對頂角、余角和補(bǔ)角 教案 2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊

分課時教學(xué)設(shè)計(jì)《2.1.1對頂角、余角和補(bǔ)角》教學(xué)設(shè)計(jì)課型新授課√復(fù)習(xí)課口試卷講評課口其他課口教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“豐富的圖形世界”“基本平面圖形”兩章內(nèi)容的基礎(chǔ)上，研究同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，角與角之間的數(shù)量關(guān)系.理解補(bǔ)角、余角、對頂角的概念及其性質(zhì)并能夠進(jìn)行簡單的應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)平行、直角三角形等知識奠定基礎(chǔ)。同時，本節(jié)課通過大量的情景引入，激發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識現(xiàn)實(shí)，從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。再通過讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、交流、推理等探索過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念及推理能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)“空間與圖形”的其他知識做好鋪墊。學(xué)習(xí)者分析學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)認(rèn)識了平行線、相交線、角;在七年級上冊中，已經(jīng)對角及其分類有了一定的認(rèn)識。這些知識儲備為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，使學(xué)生具備了掌握本節(jié)知識的基本技能;在前面知識的學(xué)習(xí)過程中，教師為學(xué)生提供了廣闊的可供探討和交流的空間，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些動手操作，探索發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動，積累了初步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的圖形認(rèn)識能力和借助圖形分析問題解決問題的能力;能夠?qū)⒅庇^與簡單推理相結(jié)合;在合作探究的過程中，學(xué)生在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了小組合作的學(xué)習(xí)過程，積累了大量的方法和經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流能力。教學(xué)目標(biāo)1.理解對頂角、補(bǔ)角與余角的概念；2.掌握對頂角、補(bǔ)角、余角的性質(zhì)，并能運(yùn)用它們的性質(zhì)進(jìn)行角的運(yùn)算及解決一些實(shí)際問題；3.經(jīng)歷操作、觀察、猜想、交流、推理等獲取信息的過程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、推理能力和初步的幾何語言表達(dá)的能力；4.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)量和圖形的有關(guān)問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法予以解決。教學(xué)重點(diǎn)從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解對頂角、余角、補(bǔ)角的概念及其性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)對頂角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的補(bǔ)角相等的理由的探究過程;同角(等角)的余角相等性質(zhì)的應(yīng)用。學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)教師活動學(xué)生活動環(huán)節(jié)一：新知導(dǎo)入教師活動1：觀察圖中的圖片，你認(rèn)為兩條直線有哪些位置關(guān)系?在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。學(xué)生活動1：學(xué)生觀察圖片，積極舉手回答.活動意圖說明：通過觀察圖片，讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，能由實(shí)物的形狀想象出相交線、平行線的幾何圖形，使新知識的產(chǎn)生建立在對周圍環(huán)境的直接感知的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生增強(qiáng)對生活中的相交線、平行線的認(rèn)識，建立直觀的、形象化的數(shù)學(xué)模型.環(huán)節(jié)二：相交線與平行線教師活動2：相交線與平行線：若兩條直線只有一個公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線。在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。平行線體現(xiàn)三點(diǎn)：在同一平面內(nèi)、不相交、兩條直線.學(xué)生活動2：學(xué)生通過觀察圖片，總結(jié)相交線與平行線的定義?；顒右鈭D說明：讓學(xué)生理解相交線與平行線的定義，為下面對頂角、補(bǔ)角、余角做鋪墊。環(huán)節(jié)三：對頂角、補(bǔ)角、余角教師活動3：觀察·交流：如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O。(1)∠1與∠2的位置有什么關(guān)系?它們的大小有什么關(guān)系?(2)你能說明理由嗎?與同伴進(jìn)行交流。（1）∠1和∠2有公共頂點(diǎn)O；兩邊互為反向延長線.∠1=∠2.（2）證明：∵∠AOB和∠COD都是平角，∴∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3，∴∠1=∠2.對頂角：在圖中，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠1與∠2有公共頂點(diǎn)O，它們的兩邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫作對頂角。圖中，還有其他的角也構(gòu)成對頂角嗎？∠3與∠4特點(diǎn)：1.有公共頂點(diǎn)；2.兩邊互為反向延長線；3.對頂角是成對出現(xiàn)的。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。符號語言：∵∠1與∠2是對頂角，∴∠1=∠2.判斷兩個角是否互為對頂角的方法：一看它們有沒有公共頂點(diǎn)；二看這兩個角的兩邊是否互為反向延長線，實(shí)質(zhì)就是看這兩個角是否是兩條直線相交所成的沒有公共邊的兩個角．