高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程 第4版 課件全套 王翠芳 第1-8章 函數(shù)與極限- 多元函數(shù)微積分

高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第1章函數(shù)與極限預(yù)備知識(shí)

區(qū)間區(qū)間是高等數(shù)學(xué)中常用的實(shí)數(shù)集,包括四種有限區(qū)間和五種無(wú)窮區(qū)間.1.有限區(qū)間設(shè)a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),且a<b,則滿足不等式a≤x≤b的所有實(shí)數(shù)x的集合稱為一個(gè)閉區(qū)間,記作[a,b]={x|a≤x≤b}類(lèi)似地,有開(kāi)區(qū)間和半開(kāi)區(qū)間(a,b)={x|a<x<b}[a,b)={x|a≤x<b}(a,b]={x|a<x≤b}2.無(wú)窮區(qū)間滿足不等式-∞<x<+∞的所有實(shí)數(shù)x的集合稱為無(wú)窮區(qū)間,記作(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}類(lèi)似地,有半無(wú)窮區(qū)間(a,+∞)={x|a<x<+∞}[a,+∞)={x|a≤x<+∞}(-∞,b)={x|-∞<x<b}(-∞,b]={x|-∞<x≤b}鄰域設(shè)δ>0,x0為實(shí)數(shù),則集合{x||x-x0|<δ}稱為x0的δ鄰域.由|x-x0|<δ即x0-δ<x<x0+δ可知,x0的δ鄰域是以x0為中心,長(zhǎng)度為2δ的開(kāi)區(qū)間(x0-δ,x0+δ).剛起步的學(xué)生需要知道比事實(shí)和技巧更多的東西:吸收一種數(shù)學(xué)的世界觀,一組判斷問(wèn)題是否有意思的準(zhǔn)則,一種向別人傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)熱情和數(shù)學(xué)味道的方法.

格列夫斯本章將在復(fù)習(xí)和加深函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上著重討論函數(shù)的極限,并介紹函數(shù)的連續(xù)性.函數(shù)是一種反映變量之間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.在自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象中,往往同時(shí)存在幾個(gè)不斷變化的量,這些變量不是孤立的,而是相互聯(lián)系并遵循一定的規(guī)律.函數(shù)就是描述這種聯(lián)系的一個(gè)法則.比如,一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體,它的速度和位移都是隨時(shí)間變化而變化的,它們之間的關(guān)系就是一種函數(shù)關(guān)系.函數(shù)1.1.1函數(shù)的定義定義1設(shè)x,y是兩個(gè)變量,D是給定的一個(gè)數(shù)集,若對(duì)于D中的每一個(gè)x值,根據(jù)某一法則f,變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么,我們就說(shuō)變量y是變量x的函數(shù).記作y=f(x),x∈D式中x稱為自變量,y稱為因變量.自變量x的變化范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域,因變量y的變化范圍稱為函數(shù)y=f(x)的值域.為了便于理解,可以把函數(shù)想象成一個(gè)數(shù)字處理裝置.當(dāng)輸入(定義域的)一個(gè)值x,則有(值域的)唯一確定的值f(x)輸出,如圖1-1所示。函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.關(guān)于函數(shù)的定義域,在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)根據(jù)實(shí)際意義具體確定.如果討論的是純數(shù)學(xué)問(wèn)題,則往往取使函數(shù)的表達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)所組成的集合作為該函數(shù)的定義域.圖1-1

1.1.2函數(shù)的表示法常用的函數(shù)表示法有三種:1.表格法將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表的方法,稱為表格法.例如,平方表、三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)關(guān)系.2.圖像法在坐標(biāo)系中用圖形來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法,稱為圖像法.例如,氣象臺(tái)用自動(dòng)記錄儀把一天的氣溫變化情況自動(dòng)描繪在記錄紙上,如圖1-2所示.根據(jù)這條曲線,就能知道一天內(nèi)任何時(shí)刻的氣溫了。圖1-2將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示的方法,稱為公式法.這些數(shù)學(xué)式子也稱為解析表達(dá)式.函數(shù)的解析表達(dá)式分三種,由此函數(shù)也可分為顯函數(shù)、隱函數(shù)和分段函數(shù).(1)顯函數(shù)函數(shù)y由x的解析式直接表示出來(lái).例如,y=x2-1.(2)隱函數(shù)函數(shù)的自變量x和因變量y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由方程F(x,y)=0來(lái)確定.例如,y-sin(x+y)=0.(3)分段函數(shù)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi),具有不同的解析表達(dá)式.例如,函數(shù)其圖像如圖1-3所示.再如,符號(hào)函數(shù)其圖像如圖1-4所示.圖1-3圖1-4有些分段函數(shù)也用一些特殊的符號(hào)來(lái)表示.例如,整函數(shù)y=[x],其中[x]表示不大于x的最大整數(shù),如[3.14]=3;[-0.2]=-1.整函數(shù)的部分圖像如圖1-5所示.需要注意的是:分段函數(shù)在整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).

