高考數學（理）一輪復習答題模板：專題19 高考立體幾何試題中的角度問題

專題十九高考立體幾何試題中的角度問題

---------知識尋源------------

【直線與平面所成的角】

直線與平面所成的角的定義：

①直線和平面所成的角有三種：a.斜線和平面所成的角：一條直線與平面a相交，但不和a垂直，這

條直線叫做平面a的斜線.斜線與a的交點叫做斜足，過斜線上斜足以外的點向平面引垂線，過垂足與

斜足的直線叫做斜線在平面a內的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直

線和這個平面所成的角.b.垂線與平面所成的角：一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角。c.一

條直線和平面平行，或在平面內，則它們所成的角為0°.

②取值范圍：0°wew90°.

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。

最小角定理：斜線和它在平面內的射影所成的角（即線面角），是斜線和這個平面內的所有直線所成角中

最小的角。

[求直線與平面所成的角的方法】

（1）找角：求直線與平面所成角的一般過程：①通過射影轉化法，作出直線與平面所成的角；②在三角形

中求角的大小.

⑵向量法：設PA是平面a的斜線，沒皿二向量n為平面a的法向量，設PA與平面a所成的

角為°,則-n夕=1（,（i>m

【異面直線所成的角】

異面直線所成角的定義：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點0,分別引直線a'〃a,b，〃b,則

把直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。

兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90,],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線

互相垂直。

在異面直線所成角定義中，空間一點。是任取的，而和點0的位置無關。

【求異面直線所成角的步驟】

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位

置上cB、證明作出的角即為所求角；C、利用三角形來求角。

【二面角】

半平面的定義：一條直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.

二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩

個半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線

所成的角叫二面角的平面角。一個平面角的大小可用它的平面的大小來衡量，二面角的平面角是多少度,

就說這個二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是[0,180°]o

直二面角：面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個

平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角。

求二面角的方法：（1）定義法.（2）三垂線法.（3）垂面法.（4）射影法.（5）向量法.

---------示范例題-----------

【2017年高考全國II卷，理19】

如圖，四棱錐尸力靦中，側面目。為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°,￡是陽的中點.

2

（1）證明：直線CE〃平面陰8；

（2）點附在棱PC上,且直線期與底面力四9所成角為45°,求二面角M-48的余弦值.

【解析】（1）取P4的中點尸，連結

因為石是尸。的中點，所以EF”,-lD.EF=-AD.^=ZABC=90。得BCIIAD,

*

又=所以所4友\四邊形BCE產是平行四邊形:CE"BF.

又3戶U平面PAB:CEU平面PAB:故CEII平面PAB.

（2）由已知得8AJLAO,以力為坐標原點，48的方向為x軸正方向，,司為單位長，

建立如圖所示的空間直角坐標系A-,

M

iJ

y

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(1J,O),尸(0,l,G),PC=(1,0,-75),AB=(1,O,O),

設M(x,y,z)(0<x<l),則BM=(x-l,yyz),PM=(x,y-l,z-V3),

因為如與底面ABCD所成的角為45°,而〃=（0,0,1）是底面力町的法向量，

所以卜=sin45°,/，=,即=0.①

yj（x-i）\y2+z22

又“在棱尸。上，設則x=，y=\，"舁同.②

X=1H------X=1-------

22

由①②解得?y=1(舍去)，,尸1

瓜瓜

z=-------z=—

所以M（l-，從而AM=（1-

設冽=%％z。)是平面月3M的法向量廁,?蘭=°，即卜2+2%+后。=0,

9tt-AB-0.1毛=°i

所以可取股=(0.->/6s2).于是cos("1：w)=?__rj-7=-

MIM5

因此二面角M-AB-D的余弦值為.

【考點】判定線面平行、面面角的向量求法

【點撥】（1）求解本題要注意兩點：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進

行向量運算,要認真細心、準確計算.

