2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)(新高考專用)專題2.3冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題2.3冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪函數(shù)的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 3【題型4求二次函數(shù)的解析式】 4【題型5二次函數(shù)的圖象問題】 4【題型6二次函數(shù)的最值問題】 6【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】 61、冪函數(shù)與二次函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解冪函數(shù)的定義，掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，冪函數(shù)較少單獨(dú)考查，常與指、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等考法，主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數(shù)常與其他知識(shí)相結(jié)合，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).【知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的解題技巧】1.冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.3.比較冪值的大小在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)2求二次函數(shù)解析式的方法】1．二次函數(shù)解析式的求法(1)一般式法：已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.(2)頂點(diǎn)式法：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最大（?。┲担x用頂點(diǎn)式.(3)零點(diǎn)式法：已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.【知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1．二次函數(shù)的圖象問題(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.2．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.3．二次函數(shù)的恒成立問題不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.【題型1冪函數(shù)的定義】【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)B．α=1,3,12時(shí)，冪函數(shù)C．冪函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．y=2x【變式1-2】（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期中）下列函數(shù)是冪函數(shù)且在?∞,0是增函數(shù)的是（A．y=1x B．y=x3+1 【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽·期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【題型2比較冪值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a3>A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log510，b=log48，c=4b?7A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)xn的圖象過點(diǎn)(m,8)．設(shè)a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=2x?x2，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【題型3冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例3】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）探究?jī)绾瘮?shù)fx=xα當(dāng)α=2,3,12,?1A．2 B．3 C．12 【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)y=xmn（m,n均為正整數(shù)且m,nA．m,n是奇數(shù)且mB．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mC．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mD．m,n是奇數(shù)，且m【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【題型4求二次函數(shù)的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)中的三個(gè)性質(zhì)的二次函數(shù)：f(x)=．①f(x)的最小值為?1；②f(x)的一次項(xiàng)系數(shù)為?4；③f(0)=3；④f(x)=f(?x+2)．【變式4-1】（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別是0和5，圖象開口向上，且fx在區(qū)間?1,4上的最大值為12，則函數(shù)fx【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，對(duì)任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，且【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=1，且不等式fx≤2x的解集為【題型5二次函數(shù)的圖象問題】【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）不等式cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12A．

B．

C．

D．

【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12A． B．C． D．【變式5-3】（2024高一·全國·專題練習(xí)）不等式ax2?bx+c>0的解集為A． B．C． D．【題型6二次函數(shù)的最值問題】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關(guān)于函數(shù)fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx與y軸無交點(diǎn) D．f【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值為ma，當(dāng)maA．0 B．1 C．12 D．【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）fx=2017x2?2018x+2019×2020,x∈t,t+2.則當(dāng)A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù)fx=ax2+2x的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時(shí)，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對(duì)任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x>0,ax2+x+1<0A．a(chǎn)≥?14 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≥1 【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）無論x取何值時(shí)，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?22．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知冪函數(shù)y=xa,y=xbA．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．a(chǎn)<b<c3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數(shù)f(x)，對(duì)任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，則f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<25．（23-24高一上·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(4?a)x+2在區(qū)間(?∞,3]A．a(chǎn)≥?7 B．a(chǎn)≥7 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤?76．（2023·四川瀘州·一模）已知點(diǎn)(2,18)在冪函數(shù)f(x)=xα的圖象上，設(shè)a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx的圖象過12,24，Px1A．x1fxC．fx1x8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A．fx=?3xC．fx=110．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．111．