中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第21講 相似三角形及其應(yīng)用(練習(xí))(解析版)

第四章三角形第21講相似三角形及其應(yīng)用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01選擇或補(bǔ)充一個(gè)條件使兩個(gè)三角形相似??題型02選擇合適的方法證明兩個(gè)三角形相似??題型03補(bǔ)全判定相似三角形的證明過(guò)程??題型04以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查相似三角形的證明過(guò)程??題型05利用相似三角形的性質(zhì)求解??題型06利用相似的性質(zhì)求坐標(biāo)??題型07相似三角形在網(wǎng)格中的應(yīng)用??題型08相似三角形的性質(zhì)與判定綜合??題型09利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決折疊問(wèn)題??題型10利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象??題型11利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值??題型12利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值??題型13利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題??題型14利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問(wèn)題??題型15利用相似三角形列函數(shù)關(guān)系式??題型16利用三點(diǎn)定形法證明比例式或等積式??題型17尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用??題型18三角板與相似三角形綜合應(yīng)用??題型19平移與相似三角形綜合應(yīng)用??題型20利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題??題型21與相似三角形有關(guān)的新考法問(wèn)題??題型22利用相似測(cè)量物體的高度??題型23利用相似測(cè)量物體（不易測(cè)量）的寬度??題型24其它問(wèn)題??題型01選擇或補(bǔ)充一個(gè)條件使兩個(gè)三角形相似1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ADE與△ABC有公共頂點(diǎn)A，∠BAD=∠CAE．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：______，使得【答案】∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一），證明見(jiàn)詳解【分析】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似進(jìn)而得出即可；【詳解】解：使△ADE∽△ABC，則需添加的條件可以是：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB，理由：①添加的條件可以是：∠ADE=∠ABC時(shí)，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；②添加的條件可以是：∠AED=∠ACB時(shí)，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC；故答案為：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一）．2．（2024·云南昆明·三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB邊上，已知AC∥BD，添加一個(gè)條件，使△BDE∽△ABC．你添加的條件是【答案】∠D=∠ABC（答案不唯一）【分析】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．已知AC∥BD，得到∠BAC=∠ABD，則可以再添加【詳解】解：添加的條件是∠D=∠ABC，∵AC∥∴∠BAC=∠ABD，∵∠D=∠ABC，∴△BDE∽△ABC，故答案為：∠D=∠ABC（答案不唯一）．3．（2024·福建福州·一模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC，連接BE．從下列條件中，選擇一個(gè)作為附加條件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DB【答案】②，見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．可添加根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；或添加利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定其相似．【詳解】證明：選擇①∵DE∥BC，∴∠EDB＝∵DEBA∴△EDB∽△ABC．4．（2023·湖南永州·二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)．

(1)給出一個(gè)條件，使得△ABP與△ECP相似并寫(xiě)出證明；(2)在（1）的條件下，已知AB=2，求sin∠BAP【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，因此只需要條件一組對(duì)應(yīng)角相等即可證明兩三角形相似；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BP=43，進(jìn)而利用勾股定理求出【詳解】（1）解：條件是∠APB=∠EPC（不唯一）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∵∠APB=∠EPC，∴△ABP∽△ECP（2）解：∵E是CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形，∴CE=1∵△ABP∽△ECP∴BPCP=AB∴BP=4∴AP=∴sin∠BAP=【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正弦值，正方形的性質(zhì)，添加條件證明三角形相似，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．??題型02選擇合適的方法證明兩個(gè)三角形相似5．（2024·廣西柳州·三模）如圖，△ABC為邊長(zhǎng)等于4的等邊三角形，點(diǎn)F是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），F(xiàn)D⊥AB，F(xiàn)E⊥AC，垂足分別是D、E．

(1)求證：△BDF∽(2)若CF=a，四邊形ADFE面積為S，求出S與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出a的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)S=?【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解直角三角形，列二次函數(shù)關(guān)系式等：（1）證明兩組對(duì)角相等即可；（2）通過(guò)解Rt△CEF，Rt△BDF求出S△BDF，S【詳解】（1）證明：∵△ABC為邊長(zhǎng)等于4的等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵FD⊥AB，F(xiàn)E⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°，∴△BDF∽（2）解：∵△ABC為邊長(zhǎng)等于4的等邊三角形，CF=a，∴BF=4?a，在Rt△CEF中，CF=a，∠C=60°∴CE=CF?cos60°=1∴S△CEF同理S△BDF∵S△ABC∴S=S∵點(diǎn)F是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴0<a<4，∴S=?36．（2020·四川成都·一模）如圖，在△ABC與△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=25，BD=(1)求證：△ABE∽△CBD；(2)若AB∥ED，求(3)若△EBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，直接寫(xiě)出線段AP的最大值與最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1(3)AP的最大值為35，AP的最小值為4?【分析】本題主要考查了相似三角形、圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形、添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由∠ABC=∠EBD=90°，∠ABE=∠CBD，結(jié)合ABCB（2）如圖：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB，則EM=BN=2，BM=EN=5?1=4，再證（3）由（2）可得當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，PA的值最大，然后根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可確定最大值；當(dāng)AE在AB的下方且與⊙B相切時(shí)，∠CAP的值最大，此時(shí)PA=AC·cos∠CAP的值最小，然后證明四邊形BEPD是矩形，則BD=PE=5【詳解】（1）解：∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠ABC?∠EBC=∠EBD?∠EBC=∠CBD，∵AB=6，BC=3，∴ABCB∴△ABE∽△CBD．（2）解：∵∠ABC=∠EBD=90°、AB=6，BC=3，∴DE=B∵AB∥∴BN⊥DE，∴BN=BD?BE∴CN=BC?BN=3?2=1，DN=B∴CN=DN，∴∠PDE=45°，如圖：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB，則EM=BN=2，∴AM=6?4=2，∴AM=EM，∴∠EAB=45°，∴∠PED=∠EAB=45°，∴△PED，∴PE=PD=5÷2=52，∴PA=PE+AE=922∴tan∠PAC=（3）解：由（2）可知當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，PA的值最大，最大值PA=AC=A如圖:當(dāng)AE在AB的下方且與⊙B相切時(shí)，∠CAP的值最大，此時(shí)PA=AC·cos∵∠BEP=∠DPE=∠DBE=90°，∴四邊形BEPD是矩形，∴BD=PE=5∵AE=A∴PA=AE?PE=4?∴PE的最小值為4?57．（2023·湖北武漢·二模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，EF為弦，連接AF，BE交于點(diǎn)P，且F為BE的中點(diǎn)．

(1)求證：△FBP∽△FAB；(2)若tan∠BEF=34【答案】(1)見(jiàn)解析(2)sin∠ABE=【分析】（1）由F是BE的中點(diǎn)推出∠FBE=∠A，再加上公共角推出△FBP∽△FAB；（2）連接OF，交EB于點(diǎn)M，利用tan∠A=BFAF=34設(shè)BF=3a，則AF=4a，求出AB，OF，OB，證明∠FBM=∠A從而求出【詳解】（1）證明：∵F是BE的中點(diǎn)，∵EF=∴∠FBE=∠A，∵∠PFB=∠BFA，∠FBE=∠A，∴△FBP∽△FAB．（2）解：連接OF，交EB于點(diǎn)M．

