2025高考數(shù)學二輪復習-函數(shù)與不等式21-30-專項訓練【含答案】

六、易混對稱，破招有方【例1】研究下列函數(shù)的對稱性:(1)若是奇函數(shù).則的對稱中心是__________；(2)若是奇函數(shù)，則的對稱中心是__________；(4)若是偶函數(shù)，則的對稱軸是__________；(5)若是偶函數(shù).則的對稱軸是__________；(6)若是偶函數(shù),則的對稱軸是__________；(7)若是奇函數(shù)，則的對稱中心是__________；(8)若是奇函數(shù)，則的對稱中心是__________；(9)若是奇麗數(shù)，則的對稱中心是__________；(10)若是偶函數(shù).則的對稱軸是__________；(11)若是偶函數(shù)，則的對稱軸是__________；(12)若是偶函數(shù)，則的對稱軸是__________；(13)若的圖像關(guān)于點（1，2）對稱，則的對稱中心是__________；(14)若的圖像關(guān)于直線x=1對稱，則，則的對稱軸是__________；的圖象關(guān)于直線__________對稱；的圖象關(guān)于點__________對稱.?！敬鸢浮?4)【解析】破招方法1：用特例法，若題設(shè)條件是奇函數(shù)，剛令；若題設(shè)條件是偶函數(shù)，剛令，下面以（1）（2）為例解析。（1）令，再令，則，從而，所以的對稱軸為。破招方法2：用嚴格推理的方法，下面以（3）（5）（13）為例解析。（3）因為是奇函數(shù)，所以，故圖像關(guān)于點成中心對稱，從而圖像關(guān)于點成中心對稱。（5）因為是偶函數(shù)，所以，故的圖像關(guān)于直線對稱。（13）因為的圖像關(guān)于點成中心對稱，令，所以關(guān)于點（-1，2）成中心對稱?！驹u注】此類題與兩個函數(shù)的對稱問題很易混淆。如的對稱軸是X=1，與的對稱中心是（1，0），的對稱中心是（1，1）.七、復合函數(shù)，對稱研究(一)指數(shù)復合,對稱特征【例1】函數(shù)的圖像A.關(guān)于原點對稱B.關(guān)于直線對際C.關(guān)于軸對稱D.天于軸對稱【答案】D【解析】，故是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，故選D?！疽?guī)律探究】函數(shù)必是偶函數(shù)。變式訓練分析函數(shù)圖像的對稱性?！纠?】求函數(shù)的圖像的對稱中心?！窘馕觥繉ΨQ中心是點?！疽?guī)律探究】函數(shù)必是奇函數(shù)。變式訓練求函數(shù)的圖像的對稱中心?！纠?】已知函數(shù)的圖像關(guān)于點P對稱，剛點P的坐標是________?！敬鸢浮?。【解析】設(shè)P（m,n）,任意點M（x,y）關(guān)于點P（m,n）的對稱點為，由，聯(lián)立可解得變式訓練1、已知函數(shù)，求其值域和對稱中心。2、若是偶函數(shù)，求其值域和對稱性?！纠?】已知，設(shè)函數(shù)的最大值是M，最小值是N，則（）【答案】C【解析】則在上是是奇函數(shù)，故有，即M+N=6，故選C?！纠?】設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M+N=________?！敬鸢浮?【解析】設(shè)又定義域為R，故是奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖像的對稱性知，所以?！纠?】已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)，（1）、求a、b的值。（2）、若對任意的恒成立，求K的取值范圍?！窘馕觥浚?）因為是奇函數(shù)，所以，即；又由（2）、由（1）知，易知在上為減函數(shù)，不等式等價于，因為為減函數(shù)，由上式推得：從而判別式（二）對數(shù)復合，對稱特征【例1】若定義在R上的函數(shù)的圖像是中心對稱圖形，則實數(shù)a=_______。【答案】2【解析】設(shè)則令為奇函數(shù)，關(guān)于原點中心對稱，故原函數(shù)關(guān)于點（1，2）成中心對稱。所以.拓展提升解方程：（三）三角復合，對稱特征【例1】函數(shù)的所有零點之和等于（）【答案】B【解析】由對稱性得，函數(shù)有4個零點分別關(guān)于對稱，故，故選B?！纠?】函數(shù)的最大值與最小值之和為________。【答案】2【解析】因為為奇函數(shù)，其最大值與最小值之和為0，因此函數(shù)的最大值與最小值之和為2.（四）高次函數(shù)，對稱特征【例1】求函數(shù)的對稱中心?！敬鸢浮俊窘馕觥壳髮У糜蓲佄锞€的對稱性及層數(shù)的幾何意義，知直線X=1與圖像的交點即為對稱中心?！