教學(xué)設(shè)計-5.1 定積分的定義與性質(zhì)

《高等數(shù)學(xué)（慕課版）》教案教學(xué)內(nèi)容：定積分的定義與性質(zhì)完成時間：2025年2月授課信息授課內(nèi)容授課時長定積分的定義和性質(zhì)2學(xué)時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點內(nèi)容分析定積分是高等數(shù)學(xué)的重要概念之一，它不僅是微積分的理論基礎(chǔ)，同時也是廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域中的一種數(shù)學(xué)工具；它在本書中上承微分和不定積分，下接定積分的具體應(yīng)用，起到承上啟下的作用。學(xué)情分析1.知識基礎(chǔ)：已完成微分和不定積分的學(xué)習(xí)；基礎(chǔ)不夠扎實，對要用到的極限思想有些遺忘；2.認知能力：具備基本的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；將概念性知識用于實踐存在一定困難；3.學(xué)習(xí)特點：動手能力強，但學(xué)習(xí)積極性不高；獨立思考能力較弱，團隊合作意識有待提高。教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：1.理解定積分的定義與基本思想。2.掌握定積分的幾何意義。3.掌握定積分常用的運算性質(zhì)。能力目標(biāo)：1.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。2.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。素質(zhì)目標(biāo)：1.培養(yǎng)學(xué)生嚴謹細致，精益求精的品質(zhì)。2.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。教學(xué)重點重點1.定積分的概念；2.用定積分的幾何意義求簡單的定積分。確立依據(jù)定積分概念是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它對于理解微積分的基本思想和方法，以及掌握微積分的應(yīng)用具有重要的作用。突出重點的策略明確教學(xué)目標(biāo)；針對學(xué)生的認知規(guī)律，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和手段，由淺入深、循序漸進的方式，突出重點內(nèi)容的教學(xué)環(huán)節(jié)、安排適當(dāng)?shù)木毩?xí)等。教學(xué)難點難點定積分概念的理解確立依據(jù)定積分概念比較抽象，涉及到第一章所講的極限的思想，理解這一概念需要較強的邏輯思維能力；結(jié)合學(xué)情分析，確定“定積分概念的理解”是本節(jié)課的難點。解決難點的策略借助引例，通過將這些實際案例與定積分概念相結(jié)合，來幫助學(xué)生更好地理解定積分的概念和應(yīng)用。教學(xué)手段問題導(dǎo)入法、案例教學(xué)法、引導(dǎo)探究法、小組討論法、講授法、練習(xí)法、演示法。參考教材張?zhí)斓路逗檐?，《高等?shù)學(xué)(慕課版)》，人民郵電出版社，2022年6月.教學(xué)理念由具體問題引出定積分的概念，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對實際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實際生活的，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣，樹立學(xué)生實事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。課程思政元素設(shè)計通過兩個引例引出定積分的概念，在這一過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題、探究問題、解決問題的能力，讓學(xué)生理解有限與無限、量變與質(zhì)變的辯證思想，“積跬步至千里”，培養(yǎng)學(xué)生樹立正確的人生觀、世界觀、價值觀。教學(xué)設(shè)計課前任務(wù)→導(dǎo)入新課（5min）→講授新課（55min）→鞏固提高（25min）→歸納總結(jié)（3min）→布置作業(yè)（2min）→課后拓展教學(xué)過程教學(xué)過程教師活動學(xué)生活動教學(xué)方法與意圖一.導(dǎo)入新課(5min)導(dǎo)入新課【欣賞與思考】?欣賞：梯田與瑞士心形湖圖片。現(xiàn)實生活中這些不規(guī)則的圖形總能給我們帶來別樣的美感。?思考：如何求不規(guī)則圖形的面積？以心形湖為例，引導(dǎo)學(xué)生分析，化未知為已知，總結(jié)問題的關(guān)鍵是求出周圍由“三直一曲”所圍成的圖形的面積。認真聽講，用心體會，將注意力轉(zhuǎn)移到課堂上?！