《中級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教程》課件第4章

第四章生產(chǎn)理論第一節(jié)生產(chǎn)函數(shù)的一般特性

第二節(jié)投入的變動

第三節(jié)規(guī)模收益第四節(jié)生產(chǎn)函數(shù)的典型類型

復(fù)習(xí)思考題與計算題

在市場經(jīng)濟(jì)體系中，與消費(fèi)者這一角色相對應(yīng)的是生產(chǎn)者(企業(yè))，與市場需求相對應(yīng)的行為是市場供給或企業(yè)生產(chǎn)。生產(chǎn)就是企業(yè)將投入轉(zhuǎn)為產(chǎn)出的過程。從實物視角考察投入與產(chǎn)出，涉及的是投入量與產(chǎn)出量之間的物質(zhì)技術(shù)關(guān)系。從貨幣形態(tài)分析投入與產(chǎn)出，涉及的是投入的成本與市場收益之間的經(jīng)濟(jì)關(guān)系。本章首先論述投入與產(chǎn)出之間物質(zhì)技術(shù)關(guān)系方面的生產(chǎn)函數(shù)理論，下一章再結(jié)合成本理論進(jìn)行進(jìn)一步的分析。第一節(jié)生產(chǎn)函數(shù)的一般特性

生產(chǎn)函數(shù)刻畫了企業(yè)的投入組合及其投入量對于產(chǎn)出量或產(chǎn)出組合的決定作用、決定過程。雖然現(xiàn)實社會中，這種決定表現(xiàn)得非常復(fù)雜，但并不妨礙理論分析上可從中抽象出一般特性。

一、生產(chǎn)可能集與生產(chǎn)函數(shù)

生產(chǎn)可能集(productionpossibilitiesset)是企業(yè)面臨的所有技術(shù)上可行的生產(chǎn)方法構(gòu)成的投入量與產(chǎn)出量之間的各種可能組合的集合。企業(yè)往往可以投入n種要素，以生產(chǎn)出m種產(chǎn)品。但如果假設(shè)只有一種投入要素x，并且只有一種產(chǎn)出品q，則生產(chǎn)可能集就會如圖4-1所描繪的那樣。圖中的陰影部分即為生產(chǎn)可能集，也簡稱生產(chǎn)集。在生產(chǎn)集中，對于任一給定的投入xn，理論上總有不同數(shù)量水平的q與之對應(yīng)。圖4-1生產(chǎn)可能集的典型形式生產(chǎn)集的邊界線上的任一點表示的是相應(yīng)的投入量在技術(shù)上能夠提供的最大產(chǎn)出量。投入與最大產(chǎn)出量之間的這種函數(shù)關(guān)系被定義為生產(chǎn)函數(shù)。因此，生產(chǎn)集邊界線所表示的函數(shù)關(guān)系就是生產(chǎn)函數(shù)。假設(shè)投入x以生產(chǎn)y是一個可行的生產(chǎn)方案，則該生產(chǎn)方案可以簡單地以產(chǎn)出向量z=(y，－x)表示。這里特別要注意要素投入被表示為負(fù)的產(chǎn)出，意味著要素的消耗。每個可行的生產(chǎn)方案或生產(chǎn)方法用z表示，所有可行的生產(chǎn)方法構(gòu)成的生產(chǎn)集用Z表示，則有z∈Z。我們?nèi)绻俣ㄆ髽I(yè)的生產(chǎn)總是有效率的，于是，在特定投入量x時總能得到可能的產(chǎn)量，將這個最大產(chǎn)量記為f(x)。這樣，則可定義生產(chǎn)函數(shù)：生產(chǎn)函數(shù)還可區(qū)分為短期生產(chǎn)函數(shù)和長期生產(chǎn)函數(shù)。如果在我們考察的時期內(nèi)，企業(yè)可以改變它所有的要素投入規(guī)模，前面定義的生產(chǎn)函數(shù)中的x或其所代表的一組投入xi都是可以變動的，那么它就是一個長期生產(chǎn)函數(shù)。另一方面，假設(shè)在某一時期內(nèi)企業(yè)的一部分生產(chǎn)要素是無法調(diào)整、固定不變的，將要素向量記為(xv，)，其中xv是可變要素，是固定要素，則這期間的短期生產(chǎn)函數(shù)可以記為從生產(chǎn)可能集和生產(chǎn)函數(shù)中還可引申出等產(chǎn)量集和等產(chǎn)量線。如果說在生產(chǎn)可能集中，總有不同數(shù)量水平的產(chǎn)出與任一給定的投入相對應(yīng)的話，則也存在對于任一給定的產(chǎn)量水平q0，總有不同數(shù)量水平的投入x與之對應(yīng)。換言之，在不同的生產(chǎn)方法和生產(chǎn)環(huán)境下，不同數(shù)量水平的投入提供的產(chǎn)出量是既定的。所有那些產(chǎn)出至少為q0的投入組合x所組成的集合：稱為產(chǎn)出q0的必要投入集(inputrequirementset)。所有產(chǎn)出正好是q0的投入組合x所組成的集合：稱為產(chǎn)出q0的等產(chǎn)量集。在投入要素為兩種(x1，x2)的情形下，圖4-2中的陰影部分便屬于必要投入集，圖中的必要投入集的邊界線就是等產(chǎn)量線。等產(chǎn)量線上的任一點表示為了提供既定的產(chǎn)量，在某一投入量固定的前提下，另一投入要素的最低投入量，也就是，等產(chǎn)量線表示的是一定的技術(shù)條件下，為了提供某既定產(chǎn)量的兩種投入的最經(jīng)濟(jì)的結(jié)合方式的軌跡，線上的所有點所代表的投入組合構(gòu)成了等產(chǎn)量集。一個常用的處理方法是將企業(yè)眾多的投入要素歸并為兩大類(x1和x2)，如勞動投入和資本投入，于是可得到兩要素投入的生產(chǎn)函數(shù)的簡單形式：

q=f(x1，x2)

