《自動控制原理及其應用》課件第2章

第2章自動控制系統(tǒng)的數學模型

2.1系統(tǒng)的微分方程

2.2拉普拉斯變換

2.3傳遞函數

2.4系統(tǒng)方框圖

2.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數和方框圖

2.6環(huán)節(jié)的基本連接方式及其總傳遞函數

2.7方框圖的等效變換及化簡

小結

2.1系統(tǒng)的微分方程

描述系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關系的最直接的數

學方法是列寫系統(tǒng)的微分方程(DifferentialEquationofSystems)。當系統(tǒng)的輸入量和輸出量都是時間t的函數時，

其微分方程可以確切地描述系統(tǒng)的運動過程。微分方程是

系統(tǒng)最基本的數學模型。

1.建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：

(1)全面了解系統(tǒng)的工作原理、結構組成和支持系統(tǒng)運動的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。

(2)一般從系統(tǒng)的輸入端開始，根據各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。

(3)將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯系起來消去中間變量，求取一個僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。

(4)將該方程整理成標準形式。即把與輸入量有關的各項放在方程的右邊，把與輸出量有關的各項放在方程的左邊，各導數項按降冪排列，并將方程的系數化為具有一定物理意義的表示形式，如時間常數等。

2.建立系統(tǒng)微分方程舉例

【例1】有源電路網絡如圖2-1所示，試列寫其微

分方程。

系統(tǒng)中：ur(t)——輸入電壓；uc(t)——輸出電壓；

K0——運算放大器開環(huán)放大倍數。圖2-1有源電路網絡

解理想運算放大器有兩個特點：

(1)放大倍數K0的值很大，uc(t)=K0Δui(t)，所以

Δui(t)≈0;

(2)輸入阻抗Ri很大，所以Ii≈0。設運算放大器的反相輸入端為A點。因為uc(t)=－K0uA(t),所以，A點電位為

因為一般輸入阻抗很高，所以據此，可列出

即

【例2】圖2-2所示為一有源RC網絡，設電路輸入電

壓為ur(t)，輸出電壓為uc(t)。圖中A為理想運算放大器，試列寫其微分方程。圖2-2有源RC網絡

解由于理想運算放大器A工作在線性狀態(tài)，其開環(huán)增益很大，根據理想運算放大器“虛地”的特點，有

且于是有

整理成標準形式，即若令T=R1C1為時間常數，K=-R1/R0為放大系數，則可得

(2-1)

【例3】如圖2-3所示的RLC串聯電路，設輸入

量為ur(t)，輸出量為uc(t)，試列寫出該網絡的微分方程。圖2-3

RLC串聯電路

解根據電路理論中的基爾霍夫定律和元件的電壓與電流的關系有

i(t)為流經電阻R、電感L及電容C的電流。以上兩式消去中間變量i(t)，并整理成標準形式，可得

若令T1=L/R、T2=RC為時間常數，則上式可寫為

(2-2)

【例4】如圖2-4所示為一化工生產中常見的雙容液

位對象。設輸入量F1為流入液體流量，輸出量L2為儲罐2的液位高度。試建立L2與F1之間的動態(tài)方程。圖2-4兩個串聯液體儲罐

解為便于分析，假設液體儲罐1和儲罐2近似為線性對象，即阻力系數R1、R2均為常數。根據流體連續(xù)性原理，對于儲罐1和儲罐2有以上各式中，R1、R2

為儲罐1、2的閥門阻力系數；A1、A2

為儲罐1、2的底面積(容量系數)，V1、V2為儲罐1、2的流體體積(V=AL)；L1、L2為儲罐1、2的液體高度。

聯立式(2-3)～式(2-8)，并整理后得

(2-9)

若令T1=A1R1,T2=A2R2為時間常數，K=R2為放大系數,

則可得到

(2-10)

【例5】如圖2-5所示為電樞電壓控制的他勵直流電

動機的示意圖。直流電動機是調速系統(tǒng)的被控對象。現以

電樞電壓ua為輸入量，電動機轉速n為輸出量，試建立其微

分方程。圖2-5他勵直流電動機示意圖

解根據電路定律及元件特性，有設轉動慣量

式中g=9.8m/s2。又設將以上兩式代入式(2-13)有

(2-15)

式中，轉速慣量若勵磁回路電流if恒定，負載轉矩TL為電動機的外部擾動量，則可分析改變輸入量ua對電動機轉速n的影響。

由式(2-11)、式(2-12)、式(2-14)和式(2-15)，消去中間變量，并化成標準形式，可得

(2-16)其中，Tm為直流電動機的機電時間常數，即

(2-17)

