浙江專用備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)02命題及其關(guān)系充分條件與必要條件含解析

PAGEPAGE1考點(diǎn)02命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．了解原命題和原命題的逆命題、否命題、逆否命題的含義及其相互之間的關(guān)系.

2．理解命題的必要條件、充分條件、充要條件的意義，能推斷并證明命題成立的充分條件、必要條件、充要條件.一、命題及其關(guān)系1．命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫真命題，推斷為假的語句叫假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若，則逆否命題若，則(2)四種命題間的關(guān)系(3)常見的否定詞語正面詞語=>(<)是都是隨意(全部)的任兩個(gè)至多有1(n)個(gè)至少有1個(gè)否定詞()不是不都是某個(gè)某兩個(gè)至少有2(n+1)個(gè)1個(gè)也沒有3．四種命題的真假關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．【提示】當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，必需保留大前提，也就是大前提不動(dòng)．二、充分條件與必要條件1．充分條件與必要條件的概念(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若p?q且qp，則p是q的充分不必要條件；(3)若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件；(4)若p?q，則p是q的充要條件；(5)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.2．必記結(jié)論(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化法推斷充分條件、必要條件①p是q的充分不必要條件是的充分不必要條件；②p是q的必要不充分條件是的必要不充分條件；③p是q的充要條件是的充要條件；④p是q的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.(2)集合推斷法推斷充分條件、必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，則①若，則p是q的充分條件；②若，則p是q的必要條件；③若，則p是q的充分不必要條件；④若，則p是q的必要不充分條件；⑤若，則p是q的充要條件；⑥若且，則p是q的既不充分也不必要條件.考向一四種命題的關(guān)系及其真假的推斷四種命題的關(guān)系及其真假的推斷是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般不大，往往會(huì)結(jié)合其他學(xué)問點(diǎn)(如函數(shù)、不等式、三角、向量、立體幾何等)進(jìn)行綜合考查.常見的解法如下：1．推斷四種命題間關(guān)系的方法①由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題．②原命題和逆否命題、逆命題和否命題有相同的真假性，解題時(shí)留意敏捷應(yīng)用.2．命題真假的推斷方法①給出一個(gè)命題，要推斷它是真命題，需經(jīng)過嚴(yán)格的推理證明；而要說明它是假命題，則只需舉一反例即可．②由于原命題與其逆否命題為等價(jià)命題，有時(shí)可以利用這種等價(jià)性間接地證明命題的真假.典例1已知命題：“若a＜b，則ac2＜bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】原命題：“若，則”，當(dāng)時(shí)不成立，所以為假命題；則它的逆否命題也為假命題；其逆命題為“若，則”，為真；所以其否命題也為真命題；故命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是2.故選C.1．設(shè)a、，原命題“若，則”，則關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題的結(jié)論正確的是A．逆命題與否命題均為真命題B．逆命題為假命題，否命題為真命題C．逆命題為假命題，逆否命題為真命題D．否命題為假命題，逆否命題為真命題典例2命題“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A．若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B．若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C．若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D．若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)【答案】A【解析】命題“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是“若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)”.故選A.2．命題“若，則”的逆否命題是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則考向二充分、必要條件的推斷充分條件與必要條件的推斷是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題形式出現(xiàn)，作為載體，考查學(xué)問面廣，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面對(duì)量、立體幾何、解析幾何等學(xué)問綜合考查.常見的解法如下：1．命題推斷法設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：(1)原命題為真，逆命題為假時(shí)，則p是q的充分不必要條件；(2)原命題為假，逆命題為真時(shí)，則p是q的必要不充分條件；(3)當(dāng)原命題與逆命題都為真時(shí)，則p是q的充要條件；(4)當(dāng)原命題與逆命題都為假時(shí)，則p是q的既不充分也不必要條件．2．集合推斷法（同必記結(jié)論）3．等價(jià)轉(zhuǎn)化法（同必記結(jié)論）典例3“”是“或”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若且，則，明顯成立.若不肯定推出且.所以是的充分不必要條件.依據(jù)原命題與其逆否命題真假相同可得“”是“或”的充分不必要條件.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查原命題與逆否命題真假相同，充分不必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時(shí)，可以探究且是的什么條件，利用原命題與其逆否命題真假相同進(jìn)行推斷.3．設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件典例4設(shè)x∈R，則使lgA．-1<x<9 B．x>-1C．x>1 D．1<x<9【答案】B【解析】求解對(duì)數(shù)不等式lgx+1<1可得0<x+1<10,∴-1<x<9，結(jié)合選項(xiàng)可得，使lg(x+1)<14．已知，下列四個(gè)條件中，使成立的充分不必要條件是A． B．C． D．考向三充分、必要條件的應(yīng)用充分、必要條件的應(yīng)用主要涉及依據(jù)充要條件求解參數(shù)的取值范圍，詳細(xì)解法如下：1．解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.2．求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，肯定要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)確定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)簡(jiǎn)潔出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.