新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題選擇性必修一14空間向量的應(yīng)用

第一章空間向量與立體幾何

1.4空間向量的應(yīng)用

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

例1如圖在長(zhǎng)方體中，Z6=4,BC=3,CG=2，M是的中

點(diǎn).以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

圖

(1)求平面8CG4當(dāng)?shù)姆ㄏ蛄浚?/p>

(2)求平面的法向量.

分析：(1)平面8CC4與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；(2)平面MC4可以看成由

MC，MA｝，/中的兩個(gè)向量所確定，運(yùn)用法向量與它們的垂直關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

運(yùn)算求得法向量.

解：⑴因?yàn)閥軸垂直于平面8。。蜴，所以成=(0,1,0)是平面8CG4的一個(gè)法向量.

(2)因?yàn)?3=4,BC=3,CC12,M是AB的中點(diǎn)，所以M,C,4的坐標(biāo)分別為(3,2,0),

(0,4,0),(3,0,2).因此

就=(-3,2,0)，麗=(0,-2,2).

設(shè)*=(x,y,z)是平面VC%的法向量，則

±MC,勺-L?

所以

〃2,MC=-3x+2y=0,

n2-MAy--2y+2z=0.

所以

1|z,

［y=z.

取z=3,則X=2,y=3.于是a=（2,3,3）是平面的一個(gè)法向量.

練習(xí)

1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)打“<”，錯(cuò)誤的打“x”

（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；（）

（2）若方是直線/的方向向量，則也是直線/的方向向量；（）

（3）在空間直角坐標(biāo)系中，］=（0,0,1）是坐標(biāo)平面。孫的一個(gè)法向量.（）

【答案】①Z②.x③Z

【解析】

【分析】根據(jù)零向量的方向不確定可判斷（1）,由4=0可判斷（2）,由，，平面

可判斷（3）.

【詳解】（1）零向量的方向不確定，所以不能作為直線的方向向量和平面的法向量，

正確；

（2）當(dāng)2=0時(shí)，2^=0,所以九以/leR）不一定是直線/的方向向量，不正確；

（3）在空間直角坐標(biāo)系中，J=（0,0,1）,］_L平面。xy,所以］=（0。1）是坐標(biāo)平

面。xy的一個(gè)法向量，正確.

2.在平行六面體/8。。一48￡2中，AB=a,AD=b,AA^c,O是B］與BQ

的交點(diǎn).以標(biāo)3,3為空間的一個(gè)基底，求直線的一個(gè)方向向量.

1_1一1一

【答案】—a—b—c

222

【解析】

【分析】依題意就是用｛2另外表示蘇，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)檐?八AD=h,AA^c,如圖a=礪+說=；而+9

=;（麗+基+河+說

因?yàn)?4=—AD=—b,A}A=—AA}=—c,

所以0/=^-b-cJra^-a=-^a-^b-^c

1_1_1_

所以直線。力的一個(gè)方向向量為

222

3.在長(zhǎng)方體NBC。-481GA中，AB=4,BC=3,CCt=2.以。為原點(diǎn)，以

1——1—■1——

］為［。。，5。4為空間的一個(gè)單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。az,求平

面/cq的一個(gè)法向量.

【答案】(4,3,6)(答案不唯一)

【解析】

1^7.AC—0

_一一八即可求解.

m-AD=0

(}

【詳解】由題可得。(0,4,0)4(3,0,0),2(0,0,2),

則就=(-3,4,0),函=(-3,0,2),

設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

則m*AC=-3x+4j^=0

令x=4,得y=3,z=6,

、m?AD{--3x+2z=0

則平面ACDX的一個(gè)法向量為(4,3,6).

2.空間中直線、平面的平行

例2證明“平面與平面平行的判定定理”:同一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,

則這兩個(gè)平面平行.

已知：如圖，auB,bu/3,aC\b=P,alia,h//a.

求證：al//3.

分析：設(shè)平面c的法向量為直線a,b的方向向量分別為:，則由已知條件可得

n-u=n-v=Q＞由此可以證明［與平面夕內(nèi)的任意一個(gè)向量垂直，即［也是用的法向量.