Ta為電樞回路電磁時間常數，即

(2-18)

【例6】如圖2-6所示為一個彈簧、質量和阻尼器

組成的機械系統(tǒng)，若外力F(t)作用于質量為m的物體，其輸出量y(t)為位移，試列寫該系統(tǒng)F(t)與y(t)之間的微分方程。圖2-6彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)

解根據牛頓第二定律，可得

(2-19)

又有

(2-20)

(2-21)將式(2-20)、式(2-21)代入式(2-19)，可得微分方程為

移項整理得

(2-22)

2.2拉普拉斯變換

1.拉氏變換的概念

若將時間域函數f(t)，乘以指數函數e-st(其中s=σ+jω，是一個復數)，再在0～∞(本書如無特指，∞均指+∞)之間對t進行積分，就得到一個新的復頻域函數F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換式，并可用符號表示。

(2-23)

【例1】求單位階躍函數(UnitStepFunction)1(t)的象

函數。

解在自動控制系統(tǒng)中，單位階躍函數是一個突加作用信號，相當于一個開關的閉合(或斷開)，單位階躍函數的定義式為由拉氏變換的定義得1(t)的象函數為

(2-24)

單位階躍函數如圖2-7所示。圖2-7單位階躍函數

【例2】求斜坡函數(RampFunction)的象函數。

斜坡函數的定義式為

式中，K為常數。

解在自動控制系統(tǒng)中，斜坡函數是一個對時間作均勻變化的信號。在研究跟隨系統(tǒng)時，常以斜坡信號作為典型的輸入信號。同理，根據拉氏變換的定義式有

(2-25)

這里應用了積分學中的分部積分法，即若式(2-25)中K=1，則單位斜坡函數的象函數為

【例3】求指數函數(ExponentialFunction)e-αt的象函數。

解由式(2-23)，有

(2-26)

【例4】求正弦函數(SinusoidalFunction)f(t)=sinωt的象函數。

解由式(2-23)，有

(2-27)這里應用了歐拉公式：

實際上，常把原函數與象函數之間的對應關系列成對

照表的形式。通過查表，就能夠知道原函數的象函數或象

函數的原函數，十分方便。常用函數的拉氏變換對照表見

表2-1。

2.拉氏變換的運算定理

1)疊加定理

兩個函數代數和的拉氏變換等于兩個函數拉氏變換的代數和。即

(2-28)

證

2)比例定理

K倍原函數的拉氏變換等于原函數拉氏變換的K倍。即

(2-29)

證

3)微分定理

(2-30)

及在零初始條件下，

(2-31)

證當初始條件f(0)=0時，有

同理，可求得若具有零初始條件，即

則

4)積分定理

(2-32)

及在零初始條件下,

(2-33)

證當初始條件時，由上式有

同理，可以證明在零初始條件下有

5)位移定理

(2-34)

證

6)初值定理

(2-35)

證

由微分定理有

當s→∞時，e-st→0，對上式左邊取極限有

代入上式有

即

7)終值定理

(2-36)

證

由微分定理有對上式兩邊取極限

(2-37)

由于當s→0時，e-st→1，所以式(2-37)左邊可寫成將上式代入式(2-37)，兩邊消去f(0)，得

上式表明，原函數f(t)在t→∞時的數值(穩(wěn)態(tài)值)，可以通過將象函數F(s)乘以s后，再求s→0時的極限值來求得。條件是當t→∞和s→0時，等式兩邊各有極限存在。終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時(例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等)有著很多的應用，因此,終值定理也是一個十分重要的運算定理。

由于拉氏變換具有上述這些重要的運算定理，使得拉

氏變換的應用更加方便。表2-2為拉氏變換的主要運算定理一覽表。

3.拉氏反變換

由象函數F(s)求取原函數f(t)的運算稱為拉氏反變換(InverseLaplaceTransform)。拉氏反變換常用下式表示:

拉氏變換和拉氏反變換是一一對應的，所以，通?？梢酝ㄟ^查表來求取原函數。在自動控制理論中常遇到的象函數是s的有理分式，即展開部分分式的方法是先求出方程A(s)=0的根s1,s2,…,sn。

于是，B(s)/A(s)可以寫成如下形式:

設A(s)=0無重根，則上式可展開成如下部分分式:

(2-38)如果確定了每個部分分式中的待定系數Ci(i=1,2,…,n)，則由拉氏變換表即可查得F(s)的反變換。

如求C1時，用s－s1乘以式(2-38)，并令s=s1，即

在上式中，當s=s1時，s－s1=0，所以方括號中的各項將為零。于是，同理，其余系數可由下式求出：

(2-39)

全部待定系數求出后，運用拉氏變換線性性質，即可求得

(2-40)

當然，對比較簡單的象函數，除應用上述方法外，也可用直接通分的方法來求取待定系數。2.3傳遞函數

1.傳遞函數的定義

傳遞函數是在用拉氏變換求解微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程這一數學模型不僅計算麻煩，并且它所表示的輸入、輸出關系復雜而不明顯。但是，經過拉氏變換的微分方程卻是一個代數方程，可以進行代數運算，從而可以用簡單的比值關系描述系統(tǒng)的輸入、輸出關系。據此，建立了傳遞函數這一數學模型。傳遞函數的定義為：在初始條件為零時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即

(2-41)

2.傳遞函數的一般表達式

如果系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，并由下列微分方程描述:在初始條件為零時，對方程兩邊進行拉氏變換,有

即根據傳遞函數的定義有

(2-42)

3.傳遞函數的性質

傳遞函數有以下性質：

(1)傳遞函數是由微分方程變換得來的，它和微分方程之間存在著一一對應關系。

(2)傳遞函數是復變量s(s=σ+jω)的有理分式，s是復數，而分式中的各項系數an,an-1,…,a1,a0,以及bm,bm-1,…,b1,b0都是實數，它們是由組成系統(tǒng)的元件的參數構成的。

(3)傳遞函數是一種運算函數。

(4)傳遞函數的分母是它所對應系統(tǒng)微分方程的特征方程的多項式，即傳遞函數的分母是特征方程(CharacteristicEquation)ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0等號左邊的部分。

2.4系統(tǒng)方框圖

方框圖(BlockDiagram)又稱結構圖，它是傳遞函數的

一種圖形描述方式，它可以形象地描述自動控制系統(tǒng)中各單元之間和各作用量之間的相互聯系，具有簡明直觀、運算方便的優(yōu)點，所以方框圖在分析自動控制系統(tǒng)中獲得了廣泛

的應用。

方框圖由信號線、引出點、比較點和功能框等部分組成，它們的圖形如圖2-8所示。圖2-8方框圖的圖形符號(a)功能框;(b)引出點及信號線;(c)比較點

1.功能框(BlockDiagram)

如圖2-8(a)所示，框左邊向內箭頭為輸入量(拉氏式)，框右邊向外箭頭為輸出量(拉氏式)，框內為系統(tǒng)中一個相對獨立的單元的傳遞函數G(s)。它們間的關系為C(s)=G(s)R(s)。

2.信號線(SignalLine)

信號線表示信號流通的路徑和方向，流通方向用箭頭表示。在系統(tǒng)的前向通路中，箭頭指向右方，信號由左向右流通。因此輸入信號在最左端，輸出信號在最右端。而在反饋

回路中則相反，箭頭由右指向左方，參見圖2-9。

3.引出點(PickoffPoint)

如圖2-8(b)所示，引出點(又稱分點)表示信號由該點取出。從同一信號線上取出的信號，其大小和性質完全相同。

4.比較點(ComparingPoint)

比較點如圖2-8(c)所示。比較點又稱和點(SummingPoint)，其輸出量為各輸入量的代數和。因此在信號輸入處要注明它們的極性。

圖2-9為一典型自動控制系統(tǒng)的方框圖。它通常包括前向通路和反饋回路(主反饋回路和局部反饋回路)、引出點和比較點、輸入量R(s)、輸出量C(s)、反饋量B(s)和偏差量

E(s)。圖中,各種變量均標以大寫英文字母的拉氏式(如X(s))，功能框中均為傳遞函數。圖2-9典型自動控制系統(tǒng)方框圖

2.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數和方框圖

1.比例環(huán)節(jié)(ProportionalElement)

輸出量與輸入量成比例的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié),如圖2-10所示，其微分方程為

(2-43)

式中，K為比例環(huán)節(jié)的放大系數。圖2-10比例環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線(a)比例環(huán)節(jié)方框圖；(b)比例環(huán)節(jié)單位階躍響應將式(2-43)兩邊取拉氏變換有