圖1-51.1.3函數(shù)的幾種特性1.函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意x∈D均有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若對(duì)任意x∈D均有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖1-6a所示；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖1-6b所示。圖1-62.函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)y=f(x)區(qū)間(a，b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x2>x1時(shí)，有f(x2)>f(x1)，則稱此函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)增加；若有f(x2)<f(x1)，則稱此函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)減少。單調(diào)增加的函數(shù)與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)增加函數(shù)的圖像是沿x軸正向逐漸上升的，如圖1-7a所示；單調(diào)減少函數(shù)的圖像是沿x軸正向逐漸下降的，如圖1-7b所示。圖1-73.函數(shù)的有界性設(shè)D是函數(shù)y=f(x)的定義域，若存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)一切x∈D，都有|f(x)|≤M，則稱函數(shù)f(x)是有界函數(shù)，否則稱函數(shù)f(x)為無(wú)界函數(shù)。4.函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在常數(shù)T>0，使得對(duì)一切x∈D，皆有f(x)=f(x+T)成立，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)。大家熟悉的三角函數(shù)就是周期函數(shù)。其實(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到許多周期函數(shù)，如電學(xué)中的矩形波(見(jiàn)圖1-8)、鋸齒波(見(jiàn)圖1-9)等。圖1-8圖1-9

1.1.4

反函數(shù)定義2給定函數(shù)y=f(x)，如果把y作為自變量，x作為因變量，則由關(guān)系式y(tǒng)=f(x)所確定的函數(shù)x=φ(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，而y=f(x)稱為直接函數(shù)。習(xí)慣上總是用x表示自變量，y表示因變量，因此y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)通常也寫(xiě)成y=φ(x)。函數(shù)y=φ(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

圖1-101.1.5

基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)y=C(C是任意實(shí)數(shù))冪函數(shù)y=xα(α是任意實(shí)數(shù))指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1，a為常數(shù))對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1，a為常數(shù))三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx反三角函數(shù)y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。1.1.6復(fù)合函數(shù)定義3如果y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)u=g(x)，當(dāng)x在某一區(qū)間上取值時(shí)，相應(yīng)的u值使y有意義，則稱y為x的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(u)=f(g(x))，其中x是自變量，u是中間變量。有的復(fù)合函數(shù)是多重復(fù)合，有多個(gè)中間變量。如前所述，若函數(shù)能被想象成一個(gè)數(shù)字處理裝置，那么復(fù)合函數(shù)也能被想象成若干個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字處理裝置串聯(lián)起來(lái)形成的一個(gè)復(fù)雜的數(shù)字處理裝置，如圖1-11所示，其中g(shù)(x)既是第一臺(tái)裝置的輸出，又是第二臺(tái)裝置的輸入。圖1-11

引例1確定圓面積就是一個(gè)求極限的過(guò)程。我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期(大約公元260年)的偉大數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)逼近圓面積，如圖1-12所示，若用A表示圓的面積，An表示圓內(nèi)接正n邊形的面積，顯然，正多邊形的邊數(shù)n越多，正n邊形的面積An就越接近于圓的面積A。當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，正n邊形的面積An就無(wú)限接近于圓的面積A。圖1-12下面用逼近原理具體計(jì)算一個(gè)曲邊三角形的面積。引例2如圖1-13所示，計(jì)算由曲線y=x2和直線x=1，y=0圍成的曲邊三角形的面積。圖1-13

圖1-14

如圖1-15所示，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列(1)、(2)無(wú)限地趨近于1，數(shù)列(3)無(wú)限地趨近于0，這種現(xiàn)象就是下面給出的數(shù)列極限的定義所描述的現(xiàn)象。圖1-15

表1-1

圖1-17

圖1-18

圖1-19

圖1-21

圖1-22

圖1-23

定理2

limf(x)=A的充要條件是f(x)=A+α(x)，其中α(x)是無(wú)窮小。此定理表明有極限的函數(shù)可以表示為它的極限與無(wú)窮小之和；反之，如果函數(shù)可以表示為常數(shù)與一無(wú)窮小之和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限。沒(méi)有任何問(wèn)題可以像無(wú)窮那樣深深地觸動(dòng)人的情感，很少有別的觀念能像無(wú)窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒(méi)有任何其他的概念能像無(wú)窮那樣需要加以闡明。希爾伯特2.無(wú)窮小的性質(zhì)(1)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小。(2)有限個(gè)無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮小。(3)有界變量與無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮小。(4)無(wú)窮小除以極限不為零的變量之商仍為無(wú)窮小。圖1-24

函數(shù)的連續(xù)性可以通過(guò)函數(shù)的圖像——曲線的連續(xù)性表示出來(lái)，即若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上的圖像就是一條連綿不斷的曲線，如圖1-25所示。圖1-25

圖1-26

圖1-27

圖1-28

圖1-29

1.3.2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有以下定理:定理3

(最值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有最大值與最小值。定理4

(有界定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有界。定理5

(零點(diǎn)定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。推論1若f(a)≠f(b)，則對(duì)于f(a)與f(b)之間的任一數(shù)C，在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C。推論2若函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值與最小值分別為M和m，則對(duì)于M和m之間的任一數(shù)C，在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C。需要注意的是:(1)若函數(shù)不是在閉區(qū)間而是在開(kāi)區(qū)間連續(xù)，以上結(jié)論不一定正確；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，以上結(jié)論也不一定正確。

圖1-30圖1-31例1-45試證方程e2x-x-2=0至少有一個(gè)小于1的正根。證設(shè)f(x)=e2x-x-2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)=-1<0f(1)=e2-3>0由零點(diǎn)定理知，在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0，ξ即為原方程的小于1的正根。

圖1-32

圖1-33

所以在x=0處函數(shù)間斷，此間斷點(diǎn)是第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)，如圖1-34所示，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為(-∞，0)∪(0，+∞)。

圖1-34

其中Δx是自變量在點(diǎn)x0處取得的改變量，Δy為函數(shù)y=f(x)取得相應(yīng)的改變量。顯然當(dāng)Δx→0時(shí)，如果相應(yīng)地Δy→0，那么曲線在點(diǎn)x0處就沒(méi)有間隙了，如圖1-35所示。圖1-35

