第4章衍生金融工具的定價(jià)金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理南京

金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第4章衍生金融工具的定價(jià)（1）14.1遠(yuǎn)期與期貨的定價(jià)一個(gè)農(nóng)民想把他的牛賣掉，若t時(shí)刻牛價(jià)格為St，如果他簽訂一個(gè)在T（T>t）時(shí)刻賣牛的期貨合同，在t時(shí)刻這個(gè)牛期貨應(yīng)該如何定價(jià)？若不計(jì)其他因素若牛能夠在今日賣掉，獲得現(xiàn)金，以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資就獲得利息。2定理4.1（現(xiàn)貨-期貨平價(jià)定理）：假設(shè)期貨的到期時(shí)間為T，現(xiàn)貨價(jià)格為S0，則遠(yuǎn)期價(jià)格F0滿足F0=S0erT。證明：（反證法）我們可以采用套利定價(jià)的方法來(lái)證明上述結(jié)論。假設(shè)F0>S0erT，考慮下述投資策略：投資者在當(dāng)前（0時(shí)刻）借款S0用于買進(jìn)一個(gè)單位的標(biāo)的資產(chǎn)（longposition），借款期限為T，同時(shí)賣出一個(gè)單位的遠(yuǎn)期合約(shortposition)，價(jià)格為F0。在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)（T時(shí)刻），投資者用持有的標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行遠(yuǎn)期交割結(jié)算，因此獲得F0，償還借款本息需要支出S0erT。3因此，在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，他的投資組合的凈收入為F0-S0erT，而他的初始投入為0，這是一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利。反之，若F0<S0erT，即遠(yuǎn)期價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值，則套利者就可進(jìn)行反向操作，即賣空標(biāo)的資產(chǎn)S0，將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期限為T，同時(shí)買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)為F0。在T時(shí)刻，套利者收到投資本息S0erT，并以F0現(xiàn)金購(gòu)買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)S0erT-F0的利潤(rùn)。上述兩種情況與市場(chǎng)上不存在套利機(jī)會(huì)的假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，則F0=S0erT。證畢。4如果這只牛在10天后交割，而這只牛在此期間會(huì)產(chǎn)下一頭小牛，假定這只小牛的現(xiàn)值為I，那牛的遠(yuǎn)期價(jià)格該是多少？如果這只牛在交割后才會(huì)產(chǎn)下一頭小牛，那牛的遠(yuǎn)期價(jià)格該是多少？5如果遠(yuǎn)期的標(biāo)的資產(chǎn)提供確定的紅利。假設(shè)紅利是連續(xù)支付的，紅利率為q。由于具有紅利率q，該資產(chǎn)的價(jià)格才為S0。若沒(méi)有這個(gè)紅利存在，則該資產(chǎn)的價(jià)格為故有紅利率q的資產(chǎn)，當(dāng)前價(jià)格為S0，等價(jià)于價(jià)格為的無(wú)紅利資產(chǎn)。由無(wú)紅利的資產(chǎn)的定價(jià)公式可得6兩個(gè)推論（可生息資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格）以上證明的是標(biāo)的資產(chǎn)本身不帶來(lái)利息的遠(yuǎn)期價(jià)格。如小麥遠(yuǎn)期。但是，對(duì)于持有期間可以生息的資產(chǎn)，則需要對(duì)公式進(jìn)行調(diào)整，如債券遠(yuǎn)期。標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期合約到期前獲得收益的現(xiàn)值為I，則7證明：從單利到復(fù)利注意：債券的貼現(xiàn)率不等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率8如果遠(yuǎn)期的標(biāo)的資產(chǎn)提供確定的紅利。假設(shè)紅利是連續(xù)支付的，紅利率為q。由于具有紅利率q，該資產(chǎn)的價(jià)格才為St，它等價(jià)于價(jià)格為的無(wú)紅利資產(chǎn)。