.130８.解：A中元素為有序數(shù)組，題中要求有序數(shù)組的5個數(shù)中僅1個數(shù)為、僅2個數(shù)為或僅3個數(shù)為，所以共有個不同數(shù)組；二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．不等式的解集為。10．曲線在點處的切線方程為。11．從0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為。11.解：6之前6個數(shù)中取3個，6之后3個數(shù)中取3個，12．在中，角所對應的邊分別為，已知，則2。13．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則50。（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）14、（坐標與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為和＝1，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1和C2的交點的直角坐標為(1,1).15、（幾何證明選講選做題）如圖3，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則＝9.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16、（12分）已知函數(shù)，且，（1）求的值；（2）若，，求。16.解：（1），，；（2），，，，又，，．17、（13分）隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：（1）確定樣本頻率分布表中和的值；（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,50］的概率。17.解：（1），；（2）樣本頻率分布直方圖為日加工零件數(shù)頻率日加工零件數(shù)頻率組距0.0160.0240.040.0560.0642530354045500（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率0.2，設所取的4人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的人數(shù)為，則，，所以4人中，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,50］的概率約為0.5904．18、（13分）如圖4，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于點F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點E。（1）證明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值。18.（１）平面，，又，，平面，，又，平面，即；（２）設，則中，，又，ABCDEFABCDEFPxyz，，，又，，，同理，如圖所示，以D為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，設是平面的法向量，則，又，所以，令，得，，由（１）知平面的一個法向量，設二面角的平面角為，可知為銳角，，即所求．19.（14分）設數(shù)列的前和為,滿足，且。(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項公式;19.解：，，又，，，又，，，綜上知，，；（２）由（１）猜想，下面用數(shù)學歸納法證明．①當時，結論顯然成立；②假設當（）時，，則，又，，解得，，即當時，結論成立；由①②知，．20.（14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為，（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。20.解：（１）可知，又，，，橢圓C的標準方程為；（２）設兩切線為，①當軸或軸時，對應軸或軸，可知；②當與軸不垂直且不平行時，，設的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，因為直線與橢圓相切，所以，得，，所以是方程的一個根，同