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【微積分先修課】高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第2章導(dǎo)數(shù)與微分在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對(duì)于自變量變化的快慢程度,所有這些問(wèn)題都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率,即導(dǎo)數(shù)。本章我們將從幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題入手引出導(dǎo)數(shù)的概念,然后介紹導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則。

導(dǎo)數(shù)的概念

3.切線及其斜率什么樣的直線是曲線在某點(diǎn)處的切線呢?設(shè)曲線y=f(x)的圖形如圖2-1所示,點(diǎn)M0(x0,y0)是曲線的一個(gè)定點(diǎn),在曲線上另取一動(dòng)點(diǎn)M(x0+Δx,y0+Δy),作割線M0M,讓點(diǎn)M沿曲線向點(diǎn)M0移動(dòng),則割線M0M的位置也隨之變動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M沿曲線無(wú)限趨向點(diǎn)M0時(shí),割線M0M趨向于極限位置——M0T,直線M0T就是曲線在點(diǎn)M0處的切線.

圖2-1

割線到切線的變化過(guò)程如圖2-2所示.上面三個(gè)例題雖然具體含義不同,但從抽象的數(shù)量關(guān)系來(lái)看,它們的實(shí)質(zhì)是一樣的,都?xì)w結(jié)為計(jì)算函數(shù)改變量與自變量改變量的比,當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí)的極限,這種特殊的極限就稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).圖2-2

2.1.3

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理1如果函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則它在x0處一定連續(xù).定理的證明見(jiàn)本章2.5節(jié)提示與提高9.這個(gè)定理的逆定理不成立,即如果函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),則函數(shù)f(x)在x0處未必可導(dǎo).

圖2-3

圖2-4

如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)都按導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求導(dǎo),其計(jì)算將會(huì)比較復(fù)雜,甚至比較困難.因此,有必要找到一些基本公式與運(yùn)算法則,借助它們簡(jiǎn)化函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算.2.2.1

基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式表2-1給出了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.這些公式有的在前一節(jié)中已經(jīng)得到,有的將隨著導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的引入而得到,有的留給讀者推導(dǎo).導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則C'=0(C為常數(shù))(xα)'=αxα-1(α為實(shí)數(shù))(ax)'=axlna(a>0,a≠1)(ex)'=ex(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=sec2x(cotx)'=-csc2x(secx)'=secxtanx(cscx)'=-cscxcotx表2-1導(dǎo)數(shù)基本公式

解得x0=e,y0=e所求切線方程為y-e=2(x-e)即y-2x+e=0如圖2-5所示.圖2-5

由式(1)、式(2)得k=±4.所求切線方程為4x+y+2=0或4x-y-2=0如圖2-6所示.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算圖2-6

例2-17求函數(shù)y=sin2(cos3x)的導(dǎo)數(shù).解設(shè)y=u2,u=sint,t=cosv,v=3x,則

y'

x=y'

uu'

tt'

vv'

x =(u2)'

u(sint)'

t(cosv)'

v(3x)'

x =2ucost(-sinv)×3 =2sintcost(-sinv)×3=-3sin2tsinv =-3sin(2cosv)sinv =-3sin(2cos3x)sin(3x)復(fù)合層次比較清楚以后,可不必設(shè)中間變量,直接由外往里逐層求導(dǎo).

例2-37已知y=4x3+e3x,求y',y″及y?.解y'=4×3x2+3e3x=12x2+3e3xy″=24x+32e3xy?=24+33e3x

例2-40求y=11x10+10x9+9x8+…+2x+1的10階導(dǎo)數(shù)y(10).解y(10)=(11x10)(10)+(10x9)(10)+…+(2x)(10)+(1)(10)由上例的結(jié)果知,低于10次冪的項(xiàng)的10階導(dǎo)數(shù)為零,所以y(10)=(11x10)(10)=11×10!=11!

本節(jié)介紹微分學(xué)的另一個(gè)基本概念——微分.實(shí)際中有時(shí)需要考慮在自變量有微小變化時(shí)函數(shù)的改變量的計(jì)算問(wèn)題.通常函數(shù)改變量的計(jì)算比較復(fù)雜,因此需要建立函數(shù)改變量近似值的計(jì)算方法,使其既便于計(jì)算又有一定的精確度,這就是本節(jié)要討論的問(wèn)題.微分2.4.1兩個(gè)實(shí)例1.面積改變量的近似值設(shè)正方形的面積為A,當(dāng)邊長(zhǎng)由x變到x+Δx時(shí),面積A有相應(yīng)的改變量ΔA,如圖2-9所示陰影部分的面積,則ΔA=(x+Δx)2-x2=2xΔx+(Δx)2圖2-9

由此可以看出,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商,因此也稱導(dǎo)數(shù)為微商.求導(dǎo)數(shù)與求微分的運(yùn)算統(tǒng)稱為微分法.應(yīng)當(dāng)注意,微分與導(dǎo)數(shù)雖然有著密切的聯(lián)系,但它們是有區(qū)別的:導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率,導(dǎo)數(shù)的值只與x有關(guān);而微分是函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量改變量所引起的函數(shù)改變量的近似值,微分的值與x和Δx都有關(guān).