由無(wú)紅利的資產(chǎn)的定價(jià)公式可得9敏感性分析注意：（1）風(fēng)險(xiǎn)因素有兩個(gè)，現(xiàn)貨價(jià)格與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。（2）由于是指數(shù)函數(shù)，敏感性方程為非線性方程。10例4.1假設(shè)2年期即期年利率（連續(xù)復(fù)利，下同）為10.5%，3年期即期年利率為11％，本金為100萬(wàn)美元的2年×3年遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合同利率為11％，請(qǐng)問(wèn)理論上,遠(yuǎn)期利率應(yīng)為多少？該協(xié)議利率合理嗎？該遠(yuǎn)期利率協(xié)議的價(jià)值是多少？11tstl0A12由此可見，由于協(xié)議利率低于遠(yuǎn)期利率（理論利率），這實(shí)際上給了多方（借款方）的優(yōu)惠，故合約價(jià)值為正。反之，當(dāng)協(xié)議利率高于遠(yuǎn)期利率的時(shí)候，空方獲利，這意味著遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為負(fù)。遠(yuǎn)期合約的價(jià)值總是從多方的視角來(lái)看的！134.2期貨合約——遠(yuǎn)期的組合三個(gè)制度性特征：逐日盯市、保證金要求、期貨清算所，逐日盯市將履約期限縮短為1天。若7月1日購(gòu)買了1份83天的期貨合約，當(dāng)日期貨價(jià)格為0.61美元，次日為0.615美元。這等價(jià)于7月1日購(gòu)買了一份期限為83天的遠(yuǎn)期合約，其交割價(jià)格為0.61美元7月2日遠(yuǎn)期合約以0.615美元被清算，并被一份期限為82天，交割價(jià)格為0.615美元的新的遠(yuǎn)期合約所代替。思考：遠(yuǎn)期能否看成是期貨的組合？14討論：期貨與遠(yuǎn)期的差異假定一個(gè)5000蒲式耳小麥期貨和遠(yuǎn)期只有3日期限，多方損益日期期貨價(jià)格（元）遠(yuǎn)期現(xiàn)金流期貨現(xiàn)金流7月1日4007月2日4.105007月3日40-50015討論：期貨與遠(yuǎn)期的差異如果利率固定，則期貨合約和遠(yuǎn)期合約等價(jià)。（CIR定理）如果利率浮動(dòng)，則期貨與遠(yuǎn)期可能不等價(jià)。考慮例子中，2日的利息遠(yuǎn)高于3日，結(jié)果如何？顯然，多方偏好期貨合約，則期貨合約價(jià)值上升，反之則反。16一般來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)期與期貨存在一定的差異：如果期貨和遠(yuǎn)期的到期時(shí)間只有幾個(gè)月，那么，在大多數(shù)情況下，二者價(jià)格的差異常常小到可以忽略不計(jì)。隨著到期時(shí)間的延長(zhǎng)，二者價(jià)格的差異可能變得比較顯著。若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率正相關(guān)，則期貨合約價(jià)值高于遠(yuǎn)期，反之則反利率上升→標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升→多頭獲利實(shí)現(xiàn)（盯市）→再投資收益增加利率下降→標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降→期貨多頭虧損→以低成本融資17CIR定理：期貨與遠(yuǎn)期等價(jià)CIR定理：如果利率固定（Constant），那么遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相同。證明的思路：期貨是一連串不斷更新的遠(yuǎn)期。根據(jù)無(wú)套利定價(jià)的原理，可以讓遠(yuǎn)期和期貨相互復(fù)制。CIR的思路：以期貨組合復(fù)制遠(yuǎn)期，由遠(yuǎn)期推斷期貨。遠(yuǎn)期：到期日結(jié)算（中間沒(méi)有現(xiàn)金流）期貨：每日結(jié)算（每日都有現(xiàn)金流）18證明：（byCox，Ingersoll，Ross）假設(shè)期貨合約的有效期為n天，用Fi表示第i天末（0<i<n-1）的期貨價(jià)格，δ表示每天的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（常數(shù)）。不計(jì)交易費(fèi)用，考慮下述投資策略第0天末（即合約開始的時(shí)候）持有eδ單位的期貨多頭第1天末把頭寸增加到e2δ第2天末把頭寸增加到e3δ第n-1天末把頭寸增加到enδ1920也可以作如下分析：（1）在第0天末（第1天初）買進(jìn)eδ單位的期貨（2）在第1天末（第2天初）把頭寸增加到e2δ，結(jié)清上一日的eδ單位（3）在第2天末（第3天初）把頭寸增加到e3δ，結(jié)清上一日的e2δ單位…….（n）在第n－1天末（第n天初）把頭寸增加到enδ單位，結(jié)清上一日的e(n-1)δ單位

