2023年上海中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁全真考試卷（三）上海市上海中學(xué)自主招生考試試卷數(shù)學(xué)滿分150分，考試時間60分鐘1．已知，，求．2．如圖，已知，則點的坐標(biāo)為．3．已知，則．4．已知直線與軸，軸交于點為正整數(shù)），記為在對應(yīng)時的面積大小，則．5．有九個方格，把1到9這些正整數(shù)均填入其中，要使任意相鄰的三個格子的和為3的倍數(shù)種填法．6．如圖，在中，，且，則．7．有一數(shù)列（8項），首項與末項均為1，每一項與前一項比均為1或2或，這種數(shù)列有種．8．有組整數(shù)解．9．解方程：．10．如圖，在長方形中，長為4，寬為為的中點，點在上，且，求．

11．三角形三邊均為正整數(shù)，且滿足，求三邊長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．10【分析】本題考查二次根式的化簡求值，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．先利用分母有理化進(jìn)行化簡，然后再求出和的值，從而利用完全平方公式進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，，∴．2．【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系和三角形全等的判定與性質(zhì)、解直角三角形，添加輔助線并找到全等三角形是本題解題關(guān)鍵．先作垂線，再由得，再通過的直角三角形特點解出各直角邊長，從而得出點B坐標(biāo)．【詳解】如圖，過點作軸于點，過點作于點，則，，，，．又，，，．在中，，，，，，，點的坐標(biāo)為，．故答案為：，3．1【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行計算，注意運(yùn)用整體思想求解．先由已知求，再全部展開得到，再次代入已知得到，再與開始相乘得到的結(jié)果建立分式方程，解出．【詳解】由題意，得，又，．令，則，即．故答案為：1．4．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)求出，得出即可．【詳解】令，則,令，則，解得，∴，，．5．1296【分析】本題考查倍數(shù)．可以將9個格子分成3類，即從左到右第1，4，7個格子，從左到右第2，5，8個格子，從左到右第3，6，9個格子，再將同余的三個數(shù)間隔三個格子依次放入，再進(jìn)行同余的數(shù)的內(nèi)部排列，然后列式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：從左到右第1，4，7個格子里的數(shù)除以3的余數(shù)都相同；從左到右第2，5，8個格子里的數(shù)除以3的余數(shù)都相同；從左到右第3，6，9個格子里的數(shù)除以3余數(shù)都相同．將同余的三個數(shù)間隔三個格子依次放入，再進(jìn)行同余的數(shù)的內(nèi)部排列，有．故答案為：12966．【分析】本題是圓與三角形的綜合題，主要考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合垂徑定理延長，得到以及，進(jìn)而得到．【詳解】如圖，延長交于點，連結(jié)．．，，，，，．7．211【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，進(jìn)行計算求解．【詳解】設(shè)后一項與前一項的比值為，則．當(dāng)時顯然成立（數(shù)列各項均為1）；當(dāng)有1個2時，必然有1個，其它均為1，此時末項是負(fù)數(shù)不合題意；當(dāng)有2個2時，必然有2個，其它均為1，則根據(jù)分組排列共有（種）；當(dāng)有3個2時，必然有3個，此時末項是負(fù)數(shù)不合題意．綜上，這種數(shù)列有211種．故答案為：2118．9【分析】本題考查偶次冪及絕對值的性質(zhì)，結(jié)合已知條件進(jìn)行正確的分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)偶次冪及絕對值的性質(zhì)進(jìn)行分類討論即可．【詳解】將原方程配方并整理，得，，，均為整數(shù)，當(dāng)時，或0；當(dāng)時，或0；當(dāng)時，或0．綜上，有9組整數(shù)解．故答案為：99．或．【分析】本題主要考查解分式方程和一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式運(yùn)算技巧中的裂項相消法，先將方程左邊進(jìn)行化簡，再將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解并注意要驗根．【詳解】，原方程可化為，去分母并整理，得，，經(jīng)檢驗或均是原方程的解．故答案為：或10．．【分析】本題主要考查了長方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是借助中點添輔助線構(gòu)造全等三角形，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法分別用含未知數(shù)的式子表示線段，的長，進(jìn)而根據(jù)列方程求出的長．【詳解】解：如圖，延長，交于點．

四邊形是長方形，，，．是的中點，，．又，，，．，．設(shè)．，，．在中，，，，兩邊平方并整理，得，解得或（舍去），∴．11．3，7，8或4，5，6．【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是先確定z的值．根據(jù)可設(shè)，然后得出，然后確定z的值，再求的值即可．【詳解】解：由題意不妨設(shè)．，均為正整數(shù)，，顯然當(dāng)時不