證明：如圖，取平面a的法向量3，直線a,6的方向向量;，V.

因?yàn)閍//a,b1/cc)所以w,“=0，n-v=0-

因?yàn)閍u/7,bu。,aC\b-P,

所以對(duì)任意點(diǎn)Qe",存在x,ye及,使得=+

從而〃?PQ=n■(xu+yv}=xn-u+yn-v=O-

所以，向量3也是平面，的法向量.故夕.

倒3如圖，在長(zhǎng)方體Z8C0—44GA中，/6=4,BC=3,CC,=2.線段與。上

是否存在點(diǎn)P,使得4尸//平面ZCR?

分析：根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，那么問題中涉及的點(diǎn)、向量配，彳A,以

及平面的法向量［等都可以用坐標(biāo)表示，如果點(diǎn)尸存在，那么就有［?芾=0,由

此通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.

解：以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?C,4的坐標(biāo)分別為(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),所以

%=(-3,4,0),函=(-3,0,2).

—XL1L1L11■

設(shè)〃=(X,RZ)是平面力C2的法向量，則〃.4C=0，n-AD}=0,即

-3x+4y=0,

*

—3x+2z-0.

-2

x=-z,

3

所以j:

y--z.

r2

取z=6,則X=4,y=3.所以，［=(4,3,6)是平面NC2的一個(gè)法向量.

由4,C,4的坐標(biāo)分別為(3,0,2),(0,4,0),(3,4,2),得福=(0,4,0),

麻=(一3,0,-2).設(shè)點(diǎn)尸滿足肝=4麻(。、41),則瓦7=(一3/1,0,-2/1),所以

4P=AlBl+B［P=(-32,4,—2A).

令〃_-——4P■=0,得—12/1+12-124=0,解得尢=1；,這樣的點(diǎn)尸存在.

——1—■

所以，當(dāng)4尸即尸為8。的中點(diǎn)時(shí)，4尸//平面/。。一

練習(xí)

4.用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的

一條直線平行，則該直線與此平面平行.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】先寫出已知求證，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算以及線面平行的定義即可證出.

【詳解】已知：直線“力，平面a,aga,bua,allb.

求證：alia.

證明：設(shè)直線a,b的方向向量分別為“R,平面a的一個(gè)法向量為方，

因?yàn)閍//b,所以/=加,由于萬,所以萬加=0,即有五應(yīng)=2萬?0=(),亦即不_L〃.

因?yàn)閍<Za,所以a//a.

5.如圖，在四面體力88中，￡是6c的中點(diǎn).直線上是否存在點(diǎn)F,使得

AEIICF?

【答案】不存在，證明見解析.

【解析】

【分析】把向量衣和方都用同一組基底來表示，然后根據(jù)向量平行的條件來證

明不存在.

【詳解】假設(shè)直線AD上存在點(diǎn)F使AEHCF,設(shè)萬^=4而(0<2<1),

___________________1-.11_1一

AB-a,AC=h,AD-c，因?yàn)镋是8c的中點(diǎn)，所以NE=彳/8+三/C=三。+,

2222

CF^AF-AC=AAD-AC=Ac-b?若AE//CF，則荏=加而，

即工4+工3=w(2c-B),所以'4+,3=加2°—〃石，g[J—<2+|—+/77\b-mXc-0,

22、，22212J

Lo

2

；+加=0,此時(shí)顯然不成立，所以不存在點(diǎn)凡使得ZE//CF.

所以

mA=0

6.如圖，在正方體中，E,R分別是面力用，面4G的中心?求證:

跖〃平面/cn?

【解析】

【分析】以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4cA的一個(gè)法向量，利用向

量關(guān)系即可證明.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則4（2,0,0）,C（0,2,0）,力?（0,0,2）,E（2,1,1）,F（1,1,2）,

則就=(一2,2,0),福=[-2,0,2),EF=(-1,0,1),

設(shè)平面/cn的一個(gè)法向量為”=（x,y,z）,

n-AC—0(—2x+2y—0

.一fBP)令X=l,則可得7=(1,1,1),

n?ADX-0[-2x+2z=0

,/EF?〃=()，EFJ_n，

???2平面/cn，，及'//平面NCA.