觀察·思考：在圖中,∠1與∠3有什么數(shù)量關(guān)系?∠1+∠3=180°互為補(bǔ)角：一般地，如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角。圖中，還有其他的角也構(gòu)成互為補(bǔ)角的關(guān)系嗎？∠2與∠3、∠2與∠4、∠1與∠4【思考】如果兩個角的和是90°，那么這兩個角有什么關(guān)系？互為余角：一般地，如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角。符號語言：如圖，∠1+∠2=90°，∴∠1與∠2互余.思考·交流：如圖，打臺球時，選擇適當(dāng)?shù)姆较蛴冒浊驌舸蚣t球，反彈后的紅球會直接入袋，此時∠1=∠2。將上圖簡化為下圖，ON與DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。(1)請?jiān)趫D中找出互為補(bǔ)角和互為余角的角，并說說你的理由。(2)∠3與∠4的大小有什么關(guān)系?∠AOC與∠BOD呢?你能說明理由嗎?與同伴進(jìn)行交流。（1）互為補(bǔ)角的角：∠NOD與∠NOC，∠1與∠AOC，∠2與∠BOD，∠2與∠AOC。∵∠NOD+∠NOC=180°,∴∠NOD與∠NOC互為補(bǔ)角,同理：∠1與∠AOC互為補(bǔ)角，∠2與∠BOD互為補(bǔ)角，∠2與∠AOC互為補(bǔ)角，互為余角的角：∠1與∠3，∠2與∠4，∠2與∠3，∠1與∠4?！摺?+∠3=90°,∴∠1與∠3互為余角，同理∠2與∠4互為余角，∵∠1=∠2，∴∠2+∠3=90°，∴∠2與∠3互為余角；同理∠1與∠4互為余角.（2）∠3=∠4，證明：∵∠1=∠2，∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4.∠AOC=∠BOD，證明：∵∠1=∠2，∠1+∠AOC=180°,∠2+∠BOD=180°，∴∠AOC=∠BOD.余角、補(bǔ)角的性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等，同角(或等角)的余角相等。學(xué)生活動3：學(xué)生小組合作，交流，回答問題.學(xué)生與教師一起總結(jié)對頂角的定義。學(xué)生理解對頂角的性質(zhì)，并與教師一起總結(jié)判定兩個角是否互為對頂角的方法。學(xué)生觀察圖，嘗試回答。學(xué)生理解互為補(bǔ)角的含義，能進(jìn)行判斷。學(xué)生類比互為補(bǔ)角的概念，總結(jié)互為余角的概念。學(xué)生通過上面的學(xué)習(xí)完成實(shí)際問題。通過實(shí)際問題，總結(jié)出余角、補(bǔ)角的性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等，同角(或等角)的余角相等?；顒右鈭D說明：通過觀察圖象，讓學(xué)生認(rèn)識對頂角，引出對頂角、互為補(bǔ)角、互為余角的概念和“對頂角相等”的結(jié)論；之后設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等”的結(jié)論.在經(jīng)歷觀察、推理、交流等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、推理能力和初步的有條理表達(dá)的能力.板書設(shè)計(jì)課題：2.1.1對頂角、余角和補(bǔ)角1.相交線與平行線：2.對頂角：3.補(bǔ)角、余角課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】必做題：1.在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是（C）A.相交B.平行C.平行或相交D.平行且相交2.如圖,直線AB與CD相交于點(diǎn)O,則∠BOD的度數(shù)為(B)A.40°B.50°C.55°D.60°3.如果一個角的補(bǔ)角是140°,那么這個角的余角是(B)A.60°B.50°C.40°D.30°4.直線AB,CD相交于點(diǎn)0,∠1=30°,∠2=70°,求∠EOB的度數(shù).解：因?yàn)椤?與∠DOB是對頂角，所以∠DOB=∠1=30°.因?yàn)椤?=70°，所以∠EOB=∠2+∠DOB=70°+30°=100°.選做題：5.如圖,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,則∠BOC的大小為(C)A.36°B.44°C.54°D.63°6.如圖，要測量兩堵圍墻所形成的∠AOB的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻內(nèi)，如何測量？解：延長AO到點(diǎn)D，延長BO到點(diǎn)C，測量∠COD的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等，可得∠AOB＝∠COD，則∠AOB的度數(shù)可測得.【綜合拓展類作業(yè)】7.觀察如圖所示的各角,尋找對頂角(不含平角).(1)圖①中有2對對頂角,圖②中有6對對頂角,圖③中有12對對頂角;(2)若有n條直線相交于一點(diǎn)，共有n(n-1)對對頂角;(用含n的代數(shù)式表示)(3)若有2022條直線相交于一點(diǎn),共有4086462對對頂角.課堂總結(jié)1.相交線與平行線：若兩條直線只有一個公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線。在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。2.對頂角：有公共頂點(diǎn)，它們的兩邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫作對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。3.互為補(bǔ)角：一般地，如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角?；橛嘟牵阂话愕?，如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角。余角、補(bǔ)角的性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等，同角(或等角)的余角相等。作業(yè)設(shè)計(jì)【知識技能類作業(yè)】必做題：1.下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（C）2.若∠A=23°,則∠A余角的大小是(B)A.57°B.67°C.77°D.157°3.已知點(diǎn)P在直線a上，也在直線b上，但不在直線c上，且直線a，b，c兩兩相交，那么符合以上條件的圖形是（D）選做題：4.如圖，直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)是180°.5．如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,若∠BOD=40°,OA平分∠COE,則∠AOE的度數(shù)為40°.【綜合拓展類作業(yè)】6.如圖所示，l1，l2，l3相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度數(shù).解：設(shè)∠1＝∠2＝x，則∠3＝