圖2-102.4.4微分的運(yùn)算1.微分的基本公式和運(yùn)算法則因?yàn)閐y=f'(x)dx,所以計(jì)算微分便歸結(jié)為計(jì)算導(dǎo)數(shù).由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則,可以容易推出微分的基本公式和運(yùn)算法則,見(jiàn)表2-2.dC=0(C為常數(shù))d(xα)=αxα-1dx(α為實(shí)數(shù))d(ax)=axlnadx(a>0,a≠1)d(ex)=exdxd(sinx)=cosxdxd(cosx)=-sinxdxd(tanx)=sec2xdxd(cotx)=-csc2xdxd(secx)=secxtanxdxd(cscx)=-cscxcotxdx

本題在討論分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),也可先考察函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性,容易看出函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù),如圖2-11所示,從而函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo).易錯(cuò)提醒:分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)需用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求,本題若用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則分段求導(dǎo),則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論.圖2-11

3.函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微幾個(gè)概念之間的關(guān)系

課外學(xué)習(xí)二1.在線學(xué)習(xí)

1）一次采訪提27次，為什么任正非如此愛(ài)數(shù)學(xué)？（網(wǎng)頁(yè)鏈接見(jiàn)對(duì)應(yīng)配套電子課件）/2019-06-09/197462995.html（2）電影：美麗心靈2.閱讀與寫(xiě)作（1）寫(xiě)一篇《美麗心靈》的觀影體會(huì)

【走進(jìn)數(shù)學(xué)】

【

電影--美麗心靈】高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章將利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)研究函數(shù)的各種性態(tài),這些知識(shí)在日常生活、科學(xué)實(shí)踐、經(jīng)濟(jì)往來(lái)中有著廣泛的應(yīng)用.

拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性

圖3-1

由拉格朗日中值定理可得出下面的推論.推論若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零,則f(x)在(a,b)內(nèi)是一個(gè)常數(shù).證在(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1,x2,不妨設(shè)x1<x2.顯然f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理,即有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)由條件知f'(ξ)=0,從而f(x2)-f(x1)=0,即f(x2)=f(x1).由點(diǎn)x1,x2的任意性,我們就證明了f(x)在(a,b)內(nèi)是一個(gè)常數(shù).

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性如圖3-2所示,單調(diào)增加(減少)的函數(shù),它上面各點(diǎn)處的切線與x軸的正向成銳(鈍)角,即各點(diǎn)切線的斜率是非負(fù)(正)的,也就是各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是非負(fù)(正)的,這說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)之間有著密切的聯(lián)系.圖3-21.函數(shù)單調(diào)性的必要條件設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).如果f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(減少),則在(a,b)內(nèi)f'(x)≥0(f'(x)≤0).2.函數(shù)單調(diào)性判定法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f'(x)>0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;(2)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f'(x)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.證先證(1).在(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1,x2,不妨設(shè)x1<x2.顯然f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件,即有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)由條件知f'(ξ)>0,且x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0因此f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),從而f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加.類(lèi)似可證(2).需要說(shuō)明的是:(1)對(duì)于無(wú)窮區(qū)間判定法也成立;(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處有f'(x)=0或f'(x)不存在,而在其余點(diǎn)處f'(x)的值均為正(負(fù))的,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)增加(減少)的.一般地,在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),需先確定函數(shù)的定義域,再找出使f'(x)=0或f'(x)不存在的點(diǎn),用這些點(diǎn)把定義域分為若干區(qū)間,最后討論函數(shù)在這些區(qū)間上的單調(diào)性.例3-2討論函數(shù)f(x)=x3-27x的單調(diào)性.解此函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),因?yàn)閒'(x)=3x2-27=3(x+3)(x-3)令f'(x)=0,得x1=-3,x2=3用x1,x2將函數(shù)的定義域分成三個(gè)區(qū)間:(-∞,-3),(-3,3),(3,+∞).當(dāng)-∞<x<-3時(shí),f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-3)內(nèi)單調(diào)增加;當(dāng)-3<x<3時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(-3,3)內(nèi)單調(diào)減少;當(dāng)3<x<+∞時(shí),f'(x)>0,故f(x)在(3,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.上述結(jié)果也可列表考察:x(-∞,-3)-3(-3,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)增加

單調(diào)減少

單調(diào)增加

圖3-3列表考察:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)單調(diào)增加

單調(diào)減少

圖3-4列表考察:利用函數(shù)的單調(diào)性還可以證明不等式,這種方法的關(guān)鍵是考慮選擇適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),具體步驟如下:(1)通過(guò)代數(shù)變換把不等式的右端化成0,把左端設(shè)為f(x);(2)先確定f'(x)的符號(hào),即f(x)的單調(diào)性,再由單調(diào)性定義確定出f(x)的符號(hào).xf'(x)—0+0-f(x)單調(diào)減少

單調(diào)增加

單調(diào)減少

在實(shí)際生活中,經(jīng)常會(huì)碰到“最大、最小”這類(lèi)問(wèn)題,在數(shù)學(xué)上叫作最大值、最小值問(wèn)題.要求一個(gè)函數(shù)的最大值或最小值,必須先討論函數(shù)的極值.3.2.1

函數(shù)的極值1.極值的定義定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x,都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值(或極小值),稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).函數(shù)的極值與最值顯然極值是一個(gè)局部性概念,它只是與極值點(diǎn)鄰近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較而言,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)最大或最小.有時(shí)函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)有多個(gè)極值點(diǎn),某個(gè)局部的極小值(如f(a))也有可能比另一個(gè)局部的極大值(如f(b))還大,如圖3-5所示.定理1

(極值的必要條件)若函數(shù)f(x)在x0處取得極值,且在x0處導(dǎo)數(shù)存在,則必有f'(x0)=0.從圖像上看,若函數(shù)f(x)在x0處取得極值,且f'(x0)存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有水平切線(見(jiàn)圖3-5).圖3-5