F

3.空間中直線、平面的垂直

例4如圖，在平行六面體Z8CD—N4GA中，AB=AD=AAt=\,

NA\AB=AA{AD=ABAD=60°,求證：直線4c1平面BDD超.

A

圖

分析：根據(jù)條件，可以{前，AD，五M}為基底，并用基向量表示就和平面

再通過向量運(yùn)算證明就是平面的法向量即可.

證明：設(shè)赤=々，AD^b-AA}=c,則{￡,B，1}為空間的一個(gè)基底，且

A}C=a+h-c,BD=?-a，BB、=c.

因?yàn)锳B—AD-AAX—1,NA]AB—Z.A}AD—/BAD-6(P,所以

rrrrrri

￡=g="=l'd'b=b-c=c-a=—.

在平面5。。百上，取而，麗為基向量，則對(duì)于平面上任意一點(diǎn)尸，存在唯一

的有序?qū)崝?shù)對(duì)(4〃)，使得

麗=九而+〃函.

所以，

A{C■BP=A,A}C-BD+//-BBX

=2(a+b-c)-(h—a)++h-c)-c=0.

所以就是平面6?？谄姆ㄏ蛄?

所以dCJ■平面8。。石1.

例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面

垂直.

圖

已知：如圖，/_La,Iu/3,

求證：aY/3.

證明：取直線/的方向向量;，平面夕的法向量

因?yàn)?_La，所以:是平面a的法向量.

因?yàn)?u/，而［是平面戶的法向量，所以

所以￡，萬.

練習(xí)

7.己知力=(3,。+瓦。-6)(。/€2是直線/的方向向量，萬=。,2,3)是平面a的法

向量.

(1)若///a,求a,b的關(guān)系式；

(2)若/J.a,求a,b的值.

153

【答案】⑴5a-b+3=0；(2)a=—，b=——.

22

【解析】

【分析】(1)由///a得力，兩，所以權(quán)后=0,進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)由/_La得力//萬，所以?=學(xué)=?,進(jìn)而解得a,6.

123

【詳解】(1)由///a得力J?石，所以2?力=0,即3xl+(a+b)x2+(a—b)x3=0,

整理得5a—b+3=0；

(2)由Ua得權(quán)//萬，所以當(dāng)空2=?,解得°=最，6=-1.

12322

8.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,以。為原點(diǎn)，｛次，反，函｝為單位正

交基底建立空間直角坐標(biāo)系.求證：AC15C,.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】用基底表示出向量4G南，證明布?就;=0.

【詳解】由題意，A^C^DC-DA.=DC-DA-DD｝,

南=西-9=西-瓦

所以而?西=灰?西一西岳一函2-方屈+刀2+科?西=0

所以4C_L8G.

9.如圖，在長(zhǎng)方體48cz)-4ZG2中，45=2,5C=CC)=1,E是C。的中點(diǎn),

尸是8c的中點(diǎn).求證：平面￡4。1■平面EFD一

DxCi

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)與平面的法向量，利用空間向量法證

明即可；

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則E(01,0),力。,0,0),9(0,0,1),

嗚,2,0),J￡=(-l,l,0),西=(0,-1,1),而設(shè)面網(wǎng)的法向量

-ri'AE—0—x+y=0一/\

為〃=(x,y,z),則——，即{,八，令x=l,則V=z=1,所以〃=(1,1/)；

'[n-ED}=0[-y+z=0

一1

一fh,EF=0—x+y=0人,

設(shè)面瓦巴的法向量為加=(xj,z),則—八，即2尸，令x=2,則

[加班=0[_y+z=0

y=z=-l,所以加；

因?yàn)椤?加=2xl+lx(-l)+lx(-l)=0,所以]_1_蔡

所以平面及I"1.平面反巴.

用空間向量研究距離、夾角問題

例6如圖在棱長(zhǎng)為1的正方體力8。?！?8￡。］中，后為線段44的中點(diǎn)，尸為線段

的中點(diǎn).

圖

(1)求點(diǎn)8到直線ZG的距離；

(2)求直線FC到平面ZEG的距離.