。21第2天末盈虧的現(xiàn)值第1天末盈虧的現(xiàn)值第i天末盈虧的現(xiàn)值22整個(gè)投資策略，在n天末的價(jià)值為第i天末盈虧的終值相當(dāng)于持有enδ單位的遠(yuǎn)期23下面，以無(wú)套利分析方法來(lái)給出遠(yuǎn)期-期貨等價(jià)證明?？紤]兩種投資策略策略1，構(gòu)建包含兩種資產(chǎn)的組合1：0時(shí)刻買進(jìn)一個(gè)面值為F0的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，n時(shí)刻賣出；投資上述的期貨組合T時(shí)刻，組合1價(jià)值為注意：初始投資僅為F024策略2：構(gòu)建資產(chǎn)組合2假設(shè)第0天的遠(yuǎn)期價(jià)格為G0,則在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券上投資G0第0天末買進(jìn)enδ單位的遠(yuǎn)期合約在T時(shí)刻，組合的價(jià)值為注意：初始投資僅為G025由于期末兩個(gè)組合的價(jià)值相等，即則初始投資額必須滿足因此，期貨價(jià)格等于相同期限的遠(yuǎn)期價(jià)格，期貨僅僅是遠(yuǎn)期的標(biāo)準(zhǔn)化，遠(yuǎn)期價(jià)格的計(jì)算公式適用于期貨。問(wèn)題：期貨合約的價(jià)值呢？26例子：外匯遠(yuǎn)期（期貨）風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)假設(shè)一家美國(guó)公司持有3個(gè)月后到期的，以1500萬(wàn)美元兌換1000萬(wàn)英鎊的遠(yuǎn)期合約。從美國(guó)公司的角度分析其風(fēng)險(xiǎn)，假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻t為1996年5月20日，要預(yù)測(cè)5月21日的所有可能情形。1、識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)因子。t美元英鎊英鎊利率美元利率英鎊/美元即期匯率272、市場(chǎng)因子預(yù)測(cè)5月21日合約的可能值：樣本區(qū)間1995年12月29日~1996年5月20日（100個(gè)交易日）

15.4696.1211.53932684.1925.3796.0631.53132935.54…………995.4696.00011.53633639.621005.4696.00031.55734106.44284.3交叉套期保值利用現(xiàn)貨價(jià)格和期貨價(jià)格變化的相關(guān)性，通過(guò)在期貨市場(chǎng)和現(xiàn)貨市場(chǎng)的相反操作來(lái)使它們的價(jià)格變化相互抵消，從而消除現(xiàn)貨投資的風(fēng)險(xiǎn)。例如以股指期貨對(duì)股票指數(shù)基金進(jìn)行套期保值問(wèn)題：如果要保值的股票組合與指數(shù)組合不同，如何進(jìn)行套期保值？交叉套期保值：當(dāng)要保值的現(xiàn)貨與期貨合約的標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)不完全同步時(shí)，需要確定合適的套期保值比率。29套頭保值比率h：對(duì)1份現(xiàn)貨資產(chǎn)的多頭（空頭）頭寸，要用h份期貨的空頭（多頭）進(jìn)行套期保值。由此構(gòu)造的套期保值組合為：1份現(xiàn)貨資產(chǎn)的多頭＋h份期貨合約的空頭在某個(gè)t時(shí)刻，該組合的價(jià)值為30套期保值模型若已知套期保值者的目標(biāo)是使組合的方差最小化則有31最優(yōu)套頭比h：使得套期保值工具頭寸與現(xiàn)貨頭寸構(gòu)成的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小的套頭比h。現(xiàn)貨工具與套期保值工具的相關(guān)系數(shù)的平方稱為主導(dǎo)系數(shù)（或決定系數(shù)）基差風(fēng)險(xiǎn)：若套期保值不能完全消除價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，則投資者還必須承擔(dān)剩余的風(fēng)險(xiǎn)，把在采取套期保值措施以后剩余的風(fēng)險(xiǎn)稱為基差（basic）風(fēng)險(xiǎn)。32某個(gè)基金經(jīng)理希望利用S&P500指數(shù)期貨對(duì)他管理的股票基金進(jìn)行為期3個(gè)月的套期保值，但是該組合只包含10種股票，故組合價(jià)值變化與指數(shù)的變化不能保持完全一致，故需要計(jì)算套期保值比率基金經(jīng)理應(yīng)賣出11份的期貨合約，才能對(duì)組合進(jìn)行保護(hù)。334.4互換定價(jià)及其風(fēng)險(xiǎn)因子考慮一個(gè)2003年9月1日生效的3年期的利率互換，名義本金是1億美元。B公司同意支付給A公司年利率為5％的固定利息，同時(shí)A公司同意支付給B公司以LIBOR計(jì)算的浮動(dòng)利息?；Q在每隔6個(gè)月交換一次，則每6個(gè)月A公司

B公司

