電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第11章 耦合電感和理想變壓器

第十一章耦合電感和理想變壓器

本章介紹耦合電感及理想變壓器的基本概念,含這兩種元件電路的分析方法和以這兩種元件為基礎(chǔ)的實(shí)際變壓器的電路模型。11.1耦合電感元件11.2含耦合電感的電路11.3理想變壓器11.4變壓器的電路模型11.1耦合電感元件11.1.1耦合電感的概念

兩個(gè)靠近的線圈，當(dāng)一個(gè)線圈有電流通過(guò)時(shí)，該電流產(chǎn)生的磁通不僅通過(guò)本線圈，還部分或全部地通過(guò)相鄰線圈。一個(gè)線圈電流產(chǎn)生的磁通與另一個(gè)線圈交鏈的現(xiàn)象，稱為兩個(gè)線圈的磁耦合。具有磁耦合的線圈稱為耦合線圈或互感線圈。本小節(jié)所討論的耦合線圈均忽略了線圈本身的損耗電阻和匝間分布電容，這樣得到的耦合線圈的理想化模型，稱為耦合電感元件。11.1耦合電感元件

兩個(gè)耦合線圈如圖11-1所示，設(shè)線圈1和線圈2的匝數(shù)分別為N1和N2。當(dāng)線圈1有電流i1流過(guò)時(shí)，由i1產(chǎn)生的通過(guò)線圈1的磁通為Ф11，通過(guò)線圈2的磁通為Ф21，顯然有Φ21≤Φ11。兩個(gè)線圈的磁通鏈分別為Ψ11=N1Φ11和Ψ21=N2Φ21。Ψ11稱為自感磁通鏈，Ψ21稱為互感(耦合)磁通鏈。圖11-1兩個(gè)線圈的磁耦合11.1耦合電感元件

同理，若線圈2有電流i2通過(guò)，則該電流在其自身線圈產(chǎn)生自感磁通鏈Ψ22，在相鄰的線圈1中產(chǎn)生互感磁通鏈Ψ12。

如圖11-1所示，電流的方向與它產(chǎn)生的磁通鏈的方向滿足右手螺旋關(guān)系，參考方向按這一關(guān)系設(shè)定。若線圈周圍沒(méi)有鐵磁物質(zhì)，則各磁通鏈與產(chǎn)生該磁通鏈的電流成正比，即（11-1）式中，L1、L2、M12、M21均為正常數(shù)，單位為亨利(H)。L1、L2分別稱為線圈1和線圈2的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感。M12、M21稱為兩個(gè)線圈的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感?？勺C明M12=M21，因此當(dāng)只有兩個(gè)線圈耦合時(shí)，可略去下標(biāo)，表示為M=M12=M21。11.1耦合電感元件11.1.2耦合電感的伏安關(guān)系

若兩個(gè)耦合線圈中都有電流時(shí)，每個(gè)線圈既有自身電流產(chǎn)生的自感磁通鏈，也有另一線圈電流產(chǎn)生的互感磁通鏈，如圖11-2(a)、(b)所示。由電流的參考方向及線圈的繞向，根據(jù)右手螺旋關(guān)系，可判斷出圖11-2(a)中線圈的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向相同，而圖11-2(b)中則相反。設(shè)線圈1、線圈2的總磁通鏈分別為Ψ1和Ψ2，并取總磁通鏈的參考方向與自感磁通鏈相同，則有11.1耦合電感元件圖11-2說(shuō)明耦合線圈的伏安關(guān)系用圖11.1耦合電感元件11.1耦合電感元件11.1.3耦合線圈的同名端

線圈中的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向可能相同，也可能相反，這與線圈的繞向及電流參考方向有關(guān)。圖11-2(a)中線圈1和線圈2繞向相同，但若電流i1和i2的參考方向分別從a、d兩端流入，則線圈中的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向相反;圖11-2(b)中線圈1和線圈2繞向相反，但若電流i1和i2的參考方向分別從a、d兩端流入，則線圈中的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向相同。通常線圈制造后是封閉的，看不到內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在圖上標(biāo)出線圈繞向也不方便，因此引入同名端的概念。