分析：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)的點(diǎn)、直線的方向向量和平面的法向

量，再利用有關(guān)公式，通過坐標(biāo)運(yùn)算得出相應(yīng)的距離.

解：以。為原點(diǎn)，DM，2G，。。所在直線分別為X軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,1),5(1,1,1),C(0,l,l),C,(0,1,0),E“，o)，

所以

ZB=(0,1,0),而荏=

元=口；,0),定=?0),萬=(o,g,o).

(1)a=AB=(0,1,0),M=,則/=］,a-u=—.

L4CJ33

所以，點(diǎn)8到直線/￡的距離為

(2)因?yàn)檎?豆。=［一所以FC//EG，所以FC7/平面4EG.所以點(diǎn)尸到

平面AEq的距離即為直線FC到平面AEC］的距離.

設(shè)平面AECy的法向量為n=(x,y,z),則

n-AE=0,

n-ECi=0.

所以

力-z=0,

<

=o.

所以

卜二Z,

ly=2z.

取z=l,則x=l,y=2,所以，5=（1,2,1）是平面的一個(gè)法向量.

又因?yàn)?=（0,；,0）,所以點(diǎn)尸到平面/EG的距離為

iki（吟酢。21）r

IAF-n\_\2J_V6.

|n|V66

即直線FC到平面AEC｝的距離為顯.

6

練習(xí)

10.在棱長(zhǎng)為1的正方體Z8C0-44G2中，點(diǎn)/到平面8。的距離等于

；直線DC到平面ABX的距離等于；平面DA1到平面CB、的距

離等于.

【答案】①.1②.1③.1

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)面距、線面距、面面距的定義及正方體的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：在棱長(zhǎng)為1的正方體48cB中，力8,面片。，所以|Z6|即

為點(diǎn)A到平面與。的距離，故點(diǎn)A到平面片。的距離為1,因?yàn)镈C//AB,N8I面8/,

DCZ面8”,所以。?！?/,所以即為直線。C到平面月耳的距離，故直

線。C到平面/4的距離為1,又平面。4〃平面CA，所以平面。4到平面的距

離為1

故答案為：1,1,1

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體-44G2中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線

段84的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)4到直線8,的距離；

(2)求直線尸G到直線/E的距離；

(3)求點(diǎn)4到平面Z8E的距離；

(4)求直線FG到平面48也的距離.

【答案】(1)M(2)叵；(3)|；(4)

3533

【解析】

____RE

【分析】(1)建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量〃=后色上的投影，結(jié)合勾股

\B\E\

定理可得點(diǎn)4到直線B]E的距離；

(2)先證明AE〃/G，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到直線AE的距離求解;

（3）求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解；

（4）把直線尸G到平面/用￡的距離轉(zhuǎn)化為&到平面的距離，利用法向量進(jìn)

行求解.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（1,（M）,4（1,1,1）,20,0,g）/（LL；），G（O,LI）,41,0,0）.

（1）

——1-221---

因?yàn)锳E=（-1,一1,一彳）,〃=；^=（一不一不一彳）,4片=（0,1,0）,

2|BXE|333

——?一2

所以44

所以點(diǎn)4到直線B、E的距離為J有一（福石=-

―■1——.1―.——.

（2）因?yàn)榱Α?（-1,0,5）1。1=（-1,0,5）,所以4：〃/。1,即NE〃尸品

所以點(diǎn)尸到直線AE的距離即為直線尸G到直線AE的距離.

=(0,1,1).

\AE\5

——25—?一

AF'=-,AF-u

4而'

所以直線FG到直線AE的距離為正）2廊

410

(3)設(shè)平面/BE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

——1一

ABy=(0,1,1),^=(-1,0,-),AA,=(0,0,1).

n-A-y+z-0,

由《一1

1萬./E=-x+—z-O,

令z=2,則_y=-2,x=l,即7=(1,-2,2).

設(shè)點(diǎn)4到平面/用￡的距離為d,

\AA-n\2?

則1=三X11=丁，即點(diǎn)&到平面的距離為：.

H33

(4)因?yàn)?E//RG，所以〃平面/與后，

所以直線FC,到平面ABXE的距離等于G到平面AB.E的距離.

