高數(shù)-10寒-01-任意角的三角比

高一數(shù)學(xué)寒假班

教師日期

學(xué)生

課程編號課型

課題任意角的三角比

教學(xué)目標

1.理解初中角度和高中角度定義的不同，進一步了解角度推廣的用意；

2.理解角度制與弧度制，熟練掌握弧度制；

3.掌握三角比定義與三角函數(shù)線.

教學(xué)重點

1.角度制與弧度制；

2.三角比定義與三角函數(shù)線.

教學(xué)安排

版塊時長

1例題解析80

2鞏固訓(xùn)練30

3師生總結(jié)10

4課后練習30

任意角的三角比

知識梳理

例題解析

一、角的概念的推廣

（-）知識精講

（1）正角、負角、零角:

正角：一條射線繞端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角；

負角：一條射線繞端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負角：

零角：當一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時，叫做零角.

注：用旋轉(zhuǎn)的觀點定義角，并規(guī)定了旋轉(zhuǎn)的正方向，就出現(xiàn)了正角，負

角和零角，這樣角的大小就不再限于0°到360°的范圍.

（2）象限角和軸線角：

在直角坐標系中，把角的頂點置于坐標原點，角的始邊與工釉的非負半軸重合，此時角的終邊在第幾

象限，就說這個角是第幾象限的角，當角的終邊與坐標軸重合，就認為這個角不屬于任一象限，這

時也稱該角為軸線角.

（3）終邊相同的角:

具有共同的始邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角a終邊相同的角［包含角a在內(nèi)）的集合為

{/?|p=a+k-360。，kEZ}.

注：①終邊在x軸的正半軸上的角的集合為{a|a=b360',Rwz}；

②終邊在y軸的負半軸上的角的集合為｛a\a=h360"-90',々GZ；，；

③終邊在X軸上的角的集合為｛a|a=攵“80°,AGZ）；

④終邊在y軸上的角的集合為｛a|a=h180°+90°,無wZ卜

⑤終邊在坐標軸上的角的集合為｛a|a=h90°?eZ｝；

⑥第二象限角的集合為｛a|h360°+90°va<h3600+180\Z:ez].

（二）典型例題

【例1】求經(jīng)過下列時間，時鐘的分管所轉(zhuǎn)過的角度：（1）15分鐘；（2）1小時20分鐘.

【例2】分別寫出下列角的集合：

（1）第一象限的角；（2）第四象限的角;

（3）終邊在上半平面（不含》軸）的角；

（4）終邊在左半平面（不含y軸）的角；

<5）終邊在第二象限或第四象限的角.

［例3］找出與下列各角終邊相同的角的一般形式，指出它們是哪個象限的角，并找出終邊相同的角中

絕對值最小的角：

(1)1000°；(2)-700°；(3)-95(1.

【例4】已知a是第二象限角，判斷下列各角是第幾象限角:

(1)2a：(2)

【例5】F列命題正確的是：

（A）終邊相同的角一定相等。（B）第一象限的角都是銳角。

（C）銳角都是第一象限的角。（D）小于9G的角都是銳角。

【例6】設(shè)4={a|a=八360。+45。,kWZ},B={a\a=k?360。+225：kWZ}

C={a\a=k-180<,+45°,/cGZ）,D={a\a=k-360°-135°,kGZ}

E={a\a=/c-360°+45°ora=k?360。+225。/eZ},則相等的角集合為.

【例7】使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，則角a與角（a+180。）

的終邊（a#k90。，kwz）的關(guān)系是（）

（A）關(guān)于x軸對稱（B）關(guān)于y軸對稱

（C）關(guān)于原點成中心對稱（D）隨a變化有不同的對稱性

【鞏固訓(xùn)練】

1.求下列各角的集合：

（1）終邊在y軸的非正半軸上；

（2）終邊在%軸上；

（3）終邊在坐標軸上；

（4）終邊在第二象限的角平線上.

2.寫出下列終邊位置特殊關(guān)系的角：

（1）終邊與角a的終邊互為反向延長線的角夕的集合;

（2）終邊與角。的終邊關(guān)于x軸對稱的角夕的集合是;

（3）終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對稱的角夕的集合是;

（4）終邊與角a的終邊互相垂直的角夕的集合是.

3.在“①160。②480°③-960°@-1600°”這四個角中，屬于第二象限的角是（）

A.①B.C.?@?D.①②③④

4.若a是第四象限角，則1800+。一定是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

5.已知A=｛第一象限角｝,B二｛銳角｝,C=｛小于90°的角｝,那么A、B、C關(guān)系是（）

A.B=APCB.BUC=CC.AuCD.A=B=C

6.下列命題中的真命題是（）

A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角

B.第一象限的角是銳角

C.第二象限的角比第一象限的角大

D.｛a[a=Z.36O±9（T,左￡2卜上|&=匕180+W,A:GZ）

二、弧度制

（-）知識精講

（1）角度制與弧度制.