（2）設以〃分別為平面。，B的法向量，則二面角。與＜如或互補或相等，故有Icos外=

m-n

cos<m,n>二麗?求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

答題思路

【命題意圖】高考對本部分內容的考查以應用為主，重點考查利用空間向量求異面直線所成的角、直線與

平面所成的角、二面角及空間想象能力、運算能力及分析問題解決問題的能力.

【命題規(guī)律】高考試題立體幾何解答題通常分2問，第一問一般是證明線面位置關系,第二問多是求求異

面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，該問一般是利用空間向量求解，從近幾年高考試題來看，

該題屬于得分題，第一問失分的主要原因是步躲不規(guī)范,第二問失分的主要原因是運算失誤.

【答題模板】解答本類題目，以2017年試題第二問為例,一般考慮如下三步：

第一步：建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標建立空間直角坐標系A-x），z,確定

A,B,C（1,1,O）,P,PC,A8坐標

第二步：求出兩平面法向量的坐標先確定〃=（0,0,1）是底面靦的法向最，

再設加=（%,%,z°）是平面的法向量,根據《求得期二（0,-后,2）.

m-AB=0,

第三步：利用公式求二面角根據確定二面角M-A8-O的余弦值.

【方法總結】

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

（1）直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量.

（2）平面的法向量可利用方程組求出：設是平面a內兩不共線向量，〃為平面a的法向量，則求法向量

n?a=0,

的方程組為

n-5=0.

2.利用向量法證明立體幾何問題，可以建坐標系或利用基底表示向量；建立空間直角坐標系時，要根據題

中條件找出三條互相垂直的直線.

3.兩條異面直線所成角的求法

設a,6分別是兩異面直線人心的方向向量,則

人與無所成的角0a與6的夾角B

范圍嗚］[0,n]

a?b

求法CDS。一1]1?I,7COSP—III.i

\a\\b\\a\\b\

用向量法求異面直線所成角的般步驟：（1）選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；（2）確定異面

直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）

兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對值.

4.直線與平面所成角的求法

（1）分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；

（2）設直線，的方向向量為屬平面。的法向量為"，直線/與平面。所成的角為明a與〃的夾角為B,

39n

則sin§=|cosB|='1~n~~r.

an

5.求二面角的大小

⑴如圖①，力氏切分別是二面角。一/一。的兩個面內與棱/垂直的直線，則二面角的大小°=〈就為）.

（2）如圖②③,熱分別是二面角。一1一尸的兩個半平面。，力的法向量，則二面角的大小。滿足cos

I=Icos<Z71,rh）I,二面角的平面角大小是向量n與雁的夾角（或其補角）.

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量

的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

6.利用向量求空間角的詳細步驟

第一步：建立空間直角坐標系.

第二步：確定點的坐標.

第三步：求向量（直線的方向向量、平面的法向量）坐標.

第四步：計算向量的夾角（或函數值）.

第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角.

第六步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.

7.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現了向量的工具性,這種方法可把復雜的推

理證明、輔助線的作法轉化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現了由“形”轉“數”

的轉化思想.

8.易借警示

（1）兩條異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求，但二者不完全相同，兩異面直線所

成角的取值范圍是（0,J，而兩向量所成角的取值范圍是［°，“］，所以當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取

其補角作為兩異面直線所成的角.

⑵利用空間向量求直線與平面所成的角,注意:才是所求線面角的正弦值.

(3)求二面角要根據圖形確定所求角是銳角還是鈍角.

(4)生空間向量求解立體幾何問題易錯點是在建立坐標系時不能明確指出坐標原點和坐標軸，導致建系不

規(guī)范.

(5)將向量的夾角轉化成空間角時，要注意根據角的概念和圖形特征進行轉化,否則易失分.

真題練習

1.【2017年高考全國I卷，理18］如圖，在四棱錐尸-458中，45〃8中，且44/>=/8尸=90「

(1)證明：平面P4AI平面2VM

(2)若Q4=PQ=AB=ZX?,ZAPD=90°,求二面角4一依—C的余弦值.