∵EF=∴EF=BF，∠FBM=∠A，OF垂直平分BE，∴OF⊥BE．∵AB是直徑，∴∠AFB=90°．tan∠A=設(shè)BF=3a，則AF=4a，由勾股定理得：AB=B∴OF=OB=12在Rt△BFM中，∠FBM=∠A∴sin∠FBM=∴FM=3∴OM=OF?FM=7在Rt△BMO中，OM=710∴sin∠ABE=【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，弦、弧、圓心角的關(guān)系，三角函數(shù)有關(guān)的計(jì)算，直徑所對(duì)的圓周角是90°，勾股定理，垂直平分線的判定等知識(shí)，連接OF構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江寧波·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線于

(1)請(qǐng)找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍．【答案】(1)△ABP∽(2)0≤m≤4【分析】（1）證明∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPE可得△ABP∽（2）設(shè)BP=x，CE=y，則PC=m?x，根據(jù)△ABP∽△PCE，可得y=?14x2+m4【詳解】（1）解：△ABP∽∵AB∥CD，∴∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°，∵PE⊥PA，∴∠APB+∠CPE=90°，∴∠BAP=∠CPE，∴△ABP∽（2）解：∵BC=m，設(shè)BP=x，CE=y，則PC=m?x，∵△ABP∽∴ABPC∵AB=4，∴4m?x=x∴y=?14x∴當(dāng)x=m2時(shí)，y取最大值，最大值為∵m216≤2又∵m≥0，∴0≤m≤42【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問(wèn)題，涉及到三角形相似的判定和性質(zhì)、求線段的取值范圍，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．??題型03補(bǔ)全判定相似三角形的證明過(guò)程9．（2024·廣西·三模）【探究與證明】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，記△COD的面積為S1，△AOB的面積為S(1)【問(wèn)題解決】如圖①，若AB∥CD，求證：S小紅同學(xué)展示出如下正確的證明辦法，請(qǐng)?jiān)跈M線上將內(nèi)容補(bǔ)充完整．證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交AC于點(diǎn)F，如圖①所示：則∠DEO=∠BFO=90°∴DE____________BF（填寫(xiě)位置關(guān)系）∴△DOE～△____________；∴DEBF∵S1S2∴S1(2)【探索推廣】如圖②，若AB與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC．過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交OD于點(diǎn)F，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G，且OG=2GH，若OEOA=5【答案】(1)∥；BOF；OD(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)25【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的判定定理得出DE∥BF，可得△DOE～△BOF，即可得出DEBF（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交AC于點(diǎn)F，可得得出DE∥BF，可得△DOE～△BOF，即可得出DEBF（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM∥EF交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，先利用AAS證明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，證明△OEF～△OAM，得到OFOM=OEOA=56，設(shè)OE=OC=5m，OF=OD=5n【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交AC于點(diǎn)F，如圖①所示：則∠DEO=∠BFO=90°∴DE∥BF，∴△DOE～△BOF，∴DEBF∵S1S2∴S1故答案為：∥；BOF；OD（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則∠DEO=∠BFO=90°，∴DE∥BF，∴△DOE～△BOF，∴DEBF∵S1S2∴S1（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM∥EF交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，∵EF∥CD，∴∠ODC=∠OFE,∠OCD=∠OEF，∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD(AAS∴OD=OF，∵AM∥EF，∴△OEF～△OAM，∴OFOM設(shè)OE=OC=5m，OF=OD=5n，則∵H是AB的中點(diǎn)，N是BM的中點(diǎn)，∴HN是△ABM的中位線，∴HN∥AM∥EF，∴△OGF～△OHN，∴OGOH∵OG=2GH，∴OG=2∴OGOH∴ON=3∴OB=ON+BN=9n，由（2）可知：S110．（2024·山西臨汾·一模）閱讀與思考下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．連接三角形頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線，三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心．經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，三角形的重心把中線分成1：2兩部分，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：如圖1，在△ABC中，中線AD,CE相交于點(diǎn)G，則有EG=12CG

證明過(guò)程如下：如圖，連接DE．∵D，E分別是BC,AB邊的中點(diǎn)，∴_________．∴DE∥AC，且∴∠DEC=∠ACE，∠EDA=∠DAC．……任務(wù)：(1)材料中橫線部分應(yīng)填寫(xiě)的結(jié)論為_(kāi)_______；材料中“依據(jù)”的定理內(nèi)容是________．(2)請(qǐng)將材料中的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)如圖2，在△MNH中，點(diǎn)K，L分別在MN,MH邊上，連接HK,NL交于點(diǎn)F．若MK=13MN，ML=13

【答案】(1)DE是△ABC的中位線；三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半(2)見(jiàn)解析(3)KF=13HF【分析】本題考查了三角形中位線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意進(jìn)行填空即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（3）連接KL，通過(guò)證明△MKL∽△MNH，△KLF∽△HNF，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）如圖，連接DE．

∵D，E分別是BC,AB邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線．∴DE∥AC，且故答案為：DE是△ABC的中位線；三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；（2）如圖，連接DE．

∵D，E分別是BC,AB邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線．∴DE∥AC，且∴∠DEC=∠ACE，∠EDA=∠DAC．∴△EDG∽△CAG，∴DEAC∴EG=1（3）連接KL，

∵M(jìn)K=13MN∴MKMN∵∠M=∠M，∴△MKL∽△MNH，∴∠MKL=∠MNH,KL∴KL∥∴∠FKL=∠FHN,∠FLK=∠FNH，∴△KLF∽△HNF，∴KLNH∴KF=1故答案為：KF=111．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）閱讀：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)．下面是其中的切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．即，如圖1，，AB是⊙O的切線，直線AD為⊙O的割線，則AB證明：如圖1所示，連接BD，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接CE、BC．∵AB是⊙O的切線，OB是⊙O的半徑，∴∠ABC+∠CBE=90°．∵BE是⊙O的直徑，∴∠BCE=90°（____________）．∴∠E+∠CBE=90°．∴____________，∵∠E=∠CDB（____________），∴____________，∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴AB∴AB任務(wù)：(1)請(qǐng)?jiān)谏厦鏅M線上補(bǔ)充證明過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)充推理的依據(jù)；(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，割線CF與AB于點(diǎn)E，且滿足CD:DE:EF=1:2:1，AC=8，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)285【分析】本題主要考查了切線性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；（1）根據(jù)圓周角定理、等角的余角相等、等量代換、相似三角形的性質(zhì)等補(bǔ)充證明過(guò)程；（2）先根據(jù)已知和割線定理求得CD=4，DE=8，EF=4，則CE=12，再根據(jù)切線性質(zhì)和勾股定理求得AE=45；利用圓周角定理和相似三角形的判定證明△ADE∽△FBE，則AEEF=【詳解】（1）如圖②，連接BD，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接CE、BC．∵AB是⊙O的切線，OB是⊙O的半徑，∴∠ABC+∠CBE=90°．∵BE是⊙O的直徑，∴∠BCE=90°（直徑所對(duì)的圓周角相等），∴∠E+∠CBE=90°，∴∠ABC=∠E．∵∠E=∠CDB，∴∠ABC=∠CDB．∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD∴AB故答案為：直徑所對(duì)的圓周角相等；∠ABC=∠E；圓周角定理；∠ABC=∠CDB；（2）圖3中，連接AD，BF，∵CD:DE:EF=1:2:1，∴設(shè)CD=x，DE=2x，EF=x，則CF=4x，∵AC是⊙O的切線，CF是割線，∴由割線定理得AC2=CD?CF解得x=4（負(fù)值舍去），∴CD=4，DE=8，EF=4，則CE=12，∵AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，∴AE=C∵∠ADE=∠ABF，∠DAB=∠DFB，∴△ADE∽△FBE，則AEEF∴BE=EF?DE∴AB=AE+BE=4512．（2023·青海西寧·二模）【問(wèn)題背景】數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論：如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證ABAC請(qǐng)將小慧的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：證明：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD∴∠BAD=∠E