任選線圈1的一端和線圈2的一端，假設(shè)線圈電流同時(shí)從這兩端流入，若這兩個(gè)電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是相互增強(qiáng)的(即線圈的自感磁通鏈和互感磁通鏈方向相同)，則稱所選的兩端為同名端，否則為異名端。

根據(jù)右手螺旋關(guān)系，可判斷出圖11-2(a)中兩線圈a、c兩端為同名端(顯然b、d也是同名端)，a、d為異名端;而圖(b)中兩線圈則是a、d為同名端。必須指出，耦合線圈的同名端僅決定于線圈的結(jié)構(gòu)，與電流的流向無(wú)關(guān)。11.1耦合電感元件

線圈的同名端用相同的符號(hào)，如“●”、“△”、“*”等標(biāo)記。例如，圖11-2(a)、(b)中分別用“●”和“*”標(biāo)記了兩線圈的同名端。圖11-2(a)、(b)耦合線圈(耦合電感)的電路符號(hào)分別如圖11-3(a)、(b)所示。若有多個(gè)線圈耦合，同名端應(yīng)一對(duì)一對(duì)地加以標(biāo)記。圖11-3耦合電感的電路符號(hào)11.1耦合電感元件

根據(jù)同名端的概念，結(jié)合圖11-2可看出，若i1參考方向的流入端與u2參考方向的正極性端為同名端，則互感磁通鏈Ψ21與u2的參考方向滿足右手螺旋關(guān)系，u2中的互感電壓取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。對(duì)于Ψ12與u1參考方向的關(guān)系及u1中的互感電壓正負(fù)號(hào)也可作類似判斷。

列寫耦合電感伏安關(guān)系式的規(guī)則概括為:若線圈自身的電流和電壓為關(guān)聯(lián)參考方向，則自感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào);兩個(gè)耦合線圈中，若a線圈電流參考方向的入端與b線圈電壓參考方向的正端為同名端，則b線圈的互感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。11.1耦合電感元件

例11-1電路如圖11-4所示，已知L1=4H，L2=3H，M=2H，求以下三種情況的u1和u2:圖11-4例11-1題圖11.1耦合電感元件解（1）u1與i1為非關(guān)聯(lián)參考方向，且i2=0，因此11.1耦合電感元件

工程上常用實(shí)驗(yàn)的方法確定耦合線圈的同名端。實(shí)驗(yàn)方案之一如圖115所示，當(dāng)開(kāi)關(guān)S迅速閉合時(shí)，在一段時(shí)間內(nèi)有隨時(shí)間增長(zhǎng)的電流從電源正極流入線圈“1”端，此時(shí)，若電壓表指針正向偏轉(zhuǎn)，則電壓表正極所連接的線圈“2”端與“1”端為同名端;若電壓表反偏，則“2”端與“1”端為異名端。圖11-5確定同名端的實(shí)驗(yàn)11.1耦合電感元件11.1.4耦合系數(shù)

定義耦合電感的耦合系數(shù)k為（11-4）將(11-1)式代入上式得

耦合系數(shù)定量地描述了兩個(gè)線圈的耦合程度。當(dāng)k=1時(shí)，稱為全耦合，此時(shí)一個(gè)線圈中電流產(chǎn)生的磁通，全部與另一線圈交鏈，互感達(dá)到最大值，即k接近于1時(shí)，稱為緊耦合;k較小時(shí)，稱為松耦合;k=0時(shí)，稱為無(wú)耦合。

在電力變壓器及電子工程中，為了更有效地傳輸能量或信號(hào)，常采用鐵磁材料制成線圈的芯子，以使線圈有盡量緊密的耦合。而工程上在某些情況下卻要避免線圈的相互干擾，可采用屏蔽、合理布置線圈的相互位置等手段盡量減少互感的作用。11.2.1耦合電感的去耦等效

實(shí)際電路中，耦合電感的兩個(gè)線圈常以串聯(lián)、并聯(lián)、一端相連的形式連接，以這幾種方式連接的電感，均可用無(wú)耦合電路等效代替，這一過(guò)程稱為耦合電感的去耦等效。

圖11-6(a)、(b)所示為耦合電感兩個(gè)線圈的串聯(lián)電路。其中，圖11-6(a)電路中電流從兩個(gè)線圈的同名端流進(jìn)，這種接法稱為順接串聯(lián)(順串);圖11-6(b)電路中電流從兩個(gè)線圈的異名端流進(jìn)，這種接法稱為反接串聯(lián)(反串)。圖11-6耦合電感的串聯(lián)及等效電感

