【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)08 正、余弦定理解三角形的重要模型和綜合應(yīng)用（新高考專用）（原卷版）

重難點(diǎn)08正、余弦定理解三角形的重要模型和綜合應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形中的邊、角計(jì)算】 3【題型2解三角形中的中線模型】 4【題型3解三角形中的倍角模型】 6【題型4解三角中的角平分線模型】 7【題型5解三角形中的等分點(diǎn)模型】 8【題型6三角形、四邊形的面積最值或范圍問題】 9【題型7三角形中的邊長或周長的最值或范圍問題】 11【題型8解三角形與三角函數(shù)綜合】 12解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；綜合考查以解答題為主，中等難度.對(duì)于解答題，主要考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查.【知識(shí)點(diǎn)1解三角形中的重要模型】1.中線模型(1)中線長定理：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的中線，則.(2)向量法：.2.倍角模型，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：；推論2：.3.角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，則斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積-下積．4.等分點(diǎn)模型如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接.易知∥，且，，．【知識(shí)點(diǎn)2正、余弦定理解三角形的方法技巧】1.正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是將三角形中已知條件的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．2.對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.3.與三角形面積有關(guān)問題的求解思路：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.4.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運(yùn)用．解題時(shí)要結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值（范圍）．(2)“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時(shí)，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡，再結(jié)合三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)求其最值．【題型1三角形中的邊、角計(jì)算】【例1】（2023·四川綿陽·四川?？家荒＃┯洝鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin(A+B)=csinB+C(1)求A；(2)已知c=3，b=1，邊BC上有一點(diǎn)D滿足S△【變式1-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC=33BC(1)求sin∠(2)若△ABC面積為3，求CD【變式1-2】（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b(1)求角C；(2)若c=25，D為邊BC的中點(diǎn)，△ADC的面積S=1且B【變式1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知平面四邊形ABCD，AB=6，AC=219，BC<AB(1)求∠ABC(2)若S△ABC=3S△【題型2解三角形中的中線模型】【例2】（2023下·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=2b(1)求sinC(2)若△ABC的面積為67，求AB邊上的中線CD【變式2-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)求角A的值；(2)若a=2，求BC邊上的中線AD【變式2-2】（2023下·浙江湖州·高一湖州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC邊上的兩條中線AM(1)求BP的長度；(2)求∠MPN【變式2-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A,B,C(1)求角A的大??；(2)若邊a=2，邊BC的中點(diǎn)為D，求中線AD【題型3解三角形中的倍角模型】【例3】（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？计谥校┰阡J角△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量m=a+c,(1)求證：C(2)求ba+【變式3-1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足b2(1)證明：B=2(2)求1tan【變式3-2】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C(1)判斷A與B的等量關(guān)系，并證明．(2)若b=1，求△【變式3-3】（2023·云南昆明·校聯(lián)考一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，c(1)證明：B=2(2)求a+b【題型4解三角中的角平分線模型】【例4】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長依次是a，b，c，b=23，(1)求角B的大??；(2)當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長．【變式4-1】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)

(1)求∠ABE及BD(2)若∠BCD=60°，求【變式4-2】（2023下·江西·高一校聯(lián)考期末）記△ABC的內(nèi)角A,B,∠ACB(1)若cosB=3(2)已知D為AB上一點(diǎn)，從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求線段CD長度的最大值.①CD為∠ACB的平分線；②CD為邊AB上的中線注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【變式4-3】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cos(1)求A；(2)若D為邊BC上的一點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，且AD=3，求【題型5解三角形中的等分點(diǎn)模型】【例5】（2023上·安徽蕪湖·高三?？茧A段練習(xí)）已知△ABC中，點(diǎn)D為線段AC上靠近A的四等分點(diǎn)，其中cos∠BDC（1）求A的值；（2）若BD=37，求△【變式5-1】（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)f(x)=23cosx-π2cosx+2sin2x，在△(1)求角A；(2)若b=3，c=2，點(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求AD的長度．【變式5-2】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(1)判斷△ABC(2)已知D為BC上一點(diǎn)，則當(dāng)A=2π3，a=33，【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，∠BAC=(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為△ABC的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，求AF【題型6三角形、四邊形的面積最值或范圍問題】【例6】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）在平面四邊形ABCD中，已知∠BAD=3∠BCD，AB=2，(1)若∠BDC=5(2)求△BCD面積的最大值【變式6-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB=2，AD=2(1)若∠BDC=π3，求(2)求四邊形ABCD面積的最大值.【變式6-2】（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┤鐖D，P是邊長為2的正三角形△ABC所在平面上一點(diǎn)（點(diǎn)A、B、C、P逆時(shí)針排列），且滿足CP=CA

(1)若θ=π3(2)用θ表示△PAB的面積S，并求S的取值范圍【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的外心為O，M,N為線段AB,AC上的兩點(diǎn)，且(1)證明：|(2)若|AO|=3，|OM【題型7三角形中的邊長或周長的最值或范圍問題】【例7】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sin(1)求角B的值；(2)若a=2，求△【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)求角A的大??；(2)若△ABC的中線AD=3【變式7-2】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知AC=3，CD=1，∠(1)求∠ADC及AD(2)求四邊形ABCD周長的最大值．【變式7-3】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）請(qǐng)從①asinB-3bcosBcosC=3在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若___________，(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，c=1，求a2【題型8解三角形與三角函數(shù)綜合】【例8】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知f(x)=（1）求f(（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b【變式8-1】（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fx=3sinωx(1)求fx(2)若鈍角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a2-b【變式8-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=m?(1)求f((2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面積為31．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,cA．π10 B．π5 C．3π2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與A．346 B．373 C．446 D．4733．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知△(1)若∠ADC=π(2)若b2+c6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB(1)求sin∠(2)若D為