平面解析幾何易考點(diǎn)考向知識(shí)點(diǎn)總結(jié)分析,平面解析幾何高考真題及答案解析

考點(diǎn)32直線與方程

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.

（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

（3）掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

學(xué)知識(shí)整臺(tái)

一、直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與X軸相交的直線，把X軸所在的直線繞著

交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.當(dāng)直

線/與X軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.

（2）范圍：直線/傾斜角的范圍是［0。,180。）.

2.斜率公式

（1）若直線/的傾斜角。工90。，則斜率〃=tana.

%-y.

（2）P1（X1，#）,P2（X2,竺）在直線/上，且X#X2，則直線/的斜率"=.

X2~X\

二、直線的方程

1.直線方程的五種形式

方程適用范圍

①點(diǎn)斜式：y-yi=k（x-x］）不包含直線工=內(nèi)

②斜截式：y=kx+b不包含垂直于X軸的直線

不包含直線X=X（X［=%2）和直

③兩點(diǎn)式：上五二正立

必一乂12一%線（乂=/）

不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的

④截距式：-\

ab直線

⑤一般式：Ar+8y+C=0（43不全為0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

2.必記結(jié)論

常見的直線系方程

(1)過定點(diǎn)P(xo，次)的直線系方程：力(x—xo)+5(y一歹0)+。=01力2+52#))還可以表示

為y—yo=A(x—xo),斜率不存在時(shí)可設(shè)為x=xo.

(2)平行于直線4c+W+C=0的直線系方程：祗+繪+G=O(C#0.

(3)垂直于直線及+為，+C=0的直線系方程：&-4y+G=0.

(4)過兩條已知直線4x+8y+a=0,/*+&＞，+G=0交點(diǎn)的直線系方程：4x+8U

+G+44*+82y+C2)=0(其中不包括直線45+%7+。2=0).

點(diǎn)考向.

考向一直線的傾斜角與斜率

1.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍要利用正切函數(shù)y=tanx的圖象，特別要注意傾斜

角取值范圍的限制.

2.求解直線的傾斜角與斜率問題要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意直線的傾斜角由銳角變

到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需依據(jù)正切函數(shù))，=tanx的單調(diào)性求人的范圍.

典例引領(lǐng)

典例1若兩直線/的傾斜角和斜率分別為％，%和4小2,則下列四個(gè)命題中正確的是

A.若%＜%，則兩直線的斜率：k、＜k?B.若%=%，則兩直線的斜率：

k\=h

C.若兩直線的斜率：占＜&，則因＜%D.若兩直線的斜率：k、=k”則

【答案】D

【解析】當(dāng)/=30°,%=120°時(shí)，滿足?＜%，但是兩直線的斜率占)占，選項(xiàng)A說

法錯(cuò)誤；

當(dāng)%=%=90°時(shí)，直線的斜率不存在，無法滿足占=的，選項(xiàng)B說法錯(cuò)誤；

若直線的斜率勺=一1,左2=1，滿足占＜內(nèi)，但是%=135°,%=45°,不滿足/＜。2,

選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；

若兩直線的斜率占=左2,結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可知四=。2,選項(xiàng)D說法正確.

本題選擇D選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等

知識(shí),意在考查學(xué)牛的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

典例2若直線/經(jīng)過彳(2,1),8(1,〃/)兩點(diǎn)(mwR),那么/的，頃斜角的取值范圍是

A.[0,71)B.冗)

c.[0,了ID.[“5)u(5,兀)

【答案】B

【解析】由直線/經(jīng)過4(2,1),8(1,m2)兩點(diǎn)，可利用斜率公式得上=3匕=1一加2工1.

2-1

由后=tana?1,則傾斜角的取值范圍是[03JT]UTT兀).故選B.

42

變式拓展

1.已知點(diǎn)4(2,-3),5(-3,-2),直線/的方程為玄->一%+1=0,且與線段48相交,

則直線/的斜率％的取值范圍為

A.k>—^ik<-4B.或kW-L

444

33

C.-AWk￡—D.一

44

考向二直線的方程

求直線方程的常用方法有

1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程.

2.待定系數(shù)法：先根據(jù).已知條件設(shè)出直線方程,再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)

求系數(shù)，最后代入求出直線方程.

3.直線在軸上的截距是直線與小，)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可

負(fù)，也可為0,而不是距離.