圖3-62.極值判別法判別法1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),若f'(x0)=0或在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)不存在但在x0處連續(xù),則(1)當(dāng)x逐漸增大地通過(guò)點(diǎn)x0時(shí),若導(dǎo)數(shù)值由正變負(fù),則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值f(x0);若導(dǎo)數(shù)值由負(fù)變正,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值f(x0).(2)當(dāng)x逐漸增大地通過(guò)點(diǎn)x0時(shí),若導(dǎo)數(shù)值不變號(hào),則x0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).由上面的論述可知,求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟為:(1)求出導(dǎo)數(shù)f'(x);(2)求出函數(shù)的可疑極值點(diǎn);(3)用極值判別法1判定以上的點(diǎn)是否為極值點(diǎn);(4)求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值,即為極值.

x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)-不存在+f(x)單調(diào)減少極小值0單調(diào)增加

圖3-7列表考察:xf'(x)-0+0-f(x)單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)減少

圖3-8列表考察:x1(1,+∞)f'(x)+0-0+0+f(x)單調(diào)增加極大值0單調(diào)減少單調(diào)增加不取極值單調(diào)增加判別法2若f'(x0)=0,且f″(x0)存在,則(1)若f″(x0)>0,則f(x0)為極小值;(2)若f″(x0)<0,則f(x0)為極大值.

列表考察:需要注意的是:找可疑極值點(diǎn)時(shí)不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f'(x)-不存在+0-不存在+f(x)單調(diào)減少極小值0單調(diào)增加極大值1單調(diào)減少極小值0單調(diào)增加例3-11求函數(shù)f(x)=x4-4x3+6x2-4x的極值.解此函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),因?yàn)閒'(x)=4x3-12x2+12x-4=4(x-1)3

令f'(x)=0,得駐點(diǎn)x=1.又因?yàn)閒″(x)=12(x-1)2所以f″(1)=0,故極值判別法2失效,須用極值判別法1判別.列表考察:x(-∞,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)單調(diào)減少極小值-1單調(diào)增加3.2.2

函數(shù)的最值定義2設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上連續(xù),若x0∈I,且對(duì)所有x∈I,都有f(x0)>f(x)(或f(x0)<f(x)),則f(x0)稱為函數(shù)f(x)的最大值(或最小值).顯然,函數(shù)的最大值、最小值一定是函數(shù)的極值,但反之未必.一般來(lái)說(shuō),連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上的最大值與最小值,從區(qū)間端點(diǎn)處、極值點(diǎn)處的函數(shù)值中取得,因此,只需求出端點(diǎn)處及區(qū)間內(nèi)使f'(x)=0及f'(x)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值,把它們做比較,從中找出最大值、最小值即可.例3-12求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x-2在區(qū)間[-3,2]上的最大值和最小值.解因?yàn)閒'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)令f'(x)=0,得駐點(diǎn)x1=-2,x2=1.因?yàn)閒(-3)=7,f(-2)=18,f(1)=-9,f(2)=2所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,2]上的最大值為f(-2)=18,最小值為f(1)=-9.在實(shí)際問(wèn)題中,常會(huì)碰到最大值和最小值問(wèn)題,如用料最省、效益最高等,遇到的函數(shù)大多是在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)的連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù).因而實(shí)際問(wèn)題中的最大值、最小值,就是函數(shù)的極大值、極小值.實(shí)際問(wèn)題求解最值的一般解題步驟為:(1)分析問(wèn)題,建立目標(biāo)函數(shù)把問(wèn)題的目標(biāo)作為因變量,把它所依賴的量作為自變量,建立二者的函數(shù)關(guān)系,即目標(biāo)函數(shù),并確定函數(shù)的定義域.(2)解極值問(wèn)題確定自變量的取值,使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值.

圖3-9

圖3-10

圖3-11

圖3-12

為了準(zhǔn)確描繪函數(shù)的圖像,僅知道函數(shù)的單調(diào)性和極值是不夠的.還應(yīng)知道它的彎曲方向和分界點(diǎn).這一節(jié),我們就專門(mén)研究曲線的凹凸與拐點(diǎn).3.3.1

曲線的凹凸及其判別法如圖3-13所示,可以看出曲線的彎曲方向,與其上的切線的位置有關(guān).定義3若曲線弧位于其每一點(diǎn)切線的上(下)方,則稱曲線弧是凹(凸)的.曲線的凹凸與拐點(diǎn)圖3-13由圖3-14可以看出,如果曲線是凹的,那么其切線的傾斜角θ隨x的增大而增大,即切線的斜率單調(diào)增加,由于切線的斜率就是f'(x),因此f'(x)單調(diào)增加,所以f″(x)>0.由圖3-15可以看出,如果曲線是凸的,那么其切線的傾斜角θ隨x的增大而減少,即切線的斜率單調(diào)減小,由于切線的斜率就是f'(x),因此f'(x)單調(diào)減小,所以f″(x)<0.圖3-14圖3-15由以上討論可得曲線凹凸的判定法如下:曲線凹凸的判定法設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),(1)如果f″(x)>0,則曲線在(a,b)內(nèi)是凹的;(2)如果f″(x)<0,則曲線在(a,b)內(nèi)是凸的.3.3.2

曲線的拐點(diǎn)一般地,連續(xù)曲線凹、凸兩段弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn),如圖3-16中所示的點(diǎn)a即為拐點(diǎn).顯然,曲線y=f(x)的拐點(diǎn)只能是f″(x)=0或f″(x)不存在的點(diǎn).圖3-16求連續(xù)曲線的拐點(diǎn)步驟如下:(1)求出函數(shù)f(x)的f″(x)=0或f″(x)不存在的點(diǎn).(2)在求出點(diǎn)的左、右兩邊,若f″(x)異號(hào),則該點(diǎn)就是拐點(diǎn),否則,就不是拐點(diǎn).