用一個周角的二（1度的角）作為度量單位來度量角的制度叫角度制.

把長度等于半徑長的弧所對圓心角叫1弧度的角（lrad）,以1弧度的角作為度量單位來度量角的制度

叫弧度制.

弧度制的定義：|a|=5

對于角a,以頂點。為圓心，分別以r、r'為半徑畫弧，截得兩弧和"夕，它們的長分別為［和匕

-=a,因此一個角的弧度數(shù)僅與角的大小有關(guān)，而與所

取弧的半徑無關(guān).所以。這樣規(guī)定1弧度的角是合理的。

（2）建立了弧度制后，每一個角都對應(yīng)于唯一一個實數(shù)（這個角的弧度數(shù)）,

反之每一個實數(shù)也對應(yīng)于唯一一個角（即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角），因此在實數(shù)

集合與角的集合之間建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系.

（3）角度與弧度的換算.只要記住180。=兀rad,就可以方便地進行換算.

由18。。=18。XI?！眗ad,各ad.

由7rrad=7Tx1rad=180°,1rad=（詈）?57.30°.

（4）應(yīng)熟記一些特殊角的度數(shù)和弧度數(shù).

角度

0°30°45°60°90°120°150°180°270°360°

數(shù)

弧度7C丸717C2%5乃3乃

0冗2萬

數(shù)~67~32-VVV

（5）象眼角的表示：

第一象限的角的集合：!a|2^<a<2^+yJeZ>；

71

第二象限的角的集合：\a\2k7r+-<a<2k7r+7r,keZ\

2

37r

第三象限的角的集合：J&I2匕T+4vaV2QT+W，Z:GZ?

2

3)

第四象限的角的集合：，a\2k兀+/<a<2k兀+27r,keZ,

注：在書寫時注意不要同時混用角度制和弧度制，如：h360?！焙汀?0。+2碗”的寫法都是不妥

當?shù)?

(6)弧長公式和扇形面積公式.

由定義，在弧度制中，半徑為尸，孤度數(shù)為arad的弧長！=|。|兀

在角度制中，半徑為廠、圓心角為九°的弧長1=盤?2加r=^-r.

360180

在弧度制中，半徑為廣，弧度數(shù)為arad的扇形面積S=￡1.7Tr2=||a|r2=1ir.

27r22

在角度制中，半徑為廠，圓心角為九。的扇形面積5=盤?乃產(chǎn)=黑產(chǎn).

360360

(-)典型例題

1、角度值與弧度制的互化

【例8】把角6730'化為弧度。

【例9】把角彳(⑶4)化為角度。

W10］指出下列各角所在的象限:

⑴?(2)---2-3n.

6

【例11】在(-4肛4乃)內(nèi)與-----終邊重合的角是____________。

7

【例12】設(shè)?！?工,工)，且17。的終邊與6角的終邊相同，則6=

63

【例13】若兩個角的和是1弧度，此兩角的差是1,試求這兩個角。

2、2k7r+a,kK+a,—+a,k7v+a之間的區(qū)別

【例14】如果a與角(x+工)具有同一條終邊，角B與角(X—5)具有司一條終邊，那么。與B

之間的關(guān)系是()

(A)a+夕=0(B)a-P=0

(C)a+/3=2k7r(kGZ)(D)a-0=2k兀吟也w*

2

［例15］A/={x|%=Z4+(—1)"￡Z，,尸=?xx=2匕r+］,ZwZ?,M,P之間的關(guān)

系O

【例16］若M=＜。。=4%%+卷/￡z?,N=/夕=4左不一手次￡2},那么()

(A)MUN=M(B)MPIN=0(C)M=N(D)MPIN=N

3、扇形弧長公式與面積公式

【例17】圓心角為』弧度，半徑為6的扇形面積是____________0

3

【例18】知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2,則這個圓心角所對的弧長是()

2

A.2B.——C.2smiD.sin2

sin1

【例19］已知扇形的周長為定值100.問扇形的半徑和圓心角分別為多少時扇形面積最大？最大值

是多少？

【例20］圓的弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是

【例21】在扇形AOB中，ZAOB=90,弧長為/,則此扇形內(nèi)切圓的面積是

【鞏固訓(xùn)練】

1.與角-1825的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是,合弧度。

2.已知a=0+(A￡Z),且TTV0V弓加，問￡是第幾象限角？

k兀

3.設(shè)集合M={a|a=~^----,k^Z},N={a\—n<a<it],則MGN等于()