又∵∠_____=∠______（

）∴△__________∽△_________（

）∴ABCE∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵∠BAD=∠E

，∴∠________=∠__________，∴AC=CE（等角對(duì)等邊），∴ABAC【解決問(wèn)題】如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，連結(jié)AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處．若AC=1，AB=2，求DE【答案】∠ADB=∠EDC；對(duì)頂角相等；△ABD∽△ECD；兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；∠CAD=∠E；解決問(wèn)題：5【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角相等得到△ABD∽△ECD，再利用相似三角形的性質(zhì)及角平分線的定義ABAC=BD【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴∠BAD=∠E，∵∠ADB=∠EDC（對(duì)頂角相等）∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）∴ABCE∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=∠E，∴∠CAD=∠E，∴AC=CE（等角對(duì)等邊），∴ABAC故答案為：∠ADB=∠EDC；對(duì)頂角相等；△ABD∽△ECD；兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；∠CAD=∠E；【解決問(wèn)題】∵△ADC折疊得到△ADE，

∴△ADC≌△ADE，∴CD=ED

，∠CAD=∠EAD，∴AD平分∠CAE

，∴ACAB在Rt△ABC中∠BAC=90°，AC=1，AB=2∴BC=1設(shè)CD=DE=x，∴12=解得x=5∴DE的長(zhǎng)為53【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．??題型04以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查相似三角形的證明過(guò)程13．（2021·江蘇南京·一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是線段AB上一點(diǎn)，且DB＝4，過(guò)點(diǎn)D作DE與線段AC相交于點(diǎn)E，使以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求DE的長(zhǎng)．請(qǐng)根據(jù)下列兩位同學(xué)的交流回答問(wèn)題：甲：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則△ADE∽△ABC∴DE∴DE=乙：這個(gè)解答中有兩個(gè)錯(cuò)誤，其中一個(gè)是：比例式寫(xiě)錯(cuò)了?。?）寫(xiě)出正確的比例式及后續(xù)解答；（2）指出另一個(gè)錯(cuò)誤，并給予正確解答．【答案】（1）DEBC【分析】（1）列比例式，DEBC（2）當(dāng)∠ADE=∠ACB時(shí)，△ADE∽△ACB，列比例式計(jì)算即可．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE=ADAB·BC=AB?DBAB（2）漏了不平行的情況，即當(dāng)∠ADE=∠ACB時(shí)，△ADE∽△ACB，∴DEBC∴DE=ADAC·BC=AB?DBAC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的文字型描述相似，解答時(shí)，分平行相似和不平行相似兩種情形解答是解題的關(guān)鍵．14．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）李老師在編寫(xiě)下面這個(gè)題目的答案時(shí)，不小心打亂了解答過(guò)程的順序，你能幫他調(diào)整過(guò)來(lái)嗎？證明步驟正確的順序是（）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,?F分別在邊AB,?AC,?證明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；關(guān)鍵是證明三角形相似．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對(duì)應(yīng)角相等，易得解題步驟；【詳解】證明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽故選：B．15．（2024·河北張家口·一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和往琛的做法．下列說(shuō)法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件∠ABD=∠C．證明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A．∴△ADB∽△ABC（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件ABAC證明：∵∠A=∠A,ABAC∴△ADB∽△ABC（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題 B．往琛的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題C．天翼的做法添加的條件沒(méi)有問(wèn)題 D．往琛的做法添加的條件有問(wèn)題【答案】B【分析】根據(jù)題意已知∠A=∠A，故添加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角為∠A或者添加一組對(duì)應(yīng)角相等，即可求解．本題考查了相似三角形的判定，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，∠A=∠A，添加一組對(duì)應(yīng)角相等，可以使得△ADB∽△ABC，故天翼的做法以及過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題，往琛的做法添加的條件有問(wèn)題，應(yīng)為ADAB故選：B．??題型05利用相似三角形的性質(zhì)求解16．（2024·上海楊浦·一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)G是重心，過(guò)點(diǎn)G作GD∥BC，交邊AC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BG，如果S△ABC=36，那么S【答案】16【分析】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接AG，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：連接AG，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H，并延長(zhǎng)至F，使得GH=HF，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)E，連接CG,BG∵點(diǎn)G是重心，∴H,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，∴BH=CH，∴四邊形CGBF是平行四邊形，∴CF∴AG∴AG=GF=2GH∵S△ABC∴S△ABH∴S△ABG=12，∵GD∥∴△AGD∽△AHC，∴S△AGD∵S△AGD∴S△AGD=8，∴S四邊形故答案為：16．17．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）將一把直尺與△ABC按如圖所示的方式擺放，AB與直尺的一邊重合，AC，BC分別與直尺的另一邊交于點(diǎn)D，E．若點(diǎn)A，B，D，E分別與直尺上的刻度4.5，8.5，5，7對(duì)應(yīng)，直尺的寬為1cm，則點(diǎn)C到邊AB的距離為cm【答案】2【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，相似三角形的判定和性質(zhì)，證△CDE∽△CAB，可得CMCF=DEAB，已知點(diǎn)A，B，D，E分別與直尺上的刻度4.5，8.5，5，7對(duì)應(yīng)，可得AB、DE的長(zhǎng)，即得CMCF的值，設(shè)CM=xcm，則CF=(x+1)cm，可得【詳解】解：過(guò)C作CF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)M，，由題意得，AB=4，DE=2，∵DE∥AB，CF⊥AB，∴CM⊥DE，∠B=∠CED，∵∠DCE=∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴CMCF設(shè)CM=xcm，則CF=(x+1)∴xx+1解得：x=1，∴CM=1cmCF=2cm故答案為：2．18．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）為推進(jìn)青少年近視的防控工作，教育部等十五部門發(fā)布了《兒童青少年近視防控光明行動(dòng)工作方案（2021—2025年）》．方案中明確強(qiáng)調(diào)了校園視力篩查的重要性．視力篩查使用的視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如：每個(gè)“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測(cè)距離需要不同的視力表等．【素材1】國(guó)際通用的視力表以5米為檢測(cè)距離．如圖1，任選視力表中7個(gè)視力值n，測(cè)得對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)b?mm【素材2】圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測(cè)視力時(shí)，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角θ．視力值n與分辨視角θ（分）的對(duì)應(yīng)關(guān)系近似滿足n=【素材3】如圖3，當(dāng)θ確定時(shí)，在A處用邊長(zhǎng)為b1的Ⅰ號(hào)“E”測(cè)得的視力與在B處用邊長(zhǎng)為b2的Ⅱ號(hào)“【探究活動(dòng)】(1)當(dāng)檢測(cè)距離為5米時(shí)，①猜想n與b滿足______函數(shù)關(guān)系（填：一次或二次或反比例）；②直接寫(xiě)出n與b的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____；③求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)．(2)當(dāng)n≥1．0時(shí)，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性求出對(duì)應(yīng)的分辨視角(3)在某次視力檢測(cè)中，小何同學(xué)發(fā)現(xiàn)視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)為3.6?mm【答案】(1)①反比例；②n=7．(2)0.5≤θ≤1.0(3)不匹配，檢測(cè)距離b2應(yīng)調(diào)整為【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)圖象上的點(diǎn)猜測(cè)為反比例函數(shù)關(guān)系，②求出比例系數(shù)，再驗(yàn)證即可，③n=1.2代入函數(shù)解析式，即可得到答案；（2）根據(jù)n=1（3）根據(jù)題意解得檢測(cè)距離b2應(yīng)為3【詳解】（1）解：由圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律得到n與b成反比例關(guān)系，設(shè)n=kb，將其中的點(diǎn)9,0.8代入，得到∴n=7.2將其余點(diǎn)一一代入，都符合關(guān)系式，故答案為：①反比例；②n=7.2③將n=1.2代入n=7.2b得：答：檢測(cè)距離為5米時(shí)，視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)為6?mm（2）∵n=1∴在自變量θ的取值范圍內(nèi)，n隨著θ的增大而減小，∴當(dāng)n≥1.0時(shí)，0<θ≤1.0，又∵0.5≤θ≤10,∴0.5≤θ≤1.0；（3）由素材可知，當(dāng)某人的視力確定時(shí)，其分辨視角也是確定的，由相似三角形性質(zhì)得b1由（1）知b1解得檢測(cè)距離b2應(yīng)為答：不匹配，檢測(cè)距離b2應(yīng)調(diào)整為3?m．