(4-1)其中：q表示產(chǎn)量；x1、x2分別表示兩種不同的可變要素的投入量。一般在理論上假定式(4-1)中的常見生產(chǎn)函數(shù)具有如下特點：(1)連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。這一假定特點表示生產(chǎn)函數(shù)曲線是光滑的，生產(chǎn)函數(shù)具有良好的性質(zhì)。

(2)要素投入和產(chǎn)出均為非負(fù)，即x1≥0，x2≥0，q≥0。這一假定特點的現(xiàn)實意義很明確，不可能出現(xiàn)負(fù)勞動或負(fù)資本的投入，也不會出現(xiàn)負(fù)數(shù)的產(chǎn)品，充其量不生產(chǎn)任何產(chǎn)量而已。(3)任何一種要素投入量若為零，則產(chǎn)量為零，即：

q=f(x1，0)=f(0，x2)=f(0，0)=0

一般地，在實際生產(chǎn)過程中，技術(shù)上要求兩種投入相配合以生產(chǎn)某種產(chǎn)品的條件下，完全沒有其中某一種要素的投入，或兩種要素皆不投入，是不能生產(chǎn)的，當(dāng)然也談不上有產(chǎn)量了。圖4-2必要投入集和等產(chǎn)量線

二、生產(chǎn)技術(shù)的性質(zhì)

理論分析中，還有必要對企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)作一定的假定。當(dāng)然，這些假定原則上是建立在對現(xiàn)實的觀察之上的，具有現(xiàn)實合理性基礎(chǔ)。單調(diào)性和凸性是兩個最常見的假設(shè)。

1.單調(diào)性

針對式(4-1)，這時存在：?；蛘邠Q一種表述：如果x1a≤x1b，則存在f(x1a，x2)≤f(x1b，x2)。此條件下可稱企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)為單調(diào)性。假如剛剛述及的式子改為嚴(yán)格不等式，則稱為嚴(yán)格單調(diào)性。單調(diào)性是指，如果在至少一種生產(chǎn)要素上增加了投入，那么，產(chǎn)出量至少等于原先的產(chǎn)出量，即一般來說，投入越多，產(chǎn)出也越多。當(dāng)然嚴(yán)格說來單調(diào)性隱含有自由處置(freedisposal)的條件，即假設(shè)企業(yè)可以無成本地處置多余的投入要素。譬如，如果投入要素組合(3，3)可生產(chǎn)1單位產(chǎn)品，投入要素組合(4，3)是否能生產(chǎn)至少1單位產(chǎn)品呢？這時只要自由處置條件存在，企業(yè)就能毫無代價地閑置或丟棄那實際上多余的1單位要素，從而能生產(chǎn)至少1單位產(chǎn)品。如果處置多余要素還需要額外的成本支出，動用或占有其他本可用于產(chǎn)品生產(chǎn)的要素，則上述的投入要素組合(4，3)就有可能無法生產(chǎn)出1單位產(chǎn)品來。單調(diào)性是對生產(chǎn)技術(shù)性質(zhì)的刻畫，顯然這里排除了生產(chǎn)組織者非理性地增加某一種投入從而帶來邊際產(chǎn)量負(fù)增長的情況。

2.凸性

先來看一個簡單的例子。某企業(yè)可用A方法或B方法生產(chǎn)1單位產(chǎn)品，A方法使用的要素組合為(1，2)，B方法使用的要素組合為(2，1)。如果技術(shù)上允許的話，將生產(chǎn)1單位產(chǎn)品的A方法放大100倍，即使用要素組合(100，200)生產(chǎn)出100單位產(chǎn)品，這可表示為(100，200)∈V(100)；或者將生產(chǎn)1單位產(chǎn)品的B方法放大100倍，即使用要素組合(200，100)也能生產(chǎn)出100單位產(chǎn)品，簡記為(200，100)∈V(100)。是否還有其他途徑生產(chǎn)100單位產(chǎn)品呢？答案是：還有。譬如，分別用A方法和B方法各生產(chǎn)50單位的產(chǎn)品，有(150，150)∈V(100)；或用A方法生產(chǎn)75單位產(chǎn)品，用B方法生產(chǎn)25單位產(chǎn)品，有(125175)∈V(100)，等等。對于如用A方法生產(chǎn)75單位產(chǎn)品，B方法生產(chǎn)25單位產(chǎn)品，可表示為

0.75(100，200)+0.25(200，100)=(125，175)∈V(100)

更一般地有：

t(100，200)+(1－t)(200，100)=［100t+200(1－t)，200t+100(1－t)］∈V(100)

其中：0≤t≤1。必要投入集的這種性質(zhì)的更精確的數(shù)學(xué)定義為：若x1∈V(q)，x2∈V(q)，且0≤t≤1，存在tx1+(1－t)x2∈V(q)，則V(q)為凸集。凸技術(shù)的等產(chǎn)量線(兩要素情形)是凸向原點的，這從上述的生產(chǎn)100單位產(chǎn)品的兩種要素此消彼長的數(shù)量關(guān)系中可以看出來。從理論上說，凸性也意味著如果有兩種方法生產(chǎn)一定數(shù)量的某產(chǎn)品，那么兩種方法使用的要素組合的加權(quán)平均(如果這樣在技術(shù)上可行的話)至少能生產(chǎn)出同樣多的產(chǎn)品。如圖4-3所示，假如a1單位的X1與a2單位的X2可生產(chǎn)1單位產(chǎn)品，還可用b1單位的X1與b2單位的X2生產(chǎn)這1單位產(chǎn)品，那么，在連接(a1，a2)與(b1，b2)的線段上的任何一點(如c點)代表的要素投入組合都可以至少生產(chǎn)1單位產(chǎn)品。凸生產(chǎn)集意味著凸必要投入集，凸必要投入集等價于擬凹生產(chǎn)函數(shù)。如果企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)為凸性，其生產(chǎn)函數(shù)必然是擬凹函數(shù)或稱之為擬凹生產(chǎn)函數(shù)。然而，在要素的投入規(guī)模改變，從而原有的投入產(chǎn)出關(guān)系改變時，凸性假設(shè)可能不再合理，不再成立。圖4-3生產(chǎn)技術(shù)的凸性第二節(jié)投入的變動