整理后得該環(huán)節(jié)的傳遞函數G(s)，即

(2-44)當r(t)=1(t)時，有

得到

比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線如圖2-10(b)所示?？梢?比例環(huán)節(jié)的輸出量能立即響應輸入量。

常見的比例環(huán)節(jié)，如電阻分壓器、比例運算放大器、齒輪減速器和測速發(fā)電機等，分別如圖2-11(a)、(b)、(c)、(d)所示。比例環(huán)節(jié)是最基本的環(huán)節(jié)。圖2-11常見的比例環(huán)節(jié)

2.積分環(huán)節(jié)(IntegralElement)

輸出量與輸入量對時間的積分成正比的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，如圖2-12(a)所示，其微分方程為

(2-45)

式(2-45)經拉氏變換，并整理可得該環(huán)節(jié)的傳遞函數為

(2-46)

式中，T為積分時間常數。圖2-12積分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線(a)積分環(huán)節(jié)方框圖；(b)積分環(huán)節(jié)單位階躍響應當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為

則輸出量響應為積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線如圖2-12(b)所示?？梢?積分環(huán)節(jié)的輸出量隨時間的變化而不斷增加，其斜率為1/T。

積分環(huán)節(jié)是過程控制中最重要的環(huán)節(jié)，常見的積分環(huán)節(jié)如圖2-13所示。圖2-13常見的積分環(huán)節(jié)

3.微分環(huán)節(jié)(DerivativeElement)

輸出量與輸入量的導數成正比的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié),如圖2-14(a)所示，其微分方程為

(2-47)

式中，T為微分時間常數。經拉氏變換，得該環(huán)節(jié)的傳遞函數為

(2-48)圖2-14微分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線(a)微分環(huán)節(jié)方框圖；(b)微分環(huán)節(jié)單位階躍響應當輸入量r(t)=1(t)時，微分環(huán)節(jié)輸出量C(s)為

則響應

式中，δ(t)為單位脈沖函數。

c(t)的單位階躍響應曲線如圖2-14(b)中的c(t)所示，c(t)是理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線，其在t=0的時刻，輸出c(t)從0→∞，再從∞→0。實際上微分特性總是含有慣性的，實際微分環(huán)節(jié)的微分方程為

其傳遞函數為

(2-49)則單位階躍響應

c′(t)的輸出量變化曲線如圖2-14(b)所示。

4.慣性環(huán)節(jié)(InertialElement)

含有一個儲能元件和一個耗能元件的環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量的微分方程為

(2-50)

式中，T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數；K為慣性環(huán)節(jié)的放大系數。

對式(2-50)作拉氏變換并整理，得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數G(s)為

(2-51)

慣性環(huán)節(jié)的方框圖如圖2-15(a)所示。圖2-15慣性環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線(a)慣性環(huán)節(jié)方框圖；(b)慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為

可得其單位階躍響應為當K=1時，慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線如圖2-15(b)所示。對慣性環(huán)節(jié)的階躍響應曲線進行分析，可得C(0)=0，C(T)=0.632，C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C(∞)→1。因此，

慣性環(huán)節(jié)在輸入量突變時，輸出量不能突變，只能隨著時間的推移按指數規(guī)律變化，這表明該環(huán)節(jié)具有慣性特點。常見的慣性環(huán)節(jié)如圖2-16所示。圖2-16常見的慣性環(huán)節(jié)

5.一階微分環(huán)節(jié)(Proportional-DerivetiveElement)

一階微分環(huán)節(jié)也稱比例微分環(huán)節(jié)，它是由比例環(huán)節(jié)加微分環(huán)節(jié)構成的，它的微分方程為

(2-52)

式中，T為微分時間常數。

對式(2-52)作拉氏變換并整理，得傳遞函數G(s)為

(2-53)

比例微分環(huán)節(jié)的方框圖如圖2-17(a)所示。圖2-17比例微分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線(a)比例微分環(huán)節(jié)方框圖；(b)比例微分環(huán)節(jié)單位階躍響應當輸入量r(t)=1(t)時，即R(s)=1/s，有輸出量C(s)為

則其單位階躍響應為

比例微分環(huán)節(jié)的響應曲線如圖2-17(b)所示。一階微分環(huán)節(jié)的實例如圖2-18所示。分析該環(huán)節(jié)，不難得到其傳遞函數為

其中，K=－R1/R0為比例放大系數；T0=R0C0為微分時間常數。圖2-18一階微分環(huán)節(jié)