4.求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式出汁母+。=0,且42

0.

典例引領(lǐng)

7

典例3已知林(3,5),/。,2),8(3,1),則過點(diǎn)M和線段N5的中點(diǎn)的直線方程為

A.4x+2y=5B.4x-2y=5

C.x+2y=5D.x-2y=5

【答案】B

【解析】由題意可知線段46的中點(diǎn)坐標(biāo)為(等，等)，HP(2,1).

7

y—x_3

故所求直線方程為丁V=整理，得4x-2y-5=0.

2~2

故選B.

典例4△45C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為力(-3,0),8(2,1),C(-2,3),求：

(1)邊所在直線的方程；

(2)邊上中線力。所在直線的方程；

(3)8c邊的垂直平分線OE的方程.

【解析】(1)因?yàn)橹本€8。經(jīng)過8(2,1)和。(一2,3)兩點(diǎn)，

所以由兩點(diǎn)式得6C的方程為^—=——即x+2y-4=0.

3-1-2-2

2—2]+3

(2)設(shè)8C邊的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),則x=—=0,歹=—^―=2.

8c邊的中線/。過點(diǎn)4一3,0),0(0,2)兩點(diǎn),

由截距式得AD所在直線的方程為二+==1,即2x—3y+6=0.

-32

(3)由(1)知，直線8c的斜率占=一！，則8c的垂直平分線OE的斜率公=2.

2

由(2)知，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2).

由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y-2=2(x-0)r即2%一>+2=0.

【思路分析】

變式拓展

2.過點(diǎn)4(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線的方程為

A.y-x=1B.y+x=3

C.y=2%或％+y=3D.y=2x或y-%=1

3.一條直線經(jīng)過點(diǎn)4(2,-G),并且它的傾斜角等于直線x-島=0的傾斜角的2倍，

則這條直線的方程是

A.2氐-3?-7百=0B.&->-36=0

C.x-y-y/3=0D.x-6y-36=0

考向三共線問題

已知三點(diǎn)48,C,若直線48,4。的斜率相同，則4,8,C三點(diǎn)共線.因此三點(diǎn)共線問題可以

轉(zhuǎn)化為斜率相等問題，用于求證三點(diǎn)共線或由三點(diǎn)共線求參數(shù).

典例引領(lǐng)

典例5若三點(diǎn)4(2,3),8(3,2),C(g,⑼共線，則實(shí)數(shù)*.

【思路分析】由三點(diǎn)共線構(gòu)造兩條直線的斜率相等，問題便轉(zhuǎn)化為解方程幻8=的。

2-3m-3

【解析】由題意得左"=下==一】,心。=~j----.

3-21-2

2

???4B,C三點(diǎn)共線，???kAB=kAC,

，g2=一],解得加=2.

1-22

2

變式拓展

/0\

4.己知三個(gè)不同的點(diǎn)0(0,0),.4sin<9,sin-,8(8,5)在同一條直線上，則cos。的值

<2)

是.

、.亨點(diǎn)沖關(guān)充

1.已知M(mb),N(a,c)(其c),則直線MN的傾斜角是

A.不存在B.45°

C.135°D.90°

2.如果直線/過點(diǎn)(1,2),且不通過第四象限，那么/的斜率的取值疝圍是

A.[0,1]B.[0,2]

c.[0,1]D.(0,3]

3.已知直線I經(jīng)過點(diǎn)P(-2,5),且斜率為-右則直線[的方程為

A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0

C.4x4-3y-14=0D.4x-3y+14=0

4.直線/［：y=x+l中，若乙，4關(guān)于X軸對(duì)稱，則4的傾斜角為

71兀

A.B.

44

3K57r

C.D.

TT

5.y=ax+b(a+b=O,〃bwO)的圖象可能是下列圖中的

6.若過點(diǎn)尸(1—a1+a)和。(3,20的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(-2,1)B.(-1,2)

C.(―co,0)D.(—oo,—2)U(1,+oo)

7.與直線y=-2x+3平行，且與直線y=3x+4交于x軸上的同一點(diǎn)的直線方程是

A.y=-2x+4B.y=-x+4

2

818

C.y=-2x—D.y=-x——

323

8.若過不重合的/(加2+2,〃?2—3),8(3—加—〃/,2〃?)兩點(diǎn)的直線/的傾斜角為45。，則加

的取值為

A.m=-\B.m=-2

C.加二-1或2D.m二1或一2

9.過點(diǎn)P(l,3),且與x,y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線/的一般式方程是