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=x+1，設(shè)g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn?1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．當(dāng)n≤2時(shí)，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間(?∞,?1]D．當(dāng)n>2時(shí)，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間(?∞,?1]三、填空題12．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)f(x)=xα(0<α<1)在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減，則α13．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=a(x?4)+2(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)f(x)的圖像上，則f(x)=．14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若四、解答題15．（2024·山東·二模）已知fx是二次函數(shù)，且f(1)求fx(2)若x∈?1,5，求函數(shù)f16．（2023·山東·一模）已知二次函數(shù)fx滿足f(0)=?1，頂點(diǎn)為(1,?2)(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在區(qū)間[a?1,4]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a17．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數(shù)fx=x(1)求函數(shù)y=fx(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈12,1，不等式f18．（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=m2+2m?2xm(1)求m的值；(2)?x∈1,2，不等式afx?3x+2>019．（23-24高一上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（1）若關(guān)于x的不等式fx≥?2有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)（2）若不等式fx≥?2對(duì)于實(shí)數(shù)a∈?1,1（3）解關(guān)于x的不等式：f(x)<a?1,(a∈R).專題2.3冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪函數(shù)的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 5【題型4求二次函數(shù)的解析式】 7【題型5二次函數(shù)的圖象問題】 9【題型6二次函數(shù)的最值問題】 12【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】 141、冪函數(shù)與二次函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解冪函數(shù)的定義，掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，冪函數(shù)較少單獨(dú)考查，常與指、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等考法，主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數(shù)常與其他知識(shí)相結(jié)合，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).【知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的解題技巧】1.冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.3.比較冪值的大小在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)2求二次函數(shù)解析式的方法】1．二次函數(shù)解析式的求法(1)一般式法：已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.(2)頂點(diǎn)式法：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最大（?。┲担x用頂點(diǎn)式.(3)零點(diǎn)式法：已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.【知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1．二次函數(shù)的圖象問題(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.2．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.3．二次函數(shù)的恒成立問題不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.【題型1冪函數(shù)的定義】【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【解題思路】由冪函數(shù)的定義可判斷各選項(xiàng).【解答過程】由冪函數(shù)的定義,形如y=xα，對(duì)A，y=1故選：A．【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)B．α=1,3,12時(shí)，冪函數(shù)C．冪函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．y=2x【解題思路】利用冪函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)判斷即可．【解答過程】解：冪函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，例如y=x?1，函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故當(dāng)α=1,3,12時(shí)，冪函數(shù)y=x，y=x由函數(shù)的定義及冪函數(shù)在第一象限均有圖象可知，冪函數(shù)的圖象不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；函數(shù)y=2x2是二次函數(shù)，但是不是冪函數(shù)，冪函數(shù)得形如故選：B.【變式1-2】（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期中）下列函數(shù)是冪函數(shù)且在?∞,0是增函數(shù)的是（A．y=1x B．y=x3+1 【解題思路】由冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可得選項(xiàng)C正確.【解答過程】由冪函數(shù)的概念可以排除B、D選項(xiàng)，而y=1x在?∞,0是減函數(shù)，故選：C.【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽·期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】由冪函數(shù)的定義即可求解.【解答過程】由于冪函數(shù)的一般表達(dá)式為：y=x逐一對(duì)比可知題述中的冪函數(shù)有①y=x3；⑤故選：C.【題型2比較冪值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a3>A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解題思路】直接根據(jù)充分性和必要性的定義判斷即可.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在所以a>b?a即“a>b”是“a3故選：C.【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log510，b=log48，c=4b?7A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【解題思路】化簡(jiǎn)a=1+log52，b=1+log55=【解答過程】∵a=logb=log44×2=logc=432且y=x3在R上為增函數(shù)，∴c>b，即故選：C．【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)xn的圖象過點(diǎn)(m,8)．設(shè)a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出函數(shù)f(x)解析式，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小而得解.【解答過程】因冪函數(shù)f(x)=m?1xn的圖象過點(diǎn)m,8，則m?1=1于是得m=2，n=3，函數(shù)f(x)=x3，函數(shù)f(x)是而log20.3<0<0.3所以c<b<a.故選：D.【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=2x?x2，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【解題思路】利用題給條件求得fx在1,3上單調(diào)性，利用f(x)為奇函數(shù)求得?f?26,f(1)的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較【解答過程】因?yàn)楫?dāng)0≤x≤2時(shí)，fx則fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,2當(dāng)x>2時(shí)，fx則fx在2,3上單調(diào)遞減，在3,+且f2=0=2?3?1，所以在1,3上單調(diào)遞減，在3,+∞因?yàn)?f?26=f則f所以?f?