6.振蕩環(huán)節(jié)(OscillatingElement)

振蕩環(huán)節(jié)也稱二階環(huán)節(jié)，它的微分方程通常表達為

(2-54)

式中,T為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數；ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比(又稱阻尼系數)。對式(2-54)作拉氏變換，可得

移項整理有

(2-55)令T=1/ωn,ωn為該環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率,則式

(2-55)可改寫成如下形式:

(2-56)

振蕩環(huán)節(jié)的方框圖如圖2-19(a)所示。圖2-19振蕩環(huán)節(jié)方框圖及單位階躍響應曲線(a)振蕩環(huán)節(jié)方框圖；(b)振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應若輸入量為r(t)=1(t)，則輸出量的傳遞函數為

查表2-1，可得該環(huán)節(jié)的單位階躍響應為

(2-57)

式中,為阻尼振蕩頻率；

為輸出量與輸入量的相移。

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線一般如圖2-19(b)所示。振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應，隨著阻尼比ζ的不同，表現出不同的動態(tài)響應過程，如圖2-20所示。圖2-20振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線從圖2-20中不難發(fā)現，二階振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線c(t)的振蕩過程劇烈程度隨阻尼比ζ值的變化而變化，ζ值越小，振蕩越強烈。當ζ=0時，響應c(t)為等幅振蕩過程；當0<ζ<1時，響應c(t)為衰減振蕩過程，它是過程控制中常常采用的形式；當ζ≥1時，響應c(t)為單調(非振蕩)上升過程，當對被控變量要求超調量為零時，采用此過渡過程形式,其中,ζ=1時是臨界振蕩過程。

二階環(huán)節(jié)振蕩過程的實例很多。在控制系統(tǒng)中，若含有兩種不同形式的儲能元件，而這兩種儲能元件又能進行能量交換，就有可能出現振蕩而形成振蕩環(huán)節(jié)，如圖2-21所示的RLC串聯電路。圖2-21

RLC串聯電路在圖2-21所示電路中，若輸入量為ur(t)=1(t)，輸出量為uc(t)，則微分方程為

其傳遞函數G(s)為令T2=LC,則得

為無阻尼自然振蕩頻率。又令2ζT=RC,得

為系統(tǒng)的阻尼比。2.6環(huán)節(jié)的基本連接方式及其總傳遞函數

1.串聯連接(SeriesConnection)

環(huán)節(jié)間的串聯連接是指環(huán)節(jié)間輸入信號和輸出信號的串聯傳遞關系，如圖2-22所示。前一個環(huán)節(jié)的輸出即為后一環(huán)節(jié)的輸入，第一個環(huán)節(jié)的輸入作為整個環(huán)節(jié)組的輸入，最后一個環(huán)節(jié)的輸出作為整個環(huán)節(jié)組的輸出。圖2-22環(huán)節(jié)串聯連接的方框圖設各串聯環(huán)節(jié)的傳遞函數分別為G1(s),G2(s),…,Gn(s)，那么各環(huán)節(jié)串聯以后總的傳遞函數(等效傳遞函數)G(s)為

(2-58)

即若干個環(huán)節(jié)串聯后的總傳遞函數等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數的乘積。

2.并聯連接(ParallelConnection)

環(huán)節(jié)的并聯連接方式如圖2-23所示。在并聯連接中，各環(huán)節(jié)的輸入相同，而總的輸出為各個環(huán)節(jié)輸出的代數和。圖2-23環(huán)節(jié)的并聯連接的方框圖設有三個環(huán)節(jié)并聯連接(見圖2-23)，各環(huán)節(jié)的傳遞函數分別為

則并聯后總的傳遞函數為對于n個環(huán)節(jié)的并聯連接，總的傳遞函數為

(2-59)

即環(huán)節(jié)并聯后的總傳遞函數等于各個環(huán)節(jié)的傳遞函數的代數和。

3.反饋連接(FeedbackConnection)

兩個環(huán)節(jié)的反饋連接方式如圖2-24所示。兩個環(huán)節(jié)相互作用形成一個閉環(huán)系統(tǒng)。

設系統(tǒng)的輸入信號為R(s)，輸出信號為C(s)，前向環(huán)節(jié)的傳遞函數為G1(s)，反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數為H(s)。兩個環(huán)節(jié)反饋連接時的傳遞函數G(s)=C(s)/R(s)可以從圖2-24的關系中