【解析】(1)證明：???44P=N8P=9(r

APALAB,PDLCD

又???AB〃CD,APD1AB

又???P￡>n%=Q，PD、尸Au平面PAO

???A3_L平面PAO,又ABu平面PA8

工平面PA81.平面PAO

(2)取AO中點O,8C中點E,連接PO,OE

??,AB￡CD

，四邊形ABC。為平行四邊形

???OE/AB

由（1）知，A8_L平面PAO

，OE_L平面尸人。，又尸O、A。u平面PA。

AOE1.PO,OEA.AD

又?：PA=PD,：,POLAD

:?PO、OE、A。兩兩垂直

???以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。一型

設PA=2,???O（-收,0,0）、網立,2,0）、P（0,0,Q）、C（一行,2,0）,

PD=（-V2,0,-75）.方=（75,2,-應）、冊=（-2應,（）,（））

設5=（K,y,Z）為平面尸8C的法向量

n-PB=O

由，

G而=0

令，-1，則2=亞，X=。，可得平面P8C的一個法向量G=(o,1，艱)

VZAPD=90°,：.PD1PA

又知AB±平面PAD,PDu平面PAD

：.PDA.AB,又/<40河=人

APD_L平面PA6

即而是平面PAB的一個法向量，PD=(-42,0.-V5)

由圖知二面角……為鈍角，所以它的余弦值為罟

2.【2017年高考全國HI卷，理16】〃，方為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC

所在直線與

中/華-資*源%庫a,。都垂直，斜邊AB以直線4C為旋轉軸旋轉，有下列結論:

①當直線AB與。成60。角時，AS與人成30。角；

②當直線A8與。成60。角時，與〃成60。角；

③直線A8與a所成角的最小值為45°；

④直線A8與。所成角的最大值為60°.

其中正確的是________(填寫所有正確結論的編號)

【答案】②?

【解析】由題意知，a、b、4c三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖.

不妨設圖中所示正方體邊長為1,

故IACI_1,卜用=近，

斜邊A8以直線AC為旋轉軸旋轉，則A點保持不變,

B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓.

以C為坐標原點，以8為x軸正方向，CB為)，軸正方向,

CA為z軸正方向建立空間直角坐標系.

則。(1,0,0),4(0,0,1),

直線"的方向單位向量。=(0,1,0),\a\=\.

8點起始坐標為(0J0),

直線b的方向單位向量6=(1,0,0),|^|=1.

設B點在運動過程中的坐標B'(cosHsinaO),

其中。為"。與CO的夾角，0e[0,2n).

那么A8'在運動過程中的向量4&=(-cos6,-sinej),|4B'|=&.

設AB'與。所成夾角為ae[0,/,

|(-cos^,-sin<9J)-(0,l,0)|也.A/2

人」.卜叫22

故。€《，自，所以③正確，④錯誤.

設AB'與b所成夾角為尸w[。，，]，

AB'b

cos/3=—ji-----

h^AB,

_|(-cos^,sin^,1)?(1,0,0)|

=RM

V2,

=—?cose?

當A&與a夾角為60。時，即ag

|sin^|=5/2cosa=V2cosy=V2-^=.

?二cos2^+sin2^=l>

,,小加

..|cos^|=—.

:.COSP-乎ICOSe1=g?

?.?左嗚J.

???〃=],此時48'與人夾角為60°.

???②正確，①錯誤.

3.【2017年高考北京卷，理16】

如圖，在四棱錐產5中，底面4效9為正方形，平面為〃_1平面力靦，點加在線段用上，切力/平面也a

PA=PFR,AB=4.

(I)求證：M為期的中點；

(II)求二面角力物力的大??；

(III)求直線.吃與平面皮*所成角的正弦值.

