廣東省梅州市平遠(yuǎn)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期九月月考數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁20232024學(xué)年度實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三級(jí)九月份月考試題數(shù)學(xué)科命題人：林輝審核人：謝傳文一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】由題：，所以，.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念求出答案.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，則.故選：D.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后可求其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D.4.若，，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式求出即可求解作答.【詳解】由，，得，而，即，解得，因此，所以.故選：B5.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)稱性結(jié)合，求得，再由求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，由對(duì)稱性可知，，又，所以，故.故選：A.6.已知，，的一個(gè)極值點(diǎn)是，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，再求其單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)?，，的一個(gè)極值點(diǎn)是，所以，所以，，即.因?yàn)?，所以?，，解得，.當(dāng)時(shí)，得到在上單調(diào)遞增，故C正確，D錯(cuò)誤.，解得，.當(dāng)時(shí)，得到在上單調(diào)遞減，故A正確，B錯(cuò)誤.故選：C7.已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定定義域，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，由，得，即，所以，即解得或.故選：D8.《九章算術(shù)》卷五《商功》中，把正四棱臺(tái)形狀的建筑物稱為“方亭”．沿“方亭”上底面的一組對(duì)邊作垂直于底面的兩截面，去掉截面之間的幾何體，將“方亭”的兩個(gè)邊角塊合在一起組成的幾何體稱為“芻甍”．現(xiàn)記截面之間幾何體體積為，“芻甍”的體積為，若，臺(tái)體的體公式為，其中、分別為臺(tái)體的上、下底面的面積．則“方亭”的上、下底面邊長(zhǎng)之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)“方亭”的上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，高為，則，由題意可知，截面之間幾何體為上下底面為等腰梯形（上底為，下底為，高為），高為的直棱柱，從而由直棱柱的體積公式可求出，則，然后由列方程可求得結(jié)果【詳解】解：設(shè)“方亭”的上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，高為，則，，，∴．故選：A．二、多選題（本題共4小題，敏題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，夠項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，設(shè)的夾角為，則（）A. B.C.∥ D.【答案】BD【解析】【分析】由已知條件求出的坐標(biāo)，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以與不共線，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)椋膴A角為，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：BD10.若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，方差為3，則（）A.數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為20B.C.數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為D.【答案】BCD【解析】【分析】利用平均數(shù)與方差的計(jì)算公式以及運(yùn)算性質(zhì)，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，所以數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)正確；數(shù)據(jù)，，，的方差為，所以數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故選項(xiàng)正確；由方差的計(jì)算公式可得，，故選項(xiàng)正確．故選：．11.在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.平面C.平面D.過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為【答案】BC【解析】【分析】（1）求出所成角，不為（2）通過證明面面平行，再到線面平行.即先證面面，再可以說明平面（3）先證面，則可說明，同理可得，則證明了垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，故平面（4）找到過直線且與直線平行的平面即平面，求出面積即可【詳解】A.由圖易知，又有，故為等邊三角形，故與所成的角為所成的角為，故A錯(cuò).B.記中點(diǎn)為，易知，，則可知面，面故面面面，故平面.C.四邊形為正方形，，又面，故則面故同理故平面.D.記中點(diǎn)為，由B項(xiàng)可知，面面，故面，又面，故過且與直線平行的平面為如圖所示的平面，面積為.故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對(duì)于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對(duì)于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.12.已知是定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為4B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：由，可得，所以的最小正周期為4，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B：由，可得，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C：函數(shù)的最大值為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D：函數(shù)的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：由，可得，所以的最小正周期為4，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B：由，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C：由于函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以可以僅研究時(shí)，函數(shù)的最大值.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D：由于函數(shù)的最小正周期為4，所以時(shí)，函數(shù)的性質(zhì)與時(shí)，函數(shù)的最小值.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)基本不等式常數(shù)“1”的妙用方法求解即可.【詳解】由題意，，因?yàn)椋?，所以，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；則的最小值為，故答案為：14.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.【詳解】因?yàn)?，則，則，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.15.已知二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中的有理項(xiàng)系數(shù)和為___________.【答案】65【解析】【分析】先求出，求出時(shí)的有理項(xiàng)的系數(shù)即得解.【詳解】因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以展開式中的有理項(xiàng)系數(shù)和為.故答案為：6516.任取一個(gè)正整數(shù)m，若m是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若m是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等），若，則經(jīng)過________次步驟后變成1；若第5次步驟后變成1，則m的可能值之和為________.【答案】①.5②.41【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)“冰雹猜想”，分別寫出后面的項(xiàng)，直至為1，求解；（2）若第5次步驟后變成1，則，根據(jù)“冰雹猜想”，寫出前面的項(xiàng)，直至，求所有可能的首項(xiàng).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以需5次步驟后變成1；（2）若第5次步驟后變成1，則，，，或，當(dāng)，，或；當(dāng)時(shí)，，，所以的可能值是，的可能值的和是.故答案為：5；41【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)首項(xiàng)為時(shí)，注意次數(shù)指項(xiàng)數(shù)，第二問，注意兩種變換，有兩個(gè)值，不要丟根.四、解答題（共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.）17.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最值.【答案】（1），（2）最大值為，無最小值【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，計(jì)算等差數(shù)列的基本量和，進(jìn)而得通項(xiàng)公式；（2）令，可得，令，解得，從而得的最大值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，所以，則，所以，；【小問2詳解】由（1）可知，令，解得，令，解得，則的最大值為，無最小值.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若為銳角且，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，由求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；（2）由結(jié)合角的取值范圍可求出角的值，利用余弦定理求出的值，分析可知為銳角，利用正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角的正弦值和余弦值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.【小問1詳解】因?yàn)椋傻茫?，所以，，則，即函數(shù)得值域?yàn)?【小問2詳解】由，得，又由，則，所以，，解得，在中，由余弦定理，解得，由正弦定理，得，因?yàn)椋瑒t，故為銳角，則，所以，19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值，并求出到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直的判定定理得平面平面；（2）根據(jù)二面角的定義找到二面角的平面角是，再利用垂直關(guān)系作出點(diǎn)到平面的垂線段，求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槭钦叫?，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，所以到平面的距離為.20.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元概率分別為、、；已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬元，取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)變量、分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤.（1）求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）概率分布見解析，，（2）【解析】【分析】（1）解法一：由題意直接寫出的概率分布列，并求出數(shù)學(xué)期望，根據(jù)得到的分布列，從而得到的分布列，得到數(shù)學(xué)期望；解法二：由題意直接寫出的概率分布列，并求出數(shù)學(xué)期望，設(shè)出事件，由獨(dú)立事件概率乘法公式得到，，，得到的分布列，得到數(shù)學(xué)期望；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)得到不等式，結(jié)合求出答案.【小問1詳解】解法一：的概率分布為1.21.181.17P.由題設(shè)得，故，，，則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學(xué)期望為.解法二：的概率分布為1.21.181.17P.的概率分布解法如下：設(shè)表示事件”第i次調(diào)整，價(jià)格下降”，則，，，故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解】由，得：，解得，因?yàn)?，所以時(shí)，p的取值范圍是.21.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）直線過點(diǎn)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法計(jì)算你即可；（2）設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，求弦長(zhǎng)，同時(shí)求出高，得到三角形面積表達(dá)式，借助基本不等式求最值即可.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為,由已知得∴所求橢圓方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2由由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，∴解得又由韋達(dá)定理得，∴原點(diǎn)到直線的距離∵.令，則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí).所以，所求直線方程為.22已知函數(shù)，.（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)為、，證明：.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在(0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函