故選：A.【題型3冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例3】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）探究?jī)绾瘮?shù)fx=xα當(dāng)α=2,3,12,?1A．2 B．3 C．12 【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過程】由題意可得α>0且α為奇數(shù)，所以α=3.故選：B.【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進(jìn)行判斷即可.【解答過程】當(dāng)m=?3,n=1時(shí)，fx因?yàn)楹瘮?shù)fx=1x3所以fx當(dāng)m=1,n=2時(shí)，fx=x12所以fx當(dāng)m=2,n=3時(shí)，fx=x32所以fx當(dāng)m=1,n=3時(shí)，fx=x13所以fx故選：C.【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)y=xmn（m,n均為正整數(shù)且m,nA．m,n是奇數(shù)且mB．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mC．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mD．m,n是奇數(shù)，且m【解題思路】由冪函數(shù)性質(zhì)及0<x<1時(shí)兩圖象的位置關(guān)系可知mn<1；由圖象可知y=x【解答過程】由冪函數(shù)性質(zhì)可知：y=xmn與y=x恒過點(diǎn)1,1當(dāng)0<x<1時(shí)，xmn>x又y=xmn圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y=又m,n互質(zhì)，∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù).故選：B.【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)a、b、c的值，從而得到函數(shù)解析式與定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x所以?2c?1+c+3=0，解得c=2，又f?x即?x所以2a?2x2+2b=0，解得所以fx=x由y=x3與y=2x在定義域?5,5上單調(diào)遞增，所以fx則不等式f(2x+1)+fa+b+c>0，即f2x+1所以2x+1>?4?5≤2x+1≤5，解得?52故選：C.【題型4求二次函數(shù)的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)中的三個(gè)性質(zhì)的二次函數(shù)：f(x)=x2?4x+3或2x2?4x+1或①f(x)的最小值為?1；②f(x)的一次項(xiàng)系數(shù)為?4；③f(0)=3；④f(x)=f(?x+2)．【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的特征，如頂點(diǎn)、對(duì)稱軸設(shè)函數(shù)的解析式即可求解.【解答過程】第一種情況：f(x)具有①②③三個(gè)性質(zhì)，由②③可設(shè)f(x)=ax2?4x+3(a≠0)，則根據(jù)①可得：12a?164a=?1第二種情況：f(x)具有①②④三個(gè)性質(zhì)，由①④可設(shè)f(x)=a(x?1)2?1(a>0)，則根據(jù)②可得：?2a=?4，解得a=2第三種情況：f(x)具有①③④三個(gè)性質(zhì)，由①④可設(shè)f(x)=a(x?1)2?1(a>0)，則根據(jù)③可得：f(0)=a?1=3，解得：a=4第四種情況：f(x)具有②③④三個(gè)性質(zhì)，由②③可設(shè)f(x)=ax2?4x+3(a≠0)，則根據(jù)④可得：??42a故答案為：x2?4x+3或2x2?4x+1或【變式4-1】（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別是0和5，圖象開口向上，且fx在區(qū)間?1,4上的最大值為12，則函數(shù)fx的解析式為【解題思路】根據(jù)函數(shù)特征設(shè)fx=axx?5【解答過程】設(shè)fx=axx?5,a>0其對(duì)稱軸為直線x=所以f?1=6a=12,a=2故答案為：f【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，對(duì)任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，且f(x)≥x恒成立．則二次函數(shù)【解題思路】根據(jù)f(x?2)=f(?x)得到b=2a，結(jié)合f(1)=1得出c=1?3a，根據(jù)f(x)≥x恒成立，求出a的值，即可求出函數(shù)解析式．【解答過程】∵對(duì)任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=?2∴b=2a，∵f(1)=1，∴a+b+c=1，∴c=1?3a，又對(duì)任意x∈R，f(x)≥x∴ax2+2ax+(1?3a)≥x，即a∵a>0，∴Δ∴a=1∴b=12，c=5故答案為：f(x)=1【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=1，且不等式fx≤2x的解集為1,3，則【解題思路】由不等式的解集得一元二次方程的兩根，由韋達(dá)定理得兩個(gè)關(guān)系式，又由對(duì)稱軸得一關(guān)系式，結(jié)合起來可求得a,b,c，得函數(shù)解析式.【解答過程】解：f(x)≤2x為ax2+(b?2)x+c≤0?b?2a=1+3ca=1×3，a>0，又函數(shù)兩者結(jié)合解得a=1,b=?2,c=3，所以f(x)=x故答案為：x2【題型5二次函數(shù)的圖象問題】【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【解題思路】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.【解答過程】結(jié)合圖像易知，不等式ax2+bx+c>0故選：A.【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）不等式cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12A．