以瓦=(1,0,0),由(3)得平面/與￡的一個(gè)法向量為3=(1,-2,2),

\C,B,-n\1

所以G到平面ABF的距離為1-p,-1-=-,

rl3

所以直線FC,到平面AB、E的距離為1.

12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體Z8C。-44GR中,求平面與平面的

距離.

4K_____________7TG

B

【答案】g

3

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為萬再由

\DC-n\

d=可得解.

同

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

Ax(1,0,1),5(1,1,0),￡>(0,0,0),C(0,1,0),

南=(1,0,1),麗=(1,1,0),皮=(0,1,0)

設(shè)平面的法向量為萬=(x/,z),

則：?i-x+z-0,不妨令*=1,則y=-l,z=-l,

n-DB=x+y=0

所以云=（1,一1,一1）,

_\DC-n\i、行

所以平面A}DB與平面2c瓦間的距離d==」==在

\n\也3

例7如圖，在校長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）Z8C。中，/，N分別為6C,

的中點(diǎn)，求直線NM和CN夾角的余弦值.

分析：求直線//和CN夾角的余弦值，可以轉(zhuǎn)化同量而與國(guó)的余弦值.為此需要把

向量必，函用適當(dāng)?shù)幕妆硎境鰜恚M(jìn)而求得向量而，函夾角的余弦值.

解：

化為向量問題

如圖，以｛*，CB'而｝作為基底.則

’.1??I■II''■-I■''

MA=CA-CM=CA--CB,CN^-(CA+CD).

設(shè)向量函與礪的夾角為6,則直線Z"和CN夾角的余弦值等于|COS。I.

進(jìn)行向量運(yùn)算

CN-MA=^(CA^CDy[cA-^CB\

=-CA--CA-CB+-CD-CA--CD-CB

2424

11111

=---+-.———

28482-

又A/8C和△NC。均為等邊三角形，所以|而|=|函|=等.

1

cCN-MA22

COS0=^=：——=L,產(chǎn)=—

\CN\-\MA\V3<33

---X—

22

回到圓形問題

2

所以直線AM和CN夾角的余弦值為§.

例8圖，在直三棱柱—481G中，AC=CB=2,AA1=3,N4CB=90°,P為BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)0,R分別在棱44-BBi上,%。=2/。，BR=2RB「求平面尸。及與平

面48c夾角的余弦值.

,芻\c_P_B

Q-；----------V?

A1fc

圖

分析：因?yàn)槠矫娈a(chǎn)。及與平面48cl的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面尸。夫與平面/￡G的法向量的

夾角，所以只需要求出這兩個(gè)平面的法向量的夾角即可.

解：化為向量問題

以G為原點(diǎn)，G4，c,5,,C1C所在直線為X軸、y軸、Z軸，建立如圖所示的空間直角

ULU1

坐標(biāo)系.設(shè)平面44G的法向量為〃?，平面尸的法向量為〃2，則平面尸?；鹋c平面

ULLUL

44G的夾角就是勺與〃2的夾角或其補(bǔ)角.

進(jìn)行向量運(yùn)算

因?yàn)槠矫嫠云矫?8c的一個(gè)法向量為點(diǎn)=(0,0,1).

根據(jù)所建立的空間直角坐標(biāo)系，可知P(0,l,3),2(2,0,2),/?(0,2,1).所以而=(2,—1,—1),

麗=(0,1,—2).設(shè)Z=(3z),則

,尸。=0，

[后國(guó)=0,

[2x-y-z=0,

[y-2z=0,

,3

x=-z,

所以彳2

y-2z.

取元=(3,4,2),則

cos/-力一履第一(0,0』)?(3,4,2).2場(chǎng)

("一同.同-1x^29--

回到圖形問題

設(shè)平面尸。衣與平面48cl的夾角為6,則

/一一\25/^

cos0=cosn2]=29?

即平面PQR與平面44G的夾角的余弦值為2叵.

29

練習(xí)

13.在直三棱柱451G-/3C中,ZBCA=90°,D\,B分別是4囪，4G的中點(diǎn),

BC=CA=CCi,則與所成角的余弦值是（）

A廊R1「廊.岳

A?------t5.U.------U?---

1021510

【答案】A

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=C4=CG=1,

------函,函

.'.|cos<BD.,AF,>1='——L——!'