A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0

C.3r=0D.x-3y+8=0

10.如圖，已知直線/i：產(chǎn)-2r+4與直線，2：y=kx+b(后0)在第一象限交于點(diǎn)M.若直線

6與X軸的交點(diǎn)為力(-2,0),則上的取值范圍是

A.-2<k<2B.-2Vk<0

C.0<it<4D.0<k<2

11.直線/過點(diǎn)P。,。)，且與以4(2,1),8(0,6)為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線/斜

率的取值范圍是

A.[-A/3,1]B.(一8,—G]U[l,+8)

C.(f,-司D.口收)

n37r

12.設(shè)直線/的傾斜角為a,且二則直線/的斜率左的取值范圍是.

13.已知三點(diǎn)4(2,2),8(5,1),C(—4,2a)在同一條直線上，則。=.

14.如圖，已知直線八的傾斜角是150。，/2JJ1，且垂足為氏若八，，2與x軸分別相交于點(diǎn)C,

4A平分

NBAC,則〃的傾斜角為.

15.已知直線/的斜率是直線2x-3y+12=0的斜率的g,/在y軸上的截距是直線2x-3y

+12=0在y軸上的截距的2倍，則直線I的方程為.

16.在平面直角坐標(biāo)系X。中,經(jīng)過點(diǎn)P(l,l)的直線/與X軸交于點(diǎn)N，與N軸交于點(diǎn)8.若

PA=-2PB，則直線/的方程是.

17.已知點(diǎn)M(x,y)在函數(shù)y=-2x+8的圖象上，當(dāng)xw[2,5]時(shí)，求上里的取值范圍.

x+1

18.已知直線/：5ar—5y—a+3=0.

(1)求證：不論a為何值，直線/總經(jīng)過第一象限；

(2)為使直線/經(jīng)過第一、三、四象限，求a的取值范圍.

19.求滿足下列條件的直線的方程:

(1)設(shè)直線m的方程為(a+l)x+y+2-。=0(〃￡R).若直線m在兩坐標(biāo)軸上的截

距相等，求直線機(jī)的方程；

(2)過直線/：y=工上的點(diǎn)產(chǎn)(2,2)作直線加，若直線/,〃與x軸圍成的三角形的

面積為2,則直線加的方程.

20.已知△48c的三個(gè)頂點(diǎn)分別為是4(4,0),5(0,-2),C(-2,l).

(1)求彳8邊上的高CQ所在的直線方程；

(2)求過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

21.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(2,2)且分別與x鈾正半軸，y軸正半鈾交于4、2兩點(diǎn)，O為坐

標(biāo)原點(diǎn).

(1)求△40B面積的最小值及此時(shí)直線/的方程；

(2)求|以卜|尸的最小值及此時(shí)直線/的方程.

殳參考答案,

變式拓展

1.【答案】A

【解析】???直線/的方程后一？—〃+1=0可化為％(工-1)-3-1)=0,???直線/過定點(diǎn)

P(l,l),如圖所示，又直線尸乂的斜率左4=三二二-4,直線PB的斜率

2-1

-2-133

kpB=--=：，???當(dāng)直線/與線段45相交時(shí)，直線I的斜率k的取值范圍是力N二或

-3-144

女工-4.故選A.

2.【答案】D

【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為g=2,

1-U

故直線方程為y=2%,即2x-y=0；

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為：+；=1,

a-a

代入點(diǎn)(1,2)可得:;=1,解得。=一1,

則直線方程為x-y+1=0,

故所求直線方程為：、=2%或)/=%+1.

故選D.

3.【答案】B

【解析】已知直線x-島=0的斜率為理，則傾斜角為30°,

故所求直線的傾斜角為60。，斜率為G，

由直線的點(diǎn)斜式得所求直線方程為y-(-V3)=-2),

即任_尸36=0.

故選B.

7

4.【答案】—

25

【解析】因?yàn)槿齻€(gè)不同的點(diǎn)0(0,0),/'inO,sing，B(8,5)在同一條直線上，

0

sin—c°

4

所以k°A=ko8n----=-,解得cos—

sin。825

所以cos。=2x—-1=—,

2525

7

故答案為

25

考點(diǎn)沖關(guān)

1.【答案】D

【解析】???MN_Lx軸，，直線朋N的傾斜角為90。.