B．

C．

D．

【解題思路】首先根據(jù)一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，求解a,b,c的關(guān)系，再代入函數(shù)y=ax【解答過程】因?yàn)閏x2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12，所以方程cx2+ax+b=0的兩根分別為12故函數(shù)y=ax2?bx?c=c2x2+c故選：A.【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12A． B．C． D．【解題思路】由題可得?1和12是方程ax2【解答過程】由題可得?1和12是方程ax2∴?1+12則y=cx則函數(shù)圖象開口向下，與x軸交于?2,0，故選：C.【變式5-3】（2024高一·全國·專題練習(xí)）不等式ax2?bx+c>0的解集為A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)題意，可得方程ax2?bx+c=0的兩個(gè)根為x=?2和x=1，且a<0，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a、【解答過程】根據(jù)題意，ax2?bx+c>0的解集為{x|?2<x<1}，則方程ax2?bx+c=0的兩個(gè)根為則有?2+1=ba故函數(shù)y=ax2+bx+c=ax2?ax?2a=ax?2對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有C符合.故選：C．【題型6二次函數(shù)的最值問題】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關(guān)于函數(shù)fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx與y軸無交點(diǎn) D．f【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【解答過程】函數(shù)f(x)=x對(duì)于A，f(x)>0恒成立，A正確；對(duì)于BD，當(dāng)x=?32時(shí)，fx對(duì)于C，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即fx與y故選：A.【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值為ma，當(dāng)maA．0 B．1 C．12 D．【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出ma【解答過程】∵f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R∴a?2<0且當(dāng)x=?3a2(a?2)時(shí)，f(x)的最大值為即2?a>0且ma=2?當(dāng)且僅當(dāng)9(2?a)4=92?a時(shí)，即故選：A．【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）fx=2017x2?2018x+2019×2020,x∈t,t+2.則當(dāng)A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【解題思路】根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系對(duì)t的值進(jìn)行討論，從而求出f(x)【解答過程】函數(shù)fx=2017x當(dāng)t≥10092017，f(x)在所以f=2017=4034t+4032≥6050；當(dāng)t+2≤10092017，即t≤?30252017時(shí)，f=?4034t?4032≥2018；當(dāng)t<10092017<t+1，即f(x)無最小值；當(dāng)t+1≤10092017<t+2f=2017，綜上知，f(x)max?f故選：D【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù)fx=ax2+2x的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【解題思路】先討論a=0，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析a>0時(shí)，n?m的最大值與最小值，同理可得a<0時(shí)的情況即可得解.【解答過程】若a=0，f(x)=2x，函數(shù)為增函數(shù)，x∈[m,n]時(shí)，則f(m)=2m=?4,f(n)=2n=4，所以n?m=2?(?2)=4，當(dāng)a>0時(shí)，作圖如下，為使n?m取最大，應(yīng)使n盡量大，m盡量小，此時(shí)a=1由f(n)=4f(m)=4即ax所以m+n=?2所以n?m=m+n2?4mn當(dāng)?1a<?4時(shí)，即0<a<14時(shí)，此時(shí)m,n則由f(n)=an解得n=?2+∴n?m=4+16a當(dāng)且僅當(dāng)1+4a=1?4a,即a=0時(shí)取等號(hào)，但a>0，等號(hào)取不到，∴n?m>4，a<0時(shí)，同理，當(dāng)a=?14時(shí)，(n?m)max=82綜上，n?m的取值范圍是[4,82故選：C.