2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分?jǐn)?shù)列161-170-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

【例6】已知在數(shù)列中，，，求證.【解析】(i)當(dāng)時(shí)，顯然成立.(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即也成立，當(dāng)時(shí)，易知又，所以只需要證明即可.由上式得，平方得，即，顯然成立，所以當(dāng)時(shí)，成立.由(i)(ii)知待證不等式成立.【評(píng)注】還可以證明一個(gè)加強(qiáng)命題：，可以直接用數(shù)學(xué)歸納法證明，請(qǐng)讀者行嘗試.【孌式訓(xùn)練】設(shè)是滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù).(1)求的解析式；(2)記，，試比較與的大小.【例7】已知在數(shù)列中，，求證：(是非負(fù)整數(shù)).【解析】(i)當(dāng)時(shí)，，成立；(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，，是非負(fù)整數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，顯然是非負(fù)整數(shù)，即時(shí)命題成立.由(i)(ii)知命題成立.【評(píng)注】這題是一個(gè)數(shù)列遞推關(guān)系問題，和以前我們能夠解出的遞推關(guān)系不一樣，是無法求解的.不過看題目并不是要求通項(xiàng)，只是證明通項(xiàng)是一個(gè)給出的固定形式，故可采用數(shù)學(xué)歸納法證明.【變式訓(xùn)練】已知為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí)，.【例8】已知在數(shù)列中，，記為的前項(xiàng)和，求證:(1)(2)(3).【解析】(1)由題意知，顯然則，故只需要證明即可.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立；(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，，即，由(i)ii)知，對(duì)任意的，.從而即.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，成立；(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)命題成立.由(i)(ii)知，對(duì)任意的.(3)，得.故第七章數(shù)列函數(shù)，解幾結(jié)合一、數(shù)列函數(shù)，有機(jī)結(jié)合在解數(shù)列綜合題時(shí)經(jīng)常碰到與函數(shù)相結(jié)合的題目，對(duì)于這類題目不少學(xué)生感到難度較大，其主要原因是難以運(yùn)用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行解題.下面通過具體的例子來說明這類題型的求解方法.1.與反比例函數(shù)有機(jī)結(jié)合【例1】如圖，已知點(diǎn)列在曲線上，點(diǎn)列滿足且其中(1)求與的關(guān)系；(2)求證：.【解析】解法1：，由得①又②把①代入②，得，得所以(2)因?yàn)樗?，所以，所以?當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以又，所以，所以，所?綜上知待證不等式成立.解法2：，將繞，點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則，所以，即.(2)由得，所以…累加得即，所以又所以.另一方面，由得，累加可得，即，從而，所以綜上知待證不等式成立.【變式訓(xùn)練】如圖，已知點(diǎn)列在曲線上，點(diǎn)列在軸上，為等腰直角三角形，求.2.與一次函數(shù)有機(jī)結(jié)合【例2】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，是常數(shù)，且，求證:(1)數(shù)列是等差數(shù)列；(2)以為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一直線上，并寫出此直線的方程.【解析】(1)要證明數(shù)列是等差數(shù)列，只要證明其中k，t是常數(shù)即數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的一次函數(shù)即可.由以及得所以從而數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的一次函數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列.(2)要證明以為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一直線上，只要證明且與點(diǎn)連線的斜率為定值即可.因?yàn)樗裕詾樽鴺?biāo)的點(diǎn)都在過點(diǎn)且斜率為的同一直線上，所以所求的直線方程為，即.【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)依次在軸上，且，點(diǎn)依次在射線上，且.(1)用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)四邊形的面積為求證:.3.與二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合【例3】已知，點(diǎn)在的圖象上，過點(diǎn)的切線交軸于點(diǎn)，.(1)求與的關(guān)系式(2)求證:數(shù)列單調(diào)遞減；(3)求證:；(4)求證(5)求.【解析】(1)，消得(2)由(1)知?jiǎng)t，所以所以數(shù)列單調(diào)遞減.(3)所以.(4)，即，所以(5)由(4)知，從而.【例4】已知點(diǎn)在曲線上，如圖，作出點(diǎn)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)若，求證：(3)若，求證：.【解析】(1)(2)證法1：，則，左邊故不等式成立.證法2:由，知，故，從而(3)由，知，所以.【例5】已知二次函數(shù)在處取得最小值(1)求的解析式；(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式(為多項(xiàng)式，)，試用表示和(3)設(shè)圓的方程為，圓與外切，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，記為前個(gè)圓的面積之和，求，.【解析】(1)設(shè)，由得，所以(2)將代入已知等式得，上式對(duì)任意的都成立，取和分別代入上式得，且，解得(3)由于圓的方程為又由(2)知，故圓的圓心在直線上，又圓與圓相切，故有，設(shè)的公比為q，則有得代入①得，所以.【例6】已知是正整數(shù)組成的數(shù)列，，且.點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求證：.【解析】(1)由已知得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，即(2)由(1)知，，，所以.【例7】已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列是公比為且)的等比數(shù)列，設(shè).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果對(duì)一切都有成立，求【解析】(1)由題意知解得則，.同理得，解得所以.(2)由，得，相減得，又，所以，即是首項(xiàng)為8，公比為-2的等比數(shù)列.所以【變式訓(xùn)練】1.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列對(duì)每一個(gè)自然數(shù)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形.(1)求對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，以點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令求的值.2.已知函數(shù)，，數(shù)列滿足，，求證:數(shù)列是等比數(shù)列.【拓展提升】1.已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.2.已知拋物線和點(diǎn)，過點(diǎn)作任意直線，交拋物線于B，C兩點(diǎn).(1)求的重心的軌跡方程，并表示成的形式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，求證.4.與指數(shù)函數(shù)有機(jī)結(jié)合【例8】已知函數(shù).(1)求證:函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)求的值；(3)若，求證:對(duì)任意自然數(shù)n，總有成立.【解析】(1)設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.已知，則，故，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)由(1)有，即，所以則(3)，即，不等式等價(jià)于.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊右邊，不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，當(dāng)時(shí)，上式恒為正值，則，所以對(duì)任意自然數(shù)n，總有成立，即對(duì)任意自然數(shù)n，總有成立.【例9】在直角坐標(biāo)平面上有點(diǎn)列對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形.(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；(2)若對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，以為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍(3)設(shè)，當(dāng)是(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)時(shí)，則的最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)?【解析】(1)由于三角形為等胺三角形，所以點(diǎn)在與兩點(diǎn)連線的中垂線上，從而又因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以.(2)因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以對(duì)每一個(gè)自然數(shù)有又因?yàn)橐詾檫呴L(zhǎng)能