2.【答案】B

【解析】過點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率時(shí)，圖象不過第

四象限，故/的斜率的取值范國(guó)是［0,2］.

3.【答案】A

［解析】直線I經(jīng)過點(diǎn)P(-2,5),且斜率為一%則y-5=-*(%+2),即3%+4y-14=0.

故選A.

4.【答案】C

【解析】/,，，2關(guān)于入軸對(duì)稱，設(shè)4,，2的斜率分別為勺和左2,

則有占+&=。，

又由4=1,得％2=-1，

3兀

則4的傾斜角為二-.

4

故選C.

5.【答案】D

【解析】因?yàn)?。?,所以排除選項(xiàng)C；

又a+b=0,所以斜率與截距互為相反數(shù)，顯然D選項(xiàng)符合，

故選D.

6.【答案】A

【解析】???過點(diǎn)。(1一見1+。)和。(3,24)的直線的傾斜角為鈍角,

???直線的斜率小于o,即

3-1+a

+<0,—2<a<1.

故選A.

7.【答案】C

【解析】直線歹=一2犬+3的斜率為一2,則所求直線的斜率上=一2,

直線y=3x+4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,0,

???所求直線的方程為：y=-2（x+g）,即y=-2x-g.

故選C.

8.【答案】B

22

【解析】過A（m+2fW-3）,8（3—〃?—加2,2加）兩點(diǎn)的直線/的斜率

,m2-3-2m

K=—；------------7，

"r+2—3++m~

???直線/的傾斜角為45。,.4=J7—"，,

W+2-3+W+77?

解得m=-1或m=-2,

當(dāng)zw=-1時(shí)，A,B重合，舍去，，加=一2.

故選B.

9.【答案】A

11Q

【解析】設(shè)所求直線/的方程為日+與=1（。>0,b>0）,則有一"=6,且一+—=1.

ah2ab

ab=\2r

Q—2.xv

由〈13=>t??直線/的方程為二+4=1,即為3x+y6=0.

—+—=1o=626

b

10.【答案】D

【解析】因?yàn)橹本€/2與X軸的交點(diǎn)為力（一2,0）,所以6=2左，即/2：y=4（x+2）,

將其與4：y=-2x+4聯(lián)立可得工=要，/=黑，

k+2k+2

口>0

%+2

由題設(shè)《解得0<左<2,

生>0

k+2

故選D.

【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中提供的圖象及函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求出

交點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)的位置建立不等式組，通過解不等式組使得問題獲解.

11.【答案】B

【解析】如圖所示：

當(dāng)直線/過3時(shí)，設(shè)直線/的斜率為4，則匕=避二9=一6，

0-1

1-0

當(dāng)直線/過4時(shí)，設(shè)直線/的斜率為質(zhì)，則七=5二萬二1，

???要使直線/與線段48有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是(-8,-G]U[1,+8)，

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了求直線的斜率問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于簡(jiǎn)單題.數(shù)形結(jié)合

是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要

思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.結(jié)合函數(shù)的圖象，求出線段端點(diǎn)與點(diǎn)P0,O)連線

的斜率，從而求出斜率的范圍即可.

12.【答案】(一叫一章UUE

【解析】???直線/的傾斜角為。，且巴WaV”，???直線/的斜率上的取值范圍是

46

tan巴4〃或〃<tan2,工人之1或左<一也，

463

???直線/的斜率左的取值范圍是（-

13.【答案】2

【解析】三點(diǎn)42,2）,3（5,1）,C（-4,2〃）在同一條直線上,

2-12a-2

nI,解得。=2.

2-5-4-2

故答案為2.

14.【答案】30。

【解析】因?yàn)橹本€人的傾斜角為150。，所以N8C4=30。，所以/3的傾斜角為

1

-X（90°-30°）=30°.

15.【答案】x-3y+24=0

22

【解析】將直線2%一3》+12=0化為斜截式：y=-x+4,斜率為所以直線/的斜

率為"

3

令直線2x-3y+12=0中工=0,得y軸上的截距為4,所以直線/的縱截距為8,

根據(jù)斜截式可得直線/的方程為歹=；x+8,化簡(jiǎn)得：x-3y+24=0.