【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時(shí)，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【解題思路】先由x2?mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答過程】當(dāng)x>0時(shí)，由x2?mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因當(dāng)x>0時(shí)，m<x+16x恒成立，得故選：C.【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對(duì)任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【解題思路】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.【解答過程】?x∈(0,+∞),x2?mx+1>0?m<x+1x，而當(dāng)x>0則m<2，所以m的取值范圍是(?∞故選：C.【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x>0,ax2+x+1<0A．a(chǎn)≥?14 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≥1 【解題思路】利用條件知，對(duì)?x>0，ax2+x+1≥0【解答過程】因?yàn)槊}“?x>0,ax2+x+1<0”為假命題，所以，對(duì)?x>0當(dāng)a=0時(shí)，ax2+x+1=x+1>0在x∈(0,+當(dāng)a>0時(shí)，令?(x)=ax2+x+1，對(duì)稱軸x=?12a<0，且當(dāng)a<0時(shí)，顯然有ax故對(duì)?x>0，ax2+x+1≥0故選：C.【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）無論x取何值時(shí)，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【解題思路】由題知4k【解答過程】解：因?yàn)闊o論x取何值時(shí)，不等式x2所以，4k2?16<0所以，k的取值范圍是?2,2故選：D.一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】根據(jù)條件，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【解答過程】因?yàn)閮绾瘮?shù)fx=m所以m2?m?1=12m?3>0故選：A. 2．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知冪函數(shù)y=xa,y=xbA．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．a(chǎn)<b<c【解題思路】由冪函數(shù)在0,+∞【解答過程】由題意結(jié)合圖象可知a<0<c<1<b.故選：B.3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數(shù)f(x)，對(duì)任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，則f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【解題思路】令f(2x)<2f(x)中x=0，則f(0)>0，排除C，D；又由f(2x)<2f(x)可得c>2ax2任意的x∈R恒成立，則c>0，【解答過程】因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，令x=0，則f(0)<2f(0)，所以f(0)>0，排除C，D；即f0設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax所以f(2x)=4ax2+2bx+c由f(2x)<2f(x)可得4ax2+2bx+c<2a所以c>2ax2任意的x∈R恒成立，則c>0，故選：A.4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<2【解題思路】分類討論k=0與k≠0兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.【解答過程】當(dāng)k=0時(shí)，不等式kx2+當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)閗x所以k>0Δ=k?6綜上：2<k<18.故選：C.5．（23-24高一上·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(4?a)x+2在區(qū)間(?∞,3]A．a(chǎn)≥?7 B．a(chǎn)≥7 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤?7【解題思路】根據(jù)題意，由對(duì)稱軸a?4≥3求解.【解答過程】解：函數(shù)f(x)=x2+2(4?a)x+2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+2(4?a)x+2所以a?4≥3，解得a≥7，故選：B.6．（2023·四川瀘州·一模）已知點(diǎn)(2,18)在冪函數(shù)f(x)=xα的圖象上，設(shè)a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【解題思路】首先根據(jù)冪函數(shù)所過的點(diǎn)求解冪函數(shù)解析式并判斷函數(shù)單調(diào)性，然后通過自變量大小關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系即可【解答過程】已知冪函數(shù)fx=xα經(jīng)過點(diǎn)2,1即fx=x?3，易知由于log23=lg3lg又因?yàn)閘n3>lne=1，0<3?綜上所述：a<b<c.故選：B.7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx的圖象過12,24，Px1A．