生產(chǎn)者(企業(yè))基于一定的產(chǎn)出量或利潤等目標(biāo)，常常會對資本、勞動等要素的投入進(jìn)行變動、調(diào)整。這種變動不僅涉及到單個要素的投入，還涉及到多種要素組合結(jié)構(gòu)的變動。

一、產(chǎn)出曲線

在q=f(，L)=f(L)的短期生產(chǎn)函數(shù)假定條件下，基于可變要素投入的變動，總產(chǎn)出(TP)曲線、平均產(chǎn)出(AP)曲線和邊際產(chǎn)出(MP)曲線及其相互關(guān)系如圖4-4所示。圖4-4產(chǎn)出曲線對于平均產(chǎn)出和邊際產(chǎn)出的關(guān)系，可以作如下數(shù)學(xué)論證因為，且AP是L的函數(shù)，因而：由于L＞0，所以，

(1)若，則＞0，即當(dāng)邊際產(chǎn)出大于平均產(chǎn)出時，平均產(chǎn)出處于遞增階段；

(2)若，則＜0，即當(dāng)邊際產(chǎn)出小于平均產(chǎn)出時，平均產(chǎn)出處于遞減階段；

(3)若，則=0，即當(dāng)邊際產(chǎn)出等于平均產(chǎn)出時，平均產(chǎn)出處于最高點。由平均產(chǎn)出最大的一階條件得：也就是即表現(xiàn)在平面幾何圖形上，平均產(chǎn)出曲線最高時，邊際產(chǎn)出曲線與它相交(數(shù)值相等)。二、等產(chǎn)量線在長期生產(chǎn)函數(shù)條件下，如果只考慮兩種要素投入，這兩種要素的投入量都是可變的，并且假設(shè)它們之間是可以相互替代的，則同一產(chǎn)出量往往可以由兩種要素的不同組合來實現(xiàn)。

1.連續(xù)性生產(chǎn)函數(shù)等產(chǎn)量線連續(xù)性生產(chǎn)函數(shù)等產(chǎn)量線表示兩種要素的投入比例可以任意變動，產(chǎn)量是一個連續(xù)函數(shù)，這是等產(chǎn)量線的基本形態(tài)，如圖4-2所示。兩維空間的等產(chǎn)量線圖實際上可看做為三維空間中等產(chǎn)量線圖的技術(shù)性簡化。等產(chǎn)量線的三維空間圖如圖4-5所示，L代表勞動投入，K代表資本投入，q代表產(chǎn)量，產(chǎn)量表現(xiàn)為三維空間中的一個曲面。圖4-5等產(chǎn)量線的三維空間圖生產(chǎn)曲面上的任何一點，代表與高度對應(yīng)的產(chǎn)量水平，它至兩軸的垂直距離表示所需要的相應(yīng)投入量。起初，隨著L與K的投入量的增加，產(chǎn)量曲面一般為上升的凸面，因為這時往往對應(yīng)著規(guī)模收益遞增。到后來，隨著要素投入量的增加，產(chǎn)量曲面為上升的凹面，因為這時往往對應(yīng)著規(guī)模收益遞減。當(dāng)兩要素的組合由E點代表時，產(chǎn)量達(dá)到最高。再繼續(xù)增加投入，產(chǎn)量曲面下降。此時的產(chǎn)量曲面對應(yīng)了不正常的生產(chǎn)階段。L-K平面兩維空間中的等產(chǎn)量線可看做為三維空間中的產(chǎn)量曲面上相應(yīng)等產(chǎn)量線在L-K平面上的投影。在平面幾何圖上，等產(chǎn)量線上任一點的切線的斜率表示兩種要素替代的比率，稱為邊際技術(shù)替代率(MRTS)。設(shè)想這樣兩種要素為L、K，生產(chǎn)函數(shù)便為q=f(L，K)。因為產(chǎn)量為常數(shù)，dq便為零，所以有：對該生產(chǎn)函數(shù)式取全微分，有由于在L與K各自不同的投入數(shù)量時，MPL與MPK均有不同的值，所以等產(chǎn)量線上不同點的MRTSL，K也是不同的，至少在生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)區(qū)或生產(chǎn)合理區(qū)內(nèi)的等產(chǎn)量線上情形如此。一般地，MPL＞0和MPK＞0，因而＜0，也就是，在勞動與資本的邊際產(chǎn)量均為正的條件下，增加一種投入的同時必須減少另一種投入，才能維持總產(chǎn)量不變。這種關(guān)系由圖4-6中兩條脊線以內(nèi)的等產(chǎn)量線表示。在生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)區(qū)以外的等產(chǎn)量線斜率為正，這說明必定存在MPL＜0和MPK＞0，或MPL＞0和MPK＜0，只有如此，才有＞0。如就q1的等產(chǎn)量線來說，L的投入超過L1后，正是由于L的邊際產(chǎn)出為負(fù)值即MPL為負(fù)，為了維持總產(chǎn)出q1不變，才需要增加K的投入。或者，MPL為正時增加L的投入和資本的投入，總產(chǎn)出q1不變，這時MPL必為負(fù)。圖4-6生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)區(qū)圖圖4-6中的C1、C2、C3點斜率為零，即L對K的邊際技術(shù)替代率為零。過這些點的切線平行于橫軸，=0，說明為維持產(chǎn)出不變，增加微小的L的投入但無需變動任何K的投入。而且由可知，C1、C2、C3點的勞動的邊際產(chǎn)出(MPL)為零。圖4-6中的D1、D2、D3點斜率為無窮大，過這些點的切線平行于縱軸。=∞說明MPK趨于0，這時可反過來說，K對L的邊際技術(shù)替代率為零，為維持產(chǎn)出不變，增加微小的K的投入但無需變動任何L的投入，因為這時的MPK為零。D1、D2、D3點的資本的邊際產(chǎn)出(MPK)為零。由上述分析可知，兩條脊線分別是兩種要素的邊際產(chǎn)量為零的軌跡。除了上述形狀的等產(chǎn)量線外，還有一些比較特殊的等產(chǎn)量線。