25

7i3乃In4434In

C.{------,----,-------,-----}D.{----,-------

5101051010

4.a的終邊與上的終邊關(guān)于直線y=x對稱，則a=

5.設(shè)集合M={。Ia=k?±鄉(xiāng)，kEZ},N=Wa=k冗+(—1)吟,k￡Z}那么下列結(jié)論中正

66

確的是()

A.M=NB.M^NC.NWMD.M卦I旦唇M

6.如圖，質(zhì)點M從圓周上點A的位置開始，依逆時針方向作勻速圓周運動，已知質(zhì)點M一分

鐘轉(zhuǎn)過。角(O^O^n),2分鐘到達第三象限，14分鐘到達原來的位置，求0.

7.個扇形的面積是1c二，它的周長是4cm,則圓心角為弧度；弧長為)

8.一鐘表的分針長10cm,經(jīng)過35分鐘，分針的端點所轉(zhuǎn)過的長為：()

70C.(^￡-473)cm35乃

A.70cmB.—cmD.------cm

633

9.如果弓形的弧所對的圓心角為弓形的弦長為4cm,則弓形的面積是：()

A.(?^■-4石)cm2

B.()cm2

93

C.("一4百)cm2D.(^-—2y/3)cm2

33

三、任意角的三角比

(-)知識精講

(1)把銳角a置于平面直角坐標系xOy中，銳角a的頂點與原點0重合，始邊與x軸的正半軸

重合，那么它的終邊在第一象限._______

在角a的終邊上任取一點P(x,y)(除原點外)，則P與原點的距r=^x2+y2(r>0)

過P作x軸的垂線垂足為M,則線段0M的長度為x,線段MP的長度為y

由初中的銳角三角比定義：

MPyOMxMPOMX

sina=----二Z.cosa=-----=—tana=-=---y-cota=-=----

OPrOPrOMXMPy

用同樣的方法定義任意角的三角比：

在角a的終邊上任取一點P(x,y)(除原點外)，則P與原點的距離r=y]x2+y2(r>0)

MPy_OM_x

sina==(asR)cosa二

^~OPrOP~r

MPy

tana=

OMX(ak^+—,keZ)

OMX

cola=(akn,kGZ)

MPV

規(guī)定正割seca和余害Ucsca

seca=-(aK7r+—,keZ)

x2

csca=—(a手k冗、keZ)

y

注：三角比在各象限的符號，如下圖(一全二正弦，三切四余弦)

sina，escacosa,secatana,cota

注：特殊角的三角函數(shù)值表:

0“30°45°60190°1803270°360°

\、孤度、

函*函數(shù)左、

sina

cosa

tana

cota

(2)單位圓與二角函數(shù)線

(1)正弦線：

無論a是第幾象限角，過a的終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，交x軸于M,有向線段MP

的符號與點P的縱坐標y的符號一致，長度等于IyI.所以有MP=y=sina.

我們把有向線段M>P叫做角a的正弦線，正弦線是角a的正弦值的幾何形式.

⑵余弦線：有向線段oM叫做a的余弦線。

⑶正切線：過A(1,0)點作單位圓的切線(x軸的垂線)，設(shè)a的終邊或其反向延長線與這條切

線交于T點，那么有向線段危叫做角a的正切線。

單位圓r=l

注：三角函數(shù)線是三角比值得幾何形式，要重點掌握，應(yīng)用三角函數(shù)線可以得到下列結(jié)論：

(1)sina+cos%=1；

(2)|sina|+|cosa\21；

(3)TWsinaWl,TWcosaWl,tana^R；

(4)若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等，正弦、余弦值互為相反數(shù)；

(5)當角的終邊在第一象限逆時針旋轉(zhuǎn)時，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減??；

(6)當角的終邊在直線》二1的右下方時，sina<cosa;當角的終邊在直線>二工的左上

方時，sina>cosa。

(3)終邊相同角的三角函數(shù)值

公式一：sin(2R/r+a)=sina,k￡Zcos(2R/r+a)=cosa,kwZ

tan(2攵4+a)=tana,&eZcot(2k〃+a)=cota,keZ

注：這組公式可將任意角的三角比化為

(-)典型例題

1、由三角比定義求值

【例22】已知角a的終邊經(jīng)過點尸(2,-3),求a的六個三角函數(shù)值.

【例23】已知角a的終邊上有一點尸。2,5〃）（。<0）,求a的各三角函數(shù)值.

3力

[例24]a2cosO-Z?2sin—+abcQS7r-abcos6^

2

且

【例25］已知角a終邊上一點P（->/3,y）sina;￡

則

4.

