高等數(shù)學(xué)（慕課版）教案 教學(xué)設(shè)計(jì)-4.1不定積分的概念與性質(zhì);4.2換元積分法

《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)授課內(nèi)容：不定積分的概念和性質(zhì)授課教師：授課單位：完成時(shí)間：授課信息授課內(nèi)容授課時(shí)長(zhǎng)4.1不定積分的概念和性質(zhì)2學(xué)時(shí)授課形式授課時(shí)間理論課授課對(duì)象授課地點(diǎn)內(nèi)容分析前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微分學(xué)，但在具體的研究中，還會(huì)遇到相反的問(wèn)題：已知導(dǎo)數(shù)求原來(lái)函數(shù)的問(wèn)題，由此產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué)。不定積分的是一元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分，它前接前面所學(xué)的一元函數(shù)微分學(xué)，后接一元函數(shù)積分學(xué)中的定積分，在知識(shí)上起到承前啟后的作用。學(xué)情分析1、知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)一元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)所有知識(shí)；2、認(rèn)知能力：具備基本的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3、學(xué)習(xí)特點(diǎn)：對(duì)抽象的概念性知識(shí)的理解能力差一些。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1、理解原函數(shù)和不定積分的概念；2、了解不定積分的幾何意義；3、理解不定積分的性質(zhì)；理解、記憶基本積分公式。能力目標(biāo)：1、能用不定積分的概念求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分；2、熟記基本積分公式，會(huì)借助公式和性質(zhì)（直接積分法）求不定積分。素質(zhì)目標(biāo)：1、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和解決問(wèn)題的方法論；2、引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1、不定積分概念和性質(zhì)的理解；2、直接積分法求不定積分。教學(xué)難點(diǎn)：直接積分法求不定積分教學(xué)方法案例教學(xué)法、引導(dǎo)探究法、講授法、練習(xí)法、演示法教學(xué)設(shè)計(jì)課前任務(wù)→回顧復(fù)習(xí)+導(dǎo)入新課（5min）→講授新課（62min）→鞏固提高（20min）→歸納總結(jié)（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設(shè)計(jì)1、由求導(dǎo)和求積分的互逆關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生要用發(fā)展的、辯證的眼光看待問(wèn)題；2、由不定積分的定義求不定積分關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，由此啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題要抓關(guān)鍵，“捉住了這個(gè)主要矛盾，一切問(wèn)題就迎刃而解了”；3、再由不定積分是全體原函數(shù)，提示學(xué)生不要忘記“+常數(shù)C”，啟發(fā)學(xué)生做事情要細(xì)致全面。教學(xué)過(guò)程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課前導(dǎo)學(xué)1、登錄在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，學(xué)習(xí)相關(guān)資源：課前預(yù)習(xí)PPT；2、研讀學(xué)習(xí)任務(wù)要求，了解學(xué)習(xí)任務(wù)內(nèi)容；3、完成課前討論：已知導(dǎo)函數(shù)，如何求原函數(shù)？1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過(guò)學(xué)習(xí)通觀測(cè)任務(wù)完成情況，及時(shí)督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。按時(shí)完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個(gè)人學(xué)習(xí)難點(diǎn)。1、鍛煉自學(xué)能力：自主預(yù)習(xí)，掌握易點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)；2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課【回顧復(fù)習(xí)】一元函數(shù)微分學(xué)的核心問(wèn)題回顧復(fù)習(xí)。帶領(lǐng)學(xué)生回顧一元函數(shù)微分學(xué)的核心問(wèn)題。跟隨教師回顧復(fù)習(xí)，并積極思考。根據(jù)“建構(gòu)主義理論”，任務(wù)的目標(biāo)性與教學(xué)情境的創(chuàng)建，使學(xué)生帶著任務(wù)學(xué)習(xí)，有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲?！疽胄轮恳阎獙?dǎo)函數(shù)，如何求原函數(shù)？帶領(lǐng)學(xué)生一起探究課前的思考題，了解學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)情況。