2.固定比例生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線在這種情況下，等產(chǎn)量線表現(xiàn)為直角型折線，如圖4-7所示。對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)為q=f(L，K)=min(d1L，d2K)(d1＞0，d2＞0)。為從原點出發(fā)的連接不同水平的等產(chǎn)量線的拐角的射線的斜率，它表示兩種投入要素的固定比率。這種情況下的要素表現(xiàn)出完全不能相互替代的特征，相對于固定比率和既定產(chǎn)量，任何一種要素少一單位投入不行，多一單位投入也沒用。圖4-7固定比例生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線

3.完全替代情況下的等產(chǎn)量線如果生產(chǎn)函數(shù)為q=f(L，K)=aL+bK(a＞0，b＞0)，則L對K的邊際技術(shù)替代率MRTSL，K=為一常數(shù)，說明為維持同一產(chǎn)量，增加一個單位的L所能替代的K的投入量均為。這兩種要素互為完全替代品，對應(yīng)的等產(chǎn)量線為一條向右下方傾斜的直線，如圖4-8所示。對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)也稱為線性生產(chǎn)函數(shù)。設(shè)想高速公路上的收費(fèi)，既可以采用自動投幣的方式，也可以采用完全人工的收費(fèi)方式，還可以兩者兼用，但一天的收費(fèi)額都是相同的。圖4-8完全替代情況下的等產(chǎn)量線

4.有限可變比例情況下的等產(chǎn)量線

這種情況下的等產(chǎn)量線是折線型的，如圖4-9所示。當(dāng)企業(yè)可采用多種固定比例的要素組合以產(chǎn)出同等產(chǎn)量時，將形成折線型等產(chǎn)量線。圖中的A、B、C、D、E分別表示勞動與資本投入的五種固定比例，產(chǎn)量都是相同的。ABCDE便構(gòu)成折線型等產(chǎn)量線。由原點出發(fā)的五條射線的斜率，分別代表兩種要素投入的五種固定比例。如果這些有限可變的比例無限增多，其極限狀態(tài)便是可以任意變動投入比例的連續(xù)生產(chǎn)函數(shù)的光滑的等產(chǎn)量線。圖4-9有限可變比例情況下的等產(chǎn)量線現(xiàn)將折線型等產(chǎn)量線簡單化，并在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的深入分析。如圖4-10所示，假定某企業(yè)有兩個車間或兩種生產(chǎn)方法都可以生產(chǎn)某種產(chǎn)品，T1車間或其所代表的生產(chǎn)方法占用的固定資本比重較高，或機(jī)械化水平較高，T2車間則相反。每個車間內(nèi)部投入要素的比例或每種生產(chǎn)方法隱含的要素投入比例是固定的。如果企業(yè)用T1方法生產(chǎn)，需用OV的勞動和OW的資本生產(chǎn)產(chǎn)量q；如果用T2方法生產(chǎn)，需用OU的勞動和OY的資本生產(chǎn)產(chǎn)量q。假如企業(yè)擁有的勞動資源少于OU，擁有的資本資源也少于OW，企業(yè)可用怎樣的方式去生產(chǎn)產(chǎn)量q呢？在這里，企業(yè)可以為每個車間分配不同的生產(chǎn)任務(wù)來調(diào)整整個企業(yè)投入要素之間的比例。在圖中，可任取等產(chǎn)量線上的一點(A點)，A點顯示的勞動投入量為OS，資本投入量為OR，這是結(jié)合兩種生產(chǎn)方法的結(jié)果。圖4-10要素總量約束下的產(chǎn)量分配如果需要找出每個車間或每種生產(chǎn)方法上的投入量，可以從A點作AP線使之平行于OT1，作AM線使之平行于OT2，得到M、P點。其坐標(biāo)分別為(OG，ON)和(OF，OH)。即用資本ON和勞動OG投入生產(chǎn)方法T1，用資本OH和勞動OF投入生產(chǎn)方法T2，就可得到總產(chǎn)量q?？梢宰C明：OR=ON+OH，OS=OG+OF。因為AM//OP，AP//OM，則OMAP為平行四邊形，那么

AP=OM作PE并使之平行于橫軸，因為HE//OS，所以∠1=∠2又因為OM//PA，所以∠3=∠4即有∠1+∠3=∠2+∠4也就是∠MOG=∠APE由于∠AEP=∠MGO=90°，便有∠EAP=∠GMO于是△OMG≌△APE有

OG=PE=FS所以

OS=OF+FS=OF+OG同理可證：

OR=ON+OH

此時，生產(chǎn)方法T1(即A車間)提供的產(chǎn)量為，生產(chǎn)方法T2(即B車間)提供的產(chǎn)量為。證明如下：生產(chǎn)方法T1提供的產(chǎn)量為(OB為產(chǎn)量q，OM為現(xiàn)有產(chǎn)量)。由于△APC相似于△BOC，所以，即，也就是生產(chǎn)方法T1提供的產(chǎn)量為類似地，可求得生產(chǎn)方法T2提供的產(chǎn)量為則總產(chǎn)量為

三、投入組合均衡的條件

假定長期中的所有要素投入都是可變的，且投入要素為勞動與資本兩種。既定成本下的產(chǎn)量最大化表現(xiàn)為既定的等成本線與一條位置盡可能高的等產(chǎn)量線相切，切點代表的要素組合為最優(yōu)投入組合。既定產(chǎn)量下的成本最小表現(xiàn)為既定的等產(chǎn)量線與一條位置盡可能低的等成本線相切。

1.既定成本下產(chǎn)量最大

由既定成本下產(chǎn)量最大可知：

maxq=f(L，K)

s.t.