（或者小何同學(xué)應(yīng)當(dāng)向視力表方向前進(jìn)19．（2020·湖北襄陽(yáng)·中考真題）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交邊BC于點(diǎn)F，連接CE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)AD=AF時(shí)，①求證：BD=CF；②推斷：∠ACE=_________．；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)AD≠AF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)EFAF=13時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交AE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)K，若【答案】（1）①證明見(jiàn)解析，②∠ACE=90°；（2）∠ACE=90°為定值，證明見(jiàn)解析；（3）5【分析】（1）①利用已知條件證明△ABD≌△ACF,即可得到結(jié)論，②先證明△DFE∽△AFC,利用相似三角形的性質(zhì)再證明△AFD∽△CFE,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由（1）中②的解題思路可得結(jié)論；（3）設(shè)EF=a,則AF=3a,利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示：DP,AP,EP,PF,DF,由△DFE∽△AFC表示FC,AC,再證明△APK∽△ACE,利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解a，即可得到答案．【詳解】證明：（1）①∵AD=AF,∴∠ADF=∠AFD,∴∠ADB=∠AFC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.②推斷：∠ACE=90°.理由如下：∵AD=DE,DA⊥DE,∴∠AED=∠DAE=45°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=45°,∴∠ACF=∠DEF,∵∠DFE=∠AFC,∴△DFE∽△AFC,∴DF∵∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴∠DAF=∠ECF=45°,∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=90°.（2）∠ACE=90°為定值，理由如下：由（1）得：∠ACF=∠DEF=45°,∵∠DFE=∠AFC,∴△DFE∽△AFC,∴DF∵∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴∠DAF=∠ECF=45°,∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=90°.（3）∵EFAF設(shè)EF=a,則AF=3a,∴AE=AF+EF=4a,∵DP⊥AE,DA=DE,DA⊥DE,∴DP=AP=EP=2a,PF=a,∴DF=D∵△DFE∽△AFC,∴DF∴5∴FC=3∵∠APK=∠ACE=90°,∠PAK=∠CAE,∴△APK∽△ACE,∴AP∴AP?AE=AK?AC∵CK=16∴2a?4a=6解得：a=10∴DF=5【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，更重要的是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)探究的能力，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．??題型06利用相似的性質(zhì)求坐標(biāo)20．（2021·廣東廣州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=1xx>0的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=?4xx<0的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為A．12,2 B．22,2 【答案】A【分析】構(gòu)造K字形相似，由面積比得出相似比為2，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)與C點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，而P是矩形對(duì)角線交點(diǎn)，故P是AC、BO的中點(diǎn)，由坐標(biāo)中點(diǎn)公式列方程即可求解．【詳解】解：過(guò)C點(diǎn)作CE⊥x軸，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥x軸，∵點(diǎn)A在函數(shù)y=1xx>0的圖象上，點(diǎn)C∴S△OCE=2，∵CE⊥x軸，∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，∵在矩形OABC中，∠AOC=90°，∴∠AOF+∠COE=90°，∴∠OCE=∠AOF，∴△OCE～△AOF，∴CEOF∴CE=2OF，OE=2AF，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x,1x)，則點(diǎn)C連接AC、BO交于點(diǎn)P，則P為AC、BO的中點(diǎn)，∴x+(?2解得：x1=1∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，由面積比得到相似三角形的相似比，從而確定點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)關(guān)系．21．（2022·江西九江·二模）圖，直線l1:y=kx+b與反比例函數(shù)l2:y=8x的圖象相交于點(diǎn)(1)求k，b，m的值．(2)A是y軸上一點(diǎn)，若∠AQC=90°，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)m=4，k=3，b=?2(2)(0,【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)l2:y=8x上求出m=4，然后將點(diǎn)（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥y軸交y軸于點(diǎn)B，AQ⊥QC交y軸于點(diǎn)A，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)△ABQ∽△QBC代入即可得出答案．【詳解】（1）解：將Q2,m代入y=8x∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,4．將Q2,4和C0,?2代入得4=2k+b?2=b解得k=3b=?2（2）：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥y軸交y軸于點(diǎn)B，AQ⊥QC交y軸于點(diǎn)A．∵∠QAB+∠AQB=90°,∠QAB+∠ACQ=90°，∴∠AQB=∠ACQ．∵∠ABQ=∠QBC，∴△ABQ∽△QBC，∴ABQB設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為0,a，則AB=a?4，BC=4??2=6，∴a?42解得a=14∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,14【點(diǎn)睛】本題屬于反比例與一次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出坐標(biāo)，應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例代入求解．22．（2022·湖南常德·一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3，雙曲線y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)(1)求△BDE的面積(2)若點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求點(diǎn)F坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)F【分析】（1）先利用D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)得到D（1，3），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y＝3x，接著利用E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2得到E（2，3（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比可求出CF，然后計(jì)算出OF的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)F坐標(biāo)．【詳解】（1）∵D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，B2,3∴D1,3把D1,3代入y=kx∴反比例函數(shù)解析式為y=3∵AB⊥x，

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)x=2時(shí)，y=3x=∴△BDE的面積=1（2）∵△FBC∽△DEB，∴CFBD=BCBE∴OF=OC?CF=3?4∴點(diǎn)F坐標(biāo)為0,5【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．??題型07相似三角形在網(wǎng)格中的應(yīng)用23．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖．(1)在圖1中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)△ADE，使△ADE∽(2)在圖2中找一點(diǎn)F，使∠AFC=2∠ABC．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查基本作圖，涉及相似三角形的判定、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟系相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．（1）找格點(diǎn)E、D，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，得到AEAC（2）找格點(diǎn)F，證得點(diǎn)F為△ABC的外接圓圓心，利用圓周角定理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，△ADE即為所求：作圖依據(jù)：由網(wǎng)格特點(diǎn)，AB=22+∴AEAC=AD∴△ADE∽（2）解：如圖，點(diǎn)F即為所求：作圖依據(jù)：取格點(diǎn)F，連接AF、BF、CF，則AF=BF=CF=1∴點(diǎn)F為△ABC的外接圓圓心，∴∠AFC=2∠ABC，則點(diǎn)F即為所求．24．（2023·湖北荊州·一模）小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形叫做格點(diǎn)圖形。如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出符合要求的格點(diǎn)三角形.

