第4章衍生金融工具的定價(jià)金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理南京_第1頁(yè)
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金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第4章衍生金融工具的定價(jià)(1)14.1遠(yuǎn)期與期貨的定價(jià)一個(gè)農(nóng)民想把他的牛賣掉,若t時(shí)刻牛價(jià)格為St,如果他簽訂一個(gè)在T(T>t)時(shí)刻賣牛的期貨合同,在t時(shí)刻這個(gè)牛期貨應(yīng)該如何定價(jià)?若不計(jì)其他因素若牛能夠在今日賣掉,獲得現(xiàn)金,以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資就獲得利息。2定理4.1(現(xiàn)貨-期貨平價(jià)定理):假設(shè)期貨的到期時(shí)間為T,現(xiàn)貨價(jià)格為S0,則遠(yuǎn)期價(jià)格F0滿足F0=S0erT。證明:(反證法)我們可以采用套利定價(jià)的方法來(lái)證明上述結(jié)論。假設(shè)F0>S0erT,考慮下述投資策略:投資者在當(dāng)前(0時(shí)刻)借款S0用于買進(jìn)一個(gè)單位的標(biāo)的資產(chǎn)(longposition),借款期限為T,同時(shí)賣出一個(gè)單位的遠(yuǎn)期合約(shortposition),價(jià)格為F0。在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)(T時(shí)刻),投資者用持有的標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行遠(yuǎn)期交割結(jié)算,因此獲得F0,償還借款本息需要支出S0erT。3因此,在遠(yuǎn)期合約到期時(shí),他的投資組合的凈收入為F0-S0erT,而他的初始投入為0,這是一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利。反之,若F0<S0erT,即遠(yuǎn)期價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值,則套利者就可進(jìn)行反向操作,即賣空標(biāo)的資產(chǎn)S0,將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資,期限為T,同時(shí)買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約,交割價(jià)為F0。在T時(shí)刻,套利者收到投資本息S0erT,并以F0現(xiàn)金購(gòu)買一單位標(biāo)的資產(chǎn),用于歸還賣空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn),從而實(shí)現(xiàn)S0erT-F0的利潤(rùn)。上述兩種情況與市場(chǎng)上不存在套利機(jī)會(huì)的假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,則F0=S0erT。證畢。4如果這只牛在10天后交割,而這只牛在此期間會(huì)產(chǎn)下一頭小牛,假定這只小牛的現(xiàn)值為I,那牛的遠(yuǎn)期價(jià)格該是多少?如果這只牛在交割后才會(huì)產(chǎn)下一頭小牛,那牛的遠(yuǎn)期價(jià)格該是多少?5如果遠(yuǎn)期的標(biāo)的資產(chǎn)提供確定的紅利。假設(shè)紅利是連續(xù)支付的,紅利率為q。由于具有紅利率q,該資產(chǎn)的價(jià)格才為S0。若沒(méi)有這個(gè)紅利存在,則該資產(chǎn)的價(jià)格為故有紅利率q的資產(chǎn),當(dāng)前價(jià)格為S0,等價(jià)于價(jià)格為的無(wú)紅利資產(chǎn)。由無(wú)紅利的資產(chǎn)的定價(jià)公式可得6兩個(gè)推論(可生息資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格)以上證明的是標(biāo)的資產(chǎn)本身不帶來(lái)利息的遠(yuǎn)期價(jià)格。如小麥遠(yuǎn)期。但是,對(duì)于持有期間可以生息的資產(chǎn),則需要對(duì)公式進(jìn)行調(diào)整,如債券遠(yuǎn)期。標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期合約到期前獲得收益的現(xiàn)值為I,則7證明:從單利到復(fù)利注意:債券的貼現(xiàn)率不等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率8如果遠(yuǎn)期的標(biāo)的資產(chǎn)提供確定的紅利。假設(shè)紅利是連續(xù)支付的,紅利率為q。