求出。圖2-24環(huán)節(jié)的反饋連接

1)負反饋的情況

當反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相減時,稱為負反饋,此時

C(s)=G1(s)［R(s)－H(s)C(s)］

整理后得

因此，負反饋連接的總傳遞函數為

(2-60)

2)正反饋的情況

當反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相加時，稱為正反饋，

此時

整理后得因此，正反饋連接的總傳遞函數為

(2-61)

綜合負反饋和正反饋兩種情況，閉環(huán)系統(tǒng)的總傳遞函數G(s)為

(2-62)從式(2-62)中，可以看到一個很有意義的現象，如果前向環(huán)節(jié)放大倍數很大，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數就簡化為

(2-63)

即反饋系統(tǒng)的動態(tài)特性主要決定于反饋環(huán)節(jié)的動態(tài)特性?？偟膫鬟f函數近似為反饋環(huán)節(jié)傳遞函數的倒數，而與前向環(huán)節(jié)的特性無關。若前向環(huán)節(jié)的放大倍數趨向無限大，則反饋系

統(tǒng)的傳遞函數為

(2-64)

2.7方框圖的等效變換及化簡

在分析系統(tǒng)時經常需要對方框圖作一定的變換，尤其是多回路系統(tǒng)，更需要對系統(tǒng)的方框圖作逐步等效變換，直至變?yōu)榈湫偷姆答佅到y(tǒng)的結構形式，并求出系統(tǒng)總的傳遞函數以便對系統(tǒng)進行分析。

1.方框圖的等效變換規(guī)則

方框圖的等效變換基本規(guī)則如表2-3所示。這里要說明以下幾點：

(1)環(huán)節(jié)前后比較點的移動:根據保持比較點移動前后系統(tǒng)的輸入/輸出關系不變的等效原則，可以將比較點向環(huán)節(jié)前或后移動。

(2)環(huán)節(jié)前后引出點的移動:根據保持引出點移動前后系統(tǒng)的輸入/輸出關系不變的等效原則，可以將引出點向環(huán)節(jié)前或后移動。

(3)連續(xù)比較點、連續(xù)引出點的移動:由于信號具有線性性質，它們的相加次序可以任意交換,因而它們的引出點也可以任意交換。

2.方框圖的化簡舉例

系統(tǒng)方框圖的化簡過程，一般可分為以下幾步：

(1)根據研究目的確定系統(tǒng)的輸入和輸出。輸入、輸出確定后，從輸入至輸出的通道就成為前向通道。

(2)串聯、并聯、反饋連接的環(huán)節(jié)由等效環(huán)節(jié)代替。若有交叉反饋(即兩個互相交叉的反饋回路)存在，則可先移動信號相加點或分支點，使局部反饋回路解除交叉，然后逐步減少局部反饋回路。

(3)把閉環(huán)系統(tǒng)簡化成最基本的方框圖形式，并求出其總的傳遞函數。

【例1】化簡圖2-25中的交叉反饋系統(tǒng)，并求出它

的傳遞函數。

解交叉反饋系統(tǒng)是一種較復雜的多環(huán)系統(tǒng)，它的基本形式如圖2-25(a)所示(為簡化起見，傳遞函數中的(s)省去)。圖2-25交叉反饋系統(tǒng)的化簡由圖2-25(a)可見，該系統(tǒng)的兩個回環(huán)的反饋通道是互相交叉的。對這類系統(tǒng)的化簡，主要是運用引出點和比較點的移動來解除回路的交叉，使之成為一般的不交叉的多回路系統(tǒng)。在圖2-25(a)中，只要將引出點1后移，即可解除交叉，成為如圖2-25(b)所示的形式。由圖2-25(b)再引用求閉環(huán)傳遞函數的公式即可得到圖2-25(c)和圖2-25(d)，從而得到系統(tǒng)總的閉環(huán)傳遞函數GB(s)為以上雖然是一個典型的例子，但從中可以引申出一般交叉反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的求取公式：

(2-65)

式中，n為反饋回環(huán)的個數。

3.自動控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的求取

自動控制系統(tǒng)的典型框圖如圖2-26所示。圖中R(s)為輸入量，C(s)為輸出量，N(s)為擾動量。圖2-26自動控制系統(tǒng)的典型結構

1)在輸入量R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數和系統(tǒng)的輸出

若僅考慮輸入量R(s)的作用，則可暫略去擾動量N(s)。由圖2-27(a)可得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數GBr(s)為

(2-66)

此時系統(tǒng)的輸出量(拉氏式)Cr