2025舉一反三系列高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修3專題8.5 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題8.5列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（重難點(diǎn)題型精講）1．分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示.2．2×2列聯(lián)表假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).3．等高堆積條形圖常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征(如圖)，由此反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響.(1)等高堆積條形圖中有兩個(gè)高度相同的矩形，每一個(gè)矩形中都有兩種顏色，觀察下方顏色區(qū)域的高度，如果兩個(gè)高度相差比較明顯(即和相差很大)，就判定兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.

(2)利用等高堆積條形圖雖可以比較各個(gè)部分之間的差異，明確展現(xiàn)兩個(gè)分類變量的關(guān)系，但不能知道兩個(gè)分類變量有關(guān)系的概率大小.4．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)假定通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.則.(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.【題型1列聯(lián)表的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用列聯(lián)表直接計(jì)算和，如果兩者相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系的可能性較大.【例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）假設(shè)有兩個(gè)分類變量x與y的2×2列聯(lián)表如下表：yyxabxcd對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．a(chǎn)=5，b=4，c=3，d=2 B．a(chǎn)=5，b=3，c=4，d=2C．a(chǎn)=2，b=3，c=4，d=5 D．a(chǎn)=2，b=3，c=5，d=4【變式1-1】（2022春·福建廈門·高二階段練習(xí)）在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中，得出列聯(lián)表如圖：且最后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)分類變量A和B沒有任何關(guān)系，則a的可能值是（

）AA合計(jì)B2008001000B180a180+a合計(jì)380800+a1180+aA．200 B．720 C．100 D．180單元測(cè)試）假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，他們的取值分別為{x1,yy總計(jì)xaba+bxcdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本說明X與Y有關(guān)的可能性最大的一組是（

）A．a(chǎn)=10，b=5，c=8，d=6 B．a(chǎn)=9，b=5，c=7，d=8C．a(chǎn)=12，b=6，c=9，d=5 D．a(chǎn)=12，b=8，c=6，d=7【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：注：K2的觀測(cè)值k=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(aA．a(chǎn)=45,c=15 B．a(chǎn)=40,c=20 C．a(chǎn)=35,c=25 D．a(chǎn)=30,c=30【題型2等高堆積條形圖的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】可以從等高堆積條形圖中直觀判斷列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，這種直觀判斷的不足之處在于不能直接給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率.【例2】（2022春·吉林·高二階段練習(xí)）為了解戶籍性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例，則關(guān)于樣本下列敘述中正確的是（

）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【變式2-1】（2022春·全國·高二期末）觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間的隨機(jī)變量χ2的觀測(cè)值最小的是（

A． B．C． D．【變式2-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）為考查A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到如下等高條形圖：根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說法最佳的一項(xiàng)是（