由于具有紅利率q,該資產(chǎn)的價(jià)格才為St,它等價(jià)于價(jià)格為的無(wú)紅利資產(chǎn)。由無(wú)紅利的資產(chǎn)的定價(jià)公式可得9敏感性分析注意:(1)風(fēng)險(xiǎn)因素有兩個(gè),現(xiàn)貨價(jià)格與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。(2)由于是指數(shù)函數(shù),敏感性方程為非線性方程。10例4.1假設(shè)2年期即期年利率(連續(xù)復(fù)利,下同)為10.5%,3年期即期年利率為11%,本金為100萬(wàn)美元的2年×3年遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合同利率為11%,請(qǐng)問(wèn)理論上,遠(yuǎn)期利率應(yīng)為多少?該協(xié)議利率合理嗎?該遠(yuǎn)期利率協(xié)議的價(jià)值是多少?11tstl0A12由此可見,由于協(xié)議利率低于遠(yuǎn)期利率(理論利率),這實(shí)際上給了多方(借款方)的優(yōu)惠,故合約價(jià)值為正。反之,當(dāng)協(xié)議利率高于遠(yuǎn)期利率的時(shí)候,空方獲利,這意味著遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為負(fù)。遠(yuǎn)期合約的價(jià)值總是從多方的視角來(lái)看的!134.2期貨合約——遠(yuǎn)期的組合三個(gè)制度性特征:逐日盯市、保證金要求、期貨清算所,逐日盯市將履約期限縮短為1天。若7月1日購(gòu)買了1份83天的期貨合約,當(dāng)日期貨價(jià)格為0.61美元,次日為0.615美元。這等價(jià)于7月1日購(gòu)買了一份期限為83天的遠(yuǎn)期合約,其交割價(jià)格為0.61美元7月2日遠(yuǎn)期合約以0.615美元被清算,并被一份期限為82天,交割價(jià)格為0.615美元的新的遠(yuǎn)期合約所代替。思考:遠(yuǎn)期能否看成是期貨的組合?14討論:期貨與遠(yuǎn)期的差異假定一個(gè)5000蒲式耳小麥期貨和遠(yuǎn)期只有3日期限,多方損益日期期貨價(jià)格(元)遠(yuǎn)期現(xiàn)金流期貨現(xiàn)金流7月1日4007月2日4.105007月3日40-50015討論:期貨與遠(yuǎn)期的差異如果利率固定,則期貨合約和遠(yuǎn)期合約等價(jià)。(CIR定理)如果利率浮動(dòng),則期貨與遠(yuǎn)期可能不等價(jià)。考慮例子中,2日的利息遠(yuǎn)高于3日,結(jié)果如何?顯然,多方偏好期貨合約,則期貨合約價(jià)值上升,反之則反。16一般來(lái)說(shuō),遠(yuǎn)期與期貨存在一定的差異:如果期貨和遠(yuǎn)期的到期時(shí)間只有幾個(gè)月,那么,在大多數(shù)情況下,二者價(jià)格的差異常常小到可以忽略不計(jì)。隨著到期時(shí)間的延長(zhǎng),二者價(jià)格的差異可能變得比較顯著。若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率正相關(guān),則期貨合約價(jià)值高于遠(yuǎn)期,反之則反利率上升→標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升→多頭獲利實(shí)現(xiàn)(盯市)→再投資收益增加利率下降→標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降→期貨多頭虧損→以低成本融資17CIR定理:期貨與遠(yuǎn)期等價(jià)CIR定理:如果利率固定(Constant),那么遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相同。證明的思路:期貨是一連串不斷更新的遠(yuǎn)期。根據(jù)無(wú)套利定價(jià)的原理,可以讓遠(yuǎn)期和期貨相互復(fù)制。CIR的思路:以期貨組合復(fù)制遠(yuǎn)期,由遠(yuǎn)期推斷期貨。遠(yuǎn)期:到期日結(jié)算(中間沒(méi)有現(xiàn)金流)期貨:每日結(jié)算(每日都有現(xiàn)金流)18證明:(byCox,Ingersoll,Ross)假設(shè)期貨合約的有效期為n天,用Fi表示第i天末(0<i<n-1)的期貨價(jià)格,δ表示每天的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(常數(shù))。不計(jì)交易費(fèi)用,考慮下述投資策略第0天末(即合約開始的時(shí)候)持有eδ單位的期貨多頭第1天末把頭寸增加到e2δ第2天末把頭寸增加到e3δ第n-1天末把頭寸增加到enδ1920也可以作如下分析:(1)在第0天末(第1天初)買進(jìn)eδ單位的期貨(2)在第1天末(第2天初)把頭寸增加到e2δ,結(jié)清上一日的eδ單位(3)在第2天末(第3天初)把頭寸增加到e3δ,結(jié)清上一日的e2δ單位…….(n)在第n-1天末(第n天初)把頭寸增加到enδ單位,結(jié)清上一日的e(n-1)δ單位