39

【解析】

試題分析：(I)設交點為石，連接ME,因為線面平行，尸?！ㄈ鍹4c根據性質定理，可知

線線平行，即POGME,E為3。的中點，所以M為尸5的中點；(II)因為平面R5，平面，四C。，

PA=PD,所以取3的中點。為原點建立如圖空間直角坐標系，根據向量法先求兩平面的法向量，為和

萬，再根據公式8S＜河萬〉，求二面角的大小，(HI)根據(II)的結論，亙接求si“斗。5＜流歷＞.

試題解析：解：(I)設AC,8。交點為E,連接ME.

因為P?！ㄆ矫鍹AC,平面MAC平面尸BD=ME,所以尸O〃ME.

因為ABCO是正方形，所以E為8。的中點，所以M為PB的中點.

(II)取AO的中點0,連接OP,0E.

因為PA=PO,所以。P_LAO.

又因為平面PAOJ■平面A3C。，且OPu平面P4。，所以。P_L平面48CO.

因為OEu平面A8CO,所以。尸_LOE.

因為ABCD是正方形，所以。E1AO.

如圖建立空間直角坐標系。一盯z,則尸(0,0,&),￡＞(2,0,0),8(—2,4,0),

80=(4,—4,0),PD=(2,0,-V2).

n-BD=04x-4y=0

設平面BOP的法向量為〃=(x,y,z),則《，即

n?PD=02x-V2z=0

令％=1,則y=l,2=0.于是〃=(1』,后).

平面尸A￡>的法向量為0二(0,1,0),所以cos<〃.p>_nP_J_

\n\\p\2

由題知二面角8-P￡>-A為銳角，所以它的大小為四.

3

(III)由題意知M(—1,2,，)，0(2,4,0),A/C=(3,2,-

設直線MC與平面BDP所成角為a,則sina=|cos<n,MO|=IfL”宜=漢&

\n\\MC\9

所以直線MC與平面尸所成角的正弦值為:二.

9

【考點】1.線線，線面的位置關系；2.向量法.

【點撥】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質，全面考查立體幾何中的證明與求解，

意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注

意建立適當的空間直角坐標系以及運算的準確性.

4.【2017年高考天津卷,理17】

如圖，在三楂錐尸力回中，用_1_底面力完，NBAC=90°.點〃，E,“分別為榜為，PC,8。的中點，必是

線段仞的中點，PA=AC=4fAB=2.

(I)求證：楸'〃平面BDE；

(II)求二面角小￡歸￥的正弦值；中/華-資*源/庫

(Ill)已知點，在棱刃上，且直線期/與直線應,所成角的余弦值為“，求線段力，的長.

21

【答案】(1)證明見解析(2)巫E(3)-或1

2152

【解析】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎知識.考查用空間

向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標

系，寫出相關點的坐標,證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數量積為0,

求二面角只需求出兩個半平面對應的法向量，借助法向蚩的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異

面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出，破的值.

試題解析：如圖，以力為原點，分別以48,AC,AP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標

系.依題意可得

A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),4(0,0,1),N

(1,2,0).

(I)證明；DE=(0,2,0),DB=(2,0,一2).設〃=(x,y,z),為平面瓦國的法向量，

則〃°E=0,即(2y=°.不妨設z=i,可得〃=(1,0,1).又(1,2,-1),可得MN〃=O.

n-DB=0[2x-2z=0

因為MN<z平面BDE,所以劭W/平面BDE.

（II）易知%=（L0,0）為平面CEM的一個法向量般4,z）為平面瓦MV的法向蚩，則1兒?一=-Q

兒,MV=0

{，-2V-z一=0。不妨設…可得m）.

因此有8S<%,叫入「一之，于是sin<〃>幾

|叫||2|V2121

所以，二面角C-與的正弦值為零.

（皿）依題意,設冊力（0~44）,則，（0,0,h）,進而可得NH=（—1,T"），BE=（-2,2,2）.由已知,

得Icos<NH,BE>1=I.8也=124—2|也,整理得10力21/?+8=0,解得〃=§,或/?='.

I^VWHBE\"2+5x262152

所以，線段仍的長為色或工.