上述結(jié)果也可列表考察:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f″(x)-0+0-f(x)凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸

圖3-17圖3-18列表考察:x(-∞,0)0(0,+∞)f″(x)-不存在+f(x)凸間斷點(diǎn)凹3.3.3

曲線的漸近線若曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與某直線L的距離趨于零,則L稱為該曲線的漸近線.并不是任何曲線都有漸近線,漸近線反映了某些曲線在無(wú)限延伸時(shí)的變化情況.根據(jù)漸近線的位置,可將曲線的漸近線分為三類(lèi):水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線.下面僅討論水平漸近線和垂直漸近線,有關(guān)斜漸近線的討論見(jiàn)本章3.5節(jié)提示與提高4.

圖3-19

圖3-20

圖3-213.3.4作函數(shù)圖像的一般步驟函數(shù)圖像描繪的一般步驟如下:(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn);(2)確定函數(shù)的特性,如奇偶性、周期性等;(3)求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù),并確定函數(shù)的極值點(diǎn)、拐點(diǎn):(4)確定曲線的漸近線;(5)需要時(shí),計(jì)算一些適當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo),如曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等;(6)用間斷點(diǎn)、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)把定義域分為若干區(qū)間,列表說(shuō)明在這些區(qū)間上函數(shù)的增減性與凹向性;(7)作圖.例3-22作函數(shù)y=x3-3x2的圖像.解1)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞);2)y'=3x2-6x=3x(x-2),令y'=0,得x1=0,x2=2,

y″=6x-6,令y″=0,得x=1;3)列表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f'(x)+0---0+f″(x)---0+++f(x)增加凸極大值0減少凸拐點(diǎn)(1,-2)減少凹極小值-4增加凹作函數(shù)y=x3-3x2的圖像,如圖3-22所示.圖3-22

5)列表:x0f'(x)0---f″(x)--0+f(x)極大值1減少凸減少凹

圖3-23

洛必達(dá)法則

提示與提高

(2)羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件:1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);3)f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f'(ξ)=0

(a<ξ<b)(3-4)

圖3-25

圖3-26

圖3-27課外學(xué)習(xí)三1.在線學(xué)習(xí)

（1）十字成才要訣——王梓坤院士專訪（網(wǎng)頁(yè)鏈接見(jiàn)對(duì)應(yīng)配套電子課件）/s/D4EkLv3Q7rPgYOWYCdol1g2.閱讀與寫(xiě)作

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【分形藝術(shù)】

【分形軟件一覽】高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第4章不定積分微分學(xué)主要是討論求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的問(wèn)題，現(xiàn)在我們將討論它的反問(wèn)題，即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，去尋求原來(lái)的函數(shù)。這是積分學(xué)的基本問(wèn)題之一。

不定積分的概念與基本運(yùn)算

圖4-1

4.1.4基本積分運(yùn)算因?yàn)榍蟛欢ǚe分的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以，導(dǎo)數(shù)公式表中的每個(gè)公式反轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)就得到表4-1的不定積分公式。表4-1基本積分公式

利用不定積分的性質(zhì)及基本積分表只能求出很少一部分函數(shù)的不定積分，下面介紹換元積分法。換元積分法就是把要計(jì)算的積分通過(guò)變量代換化成基本積分表中已有的形式，算出原函數(shù)后，再換回原來(lái)的變量。換元積分法包括:第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)和第二類(lèi)換元積分法。換元積分法

圖4-2

圖4-3

圖4-4

分部積分法圖4-5

有理函數(shù)的積分舉例

提示與提高

課外學(xué)習(xí)41.在線學(xué)習(xí)蘇步青：談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)（網(wǎng)頁(yè)鏈接見(jiàn)對(duì)應(yīng)配套電子課件）/s/w_YetCbOM7rL-_6IKmPesA2.閱讀與寫(xiě)作

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【不定積分運(yùn)算器】

【華爾街?jǐn)?shù)學(xué)家】高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第5章定積分及其應(yīng)用在科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)實(shí)生活的許多問(wèn)題中，經(jīng)常需要計(jì)算某些“和式的極限”。定積分就是從各種計(jì)算“和式的極限”問(wèn)題抽象出的數(shù)學(xué)概念，它與不定積分是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念。但是，微積分基本定理把這兩個(gè)概念聯(lián)系起來(lái)，解決了定積分的計(jì)算問(wèn)題，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。

圖5-1如何計(jì)算曲邊梯形的面積A呢？在前面我們已經(jīng)作過(guò)類(lèi)似的計(jì)算(見(jiàn)第1章第1。2節(jié)中的引例2)，方法是拆分區(qū)間、近似代替、求和、取極限，計(jì)算曲邊梯形的面積也采用這種方法。圖5-2圖5-3

上述兩個(gè)問(wèn)題雖然實(shí)際意義不同，但解決問(wèn)題的基本方法和步驟卻完全相同，最終都?xì)w結(jié)為一種特殊和式的極限。對(duì)于處理類(lèi)似這種問(wèn)題的思想方法，給出一個(gè)統(tǒng)一的說(shuō)法和簡(jiǎn)單具有代表性的記號(hào)，這就是下面要介紹的定積分。

圖5-4

圖5-5

圖5-6

5.2微積分基本公式

5.3定積分的換元法與分部積分法

使用定積分換元積分法時(shí)，需要注意的是:(1)換元時(shí)，如果積分變量改變了，則積分上、下限必須同時(shí)改變，即“換元必?fù)Q限”。(2)換元時(shí)，如果積分變量不變(例如用湊微分法時(shí))，則積分限不變，即“湊元不換限”。(3)所作代換必須滿足換元法中所限定的條件。