學(xué)生積極思考復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)積分奠定基礎(chǔ)。探究新知一、原函數(shù)1、原函數(shù)概念的引入2、原函數(shù)的概念3、原函數(shù)的性質(zhì)1、借助瞬時(shí)速度和位移的關(guān)系，導(dǎo)入問(wèn)題：已知瞬時(shí)速度，如何求位移？由此引出原函數(shù)的概念；2、介紹原函數(shù)的概念，并舉例說(shuō)明；3、從所舉例子中，帶領(lǐng)學(xué)生分析總結(jié)原函數(shù)的特點(diǎn)（性質(zhì)）。認(rèn)真聆聽(tīng)為主，積極思考教師的問(wèn)題和新知識(shí)的講授。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。二、不定積分1、不定積分的定義2、用定義求簡(jiǎn)單的不定積分3、不定積分的幾何意義1、針對(duì)原函數(shù)的不唯一性以及原函數(shù)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生逐步獲得不定積分的概念，進(jìn)一步理解微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的這一重要關(guān)系；2、引導(dǎo)學(xué)生用不定積分的定義求解簡(jiǎn)單的不定積分，并總結(jié)常用的幾個(gè)不定積分公式；3、簡(jiǎn)單說(shuō)明一下不定積分的幾何意義。1、認(rèn)真聆聽(tīng)為主，并做好筆記；2、在教師的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)用不定積分的定義求簡(jiǎn)單的不定積分.三、直接積分法1、基本積分表2、不定積分的性質(zhì)1、給出基本積分表，并指導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)和不定積分的關(guān)系快速記住公式；2、在給出基本積分表之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行應(yīng)用練習(xí)；3、講解不定積分的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生利用性質(zhì)計(jì)算稍復(fù)雜的不定積分；并說(shuō)明什么是“直接積分法”。1、認(rèn)真聆聽(tīng)為主，積極思考教師的問(wèn)題和新知識(shí)的講授；2、在教師的引導(dǎo)下，對(duì)公式和性質(zhì)進(jìn)行認(rèn)真的練習(xí)。鞏固提高1、利用不定積分的定義求簡(jiǎn)單的不定積分2、利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)求不定積分1、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)新知進(jìn)行鞏固練習(xí)，已達(dá)到真正內(nèi)化的效果。2、留一定時(shí)間給學(xué)生做習(xí)題，查看學(xué)生的做題情況。認(rèn)真聆聽(tīng)教師對(duì)例題的講解；獨(dú)立完成練習(xí)題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。分層次設(shè)置練習(xí)，循序漸進(jìn)地使學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)。課堂小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)、要點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)：1、不定積分的概念；2、直接積分法。和學(xué)生一起回顧與強(qiáng)調(diào)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。認(rèn)真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強(qiáng)化課堂學(xué)習(xí)效果。課后環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖拓展任務(wù)【書(shū)面作業(yè)】習(xí)題4-14、（1）（2）（4）（5）【擴(kuò)展】查閱資料，了解不定積分的歷史背景以及不定積分在專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用。1、發(fā)布任務(wù)2、指導(dǎo)協(xié)助了解情況并給予指導(dǎo)。接受任務(wù)，查閱課本與資料，認(rèn)真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學(xué)，又起到預(yù)習(xí)作用。教學(xué)評(píng)價(jià)（1）評(píng)價(jià)構(gòu)成課程堅(jiān)持強(qiáng)化過(guò)程性評(píng)價(jià)、探索增值性評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)改革要求，著眼于學(xué)生長(zhǎng)期發(fā)展需要的滿(mǎn)足，將終結(jié)性評(píng)價(jià)與過(guò)程性評(píng)價(jià)相結(jié)合，側(cè)重過(guò)程性評(píng)價(jià)。（2）評(píng)價(jià)要素過(guò)程性評(píng)價(jià)主要依托學(xué)習(xí)通平臺(tái)，完成課前、課中和課后全過(guò)程學(xué)習(xí)軌跡記錄和評(píng)價(jià)。主要包括：課前任務(wù)完成、課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)、課后任務(wù)完成情況等要素。