52

【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角

【點撥】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關系利用空

間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，

二面角或點到平面的距離都很容易.

5.【2017年高考山東卷，理17］如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A8CQ（及其內部）以A3邊

所在直線為旋轉軸旋轉120。得到的，G是。尸的中點.

（I）設尸是CE上的一點，且AP_L8E,求NC8P的大小;

(II)當AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

【答案】（I）ZCBP=30°.（II）60c.

【解圻】試題分析：（I）利用,鏟一班…四一荏，

證得平面,四產，

利用BPu平面，超P,得到3E_3P,結合/以。=120。可得/。尸

（II）兩種思路，一是幾何法，二是空間向量方法，其中思路一：

取比的中點H,連接EH,GH,CH.

得四邊形3印。為菱形，

得到AE=GE—AC-GC=+2,=-^3.

取NG中點連接五M,CM,EC.

得到￡V_L*G,CM±AGf

從而4EMC為所求二面角的平面角.

據相關數據即得所求的角.

思路二：

以8為坐標原點，分別以BE,BP,84所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直.角坐標系.

寫出相關點的坐標，求平面AEG的一個法向量m=（%,y,zj平面ACG的一個法向量〃二（占,力，22）

9

ni?n|

計算cos<m,n>=-------=一即得.

|w||n|2

試題解析：（I）因為XP-3E…加工BE,

且s,XPU平面,四尸，J5rM尸=，，

所以3H_L平面尸，

又艮Pu平面ABP,

所以BE_L3產，又NE5C=120。，

@此NCB尸=30。

（II）解法一：

取EC的中點“，連接E”，GH,CH.

因為/EBC=120。，

所以四邊形BEHC為菱形，

所以AE=GE=AC=GC==舊.

取AG中點M,連接EM,CM,EC.

則EM_L4G,CM1AG,

所以ZEMC為所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EM=CM=J13—1二26.

在ABES,由于/E3C=120。，

由余弦定理得EC?=22+22-2X2X2XCOS120O=12,

所以EC=26，因此AEMC為等邊三角形，

故所求的角為60°.

解法二:

以B為坐標原點，分別以BE,BP,3月所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由題意得乂(0,0,3)E(2,0,0),41,抬,3),C(-l，7l0),故石=(20,—3),芯=Q0：O),

CG=(2s0s3),

設冽=(再,為,NJ是平面」4EG的一個法向量.

m-AE=02xi-3z=0

可得,1s

m-AG=0%+底1=0,

取z1=2,可得平面,4￡G的一個法向量

設〃=(x2,y2,z2)是平面ACG的一個法向量.

由卜尾=?？傻貌?回2=。，

n-CG=02為+3z,=0,

取Z2=-2,可得平面ACG的一個法向量n=(3,-73,-2).

-Inn1

所以cos<，n,n>=--------=—.

\fn\\n\2

因此所求的角為60。.

【考點】1.垂直關系.2.空間角的計算.

【點撥】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面

與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.立體幾何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、

空間向量方法求解，應根據題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力'轉化與化歸思想及基本運算能力等.

6.【2017年高考浙江卷9】如圖，已知正四面體〃-力國(所有棱長均相等的三棱錐)，P,Q,〃分別為

AB,ECS上的點、，AP=PB,也=空=2,分別記二面角〃-必*-0,D-PQ-R,〃-的平面角為。，

QCRA

B,y,貝ij

A.Y《BB.C.yD.r<a

【答案】B

【解析】

試題分析：設。為三角形43C中心，則。到P。距離最小，。到網距離最大，。到火。距離居中，而高

相等，因此av/<￡,所以選3.

【考點】空間角(二面角)

【點撥】立體幾何是高中數學中的重要內容，也是高考重點考查的考點與熱點.這類問題的設置一般有線

面位置關系的證明與角度距離的計算等兩類問題.解答第一類問題時一般要借助線面平行與垂直的判定定

理進行；解答第二類問題時先建立空間直角坐標系，運用空間向量的坐標形式及數量積公式進行求解.

