現(xiàn)代控制理論第三章2010 學(xué)習(xí)課件

2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解線性控制系統(tǒng)中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院

2010-92025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解3.1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解3.2矩陣指數(shù)3.3線性時不變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解3.4線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3.5線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化3.7線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解標(biāo)量一階齊次微分方程與一階齊次向量-矩陣微分方程存在相似的形式3.1

線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解

齊次狀態(tài)方程：（控制輸入為零）求解思路：從標(biāo)量一階齊次微分方程的求解來推導(dǎo)一階齊次向量-矩陣微分方程的解。2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解(1)一階標(biāo)量微分方程的解假設(shè)初始時刻

t0=0,則方程的解為：對于一階標(biāo)量微分方程2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解絕對一致收斂級數(shù)稱為矩陣指數(shù)矩陣級數(shù)(2)若A為方陣，齊次狀態(tài)方程的解本章重點(diǎn)2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解證明：由標(biāo)量系統(tǒng)的解可假設(shè)的解為2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解求矩陣指數(shù)函數(shù)?。。?！求解狀態(tài)方程的關(guān)鍵問題：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解：第三章狀態(tài)方程的解求例3．1．1已知2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.2矩陣指數(shù)3.2.1矩陣指數(shù)的性質(zhì)

3.2.2幾個特殊矩陣指數(shù)

3.2.3矩陣指數(shù)的計(jì)算第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解

3.2.1矩陣指數(shù)的性質(zhì)第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解3.2.2幾個特殊矩陣指數(shù)(1)若為對角矩陣2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解證:第三章狀態(tài)方程的解由定義知2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解約當(dāng)矩陣若為（2）2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解

具有約當(dāng)塊的矩陣若為（3）其中：為約當(dāng)塊第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解(4)若為2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.2.3矩陣指數(shù)的計(jì)算1、定義法:2、拉普拉斯變換:3.標(biāo)準(zhǔn)型法（對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型）4、化有限項(xiàng)法（凱萊哈密頓定理）：求矩陣指數(shù)的方法：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解(1)定義法：特點(diǎn)：適合于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解(2)拉氏變換法：第三章狀態(tài)方程的解對方程兩邊同時進(jìn)行L氏變換得：反L氏變換得2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解例3.2.1

用Laplace變換法計(jì)算矩陣指數(shù)：解：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解(3)標(biāo)準(zhǔn)型法（對角規(guī)范型）：第三章狀態(tài)方程的解則有個互異的特征值設(shè)具有滿足其中2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解:第三章狀態(tài)方程的解例3.2.2

已知矩陣試計(jì)算矩陣指數(shù)1)特征值

2)計(jì)算特征向量：

3)構(gòu)造變換陣P：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解:1)特征值第三章狀態(tài)方程的解例3.2.3

試求下列矩陣的矩陣指數(shù)2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解

2)計(jì)算特征向量：

3)構(gòu)造變換陣P：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則有：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解設(shè)具有個重特征值則有2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解:1)特征值：1，1，2。計(jì)算特征向量和廣義特征向量。第三章狀態(tài)方程的解例3.2.4已知矩陣試計(jì)算矩陣指數(shù)2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解得：2)計(jì)算矩陣指數(shù)：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解(4)化有限項(xiàng)（凱萊－哈密爾頓（Cayley-Hamilton))法凱萊哈密頓定理：