4999

seca+esc—兀cos—冗—

122-

2、三角比的符號

【例26】已知sizia>0,cosa<0?判斷的符號.

【例27］如果。在第二象限，那么sin（cose>cos（sin。）的值是什么符號?

【例28】已知集合A-1yy-獸二+叵劾+黑絲f+巨史］,用列舉法表示A=__________

|sinA|COSX|tanx|cotx

［例29］根據(jù)任意角的三角比的定義證明(sina+tana)(cosa+cota)=(l+sina)(l+cosa).

【例30］若0為銳角，則sec4""叼的值為.

【例31】用三角函數(shù)線解下列不等式：

(1)siiu>-(2)V2+2cosa>0(3)l+tana>0

2

【例32】求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=V2cosx-1；(2)y=lg(3-4sin2x).

【例33]若04a?2乃，且有|cosa|v卜ina|,則。的取值范圍是

【例34]若0<av；,利用三角函數(shù)線證明：

(1)sina+cosa>1；

(2)0<sina<a<tana.

【鞏固訓(xùn)練】

1.如果角o的終邊經(jīng)過尸(O,〃)，〃工0,那么下列各式中不存在的是()

(A)sin6(B)cos8(C)tan(D)cat

2.已知角a的終邊經(jīng)過點P(3Q,-4a)(a00),求sina+2cosa的值.

3.己知cosa—^^一色＜。＜0,則tana

52

4.如果cosa=不，且。是第四象限的角，那么sina=

2

5.已知點戶(-2,)。在角。的終邊上，且sina=——，則cosa

3

。二45。是sinO=也的

6.)

2

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

JI則+7)cosxsin

7.若,--------+一的值是)

2x-aIcosxlsinx

(A)1(B)-1(C)3(D)-3

aa

8.若a為第三象限的角，且滿足sin；=-sin彳，則色是()

22222

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

9.設(shè)4=｛目8$人之0,xe/?),B=-xx,-%<2n、、求AflB.(用區(qū)間形式表示，并在

數(shù)軸上標出集合AC13)

sina

10.已知Itana|-tana，化簡

Jl+cofa

11.如果MP和OM分別是a=—萬的正弦線和余弦線，那么(

18

(A)MP<OM<0(B)OM>0>MP

(C)OM<MP<0(D)MP>0>OM

12.下列命題中正確的是()

(A)存在一個角a,使sina=cosa=0

212

(B)存在一個角a,使sina—+(ab)

2ab

(C)存在一個銳角a,使sina+8sa<l

(D)存在一個角a,使tana=0,cosa=-1

13.如果。是第,象限角，那么①sin2>0,②tan^c1,③sinS>cos',④sinS〈cos,中恒成立

222222

的有個.

14.利用三角函數(shù)線，寫出滿足下列條件的角x的集合.

J21??

(1)sinx2—；(2)cosxW彳；(3)tanx^—1；(4)sinx>—且8sx>—.

2222

15.若0<a<利用三角函數(shù)線證明：sina<cosa,且tanavl.

4

反思總結(jié)

1、角的概念的推廣

(1)用旋轉(zhuǎn)的觀點定義角，并規(guī)定了旋轉(zhuǎn)的正方向，就出現(xiàn)了正角，負角和零角，這樣角的大小就

不再限于0。到360°的范圍.

(2)終邊相同的角.

具有共同的紿邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角。終邊相同的角［包含角a在內(nèi))的集合為

{fl\/?=a+々?360°,keZ}.

2、弧度制

(1)弧度制的定義：|a|=

~R

(2)角度與弧度的換算.只要記住180。=TTrad,就可以方便地進行換算.

由180°=180x1°=乃rad,1°=白rad.

180

由TTrad=7Tx1rad=180°,1rad=（詈）*57.30°.

(3)弧長公式和扇形面積公式.

22

弧長，=\a\r.扇形面積5=號.兀r=||a|r=r.

2<r22

3、三角比定義：設(shè)a是一個任意角，在a的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距

離為r，則sina=—?cosa=Mtan?=—?cottz=—;seca=—,esca=―'

rrXyxy

4、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

正弦、余割余弦、正割正切、余切

5、單位圓與三角函數(shù)線及幾個重要結(jié)論

..It.

(3)若ovx<2,則sinxvx<tanx

課后練習

1.終邊為第一象限和第三象限的平分線的角的集合是（）

A.{a[a=45+Z:-360,kGz|B.=-135+-180￡z}

c.{a[a=-135+h360,&wZ}D.{a|a=135+hl80,ZeZ}

2.下列兩組角的終邊不相同的是(ZeZ)