前面研究的定積分，積分區(qū)間有限且被積函數(shù)在積分區(qū)間上是有界的。但是我們還會(huì)遇到積分區(qū)間無(wú)限或被積函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)的積分，這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題。5.4廣義積分

圖5-7

5.5定積分的應(yīng)用圖5-8

圖5-9

圖5-10圖5-11計(jì)算平面圖形的面積的一般步驟:(1)畫(huà)出的草圖，根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)確定積分變量；(2)求出曲線與坐標(biāo)軸或曲線間的交點(diǎn)，找出積分的上下限；(3)根據(jù)所給公式，求出所求面積。

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5.6提示與提高

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課外學(xué)習(xí)51.在線學(xué)習(xí)（1）侯氏定理背后的84歲老先生：數(shù)學(xué)愛(ài)我，我愛(ài)數(shù)學(xué)（網(wǎng)頁(yè)鏈接見(jiàn)對(duì)應(yīng)配套電子課件）/s/GijDayRte1z1JOaX3vgy6g2.閱讀與寫(xiě)作（1）閱讀本章“背景聚焦：微積分的發(fā)展歷程”

【微積分重點(diǎn)】

【可汗學(xué)院--微積分】高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中，有許多實(shí)際問(wèn)題往往需要通過(guò)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)所滿足的等式來(lái)求該未知函數(shù)，這種等式就是微分方程。本章將介紹微分方程的基本概念，討論幾種簡(jiǎn)單的微分方程的解法及其應(yīng)用。第6章常微分方程

引例已知曲線上任意一點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的二倍，且曲線過(guò)點(diǎn)(2，4)，求該曲線的方程。設(shè)所求曲線的方程為y=y(x)，根據(jù)已知條件可知y'=2x兩邊積分∫y'dx=∫2xdx+C得y=x2+C其中C為任意常數(shù)，再將曲線過(guò)點(diǎn)(2，4)的條件代入，得4=22+C，C=0則y=x2即為所求的曲線的方程。引例中的方程y'=2x就是這一章要介紹的微分方程。6.1微分方程的概念定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫作微分方程。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程叫作常微分方程；未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程叫作偏微分方程。本章我們只討論常微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫作微分方程的階。例如y'=2x是一階微分方程，y″-2y=0是二階微分方程。

習(xí)題6-11.指出下列各微分方程的階數(shù):(1)(y″)3-x=0；(2)xy'-y=x；(3)xyy?+y″+1=0；(4)y(5)+y(4)+y?=0。2.下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解?(1)y=ex，xy'-ylny=0；(2)y=xe2x，y″-4y'+4y=0；(3)y=x3+x2，y″=6x+2；(4)y=2sinx+cosx，y″+y=0。6.2一階微分方程本節(jié)介紹幾種典型的一階微分方程的求解方法。6.2.1

y'=f(x)型的方程此類(lèi)題可通過(guò)兩端積分求得含一個(gè)任意常數(shù)的通解。例6-3求微分方程y'=sinx+2x-1的通解。解對(duì)所給的方程兩端積分，得y=∫(sinx+2x-1)dx=-cosx+x2-x+C

6.2.3一階線性微分方程形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程，稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項(xiàng)。當(dāng)Q(x)≡0時(shí)，方程為y'+P(x)y=0，這時(shí)方程稱為一階齊次線性微分方程。當(dāng)Q(x)≠0時(shí)，方程y'+P(x)y=Q(x)稱為一階非齊次線性微分方程。

6

6.3二階微分方程2.y″=f(x，y')型的不顯含y的方程此類(lèi)方程的求解方法為:令y'=p(x)，則y″=p'(x)，這樣方程變?yōu)殛P(guān)于p和x的一階微分方程，進(jìn)而用一階微分方程的求解方法來(lái)求解。

6.3.2

二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)形如y″+py'+qy=f(x)(1)稱為二階常系數(shù)線性微分方程，與其對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y″+py'+qy=0(2)其中p，q為實(shí)常數(shù)。若函數(shù)y1和y2之比為常數(shù)，則稱y1和y2是線性相關(guān)的；若函數(shù)y1和y2之比不為常數(shù)，則稱y1和y2是線性無(wú)關(guān)的。

定理3

若函數(shù)y1和y2分別是方程y″+py'+qy=f1(x)y″+py'+qy=f2(x)的解，則y=y1+y2是方程y″+py'+qy=f1(x)+f2(x)的解。6.3.3二階常系數(shù)齊次線性微分方程由定理1可知，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，只需求出它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解即可。如何找到齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解呢？觀察方程y″+py'+qy=0由于p，q是常數(shù)，所以方程中的y，y'，y″應(yīng)具有相同的形式，而y=erx是具有這一特性的函數(shù)。故設(shè)y=erx是方程的解(r為待定常數(shù))并代入方程得(erx)″+p(erx)'+qerx=0(r2+pr+q)erx=0

2.特征根為兩個(gè)相等的實(shí)數(shù):r=r1=r2此時(shí)只能得到微分方程的一個(gè)解y1=erx，但通過(guò)直接驗(yàn)證可知y2=xerx是齊次方程的另一個(gè)解，且y1和y2線性無(wú)關(guān)，從而微分方程的通解為y=C1erx+C2xerx=(C1+C2x)erx(6-3)3.特征根為兩個(gè)復(fù)數(shù):r1，2=α±iβ(β≠0)此時(shí)微分方程得到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解:y1=e(α+iβ)x，y2=e(α-iβ)x，因此微分方程的通解為y=Ae(α+iβ)x+Be(α-iβ)x=eαx(Aeiβx+Be-iβx) =eαx((A+B)cosβx+(A-B)isinβx)令C1=A+B，C2=(A-B)i，于是微分方程實(shí)數(shù)形式的通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)(6-4)根據(jù)上述討論，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟為:(1)寫(xiě)出微分方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根據(jù)特征根的情況寫(xiě)出所給微分方程的通解。例6-16求微分方程y″-3y'+2y=0的通解。解所給微分方程的特征方程為r2-3r+2=0其根為r1=1，r2=2，故所求通解為y=C1ex+C2e2x