7.【2017年高考江蘇卷22］如圖，在平行六面體仍5-力由G〃中，加」平面力85,且力廬力方2"4=6,

ZA4￡>=120°.

(1)求異面直線46與4G所成角的余弦值；

(2)求二面角B~A\D-A的正弦值

【答案】(1)-(2)—

74

【解析】解：在平面/仇力內，過點力作如以L49,交優(yōu)于點￡

因為441一平面45CD,

所以AAi—AD.

如圖，以｛近:而:Qi｝為正交基底，建立空間直角坐標系4序.

因為"=40=2,44尸相，-1)=120。

則的Q0)：8函TO)RO二"(30：0)40：0心工(出/赤.

⑴不=出「1「亞冠=(&而,

■nd!~TD~TT\4BTC]我

因此異面直線小B與力。所成角的余弦值為■!".

⑵平面AM的一個法向量為AE=(73,0,0).

設機=(x,y,z)為平面物]〃的一個法向量,

又鄧=(瓜-1,-6),麗=(-13,0),

m-AB=0,y/3x-y-y/3z=0,

則彳_即1廠

m-BD-0,I-V3x+3y=0.

不妨取產3,則y=e,z=2,

所以in=(3：0：2)為平面3A]D的一個法向蚩,

u而/Tr\4E?”1(yjs.0.0)-(3.\^.2)3

從而cos{AEm)=--------=———』——---=-.

's7\AEm\小義44

設二面角B-AtD-A的大小為6,貝ijcos6=：.

因為6e[0;7T],所以sin6=Jl-cos*=(.

因此二面角力4。力的正弦值為也.

4

【考點】空間向量、異面直線所成角及二面角

【點撥】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐

標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；

第四，破“應用公式關”.

8.[2017寧夏石嘴山市二?！咳鐖D，在以A,B,C,D,E,F為頂點的多面體中,AF1平面ABCD,DE1平面

n

ADIIBC,AB=CDZABC=-

ABCD，3，BC=AF=2AD=4DE=4?

(l)請在圖中作出平面a,使得DE<=a旦BFIIa并說明理由;

(2)求直線EF和平面BCE所成角的正弦值.

【解析】(D如圖取BC中點P連接PD,PE：則平面PDE即為所求的平面a：

顯然:以下只需證明BF.平面\

BC=2AD,ADIIBC

9

ADIIBP且AD=BP

???四邊形ABPD為平行四邊形，

.-.ABHDP

又ABC平面PDE,PDu平面PDE,

r.ABH平面PDE.

?.?AF1平面ABCD,DE1平面ABCD,

.?.AF||DE.

又AH平面PDEDEU干面PDE

AF||平面PDE,

y?AFC平面ABFABC平面ABFABnAF=A

平面AB"平面PDE

又BFU平面ABF,

.?.BF||平面PDE,gpBFII平面a.

(2)過點A作AG1AD并交BC于G,

?.?AF±平面ABCD,

/.AFIAG,AF1AD即AG,AD,AF兩兩垂直，

以A為原點，以AG,AD,AF所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系A?xyz.

在等腰梯形ABCD中，?.?4ABG=60°,BC=2AD=4,

.?.BG=1,AG=業(yè)

則B(J,-IQ),C(4,3,O),

?.?AF=4DE=4,.?.E(O,2,1),F(O,O,4),

.?辰=(0,4,0)底=(?需31).

設平面BCE的法向量n=(x,y,z)：

.n-BC=04y=0

由‘nBE=O得-\3x*3y+z=0

取x=、&可得平面BG的一個法向蚩「=(\3,O.3)

設直線EF和平面BCE所成角為e,

yVEF=(0,-2,3),

|患x0+0x(-2)+3x3|3相

sin0=|cos<n,EF>|

^3+9x^/4+926,

3回

故直線EF和平面BCE所成角的正弦值為26.