典例5設(shè)x∈R，若“l(fā)og2(x-1)<1”是“x>2A．-2,2 C．(-2,2) 【答案】D【解析】由log2(x-1)<1，可得0<x-1<2，解得若“l(fā)og2(x-1)<1”是“x>2m∴2m故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了必要條件問題，是中檔題．推斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤推斷命題p與命題q所表示的范圍，再依據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，推斷命題p與命題q的關(guān)系．5．設(shè)，q:x2-2m+1x+m2+m≤0A．-2,1 B．-3,1C．-2,0∪0,1 1．是直線和直線平行的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件2．已知命題“若，則”的逆命題是真命題，則m的取值范圍是A． B．C． D．3．設(shè)a,b是兩條不同的直線，α是平面，a?α,b?α,則“a//b”是“a//α”成立的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若條件，且是的充分不必要條件，則可以是A． B．C． D．5．已知直線，和平面，若，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知命題:“關(guān)于的方程有實(shí)根”,若非為真命題的充分不必要條件為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．7．下列命題中為真命題的是A．命題“若，則”的逆命題 B．命題“若，則”的否命題C．命題“若，則”的逆否命題 D．命題“若，則”的逆命題8．已知，，若是的一個(gè)必要不充分條件，則的取值范圍為A． B．C． D．9．能說明“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若，則直線與圓相切”為假命題的一組a，b的值依次為__________．10．命題：若，則；命題：若，則恒成立.若的逆命題、的逆否命題都是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．1．【2024年高考浙江】若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．【2024年高考浙江】已知平面α，直線m，n滿意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．【2024年高考浙江】已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4+S6>2S5”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．【2024年高考全國(guó)Ⅱ卷文、理數(shù)】設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面5．【2024年高考北京理數(shù)】設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．【2024年高考天津理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．【2024年高考天津文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．【2024年高考北京文數(shù)】設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．【2024年高考天津理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．【2024年高考北京理數(shù)】設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．【2024年高考天津文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．【2024年高考北京文數(shù)】設(shè)a,b,c,d是非零實(shí)數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13．【2024年高考北京理數(shù)】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件14．【2024年高考天津文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式拓展變式拓展1．【答案】A【解析】設(shè)a、，原命題“若，則”是假命題（取a=?1，b=1可進(jìn)行驗(yàn)證），原命題的逆否命題是假命題；原命題的逆命題：“若，則”是真命題，原命題的否命題是真命題．故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．解答本題時(shí)，推斷出原命題是假命題，從而原命題的逆否命題是假命題；再推斷原命題的逆命題是真命題，從而原命題的否命題是真命題．2．【答案】C【解析】命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故命題“若，則”的逆否命題是若，則，故選C．【方法點(diǎn)睛】將原命題的條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題．寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在推斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．3．【答案】C【解析】由“”，得，所以或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的推斷方法，考查指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．解答本題時(shí)，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義推斷即可．4．【答案】B【解析】B選項(xiàng)，是的充分不必要條件；A選項(xiàng)，是的必要不充分條件；C選項(xiàng)，是的既不充分也不必要條件；D選項(xiàng)，是的充要條件.故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是充分不必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．解答本題時(shí)，依據(jù)充分不必要條件的定義，逐一分析給定四個(gè)選項(xiàng)與a＞b的關(guān)系，可得答案．5．【答案】D【解析】p對(duì)應(yīng)的集合為x|-2≤x<0或0<x≤2，q對(duì)應(yīng)的集合為∵p是q的必要不充分條件，∴-2≤mm+1<0或0<mm+1≤2，解得-2≤m<-1或考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，滿意兩直線平行．當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，不滿意兩直線平行．當(dāng)a=2時(shí)，兩直線分別為2x-y-2=0和2y+1=0,不滿意兩直線平行.，a≠2，若兩直線平行，則，解得或.即是直線和直線平行”充分不必要條件，故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的推斷，考查直線平行的充要條件，是一道基礎(chǔ)題．2．【答案】D【解析】命題的逆命題為：若，則成立，則，解得，即，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查四種命題的關(guān)系，結(jié)合逆命題的定義求出命題的逆命題是解決本題的關(guān)鍵．解答本題時(shí)，求出命題的逆命題，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行求解即可．3．【答案】A【解析】∵a?α,b?α，∴當(dāng)a∥b時(shí)，肯定有a∥α，即充分性成立.