(a)順串;(b)反串;(c)等效電感11.2含耦合電感的電路

根據(jù)圖示電流和電壓的參考方向,可得順串和反串時(shí)串聯(lián)支路的伏安關(guān)系分別為上面兩式可統(tǒng)一寫成上式表明,耦合電感作串聯(lián)時(shí),對(duì)外電路而言,可等效為一個(gè)電感,如圖11-6(c)所示。該等效電感值為L(zhǎng)eq=L1+L2±2M（11-5）式中,M前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于順串,負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于反串。11.2含耦合電感的電路為負(fù)值。(11-5)式表明，在正弦電流電路中，由于互感的存在，耦合電感順串時(shí)等效感抗增加，反串時(shí)等效感抗減小。工程上常利用耦合線圈正串、反串等效阻抗不相等這一特點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)確定線圈的同名端。11.2含耦合電感的電路

圖11-7(a)、(b)所示為耦合電感兩個(gè)線圈的并聯(lián)電路。其中，圖11-7(a)電路中兩個(gè)線圈的同名端相連接，這種接法稱為同側(cè)并聯(lián);圖11-7(b)電路中兩個(gè)線圈的異名端相連接，稱為異側(cè)并聯(lián)。圖11-7耦合電感的并聯(lián)

(a)同側(cè)并聯(lián);(b)異側(cè)并聯(lián)11.2含耦合電感的電路根據(jù)圖示電流和電壓的參考方向,兩個(gè)線圈的伏安關(guān)系為上面兩式中,M前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。由上面兩式解得由于i=i1+i2,因此有即u=

=Leq11.2含耦合電感的電路上式表明，耦合電感作并聯(lián)時(shí)，對(duì)外電路而言，可等效為一個(gè)電感，該等效電感為（11-6）上式分母中M前的負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián)，正號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。由上式可見(jiàn)，同側(cè)并聯(lián)等效電感大，異側(cè)并聯(lián)等效電感小，但無(wú)論是同側(cè)還是異側(cè)并聯(lián)，等效電感都不為負(fù)值。11.2含耦合電感的電路

圖11-8(a)、(b)所示為耦合電感兩個(gè)線圈一端相連的電路。其中，圖11-8(a)電路中兩個(gè)線圈的同名端相連接，這種接法稱為同側(cè)相連;圖118(b)電路中兩個(gè)線圈的異名端相連接，稱為異側(cè)相連。根據(jù)圖示電流和電壓的參考方向，兩個(gè)線圈的伏安關(guān)系為圖11-8耦合電感的一端相連

(a)同側(cè)相連;(b)異側(cè)相連11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路11.2.2含耦合電感的正弦電流電路的分析

分析含耦合電感的正弦電流電路時(shí)，仍采用相量法求解。圖11-10(a)所示的耦合電感的伏安關(guān)系式為圖11-10耦合電感的兩種相量模型11.2含耦合電感的電路在正弦電流電路中，以上伏安關(guān)系的相量形式為式中，jωL1、jωL2稱為自感阻抗;jωM稱為互感阻抗。該耦合電感的相量模型如圖11-10(b)所示。為強(qiáng)調(diào)互感電壓的存在，可將互感電壓用電流控制電壓源表示。受控源的參考方向與電流的參考方向及同名端的位置有關(guān)，應(yīng)根據(jù)耦合電感的伏安關(guān)系確定其等效相量模型。例如，由圖11-10(a)耦合電感的相量形式伏安關(guān)系，可得出其等效相量模型如圖11-10(c)所示。

分析含耦合電感的電路時(shí)?？上热ヱ钤偾蠼?，也可直接列方程求解。在列方程時(shí)，注意不要漏掉耦合電感的互感電壓。由于耦合電感的伏安關(guān)系不便將電流表示成電壓的函數(shù)，因此一般不用節(jié)點(diǎn)分析法，而常用網(wǎng)孔法。11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路