PL·L+PK·K=C0

作拉格朗日函數(shù)：

Z=f(L，K)+λ1(C0－PL·L－PK·K)Z的極大值問題也就是q的極大值問題，Z的極大值的必要條件：(4-2)(4-3)(4-4)由式(4-2)和式(4-3)可得出：也就是，要素的邊際產(chǎn)量之比等于其價格之比是要素投入最優(yōu)組合的條件。從式(4-2)和式(4-3)還可得到：(4-5)

這說明，要素投入組合最優(yōu)時，每種要素的最后1單位貨幣投入所帶來的邊際產(chǎn)量都應(yīng)是相等的、相同的，并等于拉格朗日乘數(shù)λ1。λ1等于產(chǎn)量對成本的導(dǎo)數(shù)，因而其經(jīng)濟(jì)意義可表述為最后投入1個單位成本對于產(chǎn)出量的貢獻(xiàn)。證明如下：因為

dC=PL·dL+PK·dK由式(4-5)可得：和于是即所以

2.既定產(chǎn)量下成本最小由既定產(chǎn)量下成本最小可知：

minC=PL·L+PK·K

s.t.q0=f(L，K)作拉格朗日乘數(shù)：

Z=PL·L+PK·K+λ2[q0－f(L，k)]

Z取極值的必要條件：(4-6)(4-7)(4-8)由式(4-6)和式(4-7)可得出即有(4-9)經(jīng)計算可得也就是說，λ2在這里體現(xiàn)為邊際成本。四、生產(chǎn)彈性企業(yè)根據(jù)自身需要和約束條件決定投入要素的變動時，技術(shù)上還有一個生產(chǎn)彈性問題。生產(chǎn)彈性通常包括產(chǎn)出彈性、生產(chǎn)力彈性和替代彈性。

1.產(chǎn)出彈性

產(chǎn)出彈性(elasticityofoutput)是指在技術(shù)水平與投入要素價格不變的條件下，若其他投入固定不變，某一種投入的相對變動所引起的產(chǎn)出量的相對變動程度。設(shè)q=f(L，K)，EL和EK分別為勞動的產(chǎn)出彈性與資本的產(chǎn)出彈性，則：(4-10)(4-11)一般地，邊際產(chǎn)量和平均產(chǎn)量均為要素投入的函數(shù)，因此產(chǎn)出彈性也為要素投入的函數(shù)。當(dāng)某種要素的邊際產(chǎn)量大于、等于或小于它的平均產(chǎn)量時，該投入要素的產(chǎn)出彈性就大于、等于或小于1。就前述的圖4-4(a)來說，勞動投入在L2以前，勞動的產(chǎn)出彈性大；勞動投入在L2單位時，產(chǎn)出彈性剛好等于1；勞動投入超過L2后，勞動的產(chǎn)出彈性就小。如果某種投入要素的產(chǎn)出彈性等于一個常數(shù)，則稱其產(chǎn)出彈性為不變彈性。產(chǎn)出彈性的表達(dá)式還可以用對數(shù)微商來表示：

2.生產(chǎn)力彈性

生產(chǎn)力彈性(elasticityofproductivity)指的是在技術(shù)水平與投入要素價格不變的條件下，所有投入要素按同一比例變動時所引起的產(chǎn)出量的相對變動程度。由于該彈性針對生產(chǎn)函數(shù)中所有要素的同一比例變動而言，因而又被稱為生產(chǎn)函數(shù)彈性。設(shè)Ee為生產(chǎn)力彈性，要素向量為X=(L，K)，則：假設(shè)存在生產(chǎn)函數(shù)q=f(L，K)，則等式兩邊同除以q因為L、K都按同一比例變動，因而有于是所以

Ee=EL+EK

類似地還可證明，如果投入要素有更多種，則存在Ee=EL+EK+…+E。簡言之，生產(chǎn)力彈性等于各投入要素的產(chǎn)出彈性之和。在不同的生產(chǎn)條件和市場環(huán)境中，資本的產(chǎn)出彈性是有區(qū)別的，勞動的產(chǎn)出彈性也是有區(qū)別的。很容易理解，高素質(zhì)勞動力的產(chǎn)出彈性大于低素質(zhì)勞動力的產(chǎn)出彈性；管理嚴(yán)格的企業(yè)的生產(chǎn)力彈性也較大。

3.替代彈性

當(dāng)各種要素的數(shù)量、質(zhì)量和生產(chǎn)技術(shù)發(fā)生變動時，就會引起各自邊際產(chǎn)量的變動，導(dǎo)致邊際技術(shù)替代率的變動。而邊際技術(shù)替代率的變動顯然又會引起投入比例的變動。替代彈性(elasticityofsubstitution)就是指在產(chǎn)出量不變前提下，邊際技術(shù)替代率的相對變動所引起的企業(yè)投入比例相對變動的程度。設(shè)Eσ為替代彈性，則：也即

因為假設(shè)K/L與MRTSL，K沿同一條等產(chǎn)量線按相同方向變動，因而Eσ值為正。邊際技術(shù)替代率是等產(chǎn)量線的斜率，替代彈性則是等產(chǎn)量線的曲率，說明等產(chǎn)量線斜率的比率變化時，要素比率的變化率如何變化。設(shè)想同一條等產(chǎn)量線上的點A運(yùn)行到點B，在這一運(yùn)行中，MRTSL，K與K/L的比率都將發(fā)生變化，Eσ便刻畫了這種變化的相對比率，因此Eσ是關(guān)于等產(chǎn)量線曲率的度量。當(dāng)?shù)犬a(chǎn)量線斜率的微小變化引起要素比率的較大變化時，說明等產(chǎn)量線是相當(dāng)平坦的，也說明替代彈性是大的，反之亦然。如果兩種要素可完全相互替代，則替代彈性為無窮大。如前述的生產(chǎn)函數(shù)q=aL+bK(a＞0，b＞0)，因為MRTSL，K=為一常數(shù)，因而dMRTSL，K=0，也即Eσ=∞。如果兩種要素完全不能相互替代，即生產(chǎn)函數(shù)為固定比例生產(chǎn)函數(shù)，則替代性彈為零。如前述的生產(chǎn)函數(shù)q=min(d1L，d2K)(d1＞0，d2＞0)，由于K/L為一固定比例，即為一常數(shù)，有d(K/L)=0，則Eσ=0。一般地，生產(chǎn)要素的替代彈性大于0。第三節(jié)規(guī)模收益