9.【2017東北三省三校第二次聯考】如圖，四棱錐S-ABC。中，底面ABCO是邊長為4的正方形，平面

S4Q_L平面SCO,SA=SD=2>/2.

（1）求證：平面S4Q_L平面ABCQ；

（2）E為線段DS上一點,若二面角S-BC-E的平面角與二面角D-BC-E的平面角大小相等，

求SE的長.

【解析】（I）???平面S4O_L平面SCO,￡>C_LAO,??.￡>C_L平面SA。；OCu底面46。。，,平面

SADL^ABCD（H）取AO中點M,連接SM

SA=AD^>SM1AD,又因為平面SAO_L底面A8CO,所以SM_L平面A8CO以“為原點，

加。,48,知5方向分別為％乂2軸正方向建立空間直角坐標系平面43。。的法向量〃]=（0,0,1）,平面

BCS的法向量〃2=（x,y,z）,S（0,0,l）,3（—l,2,0）,C（l,2,0）,BC=（2,0,0）,BS=（1,-2,1）則

2x=0

?,?2=(0,1,2)設。E=4DS=(-22,0,22),所以E(2-24,0,24)

x-2y+z=0

由上同理可求出平面BCE的法向量%=（°，42）

由平面BCD、BCS與平面BCE所成的銳二面角的大小相等可得???4=2遙-4

I咄引同,同‘

ASF=1072-4V10

1

QA=AB=-PD=1

10.[2017內蒙古包頭市十校聯考】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD_L平面ABCD,PD〃QA,2

（1）證明：平面PQC_L平面DCQ；

（2）求二面角Q—BP—C的余弦值.

【解析】⑴依題意有Q(LLO)C(WD：P(020).

則DQ=(1,1,0),DC=(OAD.PQ=(1-LO).

所以PC?DC=O,PQDC=0.

即PQ±DQ:PQ±DC.故PQx平面DCQ

又PQu平面PQC,所以平面?QC±平面DCQ.

(2)依題意有B(1,0,1),

CB=(1,O,O),BP=(-1,2-1).

nCB=Ox=0,

設n=(x,y,z)是平面pBC的法向量:則BP=0,r?2y-z=0.

因此可取

BP=0,

設m是平面PBQ的法向量則m-PC=0.

-K

m=(1,1,1).所以cos<m,n>=-

可取5

.'IS

故二面角Q-BP-C的余弦值為S'

11.【2017重慶市一中一?！吭谒倪呅?BCO中,對角線AC,BO垂直相交于點。，且

OA=O8=OD=4,OC=3.將ABCD沿BD折到ABED的位置，使得二面角E—60—A的大小為

90°(如圖).已知。為E。的中點，點P在線段48上，且AP=J5.

（1）證明：直線PQ//平面ADE；

（2）求直線3。與平面AOE所成角。的正弦值.

【解析】由題ZAOE=90。，故OA,OBQE兩兩垂直,從而可建立如圖直角坐標系O-孫z,則

B（0,4,0）,￡（0,0,3）,D（0,-4,0）,A（4,0,0）.

⑴由題知同=或：故益=4善:又與=（T4：0）：故我=（-LLO）,從而尸（3］。,又0：0弓

故而=；-31,|）設平面功上的法向量為；；=（元斗）易得麗=（4,40）：讀=（0,4.3）：由

?_____何彳；八取x=3何?丹二。：—：，）：因外ZP0=O：故直線尸。門平面

hJ）E=0l4y+3z=0

（2）由（1）可知1=（3「3：4）為平面HDE的法向量:又麗=（0：-&0）,故

si"小s<a血卜耦=前=小國.

7T〃

12.【2017遼寧錦州質檢一】在四棱錐尸—4BCZ）中，ZDBA=-tAB=CD,APA8和△尸8。都是邊

2

長為2的等邊一:角形,設P在底面ABCD的射影為0.

p

(2)求二面角A—PB—C的余弦值.