（3）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在評(píng)價(jià)學(xué)生時(shí)注重“三個(gè)結(jié)合”：學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)合、理論知識(shí)與實(shí)踐能力結(jié)合、課程學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合教學(xué)反思策略：1、通過(guò)實(shí)例引入，化抽象為直觀，啟迪學(xué)生思考。2、加強(qiáng)與生活實(shí)際和專(zhuān)業(yè)課聯(lián)系，學(xué)以致用。改進(jìn)：加強(qiáng)與學(xué)生互動(dòng)，嘗試實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂。板書(shū)設(shè)計(jì)4.1不定積分的概念和性質(zhì)（主板）一、原函數(shù)的概念定義定義1若或，則稱(chēng)為的一個(gè)原函數(shù)性質(zhì)不定積分的概念1、定義定義2．2、幾何意義基本積分表四、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1(是常數(shù)，)性質(zhì)2（副板）例題重點(diǎn)步驟《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容：換元積分法授課單位：授課教師：完成時(shí)間：

授課信息授課內(nèi)容授課時(shí)長(zhǎng)4.2換元積分法4學(xué)時(shí)授課形式授課時(shí)間理論課授課對(duì)象授課地點(diǎn)內(nèi)容分析利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分非常有限，因此有必要進(jìn)一步來(lái)研究不定積分的求法，本節(jié)把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱(chēng)為換元積分法，簡(jiǎn)稱(chēng)換元法，換元法通常分為兩類(lèi)——第一類(lèi)換元積分法和第二類(lèi)換元積分，換元法是解決積分計(jì)算的最重要的方法之一。學(xué)情分析1、知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本積分公式和不定積分的性質(zhì)，會(huì)用直接積分法計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分；2、認(rèn)知能力：具備基本的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3、學(xué)習(xí)特點(diǎn)：舉一反三、逆向求解問(wèn)題的能力弱一些。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1、熟悉第一、第二換元積分法的適用場(chǎng)景；2、掌握第一、第二換元積分法求解方法。能力目標(biāo)：能熟練運(yùn)用換元積分法求不定積分。素質(zhì)目標(biāo)：1、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；2、引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1、第一換元積分法（湊微分法）、第二換元積分法的思想與原理；2、第一換元積分法（湊微分法）、第二換元積分法的適用場(chǎng)景。教學(xué)難點(diǎn)：第一換元積分法（湊微分法）、第二換元積分法的使用教學(xué)方法引導(dǎo)探究法、講授法、問(wèn)答法、練習(xí)法、演示法教學(xué)設(shè)計(jì)課前任務(wù)→回顧復(fù)習(xí)+導(dǎo)入新課（7min）→講授新課（60min）→鞏固提高（20min）→歸納總結(jié)（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設(shè)計(jì)換元積分法實(shí)際上是一種創(chuàng)造性的思維方法，原本不能用積分公式及性質(zhì)求解的不定積分，通過(guò)“換元”，便能巧妙地利用積分公式及性質(zhì)求解。基于此，啟發(fā)學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)和生活中，遇到困難時(shí)要積極思考，主動(dòng)創(chuàng)造解決問(wèn)題的條件，不要被困難束縛，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力以及克服困難的意志。教學(xué)過(guò)程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課前導(dǎo)學(xué)1、課前復(fù)習(xí)：熟記13個(gè)基本積分公式。2、預(yù)習(xí)新課，完成課前小測(cè)試。1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過(guò)學(xué)習(xí)通觀測(cè)任務(wù)完成情況，及時(shí)督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。按時(shí)完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個(gè)人學(xué)習(xí)難點(diǎn)。1、鍛煉自學(xué)能力：自主學(xué)習(xí)，掌握易點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)；2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況，掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課【回顧復(fù)習(xí)】直接積分法；基本積分公式。帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)直接積分法；聽(tīng)寫(xiě)基本積分公式，為學(xué)習(xí)新課打下基礎(chǔ)。認(rèn)真復(fù)習(xí)、認(rèn)真默寫(xiě)公式。