x1fxC．fx1x【解題思路】由冪函數(shù)所過的點(diǎn)求出解析式，分別構(gòu)造y=fxx【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx=xα，圖象過12所以fx=xy=fxx=xy=xfx=x52所以A、B、C錯(cuò)，D對(duì).故選：D.8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]【解題思路】利用f1=0，求得c的表達(dá)式，由函數(shù)f(x+1)為奇函數(shù)，所以fx關(guān)于1,0對(duì)稱，可求得a=?3，利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)，求得b滿足的不等式組，求出b【解答過程】由f1=1+a+b+c=0，得所以fx=x對(duì)于函數(shù)gx因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)為奇函數(shù)，所以fx關(guān)于1,0其兩個(gè)零點(diǎn)x1,x且滿足?a+12=1根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)有g(shù)0=?3+b+1>0f2故選：B.二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A．fx=?3xC．fx=1【解題思路】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.【解答過程】對(duì)于A，fx對(duì)于B，fx對(duì)于C，f?1=?1,f1對(duì)于D，fx故選：AD.10．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．1【解題思路】首先當(dāng)a=1，不等式為?4<0恒成立，故滿足題意；其次a≠1，問題變?yōu)榱艘辉尾坏仁胶愠闪栴}，則當(dāng)且僅當(dāng)【解答過程】當(dāng)a=1時(shí)，不等式為?4<當(dāng)a≠1時(shí)，要滿足a?1<0Δ而Δ=4所以解得?3<a<1；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?3,1；所以對(duì)比選項(xiàng)得，實(shí)數(shù)a可能是?2，0，1.故選：ABD.11．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=x+1，設(shè)g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn?1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．當(dāng)n≤2時(shí)，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間(?∞,?1]D．當(dāng)n>2時(shí)，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間(?∞,?1]【解題思路】根據(jù)新定義，歸納推理即可判斷A，根據(jù)A及求和公式化簡(jiǎn)即可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分別求出函數(shù)最小值，建立方程求解正整數(shù)n可判斷CD.【解答過程】因?yàn)間1(x)=f(x)=x+1，gng3(x)=f(x+2)=x+3，依次類推，可得由A選項(xiàng)知，y=x當(dāng)n≤2時(shí)，y=n2+2n所以y在區(qū)間(?∞,?1]上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=?1時(shí)，當(dāng)n>2時(shí)，y=n2+2n所以當(dāng)x=?n2時(shí)，ymin故選：ABD.三、填空題12．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)f(x)=xα(0<α<1)在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減，則α的一個(gè)取值為2【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.【解答過程】因?yàn)閒(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)所以f(x)可以為偶函數(shù)，不妨取α=2此時(shí)f(x)=x23且f(?x)=?x23滿足在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減.故答案為：23（不唯一）13．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=a(x?4)+2(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)f(x)的圖像上，則f(x)=x．【解題思路】通過與變量無關(guān)得到定點(diǎn)，設(shè)出f(x)解析式，求解變量即可.【解答過程】當(dāng)x=4時(shí)，y的值與a無關(guān)，且y=2，故P(將P(4，2)代入f(x)，解得m=故答案為：x.14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若A≥2B，則實(shí)數(shù)【解題思路】作出f(x)的圖象，分1<m≤5和m>5兩種情況討論函數(shù)f(x)在1,mm>1上的最大值和在m,2m?1【解答過程】由函數(shù)fx=x由題得：f(1)=f(3)=f(5)=2，當(dāng)1<m≤5時(shí)，函數(shù)fx=x2?6x+7在1,m要使A≥2B，則B≤1，令f(x)=1，解得：x1=3?3，x2=2由圖可得，要使函數(shù)fx=x2?6x+7在m,2m?1則m≥3?32m?1≤2，或m≥42m?1≤3+當(dāng)m>5時(shí)，由圖，fx=x2?