反之，當(dāng)a∥α?xí)r，a，b可能平行，可能異面，即必要性不成立，故“a//b”是“a//α”成立的充分不必要條件，故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件的推斷，從定義來看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件；從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分而不必要條件，若是的真子集，則是的必要而不充分條件．4．【答案】B【解析】若是的充分不必要條件，則區(qū)間是q的真子集，本題選B.【名師點(diǎn)睛】有關(guān)探求充要條件的選擇題，破題關(guān)鍵是：首先，推斷是選項(xiàng)“推”題干，還是題干“推”選項(xiàng)；其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論．5．【答案】B【解析】由線面垂直的判定定理得：若，，則“”不能推出“”，由“”，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得“”，即“”是“”的必要不充分條件，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件的判定，以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，其中解答中熟記線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，合理利用充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．6．【答案】A【解析】由命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，得，則，所以非為真命題時(shí)，.又是的充分不必要條件，所以，即，則m的取值范圍為.所以選A.7．【答案】D【解析】命題“若，則”的逆命題為“若，則”，由于，所以為假命題；命題“若，則”的否命題為“若，則”，由于，所以為假命題；命題“若，則”的逆否命題與原命題同真假，因?yàn)?，所以為假命題；命題“若，則”的逆命題為“若，則”，因?yàn)椋詾檎婷}.選D．8．【答案】B【解析】，即，，，即，是的一個(gè)必要不充分條件，可得，即的范圍比的范圍小，故，即.故選B項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題考查邏輯聯(lián)結(jié)詞，必要不充分條件，屬于簡(jiǎn)潔題.解答本題時(shí)，依據(jù)是的一個(gè)必要不充分條件，可得，然后得到的取值范圍.9．【答案】1,1（答案不唯一）【解析】設(shè)，為實(shí)數(shù)，若，則直線與圓相切，若為真命題，可得，即為，若為假命題，只要，要說明“設(shè)，為實(shí)數(shù)，若，則直線與圓相切”為假命題的一組，的值依次可為1，1（答案不唯一）．故答案為：1，1（答案不唯一）．【名師點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判定條件，解題的關(guān)鍵是先求出命題為真命題時(shí)等價(jià)的條件，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時(shí)，依據(jù)條件求出命題為真命題時(shí)等價(jià)的，的關(guān)系式，由關(guān)系式可得到命題為假命題時(shí)，的一組取值.10．【答案】【解析】命題的逆命題：若，則，該命題是真命題，則．命題的逆否命題為真命題，故原命題為真命題，則，.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.直通高考直通高考1．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿意，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：一是基本不等式駕馭不嫻熟，導(dǎo)致推斷失誤；二是不能敏捷地應(yīng)用“賦值法”，通過取的特別值，從假設(shè)狀況下推出合理結(jié)果或沖突結(jié)果.2．【答案】A【解析】因?yàn)閙?α,n?α,m//n，所以依據(jù)線面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m與α內(nèi)任始終線平行，所以m//n是m//α的充分不必要條件.故選A.【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種推斷方法：（1）定義法：干脆推斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并留意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．（2）等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．（3）集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．3．【答案】C【解析】由，可知當(dāng)時(shí)，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要條件.故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過套入公式與簡(jiǎn)潔運(yùn)算，可知，結(jié)合充分必要性的推斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故互為充要條件．4．【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)有兩條相交直線都與平行是的充分條件；由面面平行的性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)隨意一條直線都與平行，所以內(nèi)有兩條相交直線都與平行是的必要條件.故α∥β的充要條件是α內(nèi)有兩條相交直線與β平行.故選B．【名師點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行的判定定理，最簡(jiǎn)潔犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷.5．【答案】C【解析】∵A?B?C三點(diǎn)不共線，∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2·>0與的夾角為銳角，故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與推斷?平面對(duì)量的模?夾角與數(shù)量積，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.6．【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題的關(guān)鍵是由所給的不等式得到的取值范圍.7．【答案】B【解析】由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題的關(guān)鍵是由所給的不等式得到的取值范圍.8．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，由，得，則對(duì)隨意的恒成立，從而.故“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題較易，留意重要學(xué)問、基礎(chǔ)學(xué)問、邏輯推理實(shí)力的考查.9．【答案】A【解析】肯定值不等式x-1由x3據(jù)此可知x-12<故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查肯定值不等式的解法、充分不必要條件的推斷等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.10．【答案】C【解析】，因?yàn)閍，b均為單位向量，所以，即“”是“a⊥b”的充分必要條件.故選C.【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種推斷方法：1．定義法：干脆推斷