。21第2天末盈虧的現(xiàn)值第1天末盈虧的現(xiàn)值第i天末盈虧的現(xiàn)值22整個(gè)投資策略,在n天末的價(jià)值為第i天末盈虧的終值相當(dāng)于持有enδ單位的遠(yuǎn)期23下面,以無(wú)套利分析方法來(lái)給出遠(yuǎn)期-期貨等價(jià)證明??紤]兩種投資策略策略1,構(gòu)建包含兩種資產(chǎn)的組合1:0時(shí)刻買進(jìn)一個(gè)面值為F0的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券,n時(shí)刻賣出;投資上述的期貨組合T時(shí)刻,組合1價(jià)值為注意:初始投資僅為F024策略2:構(gòu)建資產(chǎn)組合2假設(shè)第0天的遠(yuǎn)期價(jià)格為G0,則在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券上投資G0第0天末買進(jìn)enδ單位的遠(yuǎn)期合約在T時(shí)刻,組合的價(jià)值為注意:初始投資僅為G025由于期末兩個(gè)組合的價(jià)值相等,即則初始投資額必須滿足因此,期貨價(jià)格等于相同期限的遠(yuǎn)期價(jià)格,期貨僅僅是遠(yuǎn)期的標(biāo)準(zhǔn)化,遠(yuǎn)期價(jià)格的計(jì)算公式適用于期貨。問(wèn)題:期貨合約的價(jià)值呢?26例子:外匯遠(yuǎn)期(期貨)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)假設(shè)一家美國(guó)公司持有3個(gè)月后到期的,以1500萬(wàn)美元兌換1000萬(wàn)英鎊的遠(yuǎn)期合約。從美國(guó)公司的角度分析其風(fēng)險(xiǎn),假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻t為1996年5月20日,要預(yù)測(cè)5月21日的所有可能情形。1、識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)因子。t美元英鎊英鎊利率美元利率英鎊/美元即期匯率272、市場(chǎng)因子預(yù)測(cè)5月21日合約的可能值:樣本區(qū)間1995年12月29日~1996年5月20日(100個(gè)交易日)

15.4696.1211.53932684.1925.3796.0631.53132935.54…………995.4696.00011.53633639.621005.4696.00031.55734106.44284.3交叉套期保值利用現(xiàn)貨價(jià)格和期貨價(jià)格變化的相關(guān)性,通過(guò)在期貨市場(chǎng)和現(xiàn)貨市場(chǎng)的相反操作來(lái)使它們的價(jià)格變化相互抵消,從而消除現(xiàn)貨投資的風(fēng)險(xiǎn)。例如以股指期貨對(duì)股票指數(shù)基金進(jìn)行套期保值問(wèn)題:如果要保值的股票組合與指數(shù)組合不同,如何進(jìn)行套期保值?交叉套期保值:當(dāng)要保值的現(xiàn)貨與期貨合約的標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)不完全同步時(shí),需要確定合適的套期保值比率。29套頭保值比率h:對(duì)1份現(xiàn)貨資產(chǎn)的多頭(空頭)頭寸,要用h份期貨的空頭(多頭)進(jìn)行套期保值。由此構(gòu)造的套期保值組合為:1份現(xiàn)貨資產(chǎn)的多頭+h份期貨合約的空頭在某個(gè)t時(shí)刻,該組合的價(jià)值為30套期保值模型若已知套期保值者的目標(biāo)是使組合的方差最小化則有31最優(yōu)套頭比h:使得套期保值工具頭寸與現(xiàn)貨頭寸構(gòu)成的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小的套頭比h。現(xiàn)貨工具與套期保值工具的相關(guān)系數(shù)的平方稱為主導(dǎo)系數(shù)(或決定系數(shù))基差風(fēng)險(xiǎn):若套期保值不能完全消除價(jià)格風(fēng)險(xiǎn),則投資者還必須承擔(dān)剩余的風(fēng)險(xiǎn),把在采取套期保值措施以后剩余的風(fēng)險(xiǎn)稱為基差(basic)風(fēng)險(xiǎn)。32某個(gè)基金經(jīng)理希望利用S&P500指數(shù)期貨對(duì)他管理的股票基金進(jìn)行為期3個(gè)月的套期保值,但是該組合只包含10種股票,故組合價(jià)值變化與指數(shù)的變化不能保持完全一致,故需要計(jì)算套期保值比率基金經(jīng)理應(yīng)賣出11份的期貨合約,才能對(duì)組合進(jìn)行保護(hù)。334.4互換定價(jià)及其風(fēng)險(xiǎn)因子考慮一個(gè)2003年9月1日生效的3年期的利率互換,名義本金是1億美元。B公司同意支付給A公司年利率為5%的固定利息,同時(shí)A公司同意支付給B公司以LIBOR計(jì)算的浮動(dòng)利息?;Q在每隔6個(gè)月交換一次,則每6個(gè)月A公司

B公司