【解析】(1)證明：???△尸?”和△尸RD都是邊長為2的等邊三角形，

；.PA=PD=PB,0為尸在底面的射影，NA80二2所以。為乙48詡外心且。為AD中點，

2

???BD=BA???80_LAO,由‘宓破四可得四邊形ABCD為平行四邊形，AD//BC：,BO1BC又?:

PO1面AUCZ),則PO工BC又BOcPO=。,/.BC±面尸06,PBu面FOB/.BC±PB

(2)以點。為原點，以OB，0D，。尸所在射線分別為X軸，丁軸，z軸建系如圖，

..AS-2imiOlO,0，0)H'O,-&，0)C|'&,2逝，0)

0'o,72,oj

\，，可求

P|0

p0=y[2，°，點j威，Z,01麗=|f,0,&}3C=|0,2V2,Oj

設面R3的法向量為"WX'J'Z)則

/麗一0/前一0彳導-0X-4=0—近工-0

取xf得J'=T：Z=1,

故〃=。，-13)

設面P8C的法向量為泄=(''$'則

m-BC=0,泄?BP=0,得s=0,—>/2z—y/lt=0,

取11,則"1,故羽=0,03),

--mnJ6

cos<m>7tx尸舊=.

于是HH3,

由圖觀察知x-尸a-c為鈍二面角，

*

所以該二面角的余弦值為3.

13.12017遼寧莊河市四?！咳鐖D，四棱錐尸—A8C7)中，底面A8CO是矩形，平面R4DJ.平面ABC。,

且APAD是邊長為2的等邊三角形，尸。=,點M是尸。的中點.

(1)求證：PA平面M3。；

kFI

(2)點尸在PA上，且滿足竺=上，求直線。M與平面/8。所成角的正弦值.

FP2

【解析】(1)連4。交BD于點￡,連ME，因為四邊形ABC。是矩形，所以點E是AC的中點，又點

M是PC的中點，:.PAME，又PAa平面MBREA/u平面MB。，所以PA平面MB。.

⑵取XD的中點。貝」尸。_勿：又平面尸,也一底面J5C，平面尸，De底面，四CD=40做

產。，平面,西。，連接。。：在RdPOC中：OC=HPC：-P0?=而，所以在RtAOOC中:

DCS-DO,=3，以。為原點：。兒?！?。產所在直線分別為“軸：y軸：z軸建立空間直角坐

標系則Z(L0,0)*(L3,0)必-1￡0)0(-130),尸(0,0,/)所-仁等)設廠(—)，則由

AF=-AP得(七一Lwzo)=7(T0，WJ即Fj70：二-j：設平面廣友?的法向蚩麗=(x,y：z)，則

3313JI

-2x-3y=0

mBD=0

得｛1也，令x=3,y=—2，貝壯二一56，故m=（3,—2,—5石），又

mBF=0——x-3y+——z=01

33

。知二化3,也，設直線OM與平面FBD所成角為6，則

I222J

/\向QMl99J286

sinO=cos(m,DM)=-L~L=----==——,故直線DM與平面FBD所成角的正弦值為

'/同2何叵286

9>/286

286

14.12017黑龍江大慶實驗中學仿真模擬】如圖，在四棱錐P-ABCD中,平面以〃1.底面ABCD,其中底面ABCD

為等腰梯形,力〃〃%PA=AB=BC=CD=2yPD=T^yPA工PD,。為陽的中點.

(I)證明：?！ㄆ矫鍼AB；

(II)求直線如與平面附右所成角的正弦值.

【解析】

(I)證明如圖所示:取PA的中點工連接QX,

BN瓜aPAD中,Ry=.W,PO=0D：

1

所以03ND,且Q^2AD.

在△月陽中，PA=2,PD=2\[^tPA1PD,

________1

所以49=麗甲^=4,而比三2,所以BC=2AD.

又BC//AD,所以QN〃BC,且QN=BC,

故四邊形BC0V為平行