例11-3正弦電流電路相量模型如圖11-12(a)所示，已知ωL1=R=100Ω，ωL2=80Ω，ωL3=ωM=40Ω,?Us=100∠0°V，求電流I1、I2和I3。圖11-12例11-3題圖及等效相量模型11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路11.2.3空芯變壓器

變壓器是利用線圈之間的磁耦合實(shí)現(xiàn)能量或信號(hào)傳輸?shù)钠骷?。變壓器的線圈若繞在鐵磁材料的芯子上，稱為鐵芯變壓器，其耦合系數(shù)通常接近于1。變壓器的線圈若繞在非鐵磁材料的芯子上，稱為空芯變壓器，其耦合系數(shù)一般較小。

圖11-14(a)所示是一個(gè)簡(jiǎn)單的含空芯變壓器的電路，圖中虛線方框內(nèi)是空芯變壓器的相量模型。變壓器的一個(gè)線圈與電源相連，稱為初級(jí)線圈或原邊線圈;另一線圈與負(fù)載相連，稱為次級(jí)線圈或副邊線圈。初級(jí)線圈的電阻和自感分別用R1、L1表示;次級(jí)線圈的電阻和自感則分別表示為R2、L2;M為兩線圈的互感，這些都是變壓器的參數(shù)。變壓器副邊所接負(fù)載阻抗為ZL=RL+jXL。11.2含耦合電感的電路圖11-14空芯變壓器電路11.2含耦合電感的電路

分析含空芯變壓器的電路，可用前面介紹的去耦法、列方程法，也可用等效電路法。設(shè)Z11、Z22分別表示原邊回路和副邊回路的自阻抗，有

根據(jù)圖11-14(a)所示電流的參考方向及同名端的位置，該電路的兩個(gè)回路方程為（11-8）由上式可解得（11-9）11.2含耦合電感的電路11.3理想變壓器11.3理想變壓器

理想變壓器不僅能變電壓和變電流，而且能夠變換阻抗。若在理想變壓器的副邊接負(fù)載阻抗ZL，如圖11-17所示，則理想變壓器原邊端口的等效阻抗為即原邊端口的輸入阻抗是負(fù)載阻抗的n2倍。在電信工程中常利用理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)達(dá)到阻抗匹配的目的。

分析含理想變壓器的電路，若采用回路法(或節(jié)點(diǎn)法)，可將理想變壓器的原邊和副邊電壓直接寫入回路方程中(或電流直接寫入節(jié)點(diǎn)方程中)，再將理想變壓器的伏安關(guān)系式與回路方程(或節(jié)點(diǎn)方程)聯(lián)立求解。也可采用等效電路法分析含理想變壓器的電路，即利用理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)和戴維南定理，用原邊或副邊的等效電路求解。圖11-17理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)11.3理想變壓器11.4變壓器的電路模型

實(shí)際變壓器除了用耦合電感構(gòu)成其電路模型之外,還常采用理想變壓器作為基本元件構(gòu)成電路模型。對(duì)于鐵芯變壓器,更常用的是后一種模型。11.4.1全耦合變壓器的模型

無(wú)損耗、全耦合(耦合系數(shù)k=1)變壓器如圖11-20所示，圖11-21(a)是用耦合電感構(gòu)成的該變壓器的電路模型。下面討論用理想變壓器為基本元件構(gòu)成其模型，討論中均采用圖11-20所示電流、電壓參考方向。圖11-20無(wú)損耗全耦合變壓器11.4變壓器的電路模型

在全耦合條件下，一個(gè)線圈電流產(chǎn)生的磁通也完全通過(guò)另一線圈，即Φ11=Φ21，Φ22=Φ12因此線圈1和線圈2的總磁通鏈分別為Ψ1=(Φ11+Φ12)N1=(Φ11+Φ22)N1Ψ2

=

(Φ22+Φ21)N2=(Φ22+Φ11)N2式中，N1、N2分別是線圈1和線圈2的匝數(shù)。兩個(gè)線圈的電壓分別為11.4變壓器的電路模型11.4變壓器的電路模型其中，i10是副邊開(kāi)路時(shí)的原邊電流，稱為變壓器的空載電流或勵(lì)磁電流；i'1是原邊電流中的負(fù)載電流分量。11.4變壓器的電路模型

根據(jù)(11-18)式和(11-23)式可得無(wú)損耗、