一般將生產(chǎn)中的各投入要素以相同的比例變動稱為生產(chǎn)的規(guī)模變化。規(guī)模收益指的便是在技術(shù)水平和要素價格不變的條件下，生產(chǎn)規(guī)模變化所導(dǎo)致的產(chǎn)量變動狀態(tài)。

一、全局性規(guī)模收益

全局性規(guī)模收益有不同的表達(dá)方式。

1.生產(chǎn)函數(shù)表達(dá)式

規(guī)模收益問題常用齊次生產(chǎn)函數(shù)來表達(dá)。當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)是齊次函數(shù)時，所有要素的增長與產(chǎn)出增長之間存在著對應(yīng)關(guān)系。如設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為q=f(L，K)，有：

f(tL，tK)=trf(L，K)trq在這一等式成立的條件下，則稱f(L，K)是r次齊次生產(chǎn)函數(shù)。這時，所有投入要素以同一比率t增長會引起產(chǎn)量按比率tr增長。當(dāng)t＞1和r＞1時，trq＞tq，則稱規(guī)模收益遞增；當(dāng)t＞1和r＜1時，trq＜tq，則稱規(guī)模收益遞減；當(dāng)t＞0和r=1時，trq=tq，則稱規(guī)模收益不變。從完整的理論意義上講，規(guī)模收益不僅對應(yīng)于生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大，還應(yīng)對應(yīng)于生產(chǎn)規(guī)模的縮小。1＞t≥0便代表生產(chǎn)規(guī)模的縮小，但t不可能為負(fù)數(shù)。因為無論就要素投入還是就企業(yè)產(chǎn)量而言，極限狀態(tài)的縮減便是不作任何投入或不提供任何產(chǎn)量，即乘以現(xiàn)有要素(組合)或產(chǎn)量的系數(shù)t為0。當(dāng)0＜t＜1和r＜1時，trq＞tq，則稱規(guī)模收益遞增。譬如，考慮t=0.7和r=0.5時的情形，這時有0.70.5q＞0.7q，這意味著在新的要素投入僅為原有投入量的70％(或者說生產(chǎn)規(guī)模縮減了30％)條件下，提供的新產(chǎn)量的減少幅度卻不到30％。也可一般地理解為，生產(chǎn)規(guī)?？s減幅度大，帶來的產(chǎn)量減少幅度較小，企業(yè)生產(chǎn)的平均成本下降了，產(chǎn)生了規(guī)模經(jīng)濟(jì)。企業(yè)由此可以節(jié)約資源或?qū)⒉糠仲Y源移作他用。這也說明，原有的生產(chǎn)規(guī)模過大，處于規(guī)模收益遞減階段，所以縮小規(guī)模反而能帶來規(guī)模收益遞增。當(dāng)0＜t＜1和r＞1時，trq＜tq，則稱規(guī)模收益遞減。例4-1說明生產(chǎn)函數(shù)q=f(L，K)=的規(guī)模收益狀態(tài)。解：設(shè)t＞1，有所以，生產(chǎn)規(guī)模擴(kuò)大方向上的規(guī)模收益遞減。設(shè)0＜t＜1，有所以，生產(chǎn)規(guī)?？s小方向上的規(guī)模收益遞增。雖然生產(chǎn)規(guī)?？s減對于規(guī)模收益的說明保證了理論闡述的完整性，但無論在理論上還是現(xiàn)實上，人們通常是在生產(chǎn)規(guī)模擴(kuò)大的方向上來討論規(guī)模收益問題的。

2.生產(chǎn)力彈性表達(dá)式

當(dāng)Ee＞1，即產(chǎn)量相對變動的幅度大于所有要素投入量同一比率的相對變動幅度時，規(guī)模收益遞增；當(dāng)Ee＜1，即產(chǎn)量相對變動的幅度小于所有要素投入量同一比率的相對變動幅度時，規(guī)模收益遞減；當(dāng)Ee=1，即產(chǎn)量相對變動的幅度等于所有要素投入量同一比率的相對變動幅度時，規(guī)模收益不變?？紤]生產(chǎn)函數(shù)的表達(dá)式，顯然，針對t＞1所表示生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大而言，Ee=r，即生產(chǎn)力彈性系數(shù)這時就是齊次生產(chǎn)函數(shù)中的次數(shù)。

3.等產(chǎn)量線圖表示法

如圖4-11所示，通過原點的射線OR表示L與K的投入按相同比例增加。在A點至B點再至C點，可以觀察到規(guī)模收益遞增；C點到D點，規(guī)模收益不變；D點至E點，規(guī)模收益遞減。圖4-11等產(chǎn)量線表示的規(guī)模收益變動二、局部性規(guī)模收益