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線的各種方程間的互化以及直線中的系數(shù)求法，求斜率就要化

簡(jiǎn)為斜截式，求截距就令x=0或歹=0,要熟練掌握直線方程的不同形式所對(duì)應(yīng)的不同

已知條件，注意各種形式下的限制條件.

16.【答案】x+2y-3=0

【解析】設(shè)4（。,0）,8（0力），

由蘇=—2而，可得1=一2（。-1）,。-1=一2（。-1）,

3

則。=3,6=一，

2

由截距式可得直線方程為/q+^=l,即x+2y—3=0,

2

故答案為x+2y—3=0.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量相等的性質(zhì)以及直線的方程，直線方程主要有五種形式,

每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種

形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜率是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式

要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行：求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.

*?【解析】詈:號(hào)的兀何意義是過山"SIT)兩點(diǎn)的直線的斜率,

點(diǎn)M在線段y=-2x+8,xe[2,5]上運(yùn)動(dòng),

易知當(dāng)x=2時(shí)，y=4,此時(shí)/(2,4)與兩點(diǎn)連線的斜率最大，為

當(dāng)x=5時(shí)，y=-2f此時(shí)用(5,-2)與N(7,7)兩點(diǎn)連線的斜率最小，為

6

."+1<5

6x+13

即的取值范圍為-

x+163

3(1

18.【解析】(1)將直線/的方程整理為夕一一=〃X--

5I5

所以/的斜率為。，且過定點(diǎn)力

(13)

而點(diǎn)在第一象限，

故不論。為何值，直線/恒過第一象限.

(2)將方程化為斜截式方程：y=ax-^--

a>0

要使/經(jīng)過第一、三、四象限，則，4—3八，解得心3.

------<0

5

【名師點(diǎn)睛】有關(guān)直線過定點(diǎn)的求法：當(dāng)直線方程含有參數(shù)時(shí)，把含參數(shù)的項(xiàng)放在一起,

不含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，分別令其為零，可求出直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)；直線,經(jīng)過第一、

三、四象限，只需斜率為正，截距為負(fù)，列出不等式組解出。的范圍.

19.【解析】(1)當(dāng)直線加過原點(diǎn)時(shí)，該直線在X軸和y軸上的截距為0,???。=2,

則直線加的方程為3x+y=0.

X

當(dāng)直線機(jī)不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0,直線機(jī)的方程為^2+

a+1

a-2

=a-2a=0

Q+l

則直線機(jī)的方程為x+y+2=0.

綜上，直線機(jī)的方程為3x+y=0或x+y+2=0.

(2)①若直線機(jī)的斜率不存在，則直線機(jī)的方程為x=2,

直線〃7,直線/和x軸圍成的三角形的面積為2,符合題意；

②若直線機(jī)的斜率女=0,則直線相與x軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；

③若直線機(jī)的斜率左工0,設(shè)其方程為y-2=%(x-2),

2

令y=0,得4=2_彳，

K

121

依題意有7>2-7><2=2,解得人=一，

2k2

所以直線機(jī)的方程為歹一2二：(x—2),即x-2y+2=0.

2

綜上可知，直線機(jī)的方程為1-2>+2=0或x=2.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種膨式，每種形式的直線方

程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)

要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否

與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.

20.【解析】(1)依題意得，3歸_2)=j.,

AB4-02

因?yàn)?8CO,

所以直線8的斜率為kcD=~=-2,

kAB

可得直線。。的方程為歹一1二-2(工+2),

即直線C。的方程為2x+y+3=0.

(2)①當(dāng)兩截距均為0時(shí)，設(shè)直線方程為》=依，

因?yàn)橹本€過點(diǎn)c(—2,1),解得％=

即所求直線方程為_y=-gx,

②當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線方程為x+V=。，

因?yàn)橹本€過點(diǎn)C(-2,1),解得。二一1,

即所求宜線方程為工+?=-1,

綜上所述，所求直線方程為x+2y=0或x+y+l=O.

o,

21?【解析】設(shè)直線/二+4=1,則直線/:一+工=1=>(〃-2)(6-2)=4.

abab

⑴S△次=；abN；x(~j^y)2=8,

—-I-

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)，等號(hào)成立，

即/:x+y-4=0.

(2)\PA\-\PB\=J(52)2+4)(p_2j+4)=,32+4—2,+0—2j]

2j32+8(a—2乂6—2)=8,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)等號(hào)成立，即/:x+y-4=0.