這種類(lèi)型的方程為y″+py'+qy=P(x)eαx其中P(x)是多項(xiàng)式，α是常數(shù)，則方程具有形如y*=xkQ(x)eαx的特解，其中Q(x)是與P(x)同次的待定多項(xiàng)式，而k的值可通過(guò)如下方法加以確定:(1)若α與兩個(gè)特征根都不相等，取k=0；(2)若α與一個(gè)特征根相等，取k=1；(3)若α與兩個(gè)特征根都相等，取k=2。例如:y″-2y'+y=xex其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2-2r+1=0特征根為r1=r2=1。由于α=1與r1，r2都相等，故取k=2。又由于P(x)=x是一次多項(xiàng)式，故取Q(x)=ax+b。因此，設(shè)原方程的一個(gè)特解為y*=xkQ(x)eαx=x2(ax+b)ex

6.4提示與提高

2.一階線性微分方程“湊”的解法先把一階線性微分方程y'+P(x)y=Q(x)變型為e∫P(x)dxy'+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)得(e∫P(x)dxy)'=e∫P(x)dxQ(x)再兩邊積分、整理，即得方程的通解。其中P(x)的積分∫P(x)dx只取一個(gè)原函數(shù)。

3.非基本類(lèi)型的微分方程的求解本章講解了微分方程的幾種基本類(lèi)型，它們的解法相對(duì)固定，求解微分方程時(shí)，判斷其類(lèi)型很重要，若出現(xiàn)不屬于幾種基本類(lèi)型的情況時(shí)，應(yīng)按以下兩種思考方法重新判別:1)把x當(dāng)作未知函數(shù)，把y當(dāng)作自變量，再判別；2)用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q看能不能把方程化為可解方程。

5.型如f'(y)y'+P(x)f(y)=Q(x)的微分方程方程可化為(f(y))'+P(x)f(y)=Q(x)設(shè)f(y)=z，則方程化為關(guān)于z和x的線性微分方程z'+P(x)z=Q(x)

9.常數(shù)變易法本章前面求二階非齊次線性微分方程的通解時(shí)，采用了待定系數(shù)法求其特解，而待定系數(shù)法有其局限性，常數(shù)變易法求解可用于所有的線性微分方程，它比待定系數(shù)法應(yīng)用范圍更廣。下面給出求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。設(shè)方程y″+py'+qy=z(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為y=C1y1+C2y2，把y變易為y=C1(x)y1+C2(x)y2代入方程可得C'1(x)y1+C'2(x)y2=0C'1(x)y'1+C'2(x)y'2=z(x)由上述方程可解出C1(x)，C2(x)，代回y中即可得到方程的通解。

10.微分方程的應(yīng)用舉例應(yīng)用微分方程解決具體問(wèn)題的步驟是:(1)分析問(wèn)題，建立微分方程，并確定初始條件；(2)求出該微分方程的通解；(3)根據(jù)初始條件確定所求的特解。

圖6-1

于是N=N0e0.347t當(dāng)t=3時(shí)，N=20000，代入得20000=N0e0.347×3=N0×2.632，解得N0=7062所以該國(guó)最初人口為7062人。

11.二階線性微分方程y″+py'+qy=P(x)eαx中，α為虛數(shù)時(shí)的特解求法若二階線性微分方程y″+py'+qy=P(x)eαx中的α是虛數(shù)，其特解的求法與α是實(shí)數(shù)的求法一致例6-47求微分方程y″+y=3eix的一特解。解方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2+1=0特征根為r1，2=±i由于α=i與一個(gè)特征根相等，故取k=1。因此，設(shè)特解為y*=xkQ(x)eαx=xaeix=axeix

定理4若y(x)=y1(x)+iy2(x)是方程y″+a1(x)y'+a2(x)y=f1(x)+if2(x)的解，則y1(x)和y2(x)分別是方程y″+a1(x)y'+a2(x)y=f1(x)和y″+a1(x)y'+a2(x)y=f2(x)的解。

課外學(xué)習(xí)61.在線學(xué)習(xí)網(wǎng)上課堂：（1）十大建筑中的數(shù)學(xué)美（網(wǎng)頁(yè)鏈接見(jiàn)對(duì)應(yīng)配套電子課件）：/s?id=1591003765616167669（2）電影：笛卡兒2.閱讀與寫(xiě)作（1）閱讀本章背景聚焦“數(shù)學(xué)之神----阿基米德”

【什么是微分方程】

【怎樣學(xué)習(xí)建?！扛兄x觀看Jinwoon911522432070@DanielLee高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版平面解析幾何是在平面坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究平面圖形。類(lèi)似地，空間解析幾何是在空間坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究空間圖形。第7章向量代數(shù)與空間解析幾何

圖7-1

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圖7-3卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧxyz+++-++--++-+++--+----+--表7-1

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向量圖7-6

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圖7-17圖7-18

曲面7.3平面空間曲面最簡(jiǎn)單的形式是平面，本節(jié)研究平面方程及平面的有關(guān)問(wèn)題。過(guò)空間一點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)多個(gè)平面。但是過(guò)空間一點(diǎn)且垂直一個(gè)已知向量只能確定一個(gè)平面。下面研究平面方程的幾種形式。

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