締栴}導(dǎo)入法】提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進行問題探索，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強學(xué)習(xí)的趣味性。二.定積分的概念(30min)內(nèi)容講授（一）兩個引例1.曲邊梯形的面積問題【定義介紹】設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù)，由曲線y=f(x)和直線x=a，x=b【提出問題】如何計算曲邊梯形的面積？【分析問題】引導(dǎo)學(xué)生分析問題，探究求解方法。由于直邊圖形可借助面積公式直接求解，啟發(fā)學(xué)生思考能否借助“以直代曲”的思想來近似求解？“以直代曲”有無條件？怎樣才能滿足條件？探究得出大體的求解思路：將大曲邊梯形進行分割，用小矩形的面積來近似代替對應(yīng)小曲邊梯形的面積，將所有的小矩形面積進行求和得大曲邊梯形面積的近似值，無限分割下去，便由近似過渡到精確。【解決問題】分割（“化整為零”）——將大曲邊梯形分成n個小曲邊梯形近似（“以直代曲”）——用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積求和（“積零為整”）——求n個小矩形的面積和得曲邊梯形面積A的近似值：取極限（“求精確值”）——由近似過渡到精確將區(qū)間無限分割，分得越細，上面的和式將與曲邊梯形的面積越接近．設(shè)是個小區(qū)間（）中長度最大的一個，記，令，對上面的和式取極限，若上述和式的極限存在，即可求得所求曲邊梯形面積的精確值，即．2.變速直線運動的路程問題【提出問題】設(shè)有一質(zhì)點作變速直線運動，其速度隨時間變化的規(guī)律是v=v(t)，求該質(zhì)點在[T1,T2]這段時間【分析問題】引導(dǎo)學(xué)生分析問題：已知勻速直線運動的路程公式是——路程=速度×?xí)r間?，F(xiàn)在研究變速直線運動，不能直接運用此公式求解。但是，當(dāng)時間間隔很小時，可近似地認為速度是不變的，從而這個很小的時間間隔里可運用該公式求解。為此，可采用與引例1相同的思路來解決該問題。【解決問題】(1)分割——將時間間隔任意分成段(2)近似——用子區(qū)間內(nèi)某點的速度代替該子區(qū)間內(nèi)的速度在每個子區(qū)間上任取一點，用時刻的速度近似代替質(zhì)點在子區(qū)間上的平均速度，用近似代替質(zhì)點在子區(qū)間內(nèi)的路程，即．(3)求和——對所有時間段上的近似路程求和將所有子區(qū)間的路程累加起來，得到總路程的近似值，即．(4)取極限——由近似值過渡到精確值將時間區(qū)間無限細分下去，并使每個子區(qū)間的長度都趨于0，即當(dāng)無限趨于0時，若上述和式的極限存在，則此極限就是路程的精確值，即．在老師的引導(dǎo)下，積極思考如何計算曲邊梯形的面積。認真聆聽，積極思考，體會曲邊梯形的面積計算過程中蘊含的數(shù)學(xué)思想。積極思考，第2個引例與第1個引例的相同之處；思考如何借助與引例1類似的方法求解該引例?！景咐虒W(xué)法】借助案例，將抽象的數(shù)學(xué)知識與實際問題相結(jié)合，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力，也鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。【引導(dǎo)探究法】教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生的思考和探究欲望，循序漸進地探究出問題的求解方法?！狙菔痉ā拷柚鷦赢?，向?qū)W生們清晰地呈現(xiàn)引例分析與探究的過程，加深學(xué)生們對求解過程的理解。內(nèi)容講授【追問】上述兩個引例的共同特點是什么？【歸納總結(jié)】引例1與引例2主要的共同特點：（1）處理方法相同：分割、近似、求和、取極限（2）結(jié)果形式相同：和式的極限。并指出：許多其他的實際問題，如求變力做功、旋轉(zhuǎn)體的體積等，都可以借助這種方法求解，這里蘊含著定積分的思想，由此抽象出定積分的定義。學(xué)生小組討論：上述兩個引例的共同特點是什么？【小組討論法】合作探究知識培養(yǎng)學(xué)生團隊意識。內(nèi)容講授（二）定積分的定義定義5.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界.(1)在內(nèi)任意插入個分點，，將區(qū)間分成個小區(qū)間()，每個小區(qū)間的長度記為()；(2)在區(qū)間上任取一點，作乘積()；(3)求和，得；(4)記（），當(dāng)時取上述和式的極限.如果對的任意分法及小區(qū)間上點的任意取法，上述極限都存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為被積表達式，稱為積分區(qū)間，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為在上的積分和．【說明】（1）定積分是一個數(shù)值，它只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的符號無關(guān)，即．