考點(diǎn)33直線的位置關(guān)系

(1)能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

(2)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

(3)掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

知識(shí)整合,

一、兩條直線的位置關(guān)系

仝、I.TJ：y=k]X+b]-般式J：/"%+G=°

斜截式―

l2.y=k2x+b2l2:A2x+B2y+C2=0

《與，2相交A[B、-44H0

乙與，2垂直k}k2=—1A}AT+BB2=0

A[B、—A/=04與—AyB=0

4與4平行k、=k且b、手b1

221

BxCy—B,C產(chǎn)0A1G—4GH0

4與4重合k、—k]且4=b]AB2—A?B]=4c2-4cl=BQ?-B?C\=0

注意：（1）當(dāng)兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率不存在時(shí)的情況；（2）當(dāng)兩條直線

垂直時(shí)，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.

二、兩條直線的交點(diǎn)

對(duì)于直線八：4述+8沙+。|=0,，2：力2x+8少+。2=0,

窿露葭的蟀

4與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組

（1）方程組有唯一解與（相交，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;

（2）方程組無解=/,#/2；

（3）方程組有無數(shù)解=《與4重合.

三、距離問題

（1）平面上任意兩點(diǎn)R（X1，對(duì)，外（工2,次）間的距離|PIP2|=5（工2一二）2+（8一歹1）2.

(2)點(diǎn)Po(xo,*)到直線/：4+以+C=0的距離d=。I

yjA2+B2

(3)兩條平行線Jx+By+C）=O與4x+5>+C2=0（GrG）間的距離d=IG-QI

y/A2+B2

四、對(duì)稱問題

（1）中心對(duì)稱：點(diǎn)6（x,y）為點(diǎn)4（演,必）與。（々，外）的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式為

再

X=+%2

2

尸尸，_1_直線【

（2）軸對(duì)稱：若點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為尸、則〈

尸與產(chǎn)的中點(diǎn)在/上

立重點(diǎn)考向,

考向一兩直線平行與垂直的判斷及應(yīng)用

由兩直線平行或垂直求參數(shù)的值：在解這類問題時(shí)，一定要“前思后想”.“前思”就是在

解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗(yàn)答案

的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解.

典例引領(lǐng)

典例1已知直線4經(jīng)過2（-3,4）,3（-8,-1）兩點(diǎn)，直線/2的傾斜角為135°，那么4與4

A.垂直B.平行

C.重合D.相交但不垂直

【答案】A

【解析】???直線人經(jīng)過力（一3,4）,8（—8,—1）兩點(diǎn)，

4+1

直線4的斜率：勺=-----=1,

—3+8

-/直線4的傾斜角為135°，;直線4的斜率左2二tan135°=—1,

k^k2=-1,/j±/2.

故選A.

典例2若直線x+3y+l=0與直線2x+（“+l）y+l=0互相平行，則。的值為

4

A.4B.

3

5

C.5D.

3

【答案】C

【解析】直線工+3歹+1=0的斜率為-1，在縱軸上的截距為一」,

33

因此若直線x+3y+l=0與直線2x+(a+l)y+l=0互相平行，則一定有直線

2x+(a+l)y+l=0的斜率為一g,在縱軸上的截距不等于一;,

-211

于是有---；=-不且*一一解得。=5,

。+134+13

故選C.

【名帥點(diǎn)睛】本題主要考杳兩直線平行的充要條件，意在考杳對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度,

屬于簡(jiǎn)單題.直接根據(jù)兩直線平行的充要條件，列出關(guān)于〃?的方程求解即可.

變式拓展

1.“。二1”是“直線(2。+1)工+即+1=0和直線。工一3丁+3=0垂直”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.己知直線/1:2%+歹一1=0,/2:x4-ay+a=0.

(1)若【』2,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)當(dāng)4_L，2時(shí)，求過直線4與4的交點(diǎn)，且與原點(diǎn)的距離為1的直線/的方程.

考向二兩直線的相交問題

1.兩直線交點(diǎn)的求法

求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為點(diǎn)的坐標(biāo)，即交

點(diǎn)的坐標(biāo).

2.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線

方程.也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過程.

典例引領(lǐng)

典例3已知直線/經(jīng)過直線2x-y-3=O和4x-3y-5=0的交點(diǎn)P,且垂直于直線2x+3y+5=0,

求直線/的方程.