(1)在圖1中畫(huà)出以C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的三角形；(2)在圖2中畫(huà)出以BC為邊的三角形，且與△ABC相似（不全等）.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可作出點(diǎn)A和B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D和E，使CD=CA，CE=CB，∠DCA=∠ECB=90°，所得△CDE即為△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的三角形；（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)取點(diǎn)F，使∠CBF=∠ABC=135°，BFBC=BCAB=2，連接【詳解】（1）如圖，取格點(diǎn)D，E，使CD=CA，CE=CB，∠DCA=∠ECB=90°，連接CD，CE，DE，△CDE即為所求作；（2）如圖，取格點(diǎn)F，使∠CBF=∠ABC=135°，BF=2連接BF，CF，△CBF即為所求作．25．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形，A、B、C三點(diǎn)都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中A(1)若D2,3，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為2(2)∠D的正弦值是______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】此題主要考查了相似變換、勾股定理以及解直角三角形，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，并熟練掌握正弦值的定義是解題關(guān)鍵．（1）利用相似比為2∶（2）作FG⊥DE于G，在Rt△DFG【詳解】（1）解：如圖所示：△DEF即為所求；（2）解：如圖，作FG⊥DE于G，∵在Rt△DFG中，F(xiàn)G=2，DG=6∴DF=F∴sin∠D=故答案為：101026．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖．(1)在圖①中，在邊AB上找一點(diǎn)D，使BD=BC．(2)在圖②中，在邊AC上找一點(diǎn)E，在BC上找一點(diǎn)F，使EF∥AB，且(3)在圖③中，在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)M，分別連結(jié)AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面積相等．【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，相似三角形的性質(zhì)，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）只需將線段AB分成2:3的兩段且分點(diǎn)D離點(diǎn)A更近，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作圖，連接EF即可；（2）只需找到AC和BC靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找到AC的三等分點(diǎn)E，連接FE即可；（3）先求出直角三角形的面積，根據(jù)三角形的面積求出高，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作圖.【詳解】（1）解：點(diǎn)D即為所求；（2）解：點(diǎn)E、F即為所求；（3）解：△ABC的面積為：12∵△ABM、△ACM、△BCM的面積相等，∴△ABM、△ACM、△BCM的面積都為：13∴△ACM的高為：2×2÷4=1，△BCM的高為：2×2÷3=4∵EP∥FQ，∴△EPM∽△FQM，且相似比為2:1，∴MQ=1∴點(diǎn)M即為所求.??題型08相似三角形的性質(zhì)與判定綜合27．（2024·四川樂(lè)山·一模）如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸負(fù)半軸上，斜邊AC上的中線BD的反向延長(zhǎng)線交y軸正半軸于點(diǎn)E，雙曲線y=kx（x<0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，若S△BEC=8，則A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】設(shè)OB=?x，則AB=?kx，過(guò)D作DH⊥x軸于H，根據(jù)DH為△ABC中位線，得DH=12AB=?k2x，易證△ABC∽△EOB，設(shè)BH為y，由ABEO=BCBO知EO=【詳解】解：設(shè)OB=?x，則AB=?kx，過(guò)D作DH⊥x軸于由題意得∠∵DH⊥x軸，∴∠∴AB∥DH,∴CDAD=∵D為AC中點(diǎn)，∴CD=AD，∴CH=BH，∴DH為△ABC的中位線，∴DH=12AB=?∵CH=BH，DH⊥BC∴CD=BD，∴∠DBC=∵∠∴△ABC∽△EOB，∴ABEO設(shè)BH為?y，則BC=?2y，∴?k∴EO=?k∴S△EBC=BC?OE=1∴k=16，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形的中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，再根據(jù)三角形相似解決問(wèn)題．28．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點(diǎn)F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)CF=【分析】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．（1）由垂徑定理，得AD=BD，AC=BC，由圓周角定理，得（2）可證△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【詳解】（1）證明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半徑，∴AD=BD，AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等）；（2）解：∵∠BAC=∠E，又∵∠ACF=∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴ACEC∵AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△ADC中∠ADC=90°，AD=4，CD=2∴AC=A即25∴CF=229．（2025·上海奉賢·一模）已知，如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)M、N在邊BC上，AB是線段AD與AC的比例中項(xiàng)，∠BAN=∠CAM,AM、AN分別交BD于點(diǎn)E、F．(1)求證：BDAE(2)若點(diǎn)O為BD邊的中點(diǎn)，連接ON，且BD2=2BN·BC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)ABAD=ACAB，∠BAD=∠CAB證明△ABD∽△ACB，得到BDCB=ABAC，∠ABD=∠ACB，結(jié)合∠BAN=∠CAM可以證明△ABF∽△ACM，繼而得到AFAM=AB（2）在NC上截取NQ=BN，連接DQ，證明ON∥DQ，再三角形相似，平行線的判定證明DQ∥AB，解答即可．【詳解】（1）證明：∵AB是線段AD與AC的比例中項(xiàng)，∴ABAD∵∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴BDCB=AB∵∠BAN=∠CAM，∴△ABF∽△ACM，∴AFAM=AB∴180°?∠AFB=180°?∠AMC，∴∠AFE=∠AMN，∵∠FAE=∠MAN∴△AFE∽△AMN，∴AFAM∴BDCB∴BDAE（2）證明：在NC上截取NQ=BN，連接DQ，∵點(diǎn)O為BD邊的中點(diǎn)，∴ON∥DQ，∵NQ=BN，∴BQ=2BN，∵BD∴BDBC∵∠QBD=∠DBC∴△QBD∽△DBC，∴∠BDQ=∠BCD，∵△ABD∽△ACB，∴∠ABD=∠ACB，∴∠ABD=∠BDQ∴DQ∥AB，∴ON∥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，比例中項(xiàng)的意義，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2024·廣東東莞·一模）如圖1，OB是Rt△ABC中∠ABC的平分線，∠BAC=90°，以AO為半徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)E，且CE=1(1)求證：BC是⊙O切線；(2)如圖2，設(shè)⊙O與BC的切點(diǎn)為D，連接AD．