以上討論的規(guī)模收益是就根本意義和全局性意義而言的，它往往對應(yīng)于不同的生產(chǎn)技術(shù)和行業(yè)特性等。但即使是規(guī)模收益遞增的生產(chǎn)技術(shù)或行業(yè)，在不同的規(guī)模水平，其規(guī)模收益遞增的速度可能是不同的。而且，許多生產(chǎn)函數(shù)并不能歸入上述的規(guī)模收益的三種情形中的任何一種，但卻在某一產(chǎn)量范圍內(nèi)呈現(xiàn)規(guī)模收益遞增，在另外的產(chǎn)量區(qū)域中又呈現(xiàn)規(guī)模收益遞減或不變的情況。所以，需要一個衡量規(guī)模收益特征的局部性指標(biāo)或技術(shù)手段。這個局部性指標(biāo)就是規(guī)模彈性。相應(yīng)地，前面的分析內(nèi)容也就稱之為全局性規(guī)模收益，下面分析局部性規(guī)模收益。設(shè)q=f(x)是生產(chǎn)函數(shù)，t＞0，且有q(t)=f(tx)，定義規(guī)模彈性為其含義為在投入要素量及其組合點x處，生產(chǎn)規(guī)模的變動所帶來的產(chǎn)量變動的程度。通常將t=1視為原有的生產(chǎn)規(guī)模，t＞1代表生產(chǎn)規(guī)模的相應(yīng)放大，t＜1代表生產(chǎn)規(guī)模的相應(yīng)縮小。如果e(x)=1，表明產(chǎn)量增長速度與生產(chǎn)規(guī)模增長速度相同，可說在x處是規(guī)模收益不變。如果e(x)＞1或e(x)＜1，則可說在x處是規(guī)模收益遞增或遞減。不難發(fā)現(xiàn)，規(guī)模彈性與生產(chǎn)力彈性在內(nèi)在邏輯上具有高度的一致性。三、規(guī)模收益變化的原因

前述的生產(chǎn)函數(shù)或生產(chǎn)力彈性對于規(guī)模收益狀態(tài)的表達(dá)、刻畫更多的是一種事后的度量。因為現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)社會中，生產(chǎn)規(guī)模擴(kuò)大或縮小時，各種投入通常并不會以同一比例變動。但即使投入要素以相異比例變動，仍會產(chǎn)生規(guī)模經(jīng)濟(jì)和規(guī)模不經(jīng)濟(jì)及其比較關(guān)系的變化，進(jìn)而引起規(guī)模收益的變動。這種規(guī)模收益變動的度量可以借助于等式f(tL，tK)=trq中t與tr之間的關(guān)系來進(jìn)行。就規(guī)模經(jīng)濟(jì)而言，一般認(rèn)為其產(chǎn)生的原因主要有：

(1)生產(chǎn)分工的深化。隨著生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大，專業(yè)化生產(chǎn)分工可以更細(xì)，各種要素的專用性更強(qiáng)，從而生產(chǎn)效率更高，生產(chǎn)的平均成本降低。實際上，早在18世紀(jì)，經(jīng)濟(jì)學(xué)巨匠亞當(dāng)·斯密在《國富論》中就以制針業(yè)為例，對專業(yè)化分工如何會促進(jìn)生產(chǎn)效率提高作了經(jīng)典性的分析。

(2)生產(chǎn)經(jīng)營的不可分性。直觀地講，一輛30噸的載重卡車不會因為只載貨15噸而減少某些必要的費(fèi)用；一條流水生產(chǎn)線不會因為產(chǎn)量的減少而降低整條流水線的運(yùn)行成本；針對10萬件同一品牌的產(chǎn)品所做的廣告不能因為現(xiàn)在只針對100件產(chǎn)品而只做哪怕半個廣告。生產(chǎn)經(jīng)營的不可分性實際上也體現(xiàn)了生產(chǎn)經(jīng)營設(shè)施、設(shè)備的共享性。如連鎖店就較好地實現(xiàn)了對企業(yè)管理模式和企業(yè)品牌的共享。

(3)財務(wù)方面的因素。企業(yè)規(guī)模的擴(kuò)大意味著資產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大，從而有利于其對外籌資，便捷的籌資又有利于企業(yè)采用先進(jìn)的機(jī)器設(shè)備和生產(chǎn)技術(shù)；由于所需資本和原材料數(shù)量大，又可在一定程度上降低籌資成本和購貨成本等。

(4)交易成本的節(jié)省。根據(jù)現(xiàn)代企業(yè)理論，企業(yè)的對外市場交易都會產(chǎn)生較大的交易成本，這些交易成本既包括財務(wù)成本，也包括時間、精力的耗費(fèi)和生產(chǎn)經(jīng)營過程中的注意力不集中等。大規(guī)模生產(chǎn)使得企業(yè)內(nèi)交易在較大程度上取代了企業(yè)外的市場交易，從而節(jié)省了交易成本，提高了企業(yè)效率。但是，企業(yè)規(guī)模的擴(kuò)大在產(chǎn)生規(guī)模經(jīng)濟(jì)的同時，也常產(chǎn)生著規(guī)模不經(jīng)濟(jì)。如由于所需資本量大，籌資的難度也在增加；另一方面企業(yè)的內(nèi)部摩擦、企業(yè)內(nèi)的信息傳遞失真現(xiàn)象都會增加，尤其是企業(yè)規(guī)模超過一定程度后，管理效率趨低，即企業(yè)內(nèi)交易的邊際交易費(fèi)用上升，等等。規(guī)模經(jīng)濟(jì)超過規(guī)模不經(jīng)濟(jì)時，表現(xiàn)為規(guī)模收益遞增；規(guī)模經(jīng)濟(jì)與規(guī)模不經(jīng)濟(jì)相抵時，表現(xiàn)為規(guī)模收益不變；規(guī)模不經(jīng)濟(jì)超過規(guī)模經(jīng)濟(jì)時，便表現(xiàn)為規(guī)模收益遞減。第四節(jié)生產(chǎn)函數(shù)的典型類型

經(jīng)濟(jì)學(xué)家在理論分析上提出了許多生產(chǎn)函數(shù)，它們具有不同的理論特征和適用性。本節(jié)運(yùn)用上述的基本理論原理討論幾種著名的、常用的代表性生產(chǎn)函數(shù)。

一、線性齊次生產(chǎn)函數(shù)

現(xiàn)實社會中，生產(chǎn)函數(shù)往往是非線性的，線性生產(chǎn)函數(shù)極為少見，但為分析簡單，理論上常將近似線性的生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)為線性生產(chǎn)函數(shù)。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)由下式給出：

q=f(L，K)=aL+bK該生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線都是斜率為－a/b的平行直線，如圖4-8所示。前已述及，其替代彈性Eσ=∞。線性齊次生產(chǎn)函數(shù)具有如下性質(zhì)：