根據(jù)“建構(gòu)主義理論”，任務(wù)的目標(biāo)性與教學(xué)情境的創(chuàng)建，使學(xué)生帶著任務(wù)學(xué)習(xí)，有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲?！疽胄轮繌?fù)雜不定積分初探——當(dāng)被積函數(shù)是一復(fù)合函數(shù)的時(shí)候，如何求解其不定積分？由一個(gè)可直接用公式求解的簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分引出如何計(jì)算所給的復(fù)合函數(shù)的不定積分？引導(dǎo)學(xué)生積極思考，一步步地引出正確的求解方法——湊微分法。學(xué)生積極思考復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)奠定基礎(chǔ)。探究新知一、第一換元積分法1.方法2.應(yīng)用湊微分法的主要適用情形以及具體的求解方法。1.簡(jiǎn)單介紹不定積分的湊微分的核心要義；讓學(xué)生理解應(yīng)用這種方法求解不定積分的關(guān)鍵是是什么。2.借助例題講解湊微分法主要解決哪兩類(lèi)問(wèn)題的求解及具體的求解步驟：（1）當(dāng)被積函數(shù)是一個(gè)單獨(dú)的復(fù)合函數(shù)的情形；（2）當(dāng)被積函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)和一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)乘積的情形；總結(jié)求解口訣：一看二湊三比較。1.認(rèn)真聆聽(tīng)教師對(duì)新方法的講授，體會(huì)湊微分法的核心思想。2.邊聽(tīng)邊總結(jié)兩類(lèi)題目湊微分的步驟，注意應(yīng)用的細(xì)節(jié)，避免犯錯(cuò)。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。第二換元積分法1.方法2.應(yīng)用第二換元積分法的具體分類(lèi)：整體代換法三角代換法倒代換（了解即可）。1.講解第二換元積分法及主要適用場(chǎng)景。2.借助例題講解講解第二換元積分法的具體分類(lèi)，通過(guò)對(duì)應(yīng)例題講解不同方法的具體實(shí)施過(guò)程；并且分類(lèi)總結(jié)。認(rèn)真聆聽(tīng)教師對(duì)新方法的講授，體會(huì)第二換元積分法的核心思想。鞏固提高利用換元積分法求解不定積分；例題后面跟著練習(xí)。1、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的積分方法進(jìn)行鞏固練習(xí)，已達(dá)到真正內(nèi)化的效果；2、留一定時(shí)間給學(xué)生做習(xí)題練習(xí)，并講評(píng)學(xué)生的做題情況。認(rèn)真聆聽(tīng)教師對(duì)例題的講解；獨(dú)立完成練習(xí)題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。分層次設(shè)置練習(xí)，循序漸進(jìn)地使學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)。課堂小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)、要點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)。和學(xué)生一起回顧與強(qiáng)調(diào)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。認(rèn)真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強(qiáng)化課堂學(xué)習(xí)效果。課后環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖拓展任務(wù)【書(shū)面作業(yè)】課后習(xí)題1、2題【擴(kuò)展】思考：被積函數(shù)中如果是兩類(lèi)不同函數(shù)的乘積的形式，目前所學(xué)的積分方法是否還能求解？1、發(fā)布任務(wù)2、指導(dǎo)協(xié)助了解情況并給予指導(dǎo)。接受任務(wù)，查閱課本與資料，認(rèn)真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學(xué)，又起到預(yù)習(xí)作用。教學(xué)評(píng)價(jià)（1）評(píng)價(jià)構(gòu)成課程堅(jiān)持強(qiáng)化過(guò)程性評(píng)價(jià)、探索增值性評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)改革要求，著眼于學(xué)生長(zhǎng)期發(fā)展需要的滿(mǎn)足，將終結(jié)性評(píng)價(jià)與過(guò)程性評(píng)價(jià)相結(jié)合，側(cè)重過(guò)程性評(píng)價(jià)。（2）評(píng)價(jià)要素過(guò)程性評(píng)價(jià)主要依托學(xué)習(xí)通平臺(tái)，完成課前、課中和課后全過(guò)程學(xué)習(xí)軌跡記錄和評(píng)價(jià)。主要包括：課前任務(wù)完成、課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)、課后任務(wù)完成情況等要素。（3）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在評(píng)價(jià)學(xué)生時(shí)注重“三個(gè)結(jié)合”：學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)合、理論知識(shí)與實(shí)踐能力結(jié)合、課程學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合教學(xué)反思1、第一換元積分法即湊微分法是一種很重要的積分方法，一定要