【解析】方法一：由一廠解得匕：:即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1),

4x-3y-5=0-1

3

因?yàn)橹本€/與直線2x+3y+5=O垂直，所以直線/的斜率為-,

由點(diǎn)斜式得直線/的方程為3x-2y-4=0.

2x-y-3=0(x=2

方法二：由匕:，八,解得卮",即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1),

4x-3y-5=0ty-1

因?yàn)橹本€/與直線2x+3y+5=O垂直，所以可設(shè)直線/的方程為3x?2y+c=O,把點(diǎn)尸的坐標(biāo)代

入得3x2?2xl+c=0,解得c=-4.

故直線/的方程為3x?2y-4=0.

方法三：直線I的方程可設(shè)為2x-j-3+44x-3y-5尸0(其中;?為常數(shù))，即(2+42)x-(l+3x>5z-3=0,

因?yàn)橹本€/與直線2x+3y+5=0垂直，所以互與(2)=」解得2=1.

故直線/的方程為3x-2y-4=0.

變式拓展

3.當(dāng)人為何值時(shí)，直線y=x+3k—2與直線y=-卜1的交點(diǎn)在第一象限？

4

考向三距離問題

1.求兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形

狀等.

2.解決點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題，應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求

直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在.

3.求兩條平行線間的距離，要先將直線方程中x,y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利

用距離公式求解.也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題.

典例引領(lǐng)

典例4(1)若點(diǎn)4(2,3),B(—4,5)到直線/的距離相等，且直線/過點(diǎn)尸(一1,2),則直

線/的方程為：

(2)若直線〃[被兩直線八：x—>+1=0與，2：x—y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為20，則

直線m的傾斜角伏。為銳角)為.

【答案】(l)x+3y—5=0或Y=一1；(2)15?；?5。

【解析】(1)方法一：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/：%=—1,點(diǎn)、4,B到直線/的距離

相等，符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為歹一2=的+1),即b-y+%+2=0.

,|2"—3+左+2||—4左一5+左+2|1

由題意知/=/,,即|3左一1|=|-3左一3],解得￡=—.

\Jk~+\+13

；?直線/的方程為y—2=(x+1),即x+3y—5=0.

綜上，直線/的方程為工+3歹一5=0或4=-1.

方法二：當(dāng)時(shí)，有右=匕8=-;，直線/的方程為y—2=-；(x+l),即x+3y—5=0.

當(dāng)/過48的中點(diǎn)時(shí)，由48的中點(diǎn)為(一1,4),得直線/的方程為了=一1.

綜上，直線/的方程為x+3y-5=0或x=-1.

(2)顯然直線八〃/2,直線八，，2之間的距離4=艮/=近，

設(shè)直線機(jī)與八，/2分別相交于點(diǎn)6,A,則|陰=2/，

過點(diǎn)力作直線/垂直于直線/“垂足為C,則3。=用垃，

在Rt△48c中，sinZABC=,所以N/8C=30。，

\AB\2V22

又直線人的傾斜角為45。，所以直線m的傾斜角為45。-30。=15。或45。+30。=75。，

故直線m的傾斜角。=15?；?5°.

變式拓展

4.若直線4：x+〃y+6=O與，2：(Q—2)x+3y+2a=0平行，則兩直線間的距離為

A.百B.2石

「8板n8>/3

33

5.己知點(diǎn)4(0,1),點(diǎn)8在直線x+〉+l=O上運(yùn)動(dòng).當(dāng)I48|最小時(shí)，點(diǎn)5的坐標(biāo)是

A.(-1,1)B.(-1,0)

C.(0,-1)D.(-2,1)

考向四對(duì)稱問題

解決對(duì)稱問題要抓住以下兩點(diǎn)；

(1)已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；

(2)以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

典例引領(lǐng)

典例5已知直線/:3x-y+3=0,求：

(1)點(diǎn)尸(4,5)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)直線叼，-2=0關(guān)于直線/對(duì)稱的直線方程.

【解析】設(shè)尸(X”)關(guān)于直線/:3x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為尸(xf).

***kpp-k尸一1,

??■,3—1,(jj

x-x

又PP的中點(diǎn)在直線3x-y+3=Q上,

.x+x―包②

A3---------

2

/J-③

5

聯(lián)立①@,解得

j3x+4)，+3④

y

5

(1)把x=4產(chǎn)5代