LIBOR/22.5%34利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表（百萬(wàn)美元）日期LIBOR收到的浮動(dòng)利息支付的固定利息凈現(xiàn)金流2003.9.14.202004.4.14.80+2.10－2.50－0.402004.9.15.30+2.40－2.50－0.102005.4.15.50+2.65－2.50＋0.152005.9.15.60+2.75－2.50＋0.252006.4.15.90+2.80－2.50＋0.302006.9.16.40+2.95－2.50＋0.45浮動(dòng)利率都是在期初確定！35利率互換的分解T01、遠(yuǎn)期模式：期貨可能每天都有資金流動(dòng)（有效期只有1天）；互換到各個(gè)支付期限時(shí)才有資金流動(dòng)；遠(yuǎn)期只有一次資金流動(dòng)。互換介于遠(yuǎn)期和期貨之間，它也是遠(yuǎn)期合約的組合。上述的遠(yuǎn)期可以看成6個(gè)遠(yuǎn)期的組合。2、債券模式：利率互換可以看成是兩個(gè)債券現(xiàn)金流的組合：浮動(dòng)利率債券vs.固定利率債券。36利率互換的分解：債券模式互換：B公司同意支付給A公司年利率為5％的固定利息，同時(shí)A公司同意支付給B公司以LIBOR計(jì)算的浮動(dòng)利息?；Q在每隔6個(gè)月交換一次。可以看成每半年支付利息的兩個(gè)債券1、B公司按LIBOR的利率（貸款期初）借給A公司1億美元，即A向B發(fā)行浮動(dòng)利息債券。2、A公司按5%的年利率借給B公司1億美元，B向A發(fā)行固定利率債券。37利率互換的定價(jià)（1）定義:互換合約中分解出的固定利率債券的價(jià)值。:互換合約中分解出的浮動(dòng)利率債券的價(jià)值。那么這個(gè)互換的價(jià)值就是：38浮動(dòng)利率債券的價(jià)值在浮動(dòng)利率債券支付利息后的那一刻，浮動(dòng)利率債券的價(jià)值為其本金L。假設(shè)利息下一支付日應(yīng)支付的浮動(dòng)利息額為（這是已知的），那么在利息支付那一刻，浮動(dòng)利率債券的價(jià)值為。在我們的定義中，若距下一次利息支付日還有的時(shí)間，那么當(dāng)前時(shí)刻浮動(dòng)利率債券的價(jià)值應(yīng)該為：39t1~T1的利率與0時(shí)刻確定的0~T1的利率不同，因此，不能簡(jiǎn)單用0時(shí)刻的利率來(lái)表示未來(lái)的利率。L+K*LL+K**T1T2L確定值0t140在每個(gè)付息周期，起點(diǎn)的價(jià)格=面值，終點(diǎn)的價(jià)格=面值+利息，其余時(shí)刻由市場(chǎng)利率決定其價(jià)格。由此可以得到兩個(gè)特例41總結(jié)：互換的風(fēng)險(xiǎn)債券模式：互換可以看成兩個(gè)債券的組合。根據(jù)久期和凸性可線性加權(quán)的原理，由債券的敏感度可以計(jì)量互換的敏感度。遠(yuǎn)期模式：互換是有限個(gè)遠(yuǎn)期的組合，分別計(jì)算有限個(gè)遠(yuǎn)期的敏感度，即可得到互換的敏感度。42例4.2假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)支付6個(gè)月期的LIBOR，同時(shí)收取8％的年利率（半年計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個(gè)月、9個(gè)月和15個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6個(gè)月LIBOR為10.2％（半年計(jì)一次復(fù)利）。在這個(gè)例子中，，因此43課外閱讀文獻(xiàn)Cox.J.C,Ingersoll.J.E,Ross.S.A:”theRelationshipbetweenForwardPricesandFuturesPrices,”JournalofFinancialEconomics,9(DEC,1981),321-346Bicksler,J.,Chen,A.H.”AnEconomicAnanlysisofInterestRateSwaps,”JournalofFinance41,3(1986),645-65544練習(xí)設(shè)某投資者簽訂了6個(gè)月后以8元人民幣兌換1美元的遠(yuǎn)期外匯合約。若風(fēng)險(xiǎn)因子相互獨(dú)立，且僅考慮一階展開，請(qǐng)給出該合約價(jià)值的方差。。459、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽(yáng)光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。3月-253月-25Saturday,March1,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。18:38:0218:38:0218:383/1/20256:38:02PM11、夫?qū)W須志也，才須學(xué)也，非學(xué)無(wú)以廣才，非志無(wú)以成學(xué)。3月-2518:38:0218:38M