當(dāng)tan∠CAD=13(3)若F是線段AB的中點(diǎn)，連CF與AD交于G，在（2）的條件下，求S△CDG【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4(3)1【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OH=OA，根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”，即可證得BC是⊙O切線；（2）連接OD，根據(jù)切線得出OD⊥BC，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，得出∠ADE=90°=∠ODC，推出∠ADO=∠CDE，根據(jù)等邊對(duì)等角，由OA=OD，得出∠DAC=∠ADO，則∠DAC=∠CDE，公共角∠ACD=∠DCE，證明△DCE∽△ACD，得出CDAC=CECD=DEAD，由tan∠CAD=13=DEAD（3）連接OD，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于P，由（2）得∠ADE=90°，tan∠CAD=13=DEAD，AC=9，AE=8，OA=OE=4，得出AD=3DE，OC=AC?OA=5，結(jié)合勾股定理得出3DE2+DE2=64，求出DE、AD，根據(jù)tan∠CAD=13=CPAC，求出CP=13AC=3，根據(jù)勾股定理計(jì)算AP=AC2+CP2，根據(jù)⊙O與BC的切點(diǎn)為D，得出∠ODC=90°，OD=4，根據(jù)勾股定理計(jì)算CD=OC2?OD2，得出tan∠OCD=ODCD=4【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，∵OB是∠ABC的平分線，OH⊥BC，∠BAC=90°，OA為半徑，∴OH=OA，點(diǎn)H也在圓上，即OH也為半徑，又∵OH⊥BC，∴BC是⊙O切線；（2）解：如圖，連接OD，∵BC是⊙O的切線，∴OD⊥BC，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°=∠ODC，∴∠ADO+∠ODE=∠CDE+∠ODE，∴∠ADO=∠CDE，∵OA=OD，∴∠DAC=∠ADO，∴∠DAC=∠CDE，又∵∠ACD=∠DCE，∴△DCE∽△ACD，∴CDAC∵tan∠CAD=∴CDAC又∵CE=1，∴CD=CE÷13=3∴AE=AC?CE=9?1=8，∴OA=OE=AE∴⊙O的半徑為4；（3）解：如圖，連接OD，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于P，∵由（2）得∠ADE=90°，tan∠CAD=13=DEAD，∴AD=3DE，OC=AC?OA=9?4=5，∵AD∴3DE210DE∴DE=6410=∵CP⊥AC，∴tan∠CAD=∴CP=1∴AP=A∵⊙O與BC的切點(diǎn)為D，∴∠ODC=90°，OD=4，∴CD=O∴tan∠OCD=又∵∠BAC=90°，∴tan∠OCD=ABAC∴AB=4∵F是線段AB的中點(diǎn)，∴AF=BF=1∵CP⊥AC，∴AB∥∴△PCG∽△AFG，∴AGGP又∵AG+GP=AP=310∴AG=2∴GD=AD?AG=12∴GDAG∵△CDG的邊GD上的高和△ACG的邊AG上的高相等，∴S△CDG【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)、圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)、作輔助線推理是解題的關(guān)鍵．??題型09利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決折疊問(wèn)題31．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD紙片的邊長(zhǎng)為9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，以EF為折痕折疊正方形ABCD，使頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)H處，AB的對(duì)應(yīng)邊GH交AD于點(diǎn)I，當(dāng)CH=3時(shí)，△FGI的周長(zhǎng)是．【答案】6【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EH=EB，F(xiàn)G=AF，GH=AB=9，∠EHG=∠B=90°，∠G=∠A=90°，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出EC、EH，證明△HDI∽△ECH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DI、HI，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正方形ABCD紙片的邊長(zhǎng)為9，以EF為折痕折疊正方形ABCD，使頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)H處，CH=3，∴EH=EB，F(xiàn)G=AF，GH=AB=9，∠EHG=∠B=90°，∠G=∠A=90°，DH=CD?CH=9?3=6，設(shè)BE=x，則EH=x，EC=9?x，在Rt△ECH中，EH2解得：x=5，∴EH=5，EC=4，∵∠EHG=90°，∴∠EHC+∠DHI=90°，∵∠C=90°，∴∠EHC+∠HEC=90°，∴∠IHD=∠HEC，∵∠D=∠C=90°，∴△HDI∽△ECH，∴DHCE=DI解得：DI=4.5，HI=7.5，∴FG+FI=AF+FI=AI=9?DI=4.5，GI=9?7.5=1.5，∴FG+FI+GI=4.5+1.5=6△FGI的周長(zhǎng)是6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．32．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，AB=2，AD=3時(shí)，求GH的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)AB=AD時(shí)，設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為m，△CHP的周長(zhǎng)為n，探究n與m的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)GH=(3)n=【分析】（1）證明對(duì)應(yīng)角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根據(jù)△EDP∽△PCH，求得PH的長(zhǎng)度，從而得出GH長(zhǎng)度；（3）根據(jù)題意得出四邊形ABCD是正方形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，設(shè)AD=BC=t，則m=4t，ED=a,PD=b，則EP=AE=t?a，PC=t?b，在Rt△PED中，勾股定理可得t2?2at=b2，根據(jù)△EDP∽△PCH得出PH=【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P為CD中點(diǎn)，∴DP=CP=1設(shè)EP=AE=x，∴ED=AD?x=3?x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AE=x=5∴ED=AD?AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG?PH=3（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD∴四邊形ABCD是正方形，∴設(shè)AD=BC=t，則m=4t，∵折疊，∴PE=AE，設(shè)ED=a,PD=b，則EP=AE=t?a，PC=t?b，在Rt△PED中，即t?a2∴t∵△EDP∽△PCH∴EDPC=EP∴PH=t?at?ba∴n=PC+CH+PH=t?b+∵t∴n=∴n=【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形與折疊、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵．33．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，E，F(xiàn)分別是等邊△ABC邊上兩點(diǎn)，且△BEF的面積和四邊形ACEF的面積相等，將△BEF沿EF折疊得到△B（1）若EF∥AC，F(xiàn)G=3，則GH=；（2）如圖2，若FG=3，EH=4，則GH=．