''幽II附

故選：A.

14.PA,PB,PC是從點(diǎn)尸出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60。，那么直線

PC與平面以8所成角的余弦值是（）.

A.-B.—C.—D.—

2233

【答案】C

【解析】

［分析］過PC上一點(diǎn)D作平面APB,則NOP。就是直線PC與平面PAB所

成的角.能證明點(diǎn)。在NZP8的平分線上，通過解直角三角形DOP,求出直

線PC與平面PAB所成角的余弦值.

【詳解】解：在PC上任取一點(diǎn)。并作。OJ■平面/P5,則NOPO就是直線PC與

平面以8所成的角.

過點(diǎn)。作。E_LQ4,OFA.PB,因?yàn)镼O_L平面ZP8,則OELRi,DFA.PB.

△DEP沿4DFP,：.EP=FP,:.AOEP會(huì)△OFP,

因?yàn)镹ZPC=N5PC=60°,所以點(diǎn)。在N/P8的平分線上，即NOPE=30°.

設(shè)PE=1,"：ZOPE=30°：.0P=—i—=-

cos30。3

在直角△PEO中，ZDPE=60°,PE=T,則尸。=2.

在直角△DOP中，。/>=也，PD=2.則cosNDPO="=也.

3PD3

即直線尸。與平面必8所成角的余弦值是

3

15.如圖，正三棱柱44G的所有棱長(zhǎng)都為2,求平面448與平面48G夾

角的余弦值.

1

【答案】也

7

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面與平面48G的法向量，利用法向量

求解夾角的余弦值.

【詳解】因?yàn)檎庵鵄BC-44G的所有棱長(zhǎng)均為2,取8C的中點(diǎn)。，則/。18C

所以40,平面8AGC.

取8G的中點(diǎn)〃，所以Z。,8。,?！▋蓛纱怪保?。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,6),8(1,0,0),4(0,2,6),G(-1,2,0),

所以羽=(1,0,—G),怒=(0,2,0),%=(-2,2,0),BA,=(-1,2,回.

設(shè)平面四3的一個(gè)法向量為藍(lán)=(x,^?z1),貝小.絲二丁產(chǎn)=°，

〃1.AA}=2y=0.

令馬=1得々=(G,0,1).

同理可得平面A}BC］的一個(gè)法向量為〃2=(百,6,-1).

n}-n2_2_V?

cos〈/，％〉=

1^1\\n2I2x5/7~

設(shè)平面AAXB與平面48cl夾角為。,易知6為銳角,則cos0=|cos(w1,n2)|=,

即平面AA}B與平面48cl夾角的余弦值為五.

7

1

16.如圖，AZBC和△O5C所在平面垂直，且AB=BC=BD,

ZCBA=ZDBC=120°.求：

A

(1)直線，。與直線8c所成角的大??；

(2)直線力。與平面BCD所成角的大??；

(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.

【答案】(1)90°(2)45°(3)日

【解析】

【分析】(1)作，O_L8C于點(diǎn)。，連。。，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OD,OC,04的方向分

別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；

(2)顯然平面88的一個(gè)法向量為百=(0,0,1),利用空間向量法求出線面角；

U.LU

(3)求出平面C3D的一個(gè)法向量為勺以及平面48。的一個(gè)法向量為n2,求出

兩法向量的余弦值的絕對(duì)值即為平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.

【詳解】解：設(shè)為8=1,作于點(diǎn)O,連。。，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD,OC,

04的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：

0(0,0,0),D當(dāng),0,0,cfo,|,o\小，°，倒

(1)AD=FT,及=(0,1,0)

,0,-乎卜o,l,0)=0,所以“。與8c所成角等于90°.