(1)規(guī)模收益不變。這一性質(zhì)可以很容易地予以證明。對于任意t＞0，有：

f(tL，tK)=atL+btK=t(aL+bK)=tq

(4-12)

這表示投入的L、K增加了t倍，產(chǎn)量也相應(yīng)地增加t倍，呈線性變動?？梢?，這里的Ee=r=1。

(2)要素投入的平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量取決于投入比例，而一般被認(rèn)為與投入數(shù)量無關(guān)?，F(xiàn)證明如下：令(因規(guī)模收益不變，且L≠0，可看做為原有的產(chǎn)量與各投入量都除以L，這并不破壞等式或函數(shù)關(guān)系的成立)，并代入式(4-12)可得：兩邊同乘以，有由式(4-13)有求上式對L的偏導(dǎo)數(shù)，得(4-16)求式(4-15)對K的偏導(dǎo)數(shù)，得：式(4-13)和式(4-14)說明，APL和APK都是K/L即要素投入比例的函數(shù)；式(4-16)和式(4-17)說明，MPL和MPK也都是K/L的函數(shù)。(4-17)

(3)滿足歐拉定理(Euler’stheorem)。歐拉定理可用下式來表示：(4-18)

此式的經(jīng)濟(jì)含義是，各種投入的邊際產(chǎn)量乘以其投入數(shù)量之和，剛好等于總產(chǎn)量。將線性齊次生產(chǎn)函數(shù)f(tL，tK)=tf(L，K)對t求導(dǎo)，便可得到式(4-18)。下面我們作一簡單驗證：以式(4-16)和式(4-17)代入式(4-18)，得：(據(jù)式(4-15))

二、柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)

柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)有時簡稱為C-D生產(chǎn)函數(shù)，其表達(dá)式為

q=ALaKβ

(4-19)其中，A、α、β均為正常數(shù)，且1＞α、β＞0。C-D生產(chǎn)函數(shù)具有如下性質(zhì)：

(1)α、β分別為勞動與資本的產(chǎn)出彈性。證明：據(jù)C-D生產(chǎn)函數(shù)，有：(4-20)(4-21)據(jù)式(4-20)和式(4-21)，可得：而生產(chǎn)力彈性

(2)要素的替代彈性恒為1(即單位替代彈性)。證明：

(3)生產(chǎn)函數(shù)為α+β次齊次函數(shù)。對于任意給定的非零常數(shù)t，有：

f(tL，tK)=A(tL)α(tK)β=tα+βq

若α+β＞1，則規(guī)模收益遞增；若α+β＜1，則規(guī)模收益遞減；若α+β=1，則規(guī)模收益不變，這時的f(tL，tK)=tq，即為線性齊次生產(chǎn)函數(shù)。

(4)等產(chǎn)量線凸向原點。對式(4-19)全微分，可得：

由于dq=0，所以(α，β，L，K＞0)上式為C-D生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線的斜率，即勞動對資本的邊際技術(shù)替代率為負(fù)，且等于要素的投入比例乘以與其分別對應(yīng)的產(chǎn)出彈性之比的倒數(shù)。而且，上式表明，C-D生產(chǎn)函數(shù)等產(chǎn)量線凸向原點。

(5)生產(chǎn)擴(kuò)張線是一條直線型射線。因為不同水平的等成本線與等產(chǎn)量線的切點滿足條件：也就是αPKK=βPL·L，則顯然，生產(chǎn)擴(kuò)張線為一直線型射線的前提條件是，α、β、PL和PK之值不變。這樣，從原點出發(fā)的射線的斜率不變。如果PL或PK之值變化，等成本線的斜率就會隨之改變，其與等產(chǎn)量線的切點就會處于直線型射線以外，或者說，連接這些切點的生產(chǎn)擴(kuò)張線的斜率就會改變。

C-D生產(chǎn)函數(shù)的對數(shù)形式是線性的，為lnq=lnA+αlnL+βlnK，這便使它表現(xiàn)出了相當(dāng)?shù)膽?yīng)用價值。α、β對應(yīng)于勞動與資本的產(chǎn)出彈性，而這些常量往往可根據(jù)實際數(shù)據(jù)進(jìn)行測算。

三、里昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)

里昂惕夫(Leontief)生產(chǎn)函數(shù)又稱為投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)，其數(shù)學(xué)形式為(4-22)其中，a、b分別表示生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所需要的L和K要素的投入量。對于特定的產(chǎn)量q0，需要的生產(chǎn)要素的投入量是被唯一地決定：

L=aq0，K=bq0

其中，L/a或K/b表示投入的L或K與別的要素結(jié)合所能生產(chǎn)的(最大)產(chǎn)量。式(4-22)表明，產(chǎn)量取決于具有固定比例的各種要素投入量中的最少者。換言之，最小的L/a或L/b決定所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量水平，另一種或另外所有的生產(chǎn)要素會因該種要素的相對短缺而被閑置。這也就是人們常說的“箍桶原則”，即水桶能盛多少水，完全取決于最短的那一塊木板，而不是取決于木板的平均長度或有多少塊長木板。例如，生產(chǎn)某一單位產(chǎn)品需要投入3個單位的L和4個單位的K，假如企業(yè)部門實際投入了9個單位的L和16個單位的K，所能生產(chǎn)出的產(chǎn)量也僅為3單位，因為該企業(yè)部門在生產(chǎn)過程中實際上有4個單位的K閑置。由式(4-22)易見：

(1)等產(chǎn)量線是一條直角型折線，我們已在前面作過分析。(2)它是關(guān)于L和K的一次齊次函數(shù)。

(3)要素的替代彈性為零。

四、不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)不變替代彈性(constantelasticityofsubstitution)生產(chǎn)函數(shù)簡稱CES生產(chǎn)函數(shù)，由阿羅、索洛等人于上世紀(jì)60年代初提出。它的一般表達(dá)形式為(4-23)其中，A為規(guī)