矩陣A

滿足其自己的零化多項(xiàng)式特征多項(xiàng)。2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解1)特征根兩兩互異：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解2)有個重特征值兩端對求1至階導(dǎo)數(shù)得：解方程組可求得2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解例3.2.4已知系統(tǒng)試用化有限的項(xiàng)的方法求矩陣的矩陣指數(shù)解：矩陣的特征方程為：特征值為對于有對于有2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解從而可聯(lián)立求得：第三章狀態(tài)方程的解因?yàn)?1是重根，故需補(bǔ)充方程：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解由此可得：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解考慮LTI系統(tǒng)：將左乘后求導(dǎo)得：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解兩邊積分得：對2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解更一般的形式為：系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)由兩部分組成：一部分是由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)自由運(yùn)動，叫做零輸入響應(yīng)；第三章狀態(tài)方程的解另一部分是由控制輸入所產(chǎn)生的受控運(yùn)動，叫做零狀態(tài)響應(yīng)。2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.4線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3.4.1基本概念3.4.2線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解(1)x(t)是由初值引起的零輸入解和控制所產(chǎn)生的零狀態(tài)解的疊加和。(2)解的結(jié)構(gòu)顯示了從x(t0)到x(t)的一種變換關(guān)系。其中：稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。3.4.1基本概念2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解（3）對于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為矩陣指數(shù)2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解3.4.2線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義：線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

稱滿足如下矩陣方程得解陣稱為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解3.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.5線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（自學(xué)）

3.5.1線性時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)描述：第三章狀態(tài)方程的解為初始時刻，分段連續(xù)。解的一般形式：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解特殊情況：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解:第三章狀態(tài)方程的解求例3.5.1考慮系統(tǒng)初始值為2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解：第三章狀態(tài)方程的解例3.5.2初始值為求2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.5.2線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對于連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)其中：為初始時刻，分段連續(xù)。系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是如下矩陣微分方程和初始條件的解陣2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解考慮系統(tǒng)3.5.3線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解

系統(tǒng)（1）的解為：其中：為初始時刻，分段連續(xù)。為待定向量。2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解代入狀態(tài)方程得：等式兩端積分得：第三章狀態(tài)方程的解令則有：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解上式稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為核心工具。第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第一項(xiàng)是由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)；第二項(xiàng)是由控制輸入引起的響應(yīng)。第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.6連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化3.6.1近似離散化3.6.2線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.6.1近似離散化考慮系統(tǒng)當(dāng)采樣周期很小時，有2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解其中：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解近似離散化，第三章狀態(tài)方程的解例3.6.1把狀態(tài)方程解：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解所以近似離散化狀態(tài)方程為:即第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解考慮系統(tǒng)：3.6.2線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化其狀態(tài)方程的解為：假設(shè)：(1)等采樣周期T,第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解則令令則有：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解則線性時不變系統(tǒng)離散狀態(tài)方程為：第三章狀態(tài)方程的解令2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解結(jié)論3.6.2給定線性定常時間系統(tǒng)：則在基本假設(shè)下的時間離散化狀態(tài)方程為：對應(yīng)關(guān)系：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解連續(xù)系統(tǒng)離散化的幾點(diǎn)說明：(1)近似離散化是一般離散化的特例(2)定常系統(tǒng)離散化是時變系統(tǒng)離散化的特例(3)一般說來，沒有精確離散化(4)離散化是有條件的，“連續(xù)化”是無條件的第三章狀態(tài)方程的解(5)連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)論可以在離散系統(tǒng)中找到對應(yīng)，反之則未必2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解[例3.6.2]

已知某連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為[解]

離散狀態(tài)方程的系數(shù)陣試求其離散狀態(tài)空間表達(dá)式。2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解離散狀態(tài)方程的輸入陣2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解從而可得該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.7線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.7.1遞推法3.7.2Z變換法2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.7.1遞推法(迭代法)考慮離散時間系統(tǒng)：則有：即可求得當(dāng)給定初始條件和輸入信號序列2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解因此有:或表示成:線性離散時不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定常情形：和都是常值矩陣，于是可得：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)：離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：或：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解3.7.2Z變換法考慮離散時間系統(tǒng)：取Z變換得：取Z反變換得：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解由解的唯一性可得：2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解第三章狀態(tài)方程的解試求時系統(tǒng)的狀態(tài)解。例3.7.1考慮離散時間系統(tǒng)：其中：第三章狀態(tài)方程的解2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解解法1：第三章狀態(tài)方程的解

2025年2月28日第三章狀態(tài)方程的解由此遞推下去，可得到狀態(tài)的離散序