）A．藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果B．藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果C．藥物A，B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D．藥物A，B對(duì)該疾病均沒有預(yù)防效果【題型3獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來推斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體做法：(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度(或容許犯錯(cuò)誤概率的上界)確定臨界值；(2)利用公式，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的值；(3)對(duì)照臨界值表，即可得出結(jié)論.【例3】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無力等，部分人群會(huì)伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時(shí)間個(gè)體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能恢復(fù).某興趣小組為進(jìn)一步了解新型冠狀病毒恢復(fù)所需時(shí)間，隨機(jī)抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：痊愈周數(shù)性別1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.(1)分別估計(jì)男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？(2)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)？痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計(jì)男性女性總計(jì)附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【變式3-1】（2023春·河南安陽·高三階段練習(xí)）2021年7月24日中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（以下簡(jiǎn)稱“雙減”），各省、市精心組織實(shí)施，強(qiáng)化目標(biāo)管理，治理校外培訓(xùn)行為.為了調(diào)查人們對(duì)“雙減”的滿意程度，抽取了男、女各25人對(duì)“雙減”的滿意度進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.滿意非常滿意合計(jì)男性18725女性61925合計(jì)242650(1)根據(jù)上表，如果隨機(jī)抽查1人，那么抽到此人對(duì)“雙減”滿意的概率是多少？抽到此人對(duì)“雙減”非常滿意且是女性的概率是多少？(2)能否有99.9%附：K2=nP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）國際足聯(lián)世界杯（FIFAWorldCup），簡(jiǎn)稱“世界杯”，是由全世界國家級(jí)別球隊(duì)參與，象征足球界最高榮譽(yù)，并具有最大知名度和影響力的足球賽事.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊(duì)參加比賽，共有64場(chǎng)比賽.某社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了街道內(nèi)男、女球迷各200名，統(tǒng)計(jì)了他們觀看世界杯球賽直播的場(chǎng)次，得到下面的列聯(lián)表：少于32場(chǎng)比賽不少于32場(chǎng)比賽總計(jì)男球迷a+20a+20女球迷a+40a總計(jì)(1)求a的值，并完成上述列聯(lián)表；(2)若一名球迷觀看世界杯球賽直播的場(chǎng)次不少于32場(chǎng)比賽，則稱該球迷為“資深球迷”，請(qǐng)判斷能否有95%參考公式：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【變式3-3】（2023春·湖南·高三階段練習(xí)）人們?cè)?jīng)相信，藝術(shù)家將是最后被AⅠ所取代的職業(yè)，但技術(shù)的進(jìn)步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕，這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等軟件創(chuàng)作出來的給畫作品風(fēng)格各異，乍看之下，已與人類繪畫作品無異，AⅠ會(huì)取代人類畫師嗎？某機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)60人進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)認(rèn)為會(huì)取代的有42人，30歲以下認(rèn)為不會(huì)取代的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的25(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：年齡理解情況總計(jì)會(huì)取代不會(huì)取代30歲以下1230歲及以上總計(jì)4260(2)依據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年齡與理解情況有關(guān)？并說明原因．α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828參考公式：χ2=n【題型4獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合在一起考查是一個(gè)很好的結(jié)合點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確從圖表中得到相關(guān)數(shù)據(jù).【例4】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）某省級(jí)綜合醫(yī)院共有1000名醫(yī)護(hù)員工參加防疫知識(shí)和技能競(jìng)賽，其中男性450人，為了解該醫(yī)院醫(yī)護(hù)員工在防疫知識(shí)和技能競(jìng)賽中的情況，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從中抽取100名醫(yī)護(hù)員工的成績（單位：分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績均分布在400~700分之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制的醫(yī)護(hù)員工成績的頻率分布直方圖如圖所示，將成績不低于600分的醫(yī)護(hù)員工稱為優(yōu)秀防疫員工(1)求a的值，并估計(jì)該醫(yī)院醫(yī)護(hù)員工成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若樣本中優(yōu)秀防疫員工有女性10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該醫(yī)院醫(yī)護(hù)員工的性別與是否為優(yōu)秀防疫員工有關(guān)聯(lián)？優(yōu)秀防疫員工非優(yōu)秀防疫員工合計(jì)男女合計(jì)(3)采用分層抽樣的方法從樣本中成績?cè)?50,500，600,700的醫(yī)護(hù)員工中抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名醫(yī)護(hù)員工中優(yōu)秀防疫員工的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：χ2=nα0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式4-1】（2023·高二單元測(cè)試）相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上．某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)其會(huì)員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，圖1為會(huì)員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2為會(huì)員一個(gè)月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖．若將會(huì)員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一個(gè)月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱為”健身達(dá)人”，15次及以下的會(huì)員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有56(1)現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)？年輕人非年輕人合計(jì)健身達(dá)人健身愛好者合計(jì)附：P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K(2)將（1）中相應(yīng)的頻率作為概率，該健身連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取3名會(huì)員進(jìn)行回訪，設(shè)3名會(huì)員中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式4-2】（2023春·河南安陽·高三階段練習(xí)）某超市為改善某產(chǎn)品的銷售狀況并制訂銷售策略，統(tǒng)計(jì)了過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入（單位：萬元）并分成六組制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值并估計(jì)過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入的平均值x；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)以中點(diǎn)值作代表）(2)該超市過去100天中有30天將該商品降價(jià)銷售，在該商品降價(jià)的30天中有18天該產(chǎn)品的日銷售收入不低于0.6萬元，判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為該商品的日銷售收入不低于0.6萬元與該日是否降價(jià)有關(guān).附：K2=nP0.0500.0250.010k3.8415.0246.635【變式4-3】（2023秋·浙江嘉興·高三期末）為積極響應(yīng)“反詐”宣傳教育活動(dòng)的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個(gè)車間中各抽取了100位職工的競(jìng)賽成績作為樣本.對(duì)甲車間100位職工的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到了如圖所示的成績頻率分布直方圖.(1)估算甲車間職工此次“反詐