【答案】32【分析】（1）先證明△AFG、△EHC、△B'GH均為等邊三角形，且EH=FG，由題意得出S△AFG+（2）由題意得出S△AFG+S△HEC=S△B'GH，且【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥FG于點(diǎn)M，如圖所示：

∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∵EF∥AC，∴∠BEF=∠C=60°，∠BFE=∠A=60°，∴△BEF為等邊三角形，∴BE=BF，∴AB?BF=BC?BE，即AF=CE，根據(jù)折疊可知：∠BFE=∠EFB'=60°∴∠AFG=180°?60°?60°=60°，∠CEH=180°?60°?60°=60°,∴△AFG和△CEH為等邊三角形，∴∠B'GH=∠AGF=60°AG=AF=FG=CE=CH=EH，∴△B∵△AFG為等邊三角形，AM⊥FG，∴FM=MG=1∴AM=A∴S△AFG同理得：S△∵△BEF的面積和四邊形ACEF的面積相等，∴S△∴S△∵△AFG和△CEH為等邊三角形，且FG=CE，∴S△AFG∴S△∴34解得：GH=32故答案為：32（2）∵△BEF的面積和四邊形ACEF的面積相等，∴S△∴S△∴S△AFG∵∠B'=∠A=60°∴△AFG∽△B同理得：△B∴FGHG2=∴FG∴FG∴HG解得：HG=5，負(fù)值舍去；故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．34．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）專題復(fù)習(xí)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們共同探索“折疊”中的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，進(jìn)一步感悟綜合幾何圖形的解題關(guān)鍵是“化繁為簡(jiǎn)”．在復(fù)雜圖形中分解出特殊（基本）圖形．進(jìn)而建立圖形要素（線段、基本圖形）的解題關(guān)系．已知矩形紙片ABCD，AB=6，BC=8．【操作感知】（1）如圖1，將矩形紙片沿BD折疊、點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，設(shè)C'B與AD交于點(diǎn)P，小麗同學(xué)關(guān)注折疊后得到的△BDP，如圖2，利用對(duì)稱性及平行關(guān)系得BP=DP；小強(qiáng)同學(xué)觀察Rt△BAP中AP，BP與線段【類比分析】（2）如圖4，E是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將ABCD沿直線BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，當(dāng)DE為多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)C'恰好落在【動(dòng)態(tài)探究】（3）如圖5，點(diǎn)E在矩形邊BC上以2cm/s．向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在矩形邊CD上以1.5cm/s向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C沿著EF折疊落在點(diǎn)C'處，過(guò)C'作GH∥EF分別交矩形邊于點(diǎn)H，G，求經(jīng)過(guò)【答案】（1）254；（2）103【分析】本題考查矩形與折疊，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)；（1）根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)先證明BP=DP，再設(shè)DP=x，則BP=DP=x，AP=8?x，最后在Rt△ABP（2）設(shè)DE=y，根據(jù)折疊得到EC=EC'=6?y，D（3）連接BD，連接CC'交EF于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N，根據(jù)CFCE=1．5t2t=34=CDCB，計(jì)算即可．【詳解】(1)解：在△DBP中，由折疊得∠PBD=∠CBD．∵AD∥BC，∴∠PBD=∠PDB，∴BP=DP．設(shè)DP=x，則BP=DP=x，AP=8?x，在Rt△ABP中，∠A=90°由勾股定理得AB2+AP2=BP2∴6解得x=∴DP=(2)解：設(shè)DE=y，則EC=EC在Rt△ABD中，∠A=90°由勾股定理得AB2+AD2=BD2，解得BD=10，∴DC在Rt△DC'由勾股定理得DC∴2解得y=即DE=103時(shí)，點(diǎn)C'(3)解：連接BD，連接CC'交EF于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)∵點(diǎn)E在矩形邊BC上以2cm/s．向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在矩形邊CD上以1.5cm/s向點(diǎn)∴CF=1．5t，∴EF=2.5t，CF∵CDCB=3∴△ECF∽△BCD，∴∠FEC=∠DBC，∴EF∥∴EF∥∵S△CFE∴CM=CE?CF∴CC∵S△CBD∴CM=CB?CD∴當(dāng)t=2時(shí)C'在BD①當(dāng)0<t≤2時(shí)，如圖1，由翻折可得CC'被∴EC=EC'，F(xiàn)C=FC∴∠ECC'=∠E∵EF∥HG，∴∠FMC=∠GC∴∠EHC'=∠E∴EC'=EH∴EC=EC'=EH=2t∴HC=2CE=4t，CG=2CF=3t，∴S△HCG②當(dāng)2<t≤4時(shí)，如圖2，過(guò)H作HK⊥BD于K，∵CC'=2CM=∴C'∵EF∥HG∴四邊形C'NKH是矩形，∴C'∵sin∠ABD=∴BH=5∴AH=AB?BH=12?3t，同理可得DG=4t?8，DG=AD?DG=16?4t，∴GH=A∴S△HCG∴S??題型10利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象35．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖1，在△ABC中，∠B=36°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止．若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，AP的長(zhǎng)度為ycm，y與t的函數(shù)圖像如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC【答案】t=2【分析】本題主要考查了圖形與函數(shù)圖像間關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是證明△APC∽△BAC．根據(jù)函數(shù)圖像可得AB=BC=4cm，作∠BAC的平分線AP，∠B=36°可得∠B=∠DAC=36°，進(jìn)而得到△APC∽△BAC，由相似求出BP【詳解】解：如圖，連接AP，由圖2可得AB=BC=4cm∵∠B=36°，AB=BC，∴∠BAC=∠C=72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，∴AP=AC=BP，∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，∴△APC∽△BAC∴AP∴A∴AP=25∴t=4+236．（2023·湖北恩施·二模）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4．過(guò)AC的中點(diǎn)H作AC的垂線DH，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，設(shè)兩線相交于點(diǎn)D，連接AD．設(shè)AB=x，AD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致為（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由CD∥AB，可知∠DCA=∠BAC，DH垂直平分AC所以DA=DC，AH=HC=2，所以∠DAC=∠DCA，結(jié)合∠ABC=90°可證明△DAH∽△CAB，得出ADAC=AH【詳解】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCA，∵CD∥∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴AD∴y∴y=8∴此函數(shù)為反比例函數(shù)，∵∠B=90°，∵AB<AC，∴x<4，∴選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線，反比例函數(shù)圖像，利用已知求證△DAH∽△CAB，得出ADAC37．（2023·安徽滁州·二模）如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→D→C→B以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿A→B以1cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，圖2是兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△APQ的面積S（cm2）和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)圖像．（1）四邊形ABCD的面積為cm2；（2）當(dāng)31.5≤t≤52時(shí)的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】1300S=?【分析】（1）由圖2可知，當(dāng)t=25秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，S=S△APQ=12AQ×DG=500當(dāng)t=31.5秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，求得CD=13；當(dāng)t=52秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，CB=2×(52?31.5)=41，運(yùn)用勾股定理求得Rt△ADG中，AG=30，Rt△CBE中，BE=9，從而可求AB=52，所以四邊形ABCD的面積為12（2）如圖，當(dāng)31.5≤t≤52時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)在CB上，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB，垂足為F，可證△BCE～△BPF，所以BPBC=PFCE，可求BP=104?2t，所以104?2t41【詳解】（1）由圖2可知，當(dāng)t=25秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，AD=AP=2×25=50，AQ=25，S∴S△APQ=12AQ×DG=500當(dāng)t=31.5秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，∴CD=2×(31.5?25)=13，當(dāng)t=52秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，CB=2×(52?31.5)=41，Rt△ADG中，AG=Rt△CBE中，BE=∴AB=AG+GE+BE=30+13+9=52∴四邊形ABCD的面積為12故答案為1300．（2）如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)在CB上，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB，垂足為F，則∠BEC=∠BFP又∠B=∠B∴△BCE～△BPF∴BP而B(niǎo)P=AD+CD+BC?(AD+CD+CP)=(50+13+41)?2t=104?2t∴104?2t∴PF=而AQ=t∴S=∴當(dāng)31.5≤t≤52時(shí)，的函數(shù)表達(dá)式S=?40【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息解決問(wèn)題、勾股定理、相似三角形知識(shí)；能夠?qū)⒑瘮?shù)圖象與動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)起來(lái)，確定函數(shù)圖象拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．38．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，已知Rt△ABC的斜邊BC和正方形DEFG的邊DE都在直線l上（BC＜DE），且點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，△ABC沿直線l向右勻速平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)DG被△ABC截得的線段長(zhǎng)y與△ABC平移的距離x之間的函數(shù)圖像如圖②，則當(dāng)x＝3時(shí)，△ABC和正方形DEFG重合部分的面積為（

