高考數學第二輪專題導練總復習課件5

數形結合的思想方法

1著名數學家華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”．事實上，數與形是數學中兩個最古老而又最基本的對象，是數學大廈深處的兩塊基石．數形結合就是通過這兩者之間的對應和轉化來解決問題的．“數”與“形”在一定的條件下可以相互轉化．在一維空間，實數與數軸上的點建立了一一對應關系；在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立了一一對應關系，進而使函數的解析式與函數的圖象，方程與曲線建立了一一對應關系；在三維空間，空間向量的引入又為用代數方法研究空間點線面關系提供了可能．這種用代數方法研究圖形性質，借助圖形性質研究數量關系的思想方法就是數形結合思想．2數形結合是一種重要的數學思想方法，它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的直觀性來闡明數之間的聯系，即以形為手段，數為目的，如應用函數的圖象來直觀說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數為手段，形為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質．在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；三是正確確定參數的取值范圍．3-1．構造途徑(1)利用“兩點間的距離4-5完全免費,無需注冊,天天更新！點評：本題如果直接對原式進行變形，是有一定運算量的，效率也不高，但將式子轉化為這種點與點距離公式之后，它的幾何意義就凸現出來了，利用數形結合的方法，把代數問題轉化為幾何問題．7(2)利用“直線的斜率”例2

實系數方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內，另一個根在(1,2)內，求的取值范圍．

解析：由根的分布，可寫出a、b所滿足的條件，并作出示意圖；另外，由的形式，可聯想斜率公式，利用解析幾何的辦法加以求解8解析：因方程x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內，另一個根在(1,2)內，故函數f(x)=x2+ax+2b的圖象與x軸的交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)及(1,2)內，于是.，即點(a，b)所表示的平面區(qū)域為如圖的△ABC的內部，其中，A(－3,1)為直線a+2b+1=0與直線a+b+2=0的交點，B(－2,0)為直線a+b+2=0與直線b=0的交點，C(－1,0)為直線a+2b+1=0與直線b=0的交點．9由于表示連結點(a，b)和點D(1,2)的斜率，由圖易知，

點評：對于方程根的分布問題，常利用數形結合法，從對稱軸的方程、最值、開口方向、特殊點的函數值等方面進行考慮；對于求比例形式的問題，常?？陕撓胫本€的斜率利用數形結合的方法進行求解．10(3)利用“點到直線的距離”解析：將函數表達式變形得的幾何意義表示半圓

x2+y2=1（0≤y≤1）上的點P到直線x－

y+2=0的距離．從而由圖易得的最小值為－1從而所求函數的最小值為2－.11(4)利用“函數圖象”12因為g(x)為偶函數且g(3)=0，故g(－3)=0，從而F(－3)=F(3)=0.作出滿足條件F(x)的示意圖如圖所示，由圖易知，F(x)＜0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)．點評：為什么奇函數的圖象在原點兩側的單調性相同，這就是我們成竹在胸，“胸”中有圖：對奇函數的圖象特征爛熟于心；為什么在圖中標了三個特殊點：兩個非F(x)圖象中的點，一個F(x)圖象中的點即原點：這就是我們對奇函數性質了如指掌：13奇函數若在原點處有定義，則奇函數的圖象一定過原點．當我們作出了滿足全部條件的函數F(x)的圖象后，不等式F(x)＜0的解集已經躍然圖上了．這就是圖形的直觀作用！借助于圖形，省卻了繁瑣的推理與計算，取而代之的是一幅賞心悅目的優(yōu)美圖案與簡潔明快的解答！14(5)利用“單位圓”證明：在平面直角坐標系中，點A(cos，sin

)與點B(cos

，sin

)是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點，如圖15又因單位圓的圓心到直線l的距離

由平面幾何知識知，

所以，命題得證.16(6)利用“正余弦定理”構圖17點評：本題中，根據數形結合思想，實現了由三角式向三角形邊角關系式的轉換，使運算大為簡捷．18分析原題中只須求出xy+2yz+3xz的整體值，無須求出想x,y,z的單個值，可聯想利用余弦定理構造三角形，利用三角形的面積及余弦定理直接求值.192021點評：視x、y、z為三條邊，進而將所求值xy+2yz+3xz轉化為三角形的面積，并聯用正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，實現快速解題．22(7)利用“平行線間的距離”2324點評：對形如等式ab+cd=k，可以視為點(a，c)在直線bx+dy=k上，或根據證題需要視為點(a，d)在直線bx+cy=k上．252.應用方面列舉(1)函數的圖象與性質例9

方程x3－4x2+4x－log2x=0的實根個數為___．分析：解方程求根是不切實際的，畫圖是一條重要的途徑．2627是函數圖象的極大值點，其函數圖象如圖所示．又在圖中作出函數y2=log2x的圖象，顯然兩圖象有2個不同交點，故原方程有2個不同的實根．28點評：這是一道典型的應用數形結合來解決問題的綜合型小題，將三次函數圖象模型與對數函數圖象糅合在一起，要求學生掌握三次函數的極值，極值點，最值，單調區(qū)間的求法及函數圖象的畫法，更要注意在同一坐標系中兩圖象的位置關系．29(2)三角函數的圖象與性質分析：有些學生不加分析地盲目利用同角三角函數間的關系與公式，進行運算與推理，往往造成較高的錯誤率，而如果借助三角函數圖象，以形助數，則不僅會正確得出答案，而且過程簡潔直觀．30(3)與解方程、解不等式有關的問題31分析：

(1)函數f(x)是區(qū)間[-1,1]上的增函數，這個條件怎樣使用？有兩條思路可走：一是利用函數單調性的定義，二是利用導數的性質．這里我們不妨用第二種方法．32333435三星學科,教師助手,學生幫手,家長朋友！37點評：

本題是一道較難的解不等式問題，但兩問的求解都借助了圖形的直觀，進而很簡捷地得到了問題的解答與結論．其中，第(1)問，用的是二次函數的圖象的對稱軸的位置與函數的單調區(qū)間的關系而得到的；第(2)問，先是利用了主元思想，視m2+tm-2中t為變量，m為常量，進而得出函數h(t)=mt+(m2-2)，t∈[-1,1]的圖象為一條線段的直觀結論，后利用它寫出了m所滿足的條件組，并最終求得了m的取值范圍．

38(4)解析幾何中的有關問題分析：本題具有明顯的幾何意義，那數形結合法便是一個常規(guī)的方法了．3940畫出約束條件所表示的區(qū)域，如圖陰影部分所示．易知當動直線l過P點時，即l為l1時，z的取值最大．聯立m2+n2=20與m2=8n，解得P(4,2)，此時z=10；當l為l2時，z的取值最小，聯立m2+n2=20及z=2m+n，消去m，并注意到△=0，可解得z=－10.于是z的取值范圍為[－10,10]．41完全免費,無需注冊,天天更新！完全免費,無需注冊,天天更新！1、字體安裝與設置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。