LIBOR/22.5%34利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表(百萬(wàn)美元)日期LIBOR收到的浮動(dòng)利息支付的固定利息凈現(xiàn)金流2003.9.14.202004.4.14.80+2.10-2.50-0.402004.9.15.30+2.40-2.50-0.102005.4.15.50+2.65-2.50+0.152005.9.15.60+2.75-2.50+0.252006.4.15.90+2.80-2.50+0.302006.9.16.40+2.95-2.50+0.45浮動(dòng)利率都是在期初確定!35利率互換的分解T01、遠(yuǎn)期模式:期貨可能每天都有資金流動(dòng)(有效期只有1天);互換到各個(gè)支付期限時(shí)才有資金流動(dòng);遠(yuǎn)期只有一次資金流動(dòng)。互換介于遠(yuǎn)期和期貨之間,它也是遠(yuǎn)期合約的組合。上述的遠(yuǎn)期可以看成6個(gè)遠(yuǎn)期的組合。2、債券模式:利率互換可以看成是兩個(gè)債券現(xiàn)金流的組合:浮動(dòng)利率債券vs.固定利率債券。36利率互換的分解:債券模式互換:B公司同意支付給A公司年利率為5%的固定利息,同時(shí)A公司同意支付給B公司以LIBOR計(jì)算的浮動(dòng)利息?;Q在每隔6個(gè)月交換一次。可以看成每半年支付利息的兩個(gè)債券1、B公司按LIBOR的利率(貸款期初)借給A公司1億美元,即A向B發(fā)行浮動(dòng)利息債券。2、A公司按5%的年利率借給B公司1億美元,B向A發(fā)行固定利率債券。37利率互換的定價(jià)(1)定義:互換合約中分解出的固定利率債券的價(jià)值。:互換合約中分解出的浮動(dòng)利率債券的價(jià)值。那么這個(gè)互換的價(jià)值就是:38浮動(dòng)利率債券的價(jià)值在浮動(dòng)利率債券支付利息后的那一刻,浮動(dòng)利率債券的價(jià)值為其本金L。假設(shè)利息下一支付日應(yīng)支付的浮動(dòng)利息額為(這是已知的),那么在利息支付那一刻,浮動(dòng)利率債券的價(jià)值為。在我們的定義中,若距下一次利息支付日還有的時(shí)間,那么當(dāng)前時(shí)刻浮動(dòng)利率債券的價(jià)值應(yīng)該為:39t1~T1的利率與0時(shí)刻確定的0~T1的利率不同,因此,不能簡(jiǎn)單用0時(shí)刻的利率來(lái)表示未來(lái)的利率。L+K*LL+K**T1T2L確定值0t140在每個(gè)付息周期,起點(diǎn)的價(jià)格=面值,終點(diǎn)的價(jià)格=面值+利息,其余時(shí)刻由市場(chǎng)利率決定其價(jià)格。由此可以得到兩個(gè)特例41總結(jié):互換的風(fēng)險(xiǎn)債券模式:互換可以看成兩個(gè)債券的組合。根據(jù)久期和凸性可線性加權(quán)的原理,由債券的敏感度可以計(jì)量互換的敏感度。遠(yuǎn)期模式:互換是有限個(gè)遠(yuǎn)期的組合,分別計(jì)算有限個(gè)遠(yuǎn)期的敏感度,即可得到互換的敏感度。42例4.2假設(shè)在一筆互換合約中,某一金融機(jī)構(gòu)支付6個(gè)月期的LIBOR,同時(shí)收取8%的年利率(半年計(jì)一次復(fù)利),名義本金為1億美元?;Q還有1.25年的期限。3個(gè)月、9個(gè)月和15個(gè)月的LIBOR(連續(xù)復(fù)利率)分別為10%、10.5%和11%。上一次利息支付日的6個(gè)月LIBOR為10.2%(半年計(jì)一次復(fù)利)。在這個(gè)例子中,,因此43課外閱讀文獻(xiàn)Cox.J.C,Ingersoll.J.E,Ross.S.A:”theRelationshipbetweenForwardPricesandFuturesPrices,”JournalofFinancialEconomics,9(DEC,1981),321-346Bicksler,J.,Chen,A.H.”AnEconomicAnanlysisofInterestRateSwaps,”JournalofFinance41,3(1986),645-65544練習(xí)設(shè)某投資者簽訂了6個(gè)月后以8元人民幣兌換1美元的遠(yuǎn)期外匯合約。若風(fēng)險(xiǎn)因子相互獨(dú)立,且僅考慮一階展開,請(qǐng)給出該合約價(jià)值的方差。。459、春去春又回,新桃換舊符。在那桃花盛開的地方,在這醉人芬芳的季節(jié),愿你生活像春天一樣陽(yáng)光,心情像桃花一樣美麗,日子像桃子一樣甜蜜。3月-253月-25Saturday,March1,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。18:38:0218:38:0218:383/1/20256:38:02PM11、夫?qū)W須志也,才須學(xué)也,非學(xué)無(wú)以廣才,非志無(wú)以成學(xué)。3月-2518:38:0218:38M

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