驹u注】（1）函數(shù)圖像是連續(xù)函數(shù)曲線時，若有對稱中心，則中心必在曲線上，（可用反證法，利用函數(shù)定義即y的唯一性證得）（2）本例也可設(shè)對稱中心為M（a,b），在圖像上任意取一點P（x,y），則點P關(guān)于點M的對稱點也在曲線上。則有即對任意的x恒成立。對照系數(shù)得.【例2】設(shè)曲線C的方程是，將C沿X軸，Y軸正方向分別平行移動t，s個單位長度后得曲線。（1）求曲線的方程；（2）求證：曲線C與關(guān)于點對稱；（3）如果曲線C與有且僅有一個公共點，求證：【解析】（1）曲線的方程為。（2）證明：在曲線C上任取一點是關(guān)于點A的對稱點，則有：，即代入曲線C的方程，得滿足方程：即，可知點在曲線上，反過來，同樣可以證明，曲線上的點關(guān)于點A的對稱點也在曲線C上，因此，曲線C與關(guān)于點A對稱。（3）證明：因為曲線C與有且僅有一個公共點，所以方程組有且僅有一組解。消去Y，整理得，這個關(guān)于X的一元二次方程有且僅有一個根，所以，并且其判別式，所以。第二章二次函數(shù)，十大專題一值域與單調(diào)性值域的對稱特征二次函數(shù)的對稱特性決定了它的值域問題的多樣性.例1設(shè)函數(shù)則的值為A.0B.38C.56D.112答案D[解析故選[(例2)已知集合若則實數(shù)[答案9(解析解法的值域為當時有即,則解得.由不等式的解集為得解得解法2:由于與只是平移關(guān)系,與的解集區(qū)間長度相同，都是6,故從而評注解法2抓住本質(zhì),快速有效.[例3]若且求的值.解析：如圖,通過觀察即得或.引申改為：已知求的取值范圍，則答案為.已知的定義域為值域為[0,2],求的取值范圍.[例4]設(shè)是二次函數(shù),若的值域是則的值域是A.B.C.D.[答案C[解析是二次函數(shù),所以其值域是單開放的.[例5]已知函數(shù)求證:對于任意的總存在,滿足并確定這樣的的個數(shù).解析在同一坐標系中,畫出的圖象,由于互相獨立,當時，任取固定的值,得的水平直線,觀察其與的圖象交點,然后分情況證明在其值域內(nèi)，即可得到相應的的個數(shù),如圖：對于任意的總存在滿足如圖1)當或時，有唯一的適合題意(如圖2、圖3),當時,有兩個適合題意(如圖4).[例6]若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值是，則的值A(chǔ).與無關(guān),但與有關(guān)B.與有關(guān),但與無關(guān)C.與無關(guān),且與無關(guān)D.與和均有關(guān)[答案B]解析當時,由得;當時,由得;當時,由得;當一時,由得.所以均與有關(guān),與無關(guān).故選B.拓展提升函數(shù)是整數(shù))的值域中恰有10個不同整數(shù),則(二)復合函數(shù)的值域問題[例1]若,求下列函數(shù)的值域:(1);(2);(3).[答案）(1)(2)[解析令(2)令(3)令[例2]已知,求的值域.[答案(三)復合函數(shù)的單調(diào)問題[例1]已知函數(shù),求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1);(2);(3).[答案I(1)的單調(diào)區(qū)間為.(2)]的單調(diào)區(qū)間為.(3))的單調(diào)區(qū)間為提示換元分拆,畫圖分析.例2如果函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是[答案[解析令則,時無解時所以.[例3已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且)的圖象關(guān)于直線對稱,記若在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.(0,1)C.D.則得矛盾.時,令,則得故選變式訓練已知函數(shù)則"是在上單調(diào)遞減”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件四兩域成比遇到二次函數(shù)的定義域和值域相等問題,需要考察單調(diào)區(qū)間，并合理分類討論.例1若的定義域為，值域為，求的取值范圍.[解析在[a,b]上單調(diào)時,(i)當時在[a,b]上單調(diào)遞增,可轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的解,則;(ii)當時,在[a,b]上單調(diào)遞減得，則有即所以方程在上有兩個不同的解,則,在[a,b]上不單調(diào)時(iii)若且則即且方程在區(qū)間上有解,則得即,方程有唯一解,則.另解:若且,則方程有唯一解,所以.(IV)若且即有即