AD，BC

(2)AD,o,_,顯然〃I=(0,0,1)為平面BCD的一個(gè)法向量

cos<AD,%>|=

蟲T+

2j

直線與平面8C。所成角的大小45。

(3)設(shè)平面的法向量為后=(x),z)則方=。，%

10「

—y------z=0

”竺二°,即.22人i

所以則x=1,y-石

n^AD—0石石八

——x------z=0

22

則第=(1,0,1)

1%,〃2!1V5

設(shè)平面和平面8OC的夾角為6,則|cose|=

\n}|x|n2|1x755

因此平面ABD和平面BDC的夾角的余弦為將

例9圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法

向量的夾角均為30。.已知禮物的質(zhì)量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速

下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精確到).

分析：因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以降落?根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小.8

根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量.

解：如圖，設(shè)水平面的單位法向量為7,其中每一根繩子的拉力均為F.因?yàn)椤?,戶〉=30°，

所以尸在［上的投影向量為所以8根繩子拉力的合力

F合=8x—Fn=.

又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所?/p>

I五合HG禮物|=1x9.8=9.8(N).

所以

|4V3|F|?|=9.8

所以

98

|F|=—^?1.41(N).

4V3

圖

例10如圖，在四棱錐尸一48CD中，底面為8CD是正方形，側(cè)棱尸。，底面為38,

PD=DC,E是尸C的中點(diǎn)，作EFL尸8交P8于點(diǎn)凡

圖

(1)求證：PA//面EDB；

(2)求證：PB_L平面EED；

(3)求平面CP8與平面P8。的夾角的大小.

分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計(jì)算兩個(gè)平面的夾角.這些問

題都可以利用向量方法解決.由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以

利用這些條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量及坐標(biāo)表示問題中的幾何元素，進(jìn)而解決

問題.

解：以。為原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，設(shè)。C=l.

(1)證明：連接ZC,交BD于點(diǎn)G,連接EG.

依題意得4(1,0,0),P(0,0,l),

因?yàn)榈酌?8CQ是正方形，所以點(diǎn)G是它的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且

UUL——?(11

PJ=(l,0,-l)，EG=^--

所以蘇=2的，PAI/EG.

而EGu平面ED3,且PZ<Z平面EQ8,因此PN//平面EZM.

(2)證明：依題意得

8(1,1,0),而=(1,1,-1).

又瓦=故

PBDE^Q+---^0.

22

所以P8_LZ)E.

由已知EE，尸5，且EFcDE=E.

所以P8_L平面EEC.

(3)解：已知PB上EF,由(2)可知尸8_LOP,故NEED是平面C尸8與平面的

夾角.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y,z),則而=(x,y,z—l)

因?yàn)槎?左而，所以

(x,y,z-l)=/c(l,l,-l)=(k,k,-k),即％==,y=k,z=\-k.

設(shè)而?而=0，則

(1,1,—1)?(左，左,1—左)=左+左一1+左=3左一1=0.

所以k=L點(diǎn)尸的坐標(biāo)為im],

3(333)

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為［(所以

￡=(-?6'-6)

______二]

FEFD_13%，6)13，3，3人￡

所以cosZ.EFD=

\'FE\-\FT)C優(yōu)亞"2

TXT

所以NEED=60。,即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60°.

練習(xí)

17.如圖，二面角。-/-￡的棱上有兩個(gè)點(diǎn)4B,線段8。與/C分別在這個(gè)二面

角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱/.若26=4,AC=6,BD=8,CD=2后,

求平面a與平面￡的夾角.

7T

【答案哈

【解析】

【分析】利用向量求解，麗=聲+而+而，兩邊平方可求平面《與平面月的夾

角.

【詳解】設(shè)平面U與平面〃的夾角為

由麗=B+而+而可得

CD=(CA+AB+BD^=CA+AB~+BD+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=36+16+64+2|C4||55|COSl^CA,'BD^

=116-96cos^

17T

所以COS6=5,即平面a與平面夕的夾角為

18.如圖，在三棱錐4一BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N

分別是8C的中點(diǎn).求異面直線/N,CM所成角的余弦值.

C

【答案】；7

【解析】

【分析】連結(jié)N。，取的中點(diǎn)E,連結(jié)ME,推導(dǎo)出異面直線4V,CM所成角

就是NEMC,利用余弦定理解三角形，能求出結(jié)果.