）A．3 B．763 C．116【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)D重合時(shí)，DG被截得的線段長(zhǎng)最長(zhǎng)，即CH=1；當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)D重合時(shí)，BC=4，由此可解△ABC；畫(huà)出當(dāng)x=3時(shí)的圖形，利用相似可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=90°，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=90°，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，結(jié)合圖①可知，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)D重合時(shí)，DG被截得的線段長(zhǎng)最長(zhǎng)，即CH=1；當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)D重合時(shí)，由函數(shù)圖像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即AH=3當(dāng)x=3時(shí)，C'∴B'D=1,設(shè)A'B'由MD∥則△B∴B'∴1：3=MD：3，即MD=3∴S=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是得出BC和DM的長(zhǎng)．??題型11利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值39．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接BD交CH于點(diǎn)P，若△BPC為等腰三角形，則DH:HP的值是（

）A．2:1 B．2:1 C．2+1:1【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)四個(gè)全等的直角三角形長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，由△BPC為等腰三角形，∠BGP=90°可得PG=CG=b，進(jìn)而得到HP=CH?CG?PG=a?2b，再根據(jù)△DHP∽△BGP可得DHBG=HPPG，即得【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，∵△BPC為等腰三角形，∠BGP=90°，∴PG=CG=b，∴HP=CH?CG?PG=a?2b，∵∠DHP=∠BGP=90°，∠DPH=∠BPG，∴△DHP∽△BGP，∴DHBG即ba∴a=2∴HP=2∴DH:HP=b:2故選：C．40．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題提出：如圖，∠ACB=∠CDE=90°，CBCA=DEDC=k，點(diǎn)A在DE上，連接BE交CD

問(wèn)題探究：（1）先將問(wèn)題特殊化，如圖2，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫(xiě)出EFFB（2）再探究一般情況，如圖1，證明（1）中的結(jié)論依然成立；拓展創(chuàng)新：（3）如圖3，BE交AC于點(diǎn)G，若BE=2BC，直接用含k的式子表示CGAG【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）6【分析】本題是相似形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由AAS可證△BCN≌△CAD，可得BN=CD=DE，由AAS可證△BFN≌△EFD，可得BF=FE，即可求解；（2）通過(guò)證明△BCN∽△CAD，可得BN=kCD=DE，由AAS可證△BFN≌△EFD，可得BF=FE，即可求解；（3）設(shè)DF=FN=CN=a，由等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求CD=3a，BN=DE=3ka，MN=a3k，BM=BN+MN=9k2【詳解】（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，

∵k=1，∴CBCA∴CB=CA，DE=DC，∵BN⊥CD，∴∠BNC=90°=∠ACB=∠CDE=90°，∴∠NBC+∠BCN=90°=∠ACD+∠BCN，∴∠ACD=∠NBC，∴△BCN≌△CADAAS∴BN=CD，∴BN=DE，∵∠DFE=∠BFN，∠CDE=∠BNF=90°，∴△BFN≌△EFDAAS∴BF=FE，∴EFBF（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，

∵CBCA∴CB=kCA，DE=kDC，∵BN⊥CD，∴∠BNC=90°=∠ACB=∠CDE=90°，∴∠NBC+∠BCN=90°=∠ACD+∠BCN，∴∠ACD=∠NBC，∴△BCN∽△CAD，∴BCAC∴BN=kCD，∴BN=DE，∵∠DFE=∠BFN，∠CDE=∠BNF=90°，∴△BFN≌△EFDAAS∴BF=FE，F(xiàn)N=FD，BN=DE，∴EFBF∴（1）的結(jié)論仍然成立；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，延長(zhǎng)BN交AC于M，

∵BN⊥CD，∴∠BND=90°=∠ACB=∠CDE=90°，∴BM∥由（2）可知：BF=EF，DF=FN，BN=DE，∵BE=2BC，∴BF=BC=EF，又∵BN⊥CF，∴CN=NF=DF，∵CB=kCA，DE=kDC=BN，∴DF=FN=CN=1∴tan∠CBN=∴MN=1設(shè)DF=FN=CN=a，則CD=3a，BN=DE=3ka，MN=a3k，∵BM∥∴△CMN∽△CAD，∴MNAD∴AD=3MN=1kCN=∴AE=DE?AD=3k2∵BM∥∴△AEG∽△MBG，∴AGGM∴設(shè)AG=9k2∴AM=18∴MC=9∴GC=18k∴CGAG41．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線y=ax2?2ax+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC=3，直線y=x+b經(jīng)過(guò)B(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)D在拋物線上，滿足∠CAB=45°+∠BCD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為T，直線y=kx?k?3與拋物線交于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），G為EF的中點(diǎn)，求TGEF【答案】(1)y=x(2)73,?20(3)12【分析】（1）把C0,?3代入y=x+b得y=x?3，求出B3,0，用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為（2）求出A?1,0，OA=1，∠BCO=45°=∠CBO，分兩種情況：①當(dāng)D在CB下方時(shí)，設(shè)CD延長(zhǎng)線交x軸于K，證明△AOC∽△COK，有13=3OK，得OK=9，K9,0，即可求得直線CK解析式為y=13x?3，聯(lián)立y=13x?3y=x2?2x?3可解得D73,?209；②當(dāng)D'在CB上方時(shí)，設(shè)CD'交x軸于W，過(guò)（3）求出拋物線頂點(diǎn)T坐標(biāo)1,?4，聯(lián)立y=x2?2x?3y=kx?k?3得x2?k+2x+k=0，設(shè)Ex1,y1，F(xiàn)x2,y2，則x1+x【詳解】（1）解：∵OC=3，C在y軸負(fù)半軸，∴C0,?3把C0,?3代入y=x+b得?3=b∴y=x?3，令y=0得x=3，∴B3,0把B3,0，C0,?3代入9a?6a+c=0c=?3解得a=1c=?3∴拋物線的解析式為y=x（2）解：在y=x2?2x?3中，令y=0解得x=3或x=?1，∴A?1,0，OA=1∵B3,0，C∴OB=OC，∴∠BCO=45°=∠CBO，∵∠CAB=45°+∠BCD，∴∠CAB=∠BCO+∠BCD，①當(dāng)D在CB下方時(shí)，設(shè)CD延長(zhǎng)線交x軸于K，如下圖，此時(shí)∠CAB=∠BCO+∠BCD=∠DCO，∴∠CAB+∠ACO=90°=∠DCO+∠ACO，即∠ACK=90°，∴∠OCK=90°?∠ACO=∠OAC，∵∠AOC=90°=∠COK，∴△AOC∽∴OAOC=OC∴OK=9，K9,0由C0,?3，K9,0得直線CK解析式為聯(lián)立y=1解得x=73y=?∴D7②當(dāng)D'在CB上方時(shí)，設(shè)CD'交x軸于W，過(guò)B作BT⊥x軸交直線CD此時(shí)∠BCD=∠BCD'，又BC=BC，∴△CBW≌∴BT=BW，在y=13x?3中，令x=3∴T3,?2，BT=2∴BW=2，OW=OB?BW=3?2=1，∴W1,