2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題（解析版）

第1頁(yè)/共24頁(yè)2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷）理科數(shù)學(xué)【答案】B【解析】【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.故選：B.(MUN)B.NUeUM(M∩N)D.MeUN【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|x≥2}即可.【詳解】由題意可得MUN={x|x<2}，則eU(MUN)={x|x≥2}，選項(xiàng)A正確；}，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；eUN故選：A.3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該零件的表面積第2頁(yè)/共24頁(yè)A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.點(diǎn)H,I,J,K為所在棱上靠近點(diǎn)B1,C1,D1,A1的三等分點(diǎn)，O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn)，則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1去掉長(zhǎng)方體ONIC1-LMHB1之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，故選：D.4.已知f是偶函數(shù)，則a=()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.第3頁(yè)/共24頁(yè)又因?yàn)閤不恒為0，可得ex-e(a-1)x=0，即ex=e(a-1)x，(a-1)x，即1=a-1，解得a=2.故選：D.5.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域{(x,y)1≤x2+y2≤4}內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為πA，則直線OA的傾斜角不大于的概率為()4A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閰^(qū)域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}表示以O(shè)(0,0)圓心，外圓半徑R=2，內(nèi)圓半則直線OA的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率.故選：C.第4頁(yè)/共24頁(yè)6.已知函數(shù)f(x)=sin(①x+φ)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x=和為函數(shù)y=f(x)的圖像的兩條對(duì)稱軸）A.-B.-C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x=-即可得到答案.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin(①x+φ)在區(qū)間單調(diào)遞增，故選：D.7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相A.30種B.60種C.120種D.240種【答案】C【解析】【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有C種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A種，根據(jù)分步乘法公式則共有C.A=120種，故選：C.8.已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，LAOB=120O，第5頁(yè)/共24頁(yè)若△PAB的面積等于則該圓錐的體積為()【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.-OC2所以圓錐的體積π×OA2×PO=故選：B9.已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C-AB-D為150O，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接CE,DE，因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，又△ABD是等邊三角形，則DE丄AB，從而LCED為二面角C-AB-D的平面角，即第6頁(yè)/共24頁(yè)。，顯然CE∩DE=E,CE,DE平面CDE，于是AB丄平面CDE，又AB平面ABC，因此平面CDE丄平面ABC，顯然平面CDE∩平面ABC=CE，直線CD平面CDE，則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE，從而上DCE為直線CD與平面ABC所成的角，令A(yù)B=2，則CE=1,DE=在△CDE中，由余弦定理得：所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為.故選：CA.－1B.-C.0D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.第7頁(yè)/共24頁(yè)顯然函數(shù)y=cos的周期為3，而n∈N*，即cosan最多3個(gè)不同取值，于是有cosθ=cos，即有θ+k∈Z，解得θ=kπ-,k∈Z，ab=cos(kπ-)cos[(kπ-)+]=-cos(kπ-)coskπ=-cos2kπcos=-.故選：B11.設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是()B.(-1,-4)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得kAB.k=9，對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB的中點(diǎn)因?yàn)锳,B在雙曲線上，則兩式相減得所以kAB.k=第8頁(yè)/共24頁(yè)所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得k=-2,kAB=-，則AB:y=-，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得k=3,kAB=3，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；故選：D.12.已知ΘO的半徑為1，直線PA與ΘO相切于點(diǎn)A，直線PB與ΘO交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若的最大值為()A.B.【答案】A【解析】第9頁(yè)/共24頁(yè)【詳解】如圖所示則由題意可知:上APO=45o，-OA2 4當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO異側(cè)時(shí)，設(shè)上OPC=α,0≤α 42α-sinαcosα:當(dāng)2α-時(shí)，有最大值1.第10頁(yè)/共24頁(yè)當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)上OPC=+sinαcosα:當(dāng)2α+時(shí)，有最大值.故選：A.【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.)在拋物線C：y2=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得2=2p×1，則2p=5，拋物線的方程為y2=5x，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為.第11頁(yè)/共24頁(yè)故答案為：.y的最大值為_(kāi)_____.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：z=2xy，移項(xiàng)得y=2xz，聯(lián)立有解得，設(shè)A(5,2)，顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，此時(shí)截距一z最小，則z最大，故答案為：8.n【答案】2【解析】則q15q53故答案為：2.第12頁(yè)/共24頁(yè).______【解析】【分析】原問(wèn)題等價(jià)于f,(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.立，故0結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為.17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為)．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i123456789伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536第13頁(yè)/共24頁(yè),z2,...,z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.（1）求z，s2；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出x,y，再得到所有的zi值，最后計(jì)算出方差即（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，和z比較大小即可.【小問(wèn)1詳解】zi故【小問(wèn)2詳解】所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.（1）求sin上ABC；第14頁(yè)/共24頁(yè)【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)BC的值為然后由余弦定理可得cosB=最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=；(2)由題意可得則S△ACD=S△ABC，據(jù)此即可求得△ADC的面積.【小問(wèn)1詳解】22-2bccosA【小問(wèn)2詳解】由三角形面積公式可得第15頁(yè)/共24頁(yè)（1）證明：EF//平面ADO；（2）證明：平面ADO丄平面BEF；（3）求二面角D—AOC的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.【小問(wèn)1詳解】解得，則F為AC的中點(diǎn)，由D,E,O,F分別為PB,PA,BC,AC的中點(diǎn)，于是DE//AB,DE=AB,OF//AB,OF=AB，即DE//OF,DE=OF，則四邊形ODEF為平行四邊形，EF//DO,EF=DO，又EF丈平面ADO,DO平面ADO，所以EF//平面ADO.【小問(wèn)2詳解】第16頁(yè)/共24頁(yè)又AO丄BF,BF∩EF=F，BF,EF平面BEF，則有AO丄平面BEF，又AO平面ADO，所以平面ADO丄平面BEF.【小問(wèn)3詳解】過(guò)點(diǎn)O作OH//BF交AC于點(diǎn)H，設(shè)AD∩BE=G，因?yàn)镈,E分別為PB,PA的中點(diǎn)，因此G為△PAB的重心，即有AD,GE=又即有所以二面角D—AOC的正弦值為.第17頁(yè)/共24頁(yè)（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)(2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解a,b,c，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得解得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2)，k2+3k因?yàn)锳(2,0)，則直線AP:y= 同理可得，第18頁(yè)/共24頁(yè)所以線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.（3）若f(x)在(0,+∞)存在極值，求a的取值范圍.存在a=,b=滿足題意，理由見(jiàn)解析.第19頁(yè)/共24頁(yè)【解析】【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)b的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程可得實(shí)數(shù)a的值，最后檢驗(yàn)所得的a,b是否正確即可；(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=ax2然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a≤0，a≥和0<a<三中情況即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=1時(shí)，f據(jù)此可得f(1)=0,f,(1)=ln2，)【小問(wèn)2詳解】由函數(shù)的解析式可得，xx定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，由對(duì)稱性可知取可得f第20頁(yè)/共24頁(yè)即存在,b=滿足題意.【小問(wèn)3詳解】由函數(shù)的解析式可得由f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點(diǎn)，則f,(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號(hào)零點(diǎn);x+ax2f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號(hào)零點(diǎn)，(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)<g(0)=0，g(x)在區(qū)間(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；據(jù)此可得1-x+lnx<0恒成立，(x)單調(diào)遞增，2-x(取等條件為x=1)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g,(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0.當(dāng)x∈(x0,故當(dāng)時(shí)，lnx-從而有l(wèi)nx<，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)a得取值范圍是.第21頁(yè)/共24頁(yè)第22頁(yè)/共24頁(yè)【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再