按照定積分的定義，記號中的應(yīng)滿足關(guān)系，為了研究的方便，我們補充規(guī)定：=1\*GB3①當(dāng)時，；=2\*GB3②當(dāng)時，.（2）連續(xù)必可積。認真聆聽老師對定積分的概念的講解，體會定積分的基本思想及其蘊含的思政價值?！局v授法】在對兩個引導(dǎo)分析和探究的基礎(chǔ)上，給出規(guī)范的定積分的定義；并對定積分的定義進行說明?！舅伎肌績蓚€引例中的結(jié)果如何用定積分表示出來？根據(jù)定積分的定義，思考如何用定積分表示出引例中所探究出的結(jié)果。三.定積分的幾何意義(13min)內(nèi)容講授【引出】(1)在上，當(dāng)時，定積分表示由曲線，直線和軸所圍成的曲邊梯形的面積；(2)在上，當(dāng)時，由曲線，直線和軸所圍成的曲邊梯形位于軸的下方，定積分表示上述曲邊梯形面積的相反數(shù)；(3)在上既取得正值又取得負值時，定積分表示軸上方圖形面積減去軸下方圖形面積所得之差（即所圍成圖形面積的代數(shù)和）．.仔細聽講，認真整理筆記，掌握本節(jié)課重點內(nèi)容。【講授法】在定積分的定義以及引例1的基礎(chǔ)上，講授定積分的幾何意義以及應(yīng)用價值。【思考】結(jié)合定積分的幾何意義，思考為什么定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)系？小組討論為什么定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，并選出代表回答問題?！拘〗M討論法】小組合作討論，增強學(xué)生的合作意識。【講授法】規(guī)范學(xué)生們的答案，借助圖像講解清楚為什么定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)。四.定積分的性質(zhì)(10min)內(nèi)容講授性質(zhì)1被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外，即a性質(zhì)2兩個函數(shù)和(差)的定積分等于定積分的和(差)a性質(zhì)1和性質(zhì)2可以推廣到有限多個函數(shù)的線性運算的定積分．性質(zhì)3（區(qū)間可加性）設(shè)a<c<b，則有a上式對a,b,c，的任何順序都能成立.性質(zhì)4若在區(qū)間上，則.性質(zhì)5（保序性）若在區(qū)間上有，則()．推論1若在區(qū)間上有，則()．推論2()．性質(zhì)6（估值定理）設(shè)和分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則()．性質(zhì)7（積分中值定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點，使得．仔細聽講，認真整理筆記，掌握本節(jié)課重點內(nèi)容?！局v授法】由定積分的定義和極限的運算法則，介紹定積分常用的（運算）性質(zhì)。五.鞏固提高(27min)鞏固提高例1利用定積分的幾何意義計算定積分.根據(jù)定積分的幾何意義，轉(zhuǎn)化所求——即所圍成圖形的面積。積極動手：畫出圖形，算出面積，從而求出定積分?！揪毩?xí)法】使學(xué)生及時鞏固對定積分的幾何意義、定積分的性質(zhì)的掌握，已達到真正內(nèi)化的效果。練習(xí)1利用定積分的幾何意義求定積分-1例2不計算定積分的值，比較下列定積分的大?。?1)與；(2)與.例3估計定積分的值．積極思考，學(xué)以致用。思考如何求定積分-21認真思考并進行計算。通過計算證實六.歸納總結(jié)(3min)歸納總結(jié)【總結(jié)知識】定積分的思想方法：分割、近似、求和、取極限；定積分的本質(zhì)：和式的極限；定積分的幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上非負的時候，定積分表示的是圖形的面積?！菊n程思政】定積分的概念是高等數(shù)學(xué)中比較抽象的一個概念，在學(xué)習(xí)定積分時我們要有耐心，要講究方法——“由未知求已知，由近似求精確”，在這個過程中可以培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、精益求精的品質(zhì)。回顧和總結(jié)本堂課學(xué)習(xí)的知識，掌握本節(jié)課學(xué)習(xí)的定積分的概念、定積分的幾何意義。及時總結(jié)，突出重點，加強學(xué)生對重點知識的掌握。七.布置作業(yè)(2min)布置作業(yè)【書面作業(yè)】課后習(xí)題2、4、5題認真記下作業(yè)及作業(yè)的相關(guān)要求。根據(jù)“艾賓斯浩遺忘曲線”，及時安排習(xí)題鞏固知識。教學(xué)評價（1）評價構(gòu)成課程堅持強化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學(xué)生長期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評價與過程性評價相結(jié)合，側(cè)重過程性評價。（2）評價要素過程性評價主要依托學(xué)