【詳解】連結(jié)ND,取ND的中點(diǎn)E,連結(jié)ME,

則ME//4N,;.NE/C是異面直線/N,CM所成的角，

AN=2應(yīng)，ME=e=EN，MC=242，

又?：EN工NC，:.EC=dEN2+NC?=5

EM2+MC2-EC22+8-3_7

，cosZEMC=

2EMxMC-2xV2x2>/2-8

7

???異面直線AN,CM所成的角的余弦值為三.

8

19.如圖，在三棱錐。一Z8C中，OA,OB,0C兩兩垂直，O4=0C=3,。8=2.求

直線OB與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】獨(dú)7

17

【解析】

【分析】構(gòu)建以。為原點(diǎn)，麗，友,為x、y.z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，

寫出而、AC,礪的坐標(biāo)，進(jìn)而求面Z8C的法向量而，根據(jù)直線方向向量與平面

法向量夾角與線面角的關(guān)系，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示即可求直線08與平面

力5c所成角的正弦值.

【詳解】構(gòu)建以。為原點(diǎn)，。反雙，方為X、歹、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，

如下圖示，

??./(0,0,3),8(2,0,0),C(0,3,0),則存=(2,0,—3),就=(0,3,—3),OB=(2,0,0),

一AB-w=2x-3z=0

若m=(x,yz)是平面48c的一個(gè)法向量，則<_____，令V=L則

AC-m=3y-3z=0

一3

加=(大1，1)，

--OBm3_3717

|cos<Ub,m>\-\?畫向I—-萬——,故直線OB與平面ABC所成角的正

弦值為主叵.

17

習(xí)題

復(fù)習(xí)鞏固

20.如圖，在三棱錐中，E是CZ）的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在4E上，且EF=2E4.設(shè)

BC=a>BD=b，BA=c求直線ZE，8廠的方向向量.

【答案】直線/E的方向向量在=9也二在，直線8尸的方向向量而="+'+4c.

26

【解析】

【分析】由已知線段所表示的空間向量，應(yīng)用向量加減運(yùn)算的幾何意義求得而、就,

即可求荏，再由及'=2E4知生，即可求正.

3

【詳解】在△歷1。中，筋=B，0=1，則而=而一或=B-"，

在△3ZC中，BC=a^JA=c>貝=比一0=2—"，

?.?在△ZMC中，E是C。的中點(diǎn),

?AD-i-ACa+b-2c.口人日口777^4Ea+b—2c

??AE=--------=---------，liUEF=2FA，即AF=——=---------

2236

.五八n,「r+i/—―a+b—2cQ+Z?+4c

?,在△84F中，BF=BA+AF=c+--------=--------.

66

，直線8廠的方向向量分別為萬="-2c、—=o+6+4c_

26

21.如圖，在直三棱柱/8C—48c中，AB1AC,AB=AC=\,AA,=2.以工

為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

(1)求平面8CG4的一個(gè)法向量;

(2)求平面48c的一個(gè)法向量.

【答案】(1)3=。,1,0)；(2)m=(2,2,1).

【解析】

UULUUULL

【分析】(1)求出平面內(nèi)的兩個(gè)向量8C=(-1,1,0),BB,=(0,0,2),然后利用法向量

與這兩個(gè)向量的數(shù)量積都為0來求法向量；

UUUI______

⑵求出平面內(nèi)的兩個(gè)向量6c=(-1,1,0),64=(-1,0,2),然后利用法向量與這兩

個(gè)向量的數(shù)量積都為0來求法向量.

【詳解】易知8(1,0,0),C(0,l,0),40,0,2),4(0,0,2).

uumuuu

(l)5C=(-l,l,0),BB1=(0,0,2),

-ry「_f\

設(shè)面8CC內(nèi)的法向量為3=(xj,zJ,則；=,

一演+必=o

即取X]=y=l,Z]=O,則〃=。,1,0),

2Z1=0

所以平面8CG4的一個(gè)法向量為3=（1,1,0）;

ULllfl_____.

(2)8C=(—1,1,0),54=(-1,0,2),

麗辰=Q

設(shè)面48C的法向量為”=（彳2，%/2）,

沅?BA}=0

一工2+必=0

取=歹2=2/2=1則而=(2,2,1),

—%2+2z1—0

所以平面4